精品解析：福建省福州格致中学2024-2025学年高一下学期3月限时训练数学试卷

福州格致中学2024-2025学年第二学期3月 高一数学限时训练 命题人：林玎功 （考试时间：120分钟，分值：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 关于平面向量，下列说法正确的是（ ） A. 零向量没有方向 B. 两个单位向量相等向量 C. 共线的两个向量方向相同 D. 若两个非零向量的和为零向量，则它们互为相反向量 2. 已知则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. a，b为平面向量，已知a=（4，3），2a+b=（3，18），则a，b夹角的余弦值等于 A. B. C. D. 4. 中，角所对的边分别为，若，则（ ） A. B. C. D. 或 5. 已知角的终边在直线上，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知O，N，P在所在平面内，且，且，则点O，N，P依次是的( ) （注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角形的垂心） A. 重心外心垂心 B. 重心外心内心 C. 外心重心垂心 D. 外心重心内心 7. 平面向量与相互垂直，已知，，且与向量(1，0)的夹角是钝角，则=（ ） A. B. C. D. 8. 在中，，是的中点，与交于点，若，则（ ） A. B. C. D. 1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期是 B. 的定义域是 C. 的图象关于点对称 D. 在上单调递增 10. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，对于以下命题，其中正确的是（ ） A. 等式恒成立 B 若，则 C. 若，则是锐角三角形 D. 若，，，则满足条件的三角形有两个 11. 如图，平行四边形中，为的中点，交于，则（ ） A. 在方向上的投影向量为 B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设函数f(x)＝为奇函数，则a＝________. 13. 为了测量一座底部不可到达的建筑物的高度，复兴中学跨学科主题学习小组设计了如下测量方案：如图，设，分别为建筑物的最高点和底部.选择一条水平基线，使得，，三点在同一直线上，在，两点用测角仪测得的仰角分别是和，测角仪器的高度是，，由此可计算出建筑物的高度.若，，则此建筑物的高度是________（答案用，表示） 14. 已知四边形是边长为4的正方形，点满足，为平面内一点，则的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，，，分别是角，，所对边，且满足. （1）求角的大小； （2）设向量，向量，且，判断的形状. 16. 如图，在等边三角形中，点满足，点满足，点是边上的中点，设． （1）用表示； （2）若边长为2，试求与夹角的余弦值． 17. 已知向量，，其中，，设函数，且，函数图象的两条相邻对称轴间的距离为. （1）求函数的解析式； （2）若函数在区间上单调递减，求实数的最大值. 18. 某景区为打造景区风景亮点，欲在一不规则湖面区域（阴影部分）上两点之间建一条观光通道，如图所示．在湖面所在的平面（不考虑湖面离地平面的距离，视湖面与地平面为同一平面）内距离点米的点处建一凉亭，距离点米的点处再建一凉亭，测得，． （1）求的值； （2）测得，观光通道每米的造价为2000元，若景区准备预算资金8万元建观光通道，问：预算资金够用吗？ 19. 定义非零向量的“伴随函数”为（），向量称为函数（）的“伴随向量”（其中O为坐标原点）．记平面内所有向量的“伴随函数”构成的集合为S． （1）设函数，求证：； （2）记向量伴随函数为，当时，求的值域； （3）已知点满足：，向量的“伴随函数”在处取得最大值，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 福州格致中学2024-2025学年第二学期3月 高一数学限时训练 命题人：林玎功 （考试时间：120分钟，分值：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 关于平面向量，下列说法正确的是（ ） A. 零向量没有方向 B. 两个单位向量是相等向量 C. 共线的两个向量方向相同 D. 若两个非零向量的和为零向量，则它们互为相反向量 【答案】D 【解析】 【分析】根据零向量的的定义、平面向量的定义，结合相等向量的定义、共线向量的定义逐一判断即可. 【详解】向量既有大小又有方向，A不正确． 两个单位向量的方向不一定相同，则它们不一定是相等向量，B不正确． 