专题01 一元一次不等式的基本性质与解法重难点题型专训（11大题型+15道提优训练）-2024-2025学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（华东师大版2024）

专题01 一元一次不等式的基本性质与解重难点题型专训（11大题型+15道提优训练） 题型一 不等式的定义 题型二 不等式的解集 题型三 不等式的性质 题型四 一元一次不等式的定义 题型五 解|x|≥a型的不等式 题型六 求一元一次不等式的解集 题型七 求一元一次不等式的整数解 题型八 在数轴上表示不等式的解集 题型九 求一元一次不等式解的最值 题型十 列一元一次不等式 题型十一 一元一次不等式解的新定义运算 知识点01 一元一次不等式定义 只含有一个未知数，且未知数的次数是1．系数不等于0的不等式叫做一元一次不等式． 注：其标准形式：ax+b＜0或ax+b≤0，ax+b＞0或ax+b≥0(a≠0)． 知识点02 解一元一次不等式 解一元一次不等式步骤： （1）去分母；去分母时，每一项都要乘同一个数，尤其不要漏乘常数项去括号； （2）去括号：移项时不要忘记变号； （2）移项； 移项时不要忘记变号； （3）合并同类项； （4）化系数为1． 说明：解一元一次不等式和解一元一次方程类似．不同的是：一元一次不等式两边同乘以(或除以)同一个负数时，不等号的方向必须改变，这是解不等式时最容易出错的地方． 【经典例题一 不等式的定义】 【例1】（23-24七年级·全国·假期作业）某市最高气温是33℃，最低气温是24℃，则该市气温t（℃）的变化范围是（  ） A．t＞33 B．t≤24 C．24＜t＜33 D．24≤t≤33 1．（23-24七年级下·四川内江·阶段练习）李老师在黑板上写了下面的式子，你认为哪一个不是不等式（    ） A．＜0 B． C．≥1 D． 2．（23-24七年级下·福建漳州·阶段练习）列不等式表示下列数量关系：c的一半与d的差不小于： ． 3．（2024七年级下·江苏·专题练习）用适当的符号表示下列关系： (1)x的与x的2倍的和是非正数； (2)一枚炮弹的杀伤半径不小于300米； (3)三件上衣与四条长裤的总价钱不高于268元； (4)明天下雨的可能性不小于； (5)小明的体重不比小刚轻． 【经典例题二 不等式的解集】 【例2】（23-24七年级下·山西长治·期末）下列说法中，正确的是（   ） A．是不等式的解 B．是不等式的唯一解 C．是不等式的解集 D．是不等式的一个解 1．（23-24七年级下·四川巴中·期中）如图所示，体育课上，小明的实心球成绩为9.6m，他投出的实心球落在（    ） A．区域① B．区域② C．区域③ D．区域④ 2．（23-24七年级下·河南南阳·期中）已知是关于x，y的二元一次方程，则 （填“是”或“不是”）不等式的解． 3．（2024七年级·全国·竞赛）下表所示为三种食品原料的维生素含量（单位/千克）及成本（元/千克）： 维生素的含量 维生素的含量 成本 6 5 4 现在要将三种食物混合成千克的混合物，要求混合物至少需含单位的维生素和单位的维生素．如果所用的食物中的质量分别为千克，千克，千克，当分别取何值时，成本最低？ 【经典例题三 不等式的性质】 【例3】（23-24七年级下·福建厦门·阶段练习）如果，那么下列结论中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级下·山西晋城·期末）实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·四川眉山·阶段练习）已知，则的最小值是 ． 3．（23-24七年级下·北京·阶段练习）设是如下形式的行列的数表， 满足性质：，，，，， 且 ． 记为A的第行各数之和， 为的第列各数之和 ；记为，，， ，中的最小值． (1)对如下数表， 求的值； (2)设数表形如： 其中，求的最大值； (3)对所有满足性质的行列的数表，求的最大值． 【经典例题四 一元一次不等式的定义】 【例4】（23-24七年级下·吉林长春·期中）下列是一元一次不等式的是（    ） A． B． C． D． 1．（2024七年级下·全国·专题练习）若关于的一元一次不等式，则的值（　　） A． B．1或 C．或 D． 2．（23-24七年级·全国·假期作业）给出下列不等式：①x＋1＞x－x2；②y－1＞3；③x＋≥2；④x≤0；⑤3x－y＜5，其中属于一元一次不等式的是： ．（只填序号） 3．（23-24七年级下·全国·单元测试）我们用表示不大于的最大整数，例如：，，；用表示大于的最小整数，例如：，，．请回答下列问题： (1) ； ； (2)若，则的取值范围是 ；若，则的取值范围是 ； (3)已知，满足方程组，求，的取值范围． 【经典例题五 解|x|≥a型的不等式】 【例5】（23-24七年级下·全国·课后作业）不等式组的解集是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级下·河南许昌·期中）在平面直角坐标系中，点D（n，y1），E（3，y2）在抛物线y＝﹣x2+2x上，若y1＞y2，则n的取值范围是（　　） A．n＞3或n＜﹣1 B．n＞3 C．n＜﹣1 D．﹣1＜n＜3 2．（23-24七年级下·河南新乡·期中）能够使不等式成立的x的取值范围 ． 3．（23-24七年级下·北京海淀·期中）如图是一个运算程序：    (1)若，，求m的值； (2)若，m的值大于，直接写出一个符合条件的x的值． 【经典例题六 求一元一次不等式的解集】 【例6】（23-24七年级下·山西长治·期末）若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（　　） A． B． C．且 D． 且 1．（23-24七年级下·吉林长春·期中）不等式组的解集是，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·河南驻马店·阶段练习）如图按下面的程序运算： 当时，输出结果为 ．若运行到“判断结果是否大于20”为一次运算，进行了两次运算就输出停止，则x的取值范围是 3．（2025七年级下·全国·专题练习）（1）解方程：； （2）阅读下面解不等式的过程，完成任务： 解：第一步 第二步 第三步 第四步 第一步去分母的依据是 　　　 ； 第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 　　　 ；直接写出原不等式的正确解集是 　　　　 ； 请你根据平时的学习经验，就解不等式时需要注意的事项给其他同学提出条建议． 【经典例题七 求一元一次不等式的整数解】 【例7】（23-24七年级下·广东湛江·期末）、是整数， ，的最小整数值为，且，则的正整数解有(    ) A．个 B．个 C．个 D．个 1．（23-24七年级下·甘肃兰州·期中）如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“和谐数”如（，，即8，16均为“和谐数”），在不超过2023的正整数中，所有的“和谐数”之和为（　　） A．255054 B．255064 C．250554 D．255024 2．（23-24七年级下·安徽阜阳·期中）甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示（m为正整数），甲、乙的面积分别S1，S2．    （1）与的大小关系： ．（填“>”“<”或“=”） （2）若满足条件的整数有且仅有5个，则的值为 ． 3．（23-24七年级下·河北廊坊·阶段练习）【探究归纳】 解下列不等式：（1）；（2），总结发现不等式（1）的解都是不等式（2）的解，我们称不等式（1）的解集是不等式（2）的解集的“子集”． 