精品解析：江苏省南京市金陵汇文学校2024-2025学年八年级下学期3月月考数学试题

2024-2025学年八年级（下）第一次单元练习 数学 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．） 1. 汽车是人们出行的一种重要的交通工具．下列汽车标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( ) A. B. C. D. 2. 下列调查中，适合用抽样调查的是（ ） A. 订购校服时了解学生衣服的尺寸 B. 考察一批炮弹的杀伤半径 C. 疫情期间了解全校师生是否完成核酸检测 D. 对登机的旅客进行安全检查 3. 下列事件中，确定事件是（　　） A. 打开电视机，正在播放广告 B. 买一张电影票，座位号是奇数号 C. 3天内会下雨 D. 13个人中至少有2人生日在同一个月 4. 在平面直角坐标系中，把点P（-3,2）绕原点O顺时针旋转180°，所得到的对应点P的坐标为（ ） A. （3，-2） B. （2，-3） C. （-3，-2） D. （3,2） 5. 如图，已知四边形是平行四边形，下列结论中不正确的是（　　） A. 当时，四边形是菱形 B. 当时，四边形是菱形 C. 当时，四边形是矩形 D. 当时，四边形是正方形 6. 已知四边形，从下列条件中：①；②；③；④；⑤；⑥，任取两个，可以得出“四边形是平行四边形”这一结论情况有（　　） A. 9种 B. 11种 C. 13种 D. 15种 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．） 7. 在□ABCD中，∠A 80°，则∠C=__________________． 8. 某班级40名学生在一次考试中，分数段在90～100分的频率为0.15，则该班级在这个分数段内的学生有______人． 9. 在空气的成分中，氮气约占78%，氧气约占21%，其他微量气体约占1%．若要表示以上信息，最合适的统计图是_______． 10. 为了解2025年鼓楼区八年级学生学业水平考试的数学成绩，从中随机抽取了500名学生的数学成绩，在这次调查中，样本为___________． 11. 如图，绕点A顺时针旋转100°得到，若，则______°． 12. 如图，矩形中，若，则___________． 13. 如图，菱形ABCD的边长是2cm，E是AB的中点，且DE丄AB，则菱形ABCD的面积为_______________cm2． 14. 用反证法证明“三角形中最多有一个内角直角”应先假设这个三角形中________． 15. 如图，矩形ABCD中，点在AD上，且EB平分，若AB＝3，AE＝1，则的面积为______． 16. 如图，点的坐标为，点是轴正半轴上的一点，将线段绕点按逆时针方向旋转得到线段．若点的坐标为，则的值为___________． 三、解答题（本大题共10小题，共68分．） 17. 如图，将绕点O按逆时针旋转得到，其中A与D是对应点，B与E是对应点，请借助于该图形用符号语言写出关于旋转的3条不同的性质． 18. 某校学生在劳动技能培训后参加了一次考核，考核成绩分为“不合格”、“合格”、“优秀”三个等级．随机抽取其中若干名学生的考核成绩并制成如下的统计图，已知培训后成绩“不合格”的人数和成绩“优秀”的人数相等．请回答下列问题： （1）本次抽样调查的样本容量是______； （2）将图①补充完整； （3）估计该校900名学生中，培训后考核成绩为“合格”的学生人数． 19. 某班在爱心义卖活动中设立了一个可以自由转动的转盘，如下图所示，同时规定：顾客购物满20元就能获得一次转动转盘的机会，下表是活动中的统计数据： 转动转盘的次数n 100 200 300 400 500 落在“谢谢参与”区域的次数m 29 60 93 122 b 落在“谢谢参与”区域的频率 0.29 0.3 0.31 a 0.296 （1）完成上述表格：______，______； （2）若继续不停转动转盘，当n很大时，落在“谢谢参与”区域的频率将会接近______，假如你去转动该转盘一次，你转到“谢谢参与”的概率约是______；（结果都精确到0.1） （3）顾客转动转盘一次，得到奖品“盲盒”的概率记为，得到奖品“贴纸”的概率记为，得到“谢谢参与”的概率记为，则、、的大小关系是______．（用“＞”连接） 20. 如图，在平面直角坐标系中，已知△三个顶点的坐标分别为、、． （1）画△关于原点成中心对称的； （2）若点D在第二象限，且以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则D的坐标为______． 21. 如图，在中，，是的中位线，是的中线．求证：． 证法1：∵是中位线， ∴_______． ∵是的中线，， ∴_______， ∴． （1）请把证法1补充完整； （2）试用不同的方法证明． 22. 如图，在□ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，∠ABC的平分线交AD于点F，连接EF． 