精品解析：2025年安徽省阜阳市颍上县中考一模数学试题

2025届九年级教学质量检测 数学试题卷 注意事项： 1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，其中“试题卷”共4页，“答题卷”共6页．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 3．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 每小题都给出、、、四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 以下四个数：，最小的数是（　　） A. 0 B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图是六个相同的小立方体组成的一个几何体，该几何体的三视图是（　　） A. B. C D. 4. 截至2025年2月，我省耕地面积约8393万亩，其中8393万用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 5. 如图，，直线分别截，于，，已知，则（　　） A. B. C. D. 6. 某中学九年级共有四个班级，现从这四个班级中随机抽取两个进行学业负担调查，则恰好抽到两个班级的概率是（　　） A. B. C. D. 7. 生物兴趣小组观察一株植物生长情况，得到植物的高度（单位：）与观察时间（单位：天）的函数关系如图所示，设该植物第天和第天的高度分别为和，则（　　） A. B. C. D. 8. 如图，折叠矩形纸片，使得顶点，重合，点落在处，然后还原，得到折痕．已知：，，则折痕的长为（　　） A. B. C. D. 9. 已知为实数，关于两个方程，公共的实数根的个数为（　　） A. B. C. D. 10. 如图，在中，为边上一动点，，连接，则的最小值为（　　） A. B. C. D. 2 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11 计算：___________． 12. 已知，则代数式的值为___________． 13. 我国古代数学家刘徽在《九章算术》中提出“割圆术”，即用圆内接或外切正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．如图，为的内接正八边形的一边，，设劣弧所在的扇形的面积为，的面积为，比较大小：___________（填“”或“”）． 14. 如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，两点均在反比例函数的图象上，轴交轴的正半轴于，与反比例函数的图象交于，三点，在同一条直线上，连接．已知：的面积为，的面积为4． （1）的值为___________； （2）连接，则的面积为___________． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 解不等式： 16. 小张返乡创业，销售家乡某土特产，二月份该土特产平均每吨售价比一月份降低了400元，销售量比一月份增加10%，二月份与一月份的销售总额相同．求该土特产一月份每吨的售价． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）． （1）将边先向上平移1个单位，再向右平移4个单位，得到线段，画出线段（其中的对应点为）； （2）以点为旋转中心，将逆时针旋转得到，画出； （3）设线段与相交于，则的值为___________． 18. 数学兴趣小组开展探究活动，研究了一个正整数的平方数问题． （1）先研究偶数的平方数问题，过程如下： ， ， ， ， 按照以上规律，完成下列问题： （）______________________； （）猜想：______________________（n为正整数），并证明你的猜想； （2）兴趣小组继续研究奇数的平方数问题，一个奇数的平方数可以写成，结合第（1）题的研究结果，请你猜想：______________________（为正整数）． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 综合与实践 【活动主题】支持乡村振兴，班级同学在老师的带领下前往某养鱼场开展综合实践活动． 【项目背景】其中一个项目是测算养鱼场长度（如图所示）． 【工具准备】皮尺、测角仪、计算器等． 【测量过程】在点测得，在点测得． 【数据信息】用计算器算得如下参考数据：，，，，，． 【完成任务】请你根据以上数据信息，求养鱼场长度． 20. 如图，内接于，点为弧的中点，交于，于，，连接． （1）求证：； （2）若，求的长． 六、（本题满分12分） 21. 某县开展数学学科青年教师基本功比赛，随机抽样调查了部分教师获奖情况（评奖等级按成绩从高到低共分为五个等级），并制作了频数分布直方图和扇形统计图，部分信息如下： 请根据图中信息解答下列问题： （1）填空：频数分布直方图中，的值___________，扇形统计图中等级的百分比_________． （2）这次随机抽样调查的样本的中位数所在的等级为___________； （3）已知该县这次数学学科青年教师基本功比赛获得等级的教师共有48人，请你根据样本数据估计等级各有多少人． 七、（本题满分12分） 22. 在四边形中，与相交于点，． （1）如图1，点在四边形外，为等边三角形，连接，已知． （i）求证：四边形为平行四边形； （ii）若，求度数； （2）如图2，点在边上，分别连接交于，过作交的延长线于．已知：．求证：． 八、（本题满分14分） 23. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线为常数，且）与轴交于两点（其中点在轴的负半轴上，点在轴的正半轴上），与轴交于点， （1）若，且． （i）求抛物线的函数表达式； （ii）平移抛物线，使平移后的抛物线的顶点在线段上，且经过点，求点的横坐标； （2）若，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025届九年级教学质量检测 数学试题卷 注意事项： 1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，其中“试题卷”共4页，“答题卷”共6页．