【问题解决】 (1)的解集______解集的“子集”（填“是”或“不是”）； (2)若关于的不等式的解集是的解集的“子集”，且是正整数，求的值． 【经典例题八 在数轴上表示不等式的解集】 【例8】（2024七年级下·全国·专题练习）不等式的解集在数轴上表示为（ ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级下·广东茂名·期末）解不等式组时，将不等式①②的解来表示在同一条数轴上，正确的是（      ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·吉林四平·期末）解不等式组： 请结合题意填空，完成本题的解答： （Ⅰ）解不等式①，得 ， （Ⅱ）解不等式②，得 ， （Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来； （Ⅳ）原不等式组的解集为 . 3．（23-24七年级下·贵州黔南·期末）请你从下列三个关于的不等式中，选择其中两个组成一个关于的一元一次不等式组，解该不等式组并把解集在数轴上表示出来． （1）（2）（3） 【经典例题九 求一元一次不等式解的最值】 【例9】（23-24八年级·全国·单元测试）设，，，…，是整数，且满足下列条件：①，，2，3，…，2008；②；③，则的最大值是（    ）． A．16 064 B．5624 C．3212 D．2408 1．（23-24七年级·全国·假期作业）某闹市区新建一个小吃城，设计一个进口和一个出口，内设个摊位，预估进口和出口的客流量都是每分钟10人，每人消费25元，摊位的毛利润为，若平均每个摊位一天（按10个小时计）的毛利润不低于1000元，则的最大值为　　 A．30 B．40 C．50 D．60 2．（23-24七年级下·全国·课后作业）若不等式中的最大值是m，不等式中的最小值为n，则不等式的解集是 ． 3．（23-24七年级下·吉林·期中）某货运电梯限重标志显示，载重总质量禁止超过．现要用此货运电梯装运一批设备，每套设备由个甲部件和个乙部件组成，个甲部件的质量是千克，1个乙部件的质量是千克．每次装运都需要工人装卸，设备需要成套装运，现已知装卸工人总重量为，则货运电梯一次最多可装运多少套设备？ 【经典例题十 列一元一次不等式】 【例10】（2025七年级下·全国·专题练习）“x的与x的和不超过5”可以表示为（   ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级下·云南昆明·期末）为了减少碳排放，国家提倡绿牌电动车出行．绿牌电动车的国家标准如下表： 执行标准 最高车速 电池电压 不超过48伏 能否载入 可载一名16周岁以下未成年人 车辆属性 非机动车 是否需要驾驶证 不需要 如果电动车的车速是，电池电压是m伏，可搭载一名x周岁的未成年人．下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·福建福州·期末）一艘轮船从某江上游的地匀速驶到下游的地用了10小时，从地匀速返回地用了不到12小时，这段江水流速为，设轮船在静水里的往返速度为，且此速度一直保持不变，请列出符合题意的一元一次不等式 ． 3．（23-24七年级下·浙江温州·期中）小温和小希决定把每月省下来的零用钱存起来．小温存了80元，小希存了54元．从这个月开始，小温计划每月存16元，小希计划每月存20元．根据题意回答以下问题： (1)设经过x个月后（用含x的代数式表示）． ①小温存款数为______，小希存款数为______． ②若小温存款数超过小希存款数，请列出不等式______． (2)7个月后，小温存款数是否已经超过小希？ 【经典例题十一 一元一次不等式解的新定义运算】 【例11】 （2024·福建龙岩·一模）定义新运算“⊕”如下：当时，⊕；当时，⊕，若3⊕，则的取值范围是（　　） A．或 B．或 C．或 D．或 1．（23-24七年级下·四川遂宁·期末）定义一种新运算：．例如：，那么不等式的正整数解是（　　） A． B．1 C．0和1 D．2 2．（23-24七年级下·山东青岛·阶段练习）定义一种新运算“”：当时，当时，．例如：，．若已知，则x的取值范围为 ． 3．（2025七年级下·全国·专题练习）定义一种新运算“”：当时，；当时，．例如：． (1)若，求x的取值范围； (2)已知，求x的取值范围． 1．（23-24七年级下·全国·课后作业）已知，，，是有理数，若，，则（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·河北廊坊·期末）不等式的解集在数轴上表示正确的是（　　） A．   B．   C．   D．   3．（2024·山东泰安·一模）若关于x的不等式4x+m≥0有且仅有两个负整数解，则m的取值范围是（    ） A．8≤m≤12 B．8＜m＜12 C．8＜m≤12 D．8≤m＜12 4．（23-24七年级下·重庆丰都·期末）关于x的方程的解是非负整数，且关于y的多项式是四次多项式，则所有满足条件的正整数a的和是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．（23-24七年级下·安徽合肥·开学考试）春节期间某商场为促销，将定价为50元/件的商品如下销售：一次性购买不超过5件按照原价销售；一次性购买超过5件则按原价的八折出售．旗旗现在有290元，则最多可购买这种商品（    ）件． A．6 B．7 C．8 D．9 6．（2024七年级下·全国·专题练习）用不等式表示“x的平方与a的平方之差不是正数”为 ． 7．（23-24七年级下·江苏·课后作业）下列式子是一元一次不等式的有 (填序号). ①x2-2x+1>0；②2-3x<5；③5>-5；④3x+3y>7；⑤<2；⑥x-. 8．（23-24七年级下·全国·课后作业）如果关于的不等式的解集是，那么，满足的等量关系是 ，的取值范围是 ． 9．（23-24七年级下·全国·单元测试）关于的一元一次不等式组的解集，在数轴上表示如图所示，若其中一个不等式为，则该不等式组中另一个不等式可以是 ．（写出一个即可） 10．（23-24七年级下·重庆沙坪坝·阶段练习）鲜花市场销售康乃馨，郁金香，玫瑰，红掌四个品种的鲜花，四个品种的鲜花每支的售价均为整数，若每支郁金香的售价比每只康乃馨的售价多3元，每支玫瑰的售价比每支康乃馨的售价高50%，每支红掌的售价是每支郁金香售价的4倍与每支玫瑰售价的差，某日康乃馨和郁金香一共销售了120支，康乃馨的销售量大于35支，红掌与康乃馨的销量之和不超过390支，而玫瑰的销量为60支，当日这四种花卉的平均售价是每只郁金香价格的倍，则当日四种花卉的销售总量的值是 ． 11．（23-24七年级下·吉林·期末）（1）解不等式，并把不等式的解集表示在数轴上：； （2）解不等式组： 12．（23-24七年级下·浙江杭州·期中）已知，试着用不等式的基本性质和分别比较与的大小． 解法一（利用基本性质） 解法二（利用基本性质） 13．（2024·河北石家庄·模拟预测）按如图程序进行运算．如果结果不大于10，就把结果作为输入的数再进行第二次运算，直到符合要求（结果大于10）为止． （1）当输入的数是10时，请求出输出的结果； （2）当输入的数是x时，经过第一次运算，结果即符合要求，请求出x的最小整数值． 14．（23-24七年级下·全国·期末）阅读理解： 求不等式的解集． 解：根据“同号两数相乘除，积为正”可得：①或②． 解①得；解②得． ∴不等式的解集为或． 请你仿照上述方法解决下列问题： (1)求不等式的解集． (2)求不等式的解集． 15．（23-24七年级下·广西玉林·期末）【提出问题】已知，且，，试确定的取值范围． 