求证：四边形ABEF菱形． 23. 如图，在中，，上一点，和关于点对称，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）已知，求四边形是菱形时的长． 24. 如图，，，，分别是四边形各边的中点，我们称四边形是四边形的中点四边形． （1）若四边形中，，确定中点四边形的形状，并说明理由． （2）在（1）的条件下，若，则的最小值为___________ 25. 对称是认识平面图形的重要视角． 如图，是一条直线，是以为圆心的圆的圆周，是圆内一定点．过求作直线，使得与分别相交于点，且．（要求：用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，写出必要的文字说明） 26. 数学课上，李老师给出这么一道数学问题：如图①，正方形中，点E是对角线上任意一点，过点E作，垂足为E，交所在直线于点F．探索与之间的数量关系，并说明理由． 小明在解决这一问题之前，先进行特殊思考：如图②，当E是对角线的中点时，他发现与之间的数量关系是______．若点E在其它位置时，这个结论是否都成立呢？小明继续探究，他用“平移法”将沿方向平移得到，将原来分散的两条线段集中到同一个三角形中，如图③，这样就可以将问题转化为探究与之间的数量关系． （1）请你按照小明的思路，完成解题过程； （2）你能用与小明不同的方法来解决李老师给出的“数学问题”吗？请写出解题过程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年八年级（下）第一次单元练习 数学 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．） 1. 汽车是人们出行的一种重要的交通工具．下列汽车标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】A选项的图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； B选项的图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C选项的图形既是中心对称图形又是轴对称图形，符合题意． D选项的图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； 故选C. 2. 下列调查中，适合用抽样调查的是（ ） A. 订购校服时了解学生衣服的尺寸 B. 考察一批炮弹的杀伤半径 C. 疫情期间了解全校师生是否完成核酸检测 D. 对登机的旅客进行安全检查 【答案】B 【解析】 【分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似． 【详解】解：A．订购校服时了解学生衣服的尺寸，适合全面调查，不符合题意； B．考察一批炮弹的杀伤半径，适合抽样调查，符合题意； C．疫情期间了解全校师生是否完成核酸检测，适合全面调查，不符合题意； D．对登机的旅客进行安全检查，适合全面调查，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查． 3. 下列事件中，确定事件是（　　） A. 打开电视机，正在播放广告 B. 买一张电影票，座位号是奇数号 C. 3天内会下雨 D. 13个人中至少有2人生日在同一个月 【答案】D 【解析】 【分析】根据确定事件是肯定发生或肯定不发生的来判断即可． 【详解】A.打开电视机，正在播放广告是随机事件，故不符合题意； B. 买一张电影票，座位号是奇数号是随机事件，故不符合题意； C. 3天内会下雨是随机事件，故不符合题意； D. 13个人中至少有2人生日在同一个月，是必然事件，故符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查随机事件与必然事件，掌握两者的概念是解题关键． 4. 在平面直角坐标系中，把点P（-3,2）绕原点O顺时针旋转180°，所得到的对应点P的坐标为（ ） A. （3，-2） B. （2，-3） C. （-3，-2） D. （3,2） 【答案】A 【解析】 【详解】根据题意得，点P关于原点的对称点是点P′， ∵P点坐标为（-3，2）， ∴点P′的坐标（3，-2）． 故选：A． 【点睛】考点：坐标与图形变化-旋转． 5. 如图，已知四边形是平行四边形，下列结论中不正确的是（　　） A. 当时，四边形是菱形 B. 当时，四边形是菱形 C. 当时，四边形是矩形 D. 当时，四边形是正方形 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形性质和矩形，菱形，正方形判定进行判定. 【详解】A．四边形是平行四边形，当时，它是菱形，故A选项正确； B．∵四边形是平行四边形， ∴对角线互相平分， ∵， ∴四边形是菱形，故B选项正确； C．有一个角是直角的平行四边形是矩形，故C选项正确； D．