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 3．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 每小题都给出、、、四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 以下四个数：，最小的数是（　　） A. 0 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，根据正数大于0，0大于负数，两个负数比较，绝对值大的反而小解题即可． 【详解】解：∵， ∴最小的数为， 故选：B． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据合并同类项，同底数幂的乘除运算法则计算即可作答． 【详解】A项，和不是同类项，不能合并，故原计算错误，本项不符合题意； B项，和不是同类项，不能合并，故原计算错误，本项不符合题意； C项，，计算正确，本项符合题意； D项，，故原计算错误，本项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘除运算，掌握相应的运算法则，是解答本题的关键． 3. 如图是六个相同的小立方体组成的一个几何体，该几何体的三视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了几何体的三视图，解题的关键是理解主视图，左视图，俯视图分别是从物体的正面，左面，上面看到的平面图形，并能准确判断出相应视图的形状和小正方形的排列情况． 分别从正面，左面，上面观察该几何体，确定每个视图中小正方形的个数和排列方式，再与各个选项进行对比． 【详解】主视图：从正面看，第一层有3个小正方形，第二层左边有1个小正方形，所以主视图是左边一列2个小正方形，右边两列各1个小正方形； 左视图：从左面看，第一层有2个小正方形，第二层左边有1个小正方形，即左边一列2个小正方形，右边一列1个小正方形； 俯视图：从上面看，第一行有1个小正方形，第二行有3个小正方形，即左边一列1个小正方形，右边三列各1个小正方形． 综合以上分析，选项A符合该几何体的三视图． 故选：A． 4. 截至2025年2月，我省耕地面积约8393万亩，其中8393万用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：8393万， 故选：B． 5. 如图，，直线分别截，于，，已知，则（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设的对顶角为，则，根据两直线平行，同旁内角互补列式解答即可． 本题考查了对顶角相等，平行线的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：设的对顶角为，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 6. 某中学九年级共有四个班级，现从这四个班级中随机抽取两个进行学业负担调查，则恰好抽到两个班级的概率是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出抽到两个班级的结果数，然后根据概率公式求解．本题考查了列表法或树状图法求概率，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：依题意把四个班级分别记为，画树状图为： ∴共有12种等可能的结果数，其中恰好抽到两个班级的结果数为2， 即恰好抽到两个班级的概率=． 故选：B． 7. 生物兴趣小组观察一株植物的生长情况，得到植物的高度（单位：）与观察时间（单位：天）的函数关系如图所示，设该植物第天和第天的高度分别为和，则（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查函数的图象，一次函数的应用，先确定与的函数表达式，再分别求出、，然后相减即可．仔细观察图象，准确获取信息并利用待定系数法确定函数表达式是解题的关键． 【详解】解：当时， 设与的函数表达式为，过点，， ∴， 解得：， ∴此时与的函数表达式为； 当时， 设与的函数表达式为，过点，， ∴， 解得：， ∴此时与的函数表达式为； 综上所述，与的函数表达式为：， 当时，，即； 当时，，即； ∴． 故选：C． 8. 如图，折叠矩形纸片，使得顶点，重合，点落在处，然后还原，得到折痕．已知：，，则折痕的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，菱形的判定与性质，勾股定理，掌握知识点的应用是解题的关键． 分别连接与相交于，由折叠知，，所以共线，可以证明四边形为菱形，则，作，证明四边形是矩形，所以，设，则，，然后由勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，分别连接与相交于， 由折叠知， ∴， ∴共线， 由折叠知， ∴， ∵，， ∴四边形为菱形， ∴， 作，则， ∵四边形矩形， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 设，则，， 在直角中，， 解得：，即， ∴， 同理， ∴， ∴， 故选：． 9. 已知为实数，关于的两个方程，公共的实数根的个数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，求根公式法解一元二次方程等知识点，设两个方程的公共根为，可得：，当时，两个方程均为，此时方程有两个不相等的实数根，当时，两个方程有公共根，所以两个方程有个公共根． 【详解】解：设两个方程的公共根为， 则， 得：， 分解因式得：， 即或． 当时，两个方程均为， ， 解方程得：，， 方程有两个不相等的实数根， 当时，两个方程有公共根， 综上，两个方程有个公共根． 故选：C ． 10. 如图，在中，为边上一动点，，连接，则的最小值为（　　） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】要想找到的最小值，需要先找到E的运动轨迹是一条射线，过程为先作平分，作，由题意易得，根据相似的性质可证，进而得到点E的运动轨迹是射线，根据点到线的距离中，垂线段最短即可求解； 【详解】如图，作平分，作，连接交于， ∵ ∴ ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ， ， 又P为边上一动点，即点在与成夹角的射线上运动，的最小值为到的垂线段的长度，即的最小值为的长． ， ， 即的最小值为， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了三角形的相似的判定和性质，含直角三角形的性质，解直角三角形，垂线段最短等知识点，解决此题的关键是作出合理的辅助线． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 计算：___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了零指数幂和有理数的乘方，掌握零指数幂和有理数的乘方法则是解题的关键． 根据零指数幂和有理数的乘方法则直接计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 已知，则代数式的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，分母有理化，先通分化简，再把代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 故答案为：． 13. 我国古代数学家刘徽在《九章算术》中提出“割圆术”，即用圆内接或外切正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．如图，为的内接正八边形的一边，，设劣弧所在的扇形的面积为，的面积为，比较大小：___________（填“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆形与正多边形、实数的大小比较、锐角三角函数，首先过点作于，利用特殊角的三角函数求出的长度，根据扇形的面积公式可得，根据三角形的面积公式可得：，所以可得，再用作差法比较与的大小关系． 【详解】解：如下图所示，为的内接正八边形的一边， 则， ， 过点作于， ， ， ， ， ， ． 故答案为： ． 14. 如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，两点均在反比例函数的图象上，轴交轴的正半轴于，与反比例函数的图象交于，三点，在同一条直线上，连接．已知：的面积为，的面积为4． （1）的值为___________； （2）连接，则的面积为___________． 【答案】 ①. ## ②. 8 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，关键是设出点的坐标，再根据三角形面积公式或相似三角形的对应边的比相等求解． （1）作于，求得的面积等于，证明，求得，即可求得； （2）分别过作轴的正半轴的垂线，求得，设，求得，，再求得，到的距离等于，根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：（1）作于， ∵两点均在反比例函数的图象上， ∴的面积等于的面积， ∵的面积为，的面积为4， ∴的面积等于，则的面积等于， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （2）分别过作轴的正半轴的垂线，垂足为． ∵的面积为，的面积为4， ∴， 设， ∵， ∴，， ∴，到的距离等于， ∴． 故答案为：8． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 解不等式： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式，利用移项，合并同类项，系数化为解题即可． 【详解】解：, ． 16. 小张返乡创业，销售家乡某土特产，二月份该土特产平均每吨售价比一月份降低了400元，销售量比一月份增加10%，二月份与一月份的销售总额相同．求该土特产一月份每吨的售价． 【答案】4400元 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设该土特产一月份的售价为元吨，根据二月份与一月份的销售总额相同列方程求解即可． 【详解】解：设该土特产一月份的售价为元吨，把一月份销售量看作单位“1”，由题意得， 解得 答：该土特产一月份每吨售价为4400元． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）． （1）将边先向上平移1个单位，再向右平移4个单位，得到线段，画出线段（其中的对应点为）； （2）以点为旋转中心，将逆时针旋转得到，画出； （3）设线段与相交于，则的值为___________． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）2 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形变换，勾股定理的逆定理，求正切值，熟练掌握平移的性质和旋转的性质，是解题的关键． （1）根据平移的性质，作点A，B的对应点，然后连接解题即可； （2）根据旋转的性质，作点A，B，C的对应点，然后连接解题即可； （3）过点C作，交格点于点E，F，连接，则，然后根据勾股定理的逆定理得到，再根据正切的定义计算解题． 【小问1详解】 解：线段即为所作； 【小问2详解】 解：即为所作； 小问3详解】 如图,过点C作，交格点于点E，F，连接，则， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 18. 数学兴趣小组开展探究活动，研究了一个正整数的平方数问题． （1）先研究偶数平方数问题，过程如下： ， ， ， ， 按照以上规律，完成下列问题： （）______________________； （）猜想：______________________（n为正整数），并证明你的猜想； （2）兴趣小组继续研究奇数的平方数问题，一个奇数的平方数可以写成，结合第（1）题的研究结果，请你猜想：______________________（为正整数）． 【答案】（1）（），；（），，理由见解析 （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了数字类规律探索，完全平方公式，掌握数字类规律探索是解题的关键． （1）（）根据规律即可求解；（）根据规律即可得到结果，根据完全平方公式计算，即可证明； （2）根据题干中推理方法，即可得出结果． 