共线的两个向量方向相同或相反，C不正确． 若两个非零向量的和为零向量，则它们互为相反向量，D正确 故选：D 2. 已知则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知，再根据充分必要条件的概念，即可得到结果. 【详解】因为，解得， ∴“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 3. a，b为平面向量，已知a=（4，3），2a+b=（3，18），则a，b夹角的余弦值等于 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为, 所以.故选C. 4. 中，角所对的边分别为，若，则（ ） A. B. C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】由正弦定理可得，再由边角关系确定角的大小即可. 【详解】由题意，在中，则，所以， 因为，所以或，又，所以． 故选：A 5. 已知角的终边在直线上，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据角的终边结合正切函数定义求得，利用齐次式法求值，即可得答案. 【详解】由题意知角的终边在直线上，在上任取一点， 则， 故， 故选：A 6. 已知O，N，P在所在平面内，且，且，则点O，N，P依次是( ) （注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角形的垂心） A. 重心外心垂心 B. 重心外心内心 C. 外心重心垂心 D. 外心重心内心 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：因为，所以到定点的距离相等，所以为的外心，由，则，取的中点，则，所以，所以是的重心；由，得，即，所以，同理，所以点为的垂心，故选C. 考点：向量在几何中的应用. 7. 平面向量与相互垂直，已知，，且与向量(1，0)的夹角是钝角，则=（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先设出向量的坐标，利用平面向量垂直的坐标表示及模的运算，向量夹角的定义求解即可． 【详解】设 ①， ，②， 与向量(1，0)夹角为钝角，，③， 由①②③解得，， 故选：D． 8. 在中，，是的中点，与交于点，若，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量的线性运算及三点共线求得，由此求得的值，即可得到结果. 【详解】 ∵，∴， ∴. ∵A，P，D三点共线，∴. ∵，∴. ∵E是边AB的中点，∴. ∵E，P，F三点共线，∴， ∴，解得，， ∴，即，，故. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期是 B. 的定义域是 C. 的图象关于点对称 D. 在上单调递增 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据正切函数的图象与性质，逐项判定，即可求解. 【详解】由题意，函数，可得的最小正周期为，所以A正确； 令，解得， 即函数的定义域为，所以B不正确； 令，解得， 当时，可得，所以函数的图象关于点对称，所以C正确； 由，可得，根据正切函数的性质， 可得函数在上单调递增，所以D正确. 故选：ACD. 10. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，对于以下命题，其中正确的是（ ） A. 等式恒成立 B. 若，则 C. 若，则是锐角三角形 D. 若，，，则满足条件的三角形有两个 【答案】AB 【解析】 【分析】由余弦定理可判断A，利用正弦定理边角互化可以判断出B，利用正、余弦定理分析判断C，对于选项D，根据条件，利用判断三角形解的个数的方法即可求解. 【详解】对于选项A. ,故选项A正确. 对于选项B. 在中，若，则，由正弦定理则，故选项B正确. 对于选项C. 若， 由正弦定理可得则， 则角为锐角,但不能确定角A，B锐角.故选项C不正确. 对于选项D. 由于 ，此时三角形无解，故选项D不正确. 故选：AB 11. 如图，平行四边形中，为的中点，交于，则（ ） A. 在方向上的投影向量为 B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据投影向量、向量线性运算、向量数量积、向量的模等知识对选项进行分析，由此确定正确选项. 【详解】在平行四边形中，，，，所以，则，所以， 所以在方向上的投影向量为，所以A正确； 因为，为中点，所以，则，故，，所以，所以B正确； ，所以C错误；，所以D错误. 故选：AB 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设函数f(x)＝为奇函数，则a＝________. 