【分析问题】先根据已知条件用一个量如y表示另一个量如x，然后根据题中已知量x的取值范围，构建另一量y的不等式，从而确定该量y的取值范围，同法再确定另一未知量x的取值范围，最后利用不等式性质即可获解． 【解决问题】解：∵，∴． 又∵，∴，∴． 又∵，∴，① 同理得② 由得． ∴的取值范围是． 【尝试应用】已知，且，，求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 一元一次不等式的基本性质与解重难点题型专训（11大题型+15道提优训练） 题型一 不等式的定义 题型二 不等式的解集 题型三 不等式的性质 题型四 一元一次不等式的定义 题型五 解|x|≥a型的不等式 题型六 求一元一次不等式的解集 题型七 求一元一次不等式的整数解 题型八 在数轴上表示不等式的解集 题型九 求一元一次不等式解的最值 题型十 列一元一次不等式 题型十一 一元一次不等式解的新定义运算 知识点01 一元一次不等式定义 只含有一个未知数，且未知数的次数是1．系数不等于0的不等式叫做一元一次不等式． 注：其标准形式：ax+b＜0或ax+b≤0，ax+b＞0或ax+b≥0(a≠0)． 知识点02 解一元一次不等式 解一元一次不等式步骤： （1）去分母；去分母时，每一项都要乘同一个数，尤其不要漏乘常数项去括号； （2）去括号：移项时不要忘记变号； （2）移项； 移项时不要忘记变号； （3）合并同类项； （4）化系数为1． 说明：解一元一次不等式和解一元一次方程类似．不同的是：一元一次不等式两边同乘以(或除以)同一个负数时，不等号的方向必须改变，这是解不等式时最容易出错的地方． 【经典例题一 不等式的定义】 【例1】（23-24七年级·全国·假期作业）某市最高气温是33℃，最低气温是24℃，则该市气温t（℃）的变化范围是（  ） A．t＞33 B．t≤24 C．24＜t＜33 D．24≤t≤33 【答案】D 【分析】已知某市最高气温和最低气温，可知该市的气温的变化范围应该在最高气温和最低气温之间，且包括最高气温和最低气温． 【详解】由题意，某市最高气温是33℃，最低气温是24℃，说明其它时间的气温介于两者之间， ∴该市气温t（℃）的变化范围是：24≤t≤33； 故选：D． 【点睛】本题的关键在于准确理解题意，理解到当天的气温的变化范围应在最低气温和最低气温之间． 1．（23-24七年级下·四川内江·阶段练习）李老师在黑板上写了下面的式子，你认为哪一个不是不等式（    ） A．＜0 B． C．≥1 D． 【答案】B 【分析】根据不等式的定义和等式的定义解答即可． 【详解】解：A. ＜0是不等式，故此选项不符合题意； B. 是等式，故此选项符合题意； C. 2x+3≥1是不等式，故此选项不符合题意； D.是不等式，故此选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了不等式的定义，凡是用不等号连接的式子都叫做不等式．常用的不等号有“＜”、“＞”、“≤”、“≥”、“≠”．另外，不等式中可含未知数，也可不含未知数． 2．（23-24七年级下·福建漳州·阶段练习）列不等式表示下列数量关系：c的一半与d的差不小于： ． 【答案】 【分析】本题考查了列不等式．读懂题意，抓住关键词语，弄清运算的先后顺序和不等关系，才能把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式．c的一半即，与d的差即，不小于用连接，然后可得不等式．． 【详解】解：根据题意得：， 故答案为：． 3．（2024七年级下·江苏·专题练习）用适当的符号表示下列关系： (1)x的与x的2倍的和是非正数； (2)一枚炮弹的杀伤半径不小于300米； (3)三件上衣与四条长裤的总价钱不高于268元； (4)明天下雨的可能性不小于； (5)小明的体重不比小刚轻． 【答案】(1) (2)设炮弹的杀伤半径为r，则应有 (3)设每件上衣为a元，每条长裤是b元，应有 (4)用P表示明天下雨的可能性，则有 (5)设小明的体重为a千克，小刚的体重为b千克，则应有 【分析】（1）非正数用“”表示； （2）、（4）不小于就是大于等于，用“≥”来表示； （3）不高于就是等于或低于，用“≤”表示； （5）不比小刚轻，就是与小刚一样重或者比小刚重．用“≥”表示． 【详解】（1）； （2）设炮弹的杀伤半径为r，则应有； （3）设每件上衣为a元，每条长裤是b元，应有； （4）用P表示明天下雨的可能性，则有； （5）设小明的体重为a千克，小刚的体重为b千克，则应有． 【点睛】本题考查了不等式的定义．一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式．解答此类题关键是要识别常见不等号：＞，＜，≤，≥，≠． 【经典例题二 不等式的解集】 【例2】（23-24七年级下·山西长治·期末）下列说法中，正确的是（   ） A．是不等式的解 B．是不等式的唯一解 C．是不等式的解集 D．是不等式的一个解 【答案】D 【分析】本题考查了不等式，解集，唯一解，一个解的定义的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 所有满足不等式的数的全体称为这个不等式的解集，(是不等式解集中的一个数)我们仅可以说它是满足这个不等式的一个解，所有解的全体称为解集，解集中的一个数称为不等式的一个解，当不等式的解有且只有一个时，则称它为这个不等式的唯一解，根据解集，唯一解，一个解的定义，以此判断四个选项即可选出正确答案． 【详解】解：解不等式， 可得． A.由于，故不是不等式的解，故选项错误； B.由于，故是不等式的一个解，但不是唯一解，故选项错误； C.由于，故不是不等式的一个解，但不是解集，故选项错误； D.由于，故不是不等式的一个解，故选项正确； 故选D． 1．（23-24七年级下·四川巴中·期中）如图所示，体育课上，小明的实心球成绩为9.6m，他投出的实心球落在（    ） A．区域① B．区域② C．区域③ D．区域④ 【答案】C 【分析】根据，判定区域即可． 【详解】因为， 故选C． 【点睛】本题考查了不等式的应用，熟练掌握不等式解集的意义是解题的关键． 2．（23-24七年级下·河南南阳·期中）已知是关于x，y的二元一次方程，则 （填“是”或“不是”）不等式的解． 【答案】不是 【分析】先根据二元一次方程的定义求出k值，从而得k+1的值，再把k+1代入不等式检验，即可求解． 【详解】解：∵是关于x，y的二元一次方程， ∴，解得：k=-5， ∴k+1=-5+1=-4， 把x=k+1=-4代入不等式左边得-4+2=-2, 把x=k+1=-4代入不等式右边得2×(-4)-1=-9, ∵-2>-9， ∴k+1不是不等式的解， 故答案为：不是． 【点睛】本题考查二元一次方程的定义，判定一个数是否是不等式的解，求出k值是解题的关键． 3．（2024七年级·全国·竞赛）下表所示为三种食品原料的维生素含量（单位/千克）及成本（元/千克）： 维生素的含量 维生素的含量 成本 6 5 4 现在要将三种食物混合成千克的混合物，要求混合物至少需含单位的维生素和单位的维生素．如果所用的食物中的质量分别为千克，千克，千克，当分别取何值时，成本最低？ 【答案】时，成本最小为元 【分析】本题考查了不等式组的应用，由题意得，成本为，通过消元法得出的取值范围是解题关键． 【详解】解：依题意有， 即 得：， 得：，解得：， 成本为：， 当时，成本最小为元． 【经典例题三 不等式的性质】 【例3】（23-24七年级下·福建厦门·阶段练习）如果，那么下列结论中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查不等式的性质，根据得到，结合四个选项，利用作差法逐项验证即可得到答案，熟练掌握不等式的性质是解决问题的关键． 