【小问1详解】 解：（）根据规律可得； 故答案为：，； （）根据规律可得（为正整数）； 证明： ， （为正整数）．； 故答案为：，； 【小问2详解】 解：（为正整数）． 理由：， ， ， ， （为正整数）． 故答案为：，． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 综合与实践 【活动主题】支持乡村振兴，班级同学在老师的带领下前往某养鱼场开展综合实践活动． 【项目背景】其中一个项目是测算养鱼场长度（如图所示）． 【工具准备】皮尺、测角仪、计算器等． 【测量过程】在点测得，在点测得． 【数据信息】用计算器算得如下参考数据：，，，，，． 完成任务】请你根据以上数据信息，求养鱼场长度． 【答案】养鱼场长度约为． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用．作于，于，求得，在中，利用三角函数的定义求得，，在中，利用三角函数的定义求得，据此求解即可． 【详解】解：作于，于，则四边形为矩形， ∴， 在中，，， ∵，，， ∴，， ∴，， ∴ 在中，，． ∵， ∴， ∴， ∴， 即养鱼场长度约为． 20. 如图，内接于，点为弧的中点，交于，于，，连接． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】此题考查了圆周角定理及推论、等腰三角形性质以及全等三角形的判定与性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键． （1）设，则，求出，进而求出，得出结论； （2）在上截取，分别连接，证明，进而得出，求出即可求出结论． 【小问1详解】 证明：设， 为的中点， ， ， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：在上截取，分别连接， 点为弧的中点， ， ， ． 点为弧的中点， ， ， ． ， ． ， ， ． 六、（本题满分12分） 21. 某县开展数学学科青年教师基本功比赛，随机抽样调查了部分教师获奖情况（评奖等级按成绩从高到低共分为五个等级），并制作了频数分布直方图和扇形统计图，部分信息如下： 请根据图中信息解答下列问题： （1）填空：频数分布直方图中，的值___________，扇形统计图中等级的百分比_________． （2）这次随机抽样调查的样本的中位数所在的等级为___________； （3）已知该县这次数学学科青年教师基本功比赛获得等级的教师共有48人，请你根据样本数据估计等级各有多少人． 【答案】（1）16， （2） （3）估计等级分别有96人，120人 【解析】 【分析】此题主要考查统计调查，解题的关键是理解图意，能从直方图和扇形统计图中得到有用信息． （1）根据等级的人数与占比即可求出样本容量，样本容量减去等级的人数既是等级的人数，根据样本容量和等级的人数即可求出其百分比； （2）根据样本容量和中位数的定义即可求解； （3）根据等级的教师的人数和占比，即可求出教师总人数，在根据等级的占比求解即可． 【小问1详解】 解：∵由图可知，等级的人数是8人，占总人数的， ∴总人数为（人）， ∴，， 故答案为：16，． 【小问2详解】 解：∵由（1）知样本数据为50， ∴中位数为第25，26名成绩的平均数，即在等级； 故答案为：． 【小问3详解】 解：从样本数据可获得等级的百分比为，则教师共有（人）， ∴等级分别有（人），（人）， ∴根据样本数据估计等级分别有96人，120人． 七、（本题满分12分） 22. 在四边形中，与相交于点，． （1）如图1，点在四边形外，为等边三角形，连接，已知． （i）求证：四边形为平行四边形； （ii）若，求的度数； （2）如图2，点在边上，分别连接交于，过作交的延长线于．已知：．求证：． 【答案】（1）（i）见解析；（ii） （2）见解析 【解析】 【分析】（1）（i）根据等边三角形的性质得到，得到，可证明，即可得到结论； （ii）根据四边形为平行四边形得到因为，得到； （2）分别作于，于，可证明，得到，证明，得到，得出平分， 可得，继而得到，即可得到结论． 【小问1详解】 证明：（i）为等边三角形， ， ， ， ， ， 四边形为平行四边形； （ii）解：四边形为平行四边形， ． 在四边形中，， ， ； 【小问2详解】 证明：如图，分别作于，于． ，， ， ． ， ． ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，四边形的内角和，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，熟练掌握相关知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 八、（本题满分14分） 23. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线为常数，且）与轴交于两点（其中点在轴的负半轴上，点在轴的正半轴上），与轴交于点， （1）若，且． （i）求抛物线的函数表达式； （ii）平移抛物线，使平移后的抛物线的顶点在线段上，且经过点，求点的横坐标； （2）若，求的最小值． 【答案】（1）（1）（i）；（ii） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数综合题，涉及到待定系数法求一次函数解析式及二次函数解析式、二次函数的最值问题． （1）（i）根据抛物线与坐标轴交点坐标可以确定抛物线的函数表达式为，如何将代入求出即可， （ii）设的坐标为（t，h），抛物线为，求出直线的函数表达式为，进而可得即，在由抛物线经过点，可得，进而求解． （2）根据已知可知：点，代入解析式，化简可得，进而可得，从而求解． 【小问1详解】 解：（i），抛物线与轴交于两点（其中点在轴的负半轴上，点在轴的正半轴上），， ，点的坐标为，点的坐标为， ，即抛物线的函数表达式为， ， ∴二次函数的函数表达式为； （ii）设的坐标为（t，h），则抛物线为， ∵点的坐标为，点的坐标为， ∴直线的函数表达式为， ∵顶点在线段上 ∴ ，即， ∵抛物线经过点， ，解得（不合题意，舍去）， 即点的横坐标为； 【小问2详解】 设，， ，即， 将代入，得． 由题意得， ，即， ，， 当时，的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$