根据对角线相等的平行四边形是矩形可知，当时，它是矩形，不是正方形，故D选项错误； 综上所述，符合题意是D选项； 故选D． 【点睛】本题主要考查特殊平行四边形的判定，解答本题的关键是：根据邻边相等的平行四边形是菱形；根据所给条件可以证出邻边相等；根据有一个角是直角的平行四边形是矩形；根据对角线相等的平行四边形是矩形． 6. 已知四边形，从下列条件中：①；②；③；④；⑤；⑥，任取两个，可以得出“四边形是平行四边形”这一结论的情况有（　　） A. 9种 B. 11种 C. 13种 D. 15种 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了平行四边形判定，（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．根据平行四边形的判定条件进行求解即可． 【详解】解：选取①②，可由两组对边分别平行的四边形是平行四边形得出四边形是平行四边形； 选取①③，可由一组对边相等且平行的四边形是平行四边形得出四边形是平行四边形； 同理②④也符合题意； 选取①⑤，可证明，则可推出，可证四边形是平行四边形； 同理选取②⑥，②⑤，①⑥也符合题意； 选取③④，可由两组对边分别相等的四边形是平行四边形得到四边形是平行四边形； 选取⑤⑥，可由两组对角分别相等的四边形是平行四边形得到四边形是平行四边形； 综上所述，一共有9种组合满足题意， 故选：A． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．） 7. 在□ABCD中，∠A 80°，则∠C=__________________． 【答案】80° 【解析】 【分析】利用平行四边形的对角相等，进而求出即可． 【详解】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A=∠C=80°. 故答案为80°. 【点睛】考查平行四边形的性质，掌握平行四边形的对角相等是解题的关键. 8. 某班级40名学生在一次考试中，分数段在90～100分的频率为0.15，则该班级在这个分数段内的学生有______人． 【答案】6 【解析】 【分析】根据频数＝频率×总数，进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得：40×0.15＝6， ∴该班级在这个分数段内的学生有6人， 故答案为：6． 【点睛】本题考查了频数与频率，熟练掌握频数＝频率×总数是解题的关键． 9. 在空气的成分中，氮气约占78%，氧气约占21%，其他微量气体约占1%．若要表示以上信息，最合适的统计图是_______． 【答案】扇形统计图 【解析】 【分析】分析三种统计图的特征，根据给出的空气成分的百分比，即可得出结论 【详解】解：∵在空气的成分中，氮气约占78%，氧气约占21%，其他微量气体约占1%， 条形统计图要知道具体的数目，折线统计图也需要知道具体的数目，不适合，扇形统计图只要知道所占百分比， 为此最合适的统计图是扇形统计图， 故答案为：扇形统计图． 【点睛】本题考查扇形统计图的应用，掌握扇形统计图的特征是解题关键． 10. 为了解2025年鼓楼区八年级学生学业水平考试数学成绩，从中随机抽取了500名学生的数学成绩，在这次调查中，样本为___________． 【答案】500名学生的数学成绩 【解析】 【分析】本题主要考查了样本的定义，理解样本是总体中所抽取的一部分个体是解题的关键． 根据样本的定义，即样本是总体中所抽取的一部分个体，即可解答． 【详解】解：根据题意得：本次抽样调查的样本是500名学生的数学成绩． 故答案为：500名学生的数学成绩． 11. 如图，绕点A顺时针旋转100°得到，若，则______°． 【答案】70 【解析】 【分析】由旋转的性质可得∠CAF=100，根据∠EAF=30°，即可得∠CAE=∠CAF-∠EAF=70°． 【详解】解：∵△ABC绕点A顺时针旋转100°得到△AEF， ∴∠CAF=100°， ∵∠EAF=30°， ∴∠a=∠CAE=∠CAF-∠EAF=70°， 故答案为：70． 【点睛】本题考查三角形的旋转，解题的关键是掌握旋转的性质． 12. 如图，矩形中，若，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识；由矩形的性质可得，，再证是等边三角形，得，然后由勾股定理可求的长． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴，且， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 如图，菱形ABCD的边长是2cm，E是AB的中点，且DE丄AB，则菱形ABCD的面积为_______________cm2． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵E是AB的中点， ∴AE=1， ∵DE丄AB， ∴DE=． ∴菱形的面积为：2×=2． 故答案为2． 14. 