【详解】解：A、， ， ， ，该选项错误，不符合题意； B、， ， ， ，该选项正确，符合题意； C、， ， ，的正负无法确定， 不一定成立，该选项错误，不符合题意； D、， ， ，的正负无法确定， 不一定成立，该选项错误，不符合题意； 故选：B． 1．（23-24七年级下·山西晋城·期末）实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数轴、不等式的基本性质，熟练掌握数轴的定义是解题关键．先根据数轴的定义可得，且，再根据不等式的基本性质逐项判断即可得． 【详解】解：由实数a，b，c在数轴上的对应点的位置可知，，且， A．，是成立的，因此选项A不符合题意； B．由于，而，所以，是成立的，因此选项B不符合题意； C．由于，则，而，则，所以是成立的，因此选项C不符合题意； D．由于，则，而，所以，因此选项D符合题意． 故选：D． 2．（23-24七年级下·四川眉山·阶段练习）已知，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了数轴上两点间距离计算，理解数轴上两点间距离公式是解题的关键，表示数轴上表示x的点到表示和的两个点的距离之和，得．同理，，，可得，求出此时范围，再求出的取值范围即可． 【详解】解：∵表示数轴上表示x的点到表示和的两个点的距离之和， ∴，当时； 同理，，当时；，当时， ∵ ∴． 此时，，． ∴，，． ∴， ∴最小值为， 故答案为：． 3．（23-24七年级下·北京·阶段练习）设是如下形式的行列的数表， 满足性质：，，，，， 且 ． 记为A的第行各数之和， 为的第列各数之和 ；记为，，， ，中的最小值． (1)对如下数表， 求的值； (2)设数表形如： 其中，求的最大值； (3)对所有满足性质的行列的数表，求的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查绝对值的化简，不等式的性质，能够进行进行简单的演绎推理，同时掌握不等式性质的应用是解题的关键． （1）根据题中定义进行计算即可； （2）先分别求出，，， ，，再利用，求出，然后再利用即可求解； （3）任意改变的行次序或列次序，或把中的每个数换成它的相反数，所得数表仍满足性质，并且，因此，不防设，，，然后利用不等式的性质可知，从而求出的最大值． 【详解】（1）解：由题意，得，，，，， ∴，，， ，， 其中最小值为 ， ∴； （2）解：由题意，得，，，，， ∵， ∴，，， 其中最小值为， ∴， ∵， ∴， 即时，取得最大值； （3）解：∵是如下形式的行列的数表， 且满足性质：，，，，， 且 ， ∴任意改变的行次序或列次序，或把中的每个数换成它的相反数，所得数表仍满足性质，并且， 因此，不防设，，， 由的定义知，，，， 则， 所以， 由（2）可知，存在满足性质的数表使，故的最大值为． 【经典例题四 一元一次不等式的定义】 【例4】（23-24七年级下·吉林长春·期中）下列是一元一次不等式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元一次不等式的定义对各小题进行逐一分析即可． 【详解】、为整式，不是一元一次不等式，此选项不符合题意； 、中未知数的次数是，不是一元一次不等式，此选项不符合题意； 、中含有个未知数，不是一元一次不等式，此选项不符合题意； 、中含有个未知数，未知数的次数是，是一元一次不等式，此选项符合题意； 故选：． 【点睛】此题考查了一元一次不等式，解题的关键是理解含有一个未知数，未知数的次数是的不等式，叫做一元一次不等式． 1．（2024七年级下·全国·专题练习）若关于的一元一次不等式，则的值（　　） A． B．1或 C．或 D． 【答案】C 【分析】根据一元一次不等式的定义解答即可． 【详解】解：是关于的一元一次不等式， ， 或． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的定义，类似于一元一次方程，含有一个未知数，未知数的次数是1，未知数的系数不为0，左右两边为整式的不等式，叫做一元一次不等式． 2．（23-24七年级·全国·假期作业）给出下列不等式：①x＋1＞x－x2；②y－1＞3；③x＋≥2；④x≤0；⑤3x－y＜5，其中属于一元一次不等式的是： ．（只填序号） 【答案】②④ 【分析】根据一元一次不等式的定义，只要含有一个未知数，并且未知数的次数是1的不等式就是一元一次不等式． 【详解】①x＋1＞x－x2是一元二次不等式，故选项不符合题意； ②y－1＞3是一元一次不等式，故此选项符合题意； ③x＋≥2中不是整式，故选项不符合题意； ④x≤0是一元一次不等式，故此选项符合题意； ⑤3x－y＜5；含两个未知数，故选项不符合题意． 故答案为：②④ 【点睛】本题考查一元一次不等式的定义中的未知数的最高次数为1次，本题还要注意未知数的系数不能是0． 3．（23-24七年级下·全国·单元测试）我们用表示不大于的最大整数，例如：，，；用表示大于的最小整数，例如：，，．请回答下列问题： (1) ； ； (2)若，则的取值范围是 ；若，则的取值范围是 ； (3)已知，满足方程组，求，的取值范围． 【答案】(1)，； (2) (3)， 【分析】本题考查新定义，解二元一次方程组及不等式，解答的关键是对相应的知识的掌握与运用． （1）根据和的意义进行求解即可； （2）根据和的意义，对相应的数进行分析即可； （3）利用加减消元法求出相应的，的值，再分析，的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵是不大于的最大整数， ∴． ∵是大于的最小整数， ∴． 故答案为：，； （2）解：∵表示不大于的最大整数是．，， ∴可以等于，不可以等于． ∴； ∵表示大于的最小整数是．，， ∴可以等于，不可以等于． ∴． 故答案为：，； （3）解：解方程组得， 表示不大于的最大整数是． ∵，， ∴可以等于，不可以等于． ∴． 表示大于的最小整数是． ∵，， ∴可以等于，不可以等于． ∴． 【经典例题五 解|x|≥a型的不等式】 【例5】（23-24七年级下·全国·课后作业）不等式组的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出每个不等式的解集，然后求出不等式组的解集即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 解不等式③得：， ∴不等式组的解集为， 故选C． 【点睛】本题主要考查了解不等式组和含绝对值的不等式，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 1．（23-24七年级下·河南许昌·期中）在平面直角坐标系中，点D（n，y1），E（3，y2）在抛物线y＝﹣x2+2x上，若y1＞y2，则n的取值范围是（　　） A．n＞3或n＜﹣1 B．n＞3 C．n＜﹣1 D．﹣1＜n＜3 【答案】D 【分析】首先把二次函数配方为顶点式，确定开口方向与对称轴，可得a=-1＜0，抛物线开口向下，离对称轴越近函数值越大，求出点E到对称轴的距离|3-1|=2，根据y1＞y2，列出不等式|n-1|＜2，解不等式即可． 【详解】解：抛物线y＝﹣x2+2x=-（x-1）2+1， ∵a=-1＜0，抛物线开口向下，离对称轴越近函数值越大， 抛物线的对称轴为x=1， ∵E（3，y2），|3-1|=2，y1＞y2， ∴|n-1|＜2， 解得﹣1＜n＜3． 故选D． 【点睛】本题考查二次函数的性质，两点间距离，绝对值不等式，掌握二次函数的性质，两点间距离，绝对值不等式是解题关键． 2．（23-24七年级下·河南新乡·期中）能够使不等式成立的x的取值范围 ． 【答案】x＜-1 【分析】根据绝对值的性质可知：|x|-x≥0，当等于0时不符合题意，再由不等式的性质两个异号因式相乘的值小于0可求出x的取值范围． 