【答案】 【解析】 【详解】因为函数f(x)＝为奇函数， 经检验符合题意. 故答案为. 13. 为了测量一座底部不可到达的建筑物的高度，复兴中学跨学科主题学习小组设计了如下测量方案：如图，设，分别为建筑物的最高点和底部.选择一条水平基线，使得，，三点在同一直线上，在，两点用测角仪测得的仰角分别是和，测角仪器的高度是，，由此可计算出建筑物的高度.若，，则此建筑物的高度是________（答案用，表示） 【答案】 【解析】 【分析】根据直角三角形的边角关系求边长即可. 【详解】首先：. 在中，. 在中，. 又，所以. 所以. 故答案为： 14. 已知四边形是边长为4的正方形，点满足，为平面内一点，则的最小值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】建立直角坐标系，利用向量的坐标运算，结合二次函数的性质即可求解. 【详解】建立如图所示直角坐标系，设，是中点， 则, 由可得,故， 所以， 故当时，取到最小值， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，，，分别是角，，所对的边，且满足. （1）求角的大小； （2）设向量，向量，且，判断的形状. 【答案】（1） （2）是以为直角的直角三角形. 【解析】 【分析】（1）用余弦定理可求角； （2）根据向量平行的结论，可求角，进而判断的形状. 【小问1详解】 由余弦定理：， 又为三角形内角，所以 【小问2详解】 由（1）可得：， 因，所以或（因为，不成立，故舍去）. 所以，所以. 所以是以为直角的直角三角形. 16. 如图，在等边三角形中，点满足，点满足，点是边上的中点，设． （1）用表示； （2）若的边长为2，试求与夹角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据平面向量基本定理得到； （2）先由平面向量基本定理得到，从而结合（1）中，求出，再求出，，从而利用向量夹角余弦公式求出答案. 【小问1详解】 点满足，点是边上的中点， 故， ； 【小问2详解】 点满足， 故， 等边的边长为2，设与夹角为， ， ， 故， ， 故， 则. 17. 已知向量，，其中，，设函数，且，函数图象的两条相邻对称轴间的距离为. （1）求函数的解析式； （2）若函数在区间上单调递减，求实数的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用平面向量的数量积运算得到，根据，求得，再由函数图象的两条相邻对称轴间的距离为，求得即可； （2）由，得到，再根据函数在区间上单调递减，由求解. 【小问1详解】 因为向量，， 所以， 因为，所以， 因为，所以，又函数图象的两条相邻对称轴间的距离为. 所以，则， 所以； 【小问2详解】 因为，所以， 又因为函数在区间上单调递减， 所以，则， 解得， 所以实数的最大值为. 18. 某景区为打造景区风景亮点，欲在一不规则湖面区域（阴影部分）上两点之间建一条观光通道，如图所示．在湖面所在的平面（不考虑湖面离地平面的距离，视湖面与地平面为同一平面）内距离点米的点处建一凉亭，距离点米的点处再建一凉亭，测得，． （1）求的值； （2）测得，观光通道每米的造价为2000元，若景区准备预算资金8万元建观光通道，问：预算资金够用吗？ 【答案】（1） （2）预算资金够用 【解析】 【分析】（1）在中，利用正弦定理，由求解； （2）在中，利用余弦定理求得CD，在中，由，，求得AC，然后在中，利用余弦定理求得AB即可. 【小问1详解】 解：由， 得， 则， 在中，由正弦定理得，即， 所以． 【小问2详解】 在中，由余弦定理得， 整理得， 解得（舍去）． 中，， 所以， 又， 解得． 在中，， 所以． 由于观光通道每米的造价为2000元，所以总造价低于元，故预算资金够用． 19. 定义非零向量的“伴随函数”为（），向量称为函数（）的“伴随向量”（其中O为坐标原点）．记平面内所有向量的“伴随函数”构成的集合为S． （1）设函数，求证：； （2）记向量的伴随函数为，当时，求的值域； （3）已知点满足：，向量的“伴随函数”在处取得最大值，求的取值范围． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意易得三角恒等变换得；即可由伴随向量的定义求解， （2）先求，再利用整体法求值域； （3）利用辅助角公式可得最值点满足，即可由正切二倍角公式，结合换元法可以求取值范围． 【小问1详解】 ， ,，故得证； 【小问2详解】 由，得， ， 当时，， ， ； 【小问3详解】 ， 在处取得最大值， ， ， ， 令，则由，得， ， 由于均为上的单调递增函数， 所以在单调递增，故， 得， 则的取值范围为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$