用反证法证明“三角形中最多有一个内角是直角”应先假设这个三角形中________． 【答案】至少有两个内角是直角 【解析】 【分析】本题考查了反证法证明中的假设，用反证法证明“三角形中最多有一个内角是直角”应先假设这个三角形中至少有两个内角是直角，即可得出答案． 【详解】解：用反证法证明“三角形中最多有一个内角是直角”应先假设这个三角形中至少有两个内角是直角， 故答案为：至少有两个内角是直角． 15. 如图，矩形ABCD中，点在AD上，且EB平分，若AB＝3，AE＝1，则的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据矩形的性质和角平分线定义可得CE=BC，然后根据勾股定理可得BC，进而可以解决问题． 【详解】解：在矩形ABCD中，∠D=90°，AD∥BC，CD=AB=3，AD=BC， ∴∠AEB=∠EBC， ∵EB平分∠AEC， ∴∠AEB=∠CEB， ∴∠CBE=∠CEB， ∴CE=BC， ∵CD=AB=3，AE=1， ∴DE=AD-AE=BC-1， 在Rt△CED中，根据勾股定理得： ， 即，解得BC=5， ∴的面积为． 故答案为： 【点睛】此题考查矩形的性质，勾股定理，关键是根据矩形的性质和等腰三角形的判定和性质解答． 16. 如图，点的坐标为，点是轴正半轴上的一点，将线段绕点按逆时针方向旋转得到线段．若点的坐标为，则的值为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】过作轴于点，轴于点，根据将线段绕点按逆时针方向旋转得到线段，可得是等边三角形，又，，即得，可得，，从而，求解即可． 【详解】解：过作轴于点，轴于点，如图： 轴，轴，， 四边形是矩形， 将线段绕点按逆时针方向旋转得到线段， ，， 是等边三角形， ， ，， ，，， ， ， 在中，， 在中，， ， ， 化简变形得：， 解得（舍去） 解得，或（舍去）． 故答案为：． 【点睛】本题考查直角坐标系中的旋转变换，勾股定理，等边三角形的性质，解题的关键是熟练应用勾股定理，用含的代数式表示相关线段的长度． 三、解答题（本大题共10小题，共68分．） 17. 如图，将绕点O按逆时针旋转得到，其中A与D是对应点，B与E是对应点，请借助于该图形用符号语言写出关于旋转的3条不同的性质． 【答案】①；②，，；③ 【解析】 【分析】本题主要考查了作图旋转变换以及扇形面积的计算的知识，解答本题的关键是找出旋转中心，正确地画出旋转图形是求线段扫过面积的基础，此题难度不大．利用旋转变换的性质解答即可． 【详解】解：根据旋转不改变图形的形状及大小得：①； 根据旋转不改变线段的长短得：②，，； 根据旋转角相等可得：③． 18. 某校学生在劳动技能培训后参加了一次考核，考核成绩分为“不合格”、“合格”、“优秀”三个等级．随机抽取其中若干名学生的考核成绩并制成如下的统计图，已知培训后成绩“不合格”的人数和成绩“优秀”的人数相等．请回答下列问题： （1）本次抽样调查的样本容量是______； （2）将图①补充完整； （3）估计该校900名学生中，培训后考核成绩为“合格”的学生人数． 【答案】（1）30 （2）见解析 （3）540人 【解析】 【分析】（1）根据优秀人数除以优秀人数所占圆心角即可得到样本容量； （2）由培训后成绩“不合格”的人数和成绩“优秀”的人数相等，得到“不合格”的人数，再得到合格人数即可补全图形； （3）根据培训后考核成绩为“合格”的学生人数所占比例乘以总数即可得到答案． 【小问1详解】 样本容量为：， 故答案为：30． 【小问2详解】 由培训后成绩“不合格”的人数和成绩“优秀”的人数相等， 不合格人数为6人，合格人数为：30-12=18人， 补全图形如下： 小问3详解】 样本中，合格人数占比：， 则该校900名学生中，培训后考核成绩为“合格”的学生人数为： 人 【点睛】本题考查用样本估计总体，条形统计图与扇形统计图，理解条形统计图得到各组所占比例是关键． 19. 某班在爱心义卖活动中设立了一个可以自由转动的转盘，如下图所示，同时规定：顾客购物满20元就能获得一次转动转盘的机会，下表是活动中的统计数据： 转动转盘的次数n 100 200 300 400 500 落在“谢谢参与”区域的次数m 29 60 93 122 b 落在“谢谢参与”区域的频率 0.29 0.3 0.31 a 0.296 （1）完成上述表格：______，______； （2）若继续不停转动转盘，当n很大时，落在“谢谢参与”区域的频率将会接近______，假如你去转动该转盘一次，你转到“谢谢参与”的概率约是______；（结果都精确到0.1） （3）顾客转动转盘一次，得到奖品“盲盒”的概率记为，得到奖品“贴纸”的概率记为，得到“谢谢参与”的概率记为，则、、的大小关系是______．（用“＞”连接） 【答案】（1））0.305，148 （2）0.3，0.3 （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率和频数的关系求得a和b的值即可； （2）利用大量重复试验中的频率稳定值估计概率即可； （3）利用概率公式分别求得、、的值后比较大小即可． 