【详解】解：当x≥0时，|x|-x=x-x=0， 于是（|x|-x）（1+x）=0，不满足原式，故舍去x≥0； 当x＜0时，|x|-x=-2x＞0， x应当要使（|x|-x）（1+x）＜0，满足1+x＜0，即x＜-1， 所以x的取值范围是x＜-1． 故答案为：x＜-1． 【点睛】本题综合考查了绝对值的性质和不等式的性质，有一定难度． 3．（23-24七年级下·北京海淀·期中）如图是一个运算程序：    (1)若，，求m的值； (2)若，m的值大于，直接写出一个符合条件的x的值． 【答案】(1) (2)符合条件的x的值可以是1； 【分析】（1）当输入的数是，时，依据程序进行计算即可； （2）根据题意，分两种情况讨论：若；若，列不等式求出x的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∵， ∴； （2）解：若，则，整理得，解得：（舍去）； 若，则，整理得，解得：， ∵，， ∴， ∴x的取值范围为：， ∴符合条件的x的值可以是1； 【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算和求不等式的整数解问题，正确的计算能力是解决本题的关键． 【经典例题六 求一元一次不等式的解集】 【例6】（23-24七年级下·山西长治·期末）若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（　　） A． B． C．且 D． 且 【答案】D 【分析】本题主要考查了根的判别式，解一元一次不等式组等知识点，熟知一元二次方程()的根与的关系是解答此题的关键，先根据方程有两个不相等的实数根得出关于的不等式组，求出的取值范围即可． 【详解】解：一元二次方程有实数根， ，即， 解得且， 故的取值范围是且， 故选：． 1．（23-24七年级下·吉林长春·期中）不等式组的解集是，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，解题的关键是熟练掌握解不等式组的方法和步骤． 先求解不等式，结合原不等式组的解集是，得出关于的不等式，求解即可． 【详解】解：解不等式， 可得：， ∵原不等式组的解集是， ∴， 解得：， 故答案为：C． 2．（23-24七年级下·河南驻马店·阶段练习）如图按下面的程序运算： 当时，输出结果为 ．若运行到“判断结果是否大于20”为一次运算，进行了两次运算就输出停止，则x的取值范围是 【答案】 【分析】本题考查的是程序框图的含义，一元一次不等式组的应用，先把代入计算即可得到答案，再根据一次运算结果小于等于20，两次运算大于20，再建立不等式组可得答案． 【详解】解：当时， ， ∴输出结果为， 依题意， 得：， 解得：． 故答案为：． 3．（2025七年级下·全国·专题练习）（1）解方程：； （2）阅读下面解不等式的过程，完成任务： 解：第一步 第二步 第三步 第四步 第一步去分母的依据是 　　　 ； 第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 　　　 ；直接写出原不等式的正确解集是 　　　　 ； 请你根据平时的学习经验，就解不等式时需要注意的事项给其他同学提出条建议． 【答案】（1）；（）不等式的性质；一，去分母时，没有添括号，导致符号出错，；去分母时注意常数项不要漏乘最小公倍数，去括号和移项时要注意符号的变化（合理准确即可） 【分析】本题考查了解一元一次方程，不等式的性质，解一元一次不等式，熟练掌握相关知识的应用是解题的关键． （）由去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化，进行求解即可； （）根据不等式性质，作答即可； 根据不等式的性质作答求解即可； 根据解不等式的过程中易出现的问题，进行作答即可． 【详解】解：（） 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，合并，得：， 系数化1，得：； （）去分母的依据是：不等式的性质； 故答案为：不等式的性质； 第一步出现错误，错误的原因是去分母时，没有添括号，导致符号出错， ； 故答案为：一，去分母时，没有添括号，导致符号出错，； 去分母时注意常数项不要漏乘最小公倍数，去括号和移项时要注意符号的变化（答案不唯一）． 【经典例题七 求一元一次不等式的整数解】 【例7】（23-24七年级下·广东湛江·期末）、是整数， ，的最小整数值为，且，则的正整数解有(    ) A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】根据的最小整数值为可知，再结合，求出b的取值范围即可得解． 【详解】解：∵，的最小整数值为， ∴，即 又∵即， ∴，即 解得： ∴的正整数解有：1，2，3，共有三个， 故选B． 【点睛】本题考查不等式的性质，求一元一次不等式的整数解，掌握不等式的性质是解题的关键． 1．（23-24七年级下·甘肃兰州·期中）如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“和谐数”如（，，即8，16均为“和谐数”），在不超过2023的正整数中，所有的“和谐数”之和为（　　） A．255054 B．255064 C．250554 D．255024 【答案】D 【分析】由，解得，可得在不超过2023的正整数中，“和谐数”共有252个，依此列式计算即可求解． 【详解】解：由， 解得：，n为正整数， 则在不超过2023的正整数中， 所有的“和谐数”之和为． 故选D． 【点睛】本题考查了平方差公式，一元一次不等式的应用，弄清题中“和谐数”的定义是解答本题的关键． 2．（23-24七年级下·安徽阜阳·期中）甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示（m为正整数），甲、乙的面积分别S1，S2．    （1）与的大小关系： ．（填“>”“<”或“=”） （2）若满足条件的整数有且仅有5个，则的值为 ． 【答案】 > 1010 【分析】本题考查了多项式乘以多项式法则． （1）先分别计算出面积，作差与0比较大小即可； （2）先计算出，根据整数n有且只有4个，列出不等式，根据m为正整数求得m的值． 【详解】解：（1）∵ ， ， ∴ ， ∵m为正整数， ∴， ∴， ∴， 故答案为：＞； （2） ， ∵的整数n有且只有5个， ∴这四个整数解为2024，2023，2022，2021，2020， ∴， 解得：， ∵m为正整数， ∴． 故答案为：1010． 3．（23-24七年级下·河北廊坊·阶段练习）【探究归纳】 解下列不等式：（1）；（2），总结发现不等式（1）的解都是不等式（2）的解，我们称不等式（1）的解集是不等式（2）的解集的“子集”． 【问题解决】 (1)的解集______解集的“子集”（填“是”或“不是”）； (2)若关于的不等式的解集是的解集的“子集”，且是正整数，求的值． 【答案】(1)是 (2)a的值为1或2或3 【分析】本题考查解一元一次不等式，理解题中新定义是解答的关键． （1）先求得两个不等式的解集，再根据题中定义判断即可； （2）先求得两个不等式的解集，再根据题中定义得到关于a的不等式，然后解不等式得到a的取值范围，进而可求解． 【详解】（1）解：解不等式得， 解不等式得， ∴的解集是解集的“子集”， 故答案为：是； （2）解：解不等式得， 解不等式得， ∵不等式的解集是的解集的“子集”， ∴，解得， ∵是正整数， ∴a的值为1或2或3． 【经典例题八 在数轴上表示不等式的解集】 【例8】（2024七年级下·全国·专题练习）不等式的解集在数轴上表示为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式的解法及在数轴上表示不等式的解集，根据一元一次不等式的性质求出的取值范围，再在数轴上表示出来即可得出答案，正确求出不等式的解集是解题的关键． 【详解】解：移项得，， 合并同类项得，， 不等式的解集在数轴上表示如图所示： 故选：． 1．（23-24七年级下·广东茂名·期末）解不等式组时，将不等式①②的解来表示在同一条数轴上，正确的是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是解题关键．分别求出每一个不等式的解集，根据“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”确定不等式组的解集即可． 【详解】解： 解不等式①得： 解不等式②得： ∴不等式组的解集为：， 将不等式①②的解来表示在同一条数轴上， 故选：C． 2．（23-24七年级下·吉林四平·期末）解不等式组： 请结合题意填空，完成本题的解答： （Ⅰ）解不等式①，得 ， （Ⅱ）解不等式②，得 ， （Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来； （Ⅳ）原不等式组的解集为 . 【答案】（1）x≥-1；（2）x＜1；（3）见解析；（4）-1≤x＜1. 【分析】（1）（2）、移项、合并同类项、系数化成1即可求解； (3）把（1）和（2）求得解集在数轴上表示出来即可； （4）两个解集的公共部分就是不等式组的解集. 【详解】解：（1）2x+1≥-1           2x≥-2            x≥-1 （2）3+x＞3x+1       -2x＞-2        x＜1 （3）如图： （4）由（3）数轴得：-1≤x＜1 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组：求不等式组的解集的过程叫做解不等式组.解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集.解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到. 3．（23-24七年级下·贵州黔南·期末）请你从下列三个关于的不等式中，选择其中两个组成一个关于的一元一次不等式组，解该不等式组并把解集在数轴上表示出来． （1）（2）（3） 【答案】见解析 【分析】本题考查解不等式组及在数轴上表示解集，解题的关键是分别解出不等式，结合同大取大，同小取小，相交取中间即可得到答案．分别组合不等式组，解出不等式在数轴上表示出来即可得到答案． 【详解】解：组成的不等式组为 由①，解得， 由②，解得， 该不等式组的解集为， 解集在数轴上表示如下： 或组成的不等式组为 由①，解得， 由②，解得， 该不等式组的解集为， 解集在数轴上表示如下： 或组成的不等式组为 由①，解得， 由②，解得， 该不等式组的解集为， 解集在数轴上表示如下： 【经典例题九 求一元一次不等式解的最值】 【例9】（23-24八年级·全国·单元测试）设，，，…，是整数，且满足下列条件：①，，2，3，…，2008；②；③，则的最大值是（    ）． A．16 064 B．5624 C．3212 D．2408 【答案】D 【分析】根据中有个，个1，个2可得出等式即可求出取最大值为2408. 【详解】提示：设中有个，个1，个2， 则 ． 所求式子为 ，，， 故的最大值为2408. 【点睛】本题考查函数最值,解题关键在于列出等式. 1．（23-24七年级·全国·假期作业）某闹市区新建一个小吃城，设计一个进口和一个出口，内设个摊位，预估进口和出口的客流量都是每分钟10人，每人消费25元，摊位的毛利润为，若平均每个摊位一天（按10个小时计）的毛利润不低于1000元，则的最大值为　　 A．30 B．40 C．50 D．60 【答案】D 【分析】由每日的总消费额及平均每个摊位一天的毛利润不低于1000元，即可得出关于n的一元一次不等式，解之取其最大值即可得出结论． 【详解】依题意，得：， 解得：． 故选：D． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 2．（23-24七年级下·全国·课后作业）若不等式中的最大值是m，不等式中的最小值为n，则不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】解不等式2x-1≤13得到x的范围，就可以求出m的值；同理可以求出n的值，这样所求的不等式就是已知的，就可以解不等式． 【详解】解：解不等式， 解得， 则． 解不等式， 解得， 则． ∴不等式为：， 解得：． 故答案为：. 【点睛】此题考查了解一元一次不等式，利用不等式的最值求相关系数，正确的理解不等式的解是本题的关键． 3．（23-24七年级下·吉林·期中）某货运电梯限重标志显示，载重总质量禁止超过．现要用此货运电梯装运一批设备，每套设备由个甲部件和个乙部件组成，个甲部件的质量是千克，1个乙部件的质量是千克．每次装运都需要工人装卸，设备需要成套装运，现已知装卸工人总重量为，则货运电梯一次最多可装运多少套设备？ 【答案】套 【分析】本题考查一元一次不等式的应用，设货运电梯一次可装运套设备，根据“货运电梯的载重总质量禁止超过”可列出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，再取其中的最大整数值，即可得出结论．解题的关键是根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 【详解】解：设货运电梯一次可装运套设备， 根据题意得：， 解得：， 又∵为正整数， ∴的最大值为． 答：货运电梯一次最多可装运套设备． 【经典例题十 列一元一次不等式】 【例10】（2025七年级下·全国·专题练习）“x的与x的和不超过5”可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列一元一次不等式，根据x的与x的和不超过5，得，即可作答． 【详解】解：依题意，x的与x的和不超过5， ∴， 故选：A． 1．（23-24七年级下·云南昆明·期末）为了减少碳排放，国家提倡绿牌电动车出行．绿牌电动车的国家标准如下表： 执行标准 最高车速 电池电压 不超过48伏 能否载入 可载一名16周岁以下未成年人 车辆属性 非机动车 是否需要驾驶证 不需要 如果电动车的车速是，电池电压是m伏，可搭载一名x周岁的未成年人．下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】用不等式表示已知的不等关系即可得到答案．本题考查由实际问题抽象出一元一次不等式，解题的关键是读懂题意，用不等式表示已知的不等关系． 【详解】解：根据题意得：，，， 观察各选项，正确的是A， 故选：A． 2．（23-24七年级下·福建福州·期末）一艘轮船从某江上游的地匀速驶到下游的地用了10小时，从地匀速返回地用了不到12小时，这段江水流速为，设轮船在静水里的往返速度为，且此速度一直保持不变，请列出符合题意的一元一次不等式 ． 【答案】10(v+3)<12(v-3) 【分析】根据顺水航行10小时的路程≤12小时逆水航行的路程即可列出不等式． 【详解】解：∵这段江水流速为，设轮船在静水里的往返速度为，且此速度一直保持不变， ∴船在顺水中的速度为（v+3），船在逆水中的速度为（v-3）， ∵轮船从某江上游的地匀速驶到下游的地用了10小时，从地匀速返回地用了不到12小时， ∴可列方程10(v+3)<12(v-3)， 故答案为：10(v+3)<12(v-3)． 【点睛】本题考查了一元一次不等式，能根据题目中的条件找到不等关系是列不等式的关键． 