【小问1详解】 a＝122÷400＝0305；b＝500×0.296＝148； 故答案为：0.305；148； 【小问2详解】 若继续不停转动转盘，当n很大时，落在“谢谢参与”区域的频率将会接近0.3，假如你去转动该转盘一次，你转到“谢谢参与”的概率约是0.3； 故答案为：0.3，0.3； 【小问3详解】 ＝；＝；＝， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是统计的综合知识．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．用到的知识点为：频率＝所求情况数与总情况数之比． 20. 如图，在平面直角坐标系中，已知△三个顶点的坐标分别为、、． （1）画△关于原点成中心对称的； （2）若点D在第二象限，且以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则D的坐标为______． 【答案】（1）见解析 （2）， 【解析】 【分析】(1)先找出A、B、C三点关于原点的对称点A1、B1、C1，再顺次连接A1、B1、C1即可得到． (2)分三种情况：①ABD1C是平行四边形；②AD2BC是平行四边形；③ABCD3是平行四边形．根据平移的性质分别求出D1、D2、D3的坐标，再判断D点是否在第二象限． 【小问1详解】 如图，即为所求： 【小问2详解】 ①四边形是平行四边形时，，． 根据平移的性质把A(-1，3)向左移3个单位，再向上移1个单位，就可得到B（-4，4）． 因此将C(-2，1) 向左移3个单位，再向上移1个单位，即可得到D(-5，2)． ②四边形是平行四边形时，，． 根据平移的性质把C(-2，1) 向左移2个单位，再向上移3个单位，就可得到B（-4，4） 因此将A(-1，3) 向左移2个单位，再向上移3个单位，就可得到D2(-3，6) ③四边形是平行四边形时，，． 根据平移的性质把B(-4，4) 向右移2个单位，再向下移3个单位，就可得到C(-2，1)． 因此将A(-1，3) 向右移2个单位，再向下移3个单位，即可得到D3（1，0），此时D3在x轴上，不符合题意，舍去． 综上，满足条件的D点的坐标为(-5，2)，(-3，6)． 故答案为(-5，2)，(-3，6)． 【点睛】本题主要考查了坐标系中的平移和旋转作图，熟练掌握平移或旋转前后点的坐标的变化关系是解题的关键． 21. 如图，在中，，是的中位线，是的中线．求证：． 证法1：∵是的中位线， ∴_______． ∵是的中线，， ∴_______， ∴． （1）请把证法1补充完整； （2）试用不同的方法证明． 【答案】（1）； （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、矩形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． （1）根据三角形中位线定理得到，根据直角三角形的性质得到，等量代换证明结论； （2）连接、，根据三角形中位线定理得到，证明四边形是矩形，根据矩形的对角线相等证明即可． 【小问1详解】 解：∵是的中位线， ∴， ∵是的中线，， ∴， ∴； 故答案为：． 【小问2详解】 连接、， ∵是的中位线，是的中线， ∴、是的中位线， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴． 22. 如图，在□ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，∠ABC的平分线交AD于点F，连接EF． 求证：四边形ABEF是菱形． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】先证明四边形ABEF是平行四边形，再证明邻边相等即可证明． 【详解】解：∵∠BAD的平分线交BC于点E， ∴∠BAE∠EAF． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠EAF∠AEB， ∴∠BAE∠AEB， ∴ABBE． 同理，ABAF． ∴BEAF． ∵AD∥BC， ∴四边形ABEF是平行四边形． ∵ABBE， ∴□ABEF是菱形． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、菱形的判定和性质等知识，解题的关键是先证明四边形ABEF是平行四边形． 23. 如图，在中，，是上一点，和关于点对称，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）已知，求四边形是菱形时的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查中心对称，平行四边形的判定和性质，菱形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）由中心对称的性质证明，即可证明； （2）利用勾股定理求出，再利用面积法求出，利用勾股定理求即可． 