3．（23-24七年级下·浙江温州·期中）小温和小希决定把每月省下来的零用钱存起来．小温存了80元，小希存了54元．从这个月开始，小温计划每月存16元，小希计划每月存20元．根据题意回答以下问题： (1)设经过x个月后（用含x的代数式表示）． ①小温存款数为______，小希存款数为______． ②若小温存款数超过小希存款数，请列出不等式______． (2)7个月后，小温存款数是否已经超过小希？ 【答案】(1)①，；② (2)没有 【分析】（1）①根据原来的存款数每月存款数月数，列出代数式即可； ②根据题意列出不等式即可； （2）将分别代入不等式的左右两边，计算结果，看小温的存款是否超过小希即可． 【详解】（1）解：①根据题意，经过x个月后，小温的存款数为：；小希的存款数为：． ②若小温存款数超过小希存款数，可得不等式：． （2）解：当时，（元）； （元）， ， 小温的存款数没有超过小希． 答：7个月后，小温存款数没有超过小希． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的实际应用，准确找到不等关系是解题的关键． 【经典例题十一 一元一次不等式解的新定义运算】 【例11】 （2024·福建龙岩·一模）定义新运算“⊕”如下：当时，⊕；当时，⊕，若3⊕，则的取值范围是（　　） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】分当，即时，当，即时，两种情况根据题目所给的新定义建立关于的不等式进行求解即可．本题主要考查了新定义下的实数运算，解一元一次不等式，正确理解题意并利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 【详解】解：当，即时， ⊕， ， ， ， ； 当，即时， ⊕， ， ， ， ； 综上所述，或， 故选：C． 1．（23-24七年级下·四川遂宁·期末）定义一种新运算：．例如：，那么不等式的正整数解是（　　） A． B．1 C．0和1 D．2 【答案】B 【分析】根据题目所给新运算的运算法则，将化为代数式，再求解不等式即可． 【详解】解：根据题意可得：， ∵， ∴， 解得：， 符合条件是正整数解有：1． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了求一元一次不等式的正整数解，解题的关键是正确理解题意，根据题目所给新运算，列出不等式求解． 2．（23-24七年级下·山东青岛·阶段练习）定义一种新运算“”：当时，当时，．例如：，．若已知，则x的取值范围为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了新定义，解不等式，分当时得到不等式，当时得到不等式，两种情况解不等式即可得到答案． 【详解】解：当时，解得， ∵， ∴， ∴， 解得； 当时，解得， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴； 综上所述，或． 故答案为：或． 3．（2025七年级下·全国·专题练习）定义一种新运算“”：当时，；当时，．例如：． (1)若，求x的取值范围； (2)已知，求x的取值范围． 【答案】(1)； (2)或． 【分析】本题考查解一元一次不等式、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用新定义解答． （1）根据，可知，然后求解即可； （2）根据和题目中的新定义，利用分类讨论的方法解答即可． 【详解】（1）解：因为， 所以，解得． 故x的取值范围是； （2）解：因为， 所以当，即时， ， 解得； 当，即时， ， 解得，故． 综上所述，x的取值范围是或． 1．（23-24七年级下·全国·课后作业）已知，，，是有理数，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键． 根据不等式的基本性质可判定正确，举例能判定、、错误． 【详解】解：、∵，， ∴，故此选项符合题意； 、∵，， 如，，，则，， ∴，故此选项不符合题意； 、∵，， 如，，，则，， ∴，故此选项不符合题意； 、∵，， 如，，则，， ∴，故此选项不符合题意； 故选：． 2．（23-24七年级下·河北廊坊·期末）不等式的解集在数轴上表示正确的是（　　） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】先解出不等式的解集，再在数轴上表示出其解集，即可判断哪个选项符合题意． 【详解】解：由，可得， 其解集在数轴上表示如下：    故选：． 【点睛】本题考查解一元一次不等式、在数轴上表示不等式的解集，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法． 3．（2024·山东泰安·一模）若关于x的不等式4x+m≥0有且仅有两个负整数解，则m的取值范围是（    ） A．8≤m≤12 B．8＜m＜12 C．8＜m≤12 D．8≤m＜12 【答案】D 【分析】首先解不等式，然后根据条件即可确定m的取值范围． 【详解】解：∵4x+m⩾0， ∴， ∵不等式4x+m⩾0有且仅有两个负整数解， ∴， ∴， 故选：D 【点睛】此题主要考查了一元一次不等式的整数解，根据不等式的基本性质求出x的取值范围，再由x的负整数解列出关于参数的不等式组是解决本题的关键． 4．（23-24七年级下·重庆丰都·期末）关于x的方程的解是非负整数，且关于y的多项式是四次多项式，则所有满足条件的正整数a的和是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了解一元一次方程、一元一次不等式的应用、多项式的次数，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题关键．先解一元一次方程可得，从而可得，则，再根据多项式的次数可得所有满足条件的正整数的值，由此即可得． 【详解】解：， ， ， ， ， ∵关于的方程的解是非负整数， ∴， ∴， ∵关于的多项式是四次多项式， ∴所有满足条件的正整数的值为1和2， ∴所有满足条件的正整数的和是， 故选：A． 5．（23-24七年级下·安徽合肥·开学考试）春节期间某商场为促销，将定价为50元/件的商品如下销售：一次性购买不超过5件按照原价销售；一次性购买超过5件则按原价的八折出售．旗旗现在有290元，则最多可购买这种商品（    ）件． A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】设旗旗可以购买x件商品，根据该商场的促销策略结合总价不超过290元，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中最大的整数值即可得出结论． 【详解】解：设旗旗可以购买x件商品， ∵290＞250， ∴旗旗购买的商品超过5件， 依题意，得： 50×0.8x≤290， 解得：x≤7． 又∵x为整数， ∴x的最大值为7. 故选：B． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的布列与求解，准确将生活问题转化数学不等式模型求解是解题的关键． 6．（2024七年级下·全国·专题练习）用不等式表示“x的平方与a的平方之差不是正数”为 ． 【答案】 【分析】本题考查了列不等式，根据“x与a的平方差不是正数”，即“x与a的平方差小于等于0”即可． 【详解】解：x与a的平方差不是正数可表示为： 故答案为： 7．（23-24七年级下·江苏·课后作业）下列式子是一元一次不等式的有 (填序号). ①x2-2x+1>0；②2-3x<5；③5>-5；④3x+3y>7；⑤<2；⑥x-. 【答案】②⑥ 【分析】主要依据不等式及一元一次不等式的定义进行判断即可． 【详解】根据不等式的定义，只要有不等符号的式子就是不等式， ①x2-2x+1>0，是一元二次不等式； ②2-3x<5，是一元一次不等式； ③5>-5，含有不等号，是不等式； ④3x+3y>7，是二元一次不等式； ⑤<2，分母含有未知数，不是一元一次不等式； ⑥x-，是一元一次不等式. 所以是一元一次不等式的是②⑥ 故答案为②⑥． 【点睛】本题考查不等式的识别及一元一次不等式的定义，一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式．解答此类题关键是要识别常见不等号：＞＜≤≥≠；一元一次不等式的定义：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的不等式． 8．（23-24七年级下·全国·课后作业）如果关于的不等式的解集是，那么，满足的等量关系是 ，的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解不等式，不等式的性质，根据题意得出，，即可求解． 【详解】因为不等式的解集是， 所以，， 所以，． 故答案为：，． 9．（23-24七年级下·全国·单元测试）关于的一元一次不等式组的解集，在数轴上表示如图所示，若其中一个不等式为，则该不等式组中另一个不等式可以是 ．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查用数轴表示不等式组的解集，根据数轴，得到另一个不等式的解集为，进而写出一个满足题意的不等式即可． 【详解】解：∵， ∴， 由数轴可知，另一个不等式的解集为， ∴另一个不等式可以是； 故答案为：． 10．（23-24七年级下·重庆沙坪坝·阶段练习）鲜花市场销售康乃馨，郁金香，玫瑰，红掌四个品种的鲜花，四个品种的鲜花每支的售价均为整数，若每支郁金香的售价比每只康乃馨的售价多3元，每支玫瑰的售价比每支康乃馨的售价高50%，每支红掌的售价是每支郁金香售价的4倍与每支玫瑰售价的差，某日康乃馨和郁金香一共销售了120支，康乃馨的销售量大于35支，红掌与康乃馨的销量之和不超过390支，而玫瑰的销量为60支，当日这四种花卉的平均售价是每只郁金香价格的倍，则当日四种花卉的销售总量的值是 ． 【答案】532支 【分析】设康乃馨单价为元，则郁金香为元，玫瑰为元，红掌为元，当日四种食物的平均售价为元．设总销售量为支，其中康乃馨支，可得∶，由不等式，及，得，进而由，得为，，，从而即可求解． 【详解】解：设康乃馨单价为元，则郁金香为元，玫瑰为元，红掌为元，当日四种食物的平均售价为元．设总销售量为支，其中康乃馨支>，可得∶ 得， ∴， ∵红掌与康乃馨的销量之和不超过支， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为整数， ∴为或， ∵当时，不符合题意， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴为，，， 当时，不符合题意， 当时，不符合题意， 当时，支， 故答案为：532支． 【点睛】本题主要考查了不等式组的应用，熟练掌握不等式组的解法是解题的关键． 11．（23-24七年级下·吉林·期末）（1）解不等式，并把不等式的解集表示在数轴上：； （2）解不等式组： 【答案】（1）x ≤-3，见解析；（2）-2≤x＜1 【分析】（1）根据不等式的基本性质和解不等式的步骤进行求解即可； （2）根据不等式和解不等式的步骤分别解不等式求解集，并确定两个解集的公共部分为不等式组的解集. 【详解】（1）； 解：去括号，得10x+6x-3+6x， 移项，得10x-7x -3- 6， 合并同类项，得3x -9 系数化为1，得x ≤-3 把解集表示在数轴上： 解：解不等式①，得x ， 解不等式②，得x < 1， 把不等式①和②的解集在数轴上表示出来 所以原不等式组的解集为   【点睛】本题主要考查解不等式和不等式组，解决本题的关键是要熟练掌握解不等式的步骤． 12．（23-24七年级下·浙江杭州·期中）已知，试着用不等式的基本性质和分别比较与的大小． 解法一（利用基本性质） 解法二（利用基本性质） 【答案】，见解析． 【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质逐项求解即可，解题的关键是正确理解不等式的两边都加（或减）同一个数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 【详解】解法一：∵， ∴， ∴， ∴； 解法二：∵，， ∴． 13．（2024·河北石家庄·模拟预测）按如图程序进行运算．如果结果不大于10，就把结果作为输入的数再进行第二次运算，直到符合要求（结果大于10）为止． （1）当输入的数是10时，请求出输出的结果； （2）当输入的数是x时，经过第一次运算，结果即符合要求，请求出x的最小整数值． 【答案】（1）16；（2）8 【分析】（1）当输入的数是10时，依据程序进行计算即可； （2）当输入的数是x时，经过第一次运算，结果即符合要求，说明2x﹣4＞10，解不等式即可得到x的最小整数值． 【详解】（1）当输入的数是10时，10×2﹣4＝16＞10， ∴ 输出的结果为16； （2）由题可得，2x﹣4＞10， 解得x＞7， ∴ x的最小整数值为8． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算、解不等式，解答的关键是会利用程序流程图规律列出关系式. 14．（23-24七年级下·全国·期末）阅读理解： 求不等式的解集． 解：根据“同号两数相乘除，积为正”可得：①或②． 解①得；解②得． ∴不等式的解集为或． 请你仿照上述方法解决下列问题： (1)求不等式的解集． (2)求不等式的解集． 【答案】(1)不等式的解集为； (2)不等式的解集为或． 【分析】（1）根据“异号两数相除，积为负”化为两个一元一次不等式组求解即可； （2）根据分式不等式大于零可以得到其分子、分母同号，从而转化为两个一元一次不等式组求解即可． 【详解】（1）解：根据“异号两数相除，积为负”可得 ①，或②． 解②，得无解．解①，得， ∴不等式的解集为：； （2）解：根据“同号两数相除，商为正”可得 ①，或②． 解①，得．解②，得， ∴不等式的解集为或． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 15．（23-24七年级下·广西玉林·期末）【提出问题】已知，且，，试确定的取值范围． 【分析问题】先根据已知条件用一个量如y表示另一个量如x，然后根据题中已知量x的取值范围，构建另一量y的不等式，从而确定该量y的取值范围，同法再确定另一未知量x的取值范围，最后利用不等式性质即可获解． 【解决问题】解：∵，∴． 又∵，∴，∴． 又∵，∴，① 同理得② 由得． ∴的取值范围是． 【尝试应用】已知，且，，求的取值范围． 【答案】 【分析】此题主要考查了不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变；（3）不等式的两边同时加上(或减去)同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变． 先根据已知条件用一个量如表示另一个量如，然后根据题中已知量的取值范围，构建另一量的不等式，从而确定该量的取值范围，同法再确定另一未知量的取值范围，最后利用不等式性质即可获解． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴①， 同理得②， 由得， ∴的取值范围是， ∴的取值范围是． 学科网（北京）股份有限公司 $$