【小问1详解】 证明：∵和关于点对称， ，， ∴， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：连接， ∵和关于点对称，四边形是平行四边形； ∴三点共线， ∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴． 24. 如图，，，，分别是四边形各边的中点，我们称四边形是四边形的中点四边形． （1）若四边形中，，确定中点四边形的形状，并说明理由． （2）在（1）的条件下，若，则的最小值为___________ 【答案】（1）中点四边形是矩形，见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，，根据中位线定理，得出，，，进而得出，，结合推出，即可得出结论； （2）过点D作，且，连接，则四边形是平行四边形，可得，可推出当C、B、H三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长，再证明，则由勾股定理得到，则的最小值为． 【小问1详解】 解：四边形是矩形，理由如下， 如图所示，连接，， ∵点E、F、G、H是四边形各边中点， ∴，分别是的中位线， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形； ∵， ∴， ∴四边形是矩形； 【小问2详解】 解：如图所示，过点D作，且，连接，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴当C、B、H三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，中点四边形，矩形的判定，平行四边形的性质与判定，勾股定理，解题的关键是掌握三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半． 25. 对称是认识平面图形的重要视角． 如图，是一条直线，是以为圆心的圆的圆周，是圆内一定点．过求作直线，使得与分别相交于点，且．（要求：用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，写出必要的文字说明） 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了尺规作图，全等三角形的判定及性质．连接，并延长到点，使得；以点为圆心，的半径为半径作圆与相交于点；作直线交于点，则点、为所求作的点． 【详解】解：如图，点、为所求的点，． 理由如下： 连接、，分别过点、作，，则 ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 26. 数学课上，李老师给出这么一道数学问题：如图①，正方形中，点E是对角线上任意一点，过点E作，垂足为E，交所在直线于点F．探索与之间的数量关系，并说明理由． 小明在解决这一问题之前，先进行特殊思考：如图②，当E是对角线的中点时，他发现与之间的数量关系是______．若点E在其它位置时，这个结论是否都成立呢？小明继续探究，他用“平移法”将沿方向平移得到，将原来分散的两条线段集中到同一个三角形中，如图③，这样就可以将问题转化为探究与之间的数量关系． （1）请你按照小明的思路，完成解题过程； （2）你能用与小明不同的方法来解决李老师给出的“数学问题”吗？请写出解题过程． 【答案】（1），过程见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）当E是对角线的中点时，根据正方形的性质，可得此时点B和点F重合，且点E也为的中点，可得；点E在其它位置时，延长，作，交的延长线于点G，连接，可得四边形为平行四边形，从而得到，，进而得到，再证得，可得，，从而得到是等腰直角三角形，即可得出结论； （2）作，并截取，连接、，可得是等腰直角三角形，从而得到，再证明，可得，，再证得四边形为平行四边形，可得，即可得出结论． 【小问1详解】 解：，理由如下： 当E是对角线的中点时， 四边形是正方形， ，，，， ， ，且E是对角线的中点， 此时点B和点F重合，且点E也为的中点， ， ，即； 若点E在其它位置时，如图，延长，作，交的延长线于点G，连接． 四边形是正方形， ，，． ，， 四边形为平行四边形． ，． ． ，， ． ， ． ． ． ． ． ， ，． ． 是等腰直角三角形， ， ． ； 【小问2详解】 解：如图，作，并截取，连接、． 四边形是正方形， ，． ， ， ． 又， 是等腰直角三角形， ， ． ， ． ． ，． ． ， ． ． ． ． ， ， 四边形为平行四边形． ， ． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握知识点并灵活运用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$