精品解析：福建省莆田市秀屿区莆田第二十五中学2024-2025学年九年级下学期第一次月考数学试题

莆田第二十五中学2024-2025学年下学期九年数学月考一 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在0，，，四个数中，最大的数是（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了实数大小比较的方法，正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可，解答此题的关键是要明确：正实数负实数，两个负实数绝对值大的反而小． 【详解】解：根据实数比较大小的方法，可得： ， ∴在0，，，四个数中，最大的数是， 故选：C． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法，合并同类项，积的乘方，同底数幂的除法法则逐项计算即可求解． 【详解】解：A．，正确，符合题意； B．与不是同类项，不能合并，不符合题意； C．，故不正确，不符合题意； D．，故不正确，不符合题意． 故选A． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，合并同类项，积的乘方，同底数幂的除法运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 3. 下列分式中，是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据最简分式的满足的条件：分子分母不含公因式解答即可． 【详解】解：∵， ∴不是最简分式， 故项不符合题意； ∵， ∴不是最简分式， 故项不符合题意； ∵不能再约分化简， ∴是最简分式， 故项符合题意， ∵， ∴不是最简分式， 故项不符合题意， 故选． 【点睛】本题考查了最简分式的满足的条件：分子分母不含公因式，熟记最简分式满足的条件是解题的关键． 4. 截至年月日，全国家电以旧换新数据平台显示，八大类家电产品带动销售约亿元．数“亿”用科学记数法表示为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】用移动小数点的方法确定a值，根据整数位数减一原则确定n值，最后写成的形式即可． 本题考查了科学记数法表示大数，熟练掌握把小数点点在左边第一个非零数字的后面确定a，运用整数位数减去1确定n值是解题的关键． 【详解】解：∵亿， 故选：A． 5. 下列图像不能反映y是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查函数的概念和图象，关键是根据当x取一值时，y有唯一与它对应的值判断． 根据函数的概念解答即可． 【详解】解：A、当x取一值时，y有唯一与它对应的值，y是x的函数，故本选项不符合题意； B、当x取一值时，y有唯一与它对应的值，y是x的函数，故本选项不符合题意； C、当x取一值时，y有两个值与其对应，y不是x的函数，故本选项符合题意； D、当x取一值时，y有唯一与它对应的值，y是x的函数，故本选项不符合题意． 故选：C． 6. 下列各式进行的变形中，正确的是（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了等式的性质，熟练掌握等式的性质是解决问题的关键．利用等式的性质对题目中的四个选项逐一进行甄别即可得出答案． 【详解】解：A．对于等式，两边同时减去3，得：，两边同时加上3，得：，因此选项A不正确； B．对于等式，当时，两边同时乘以c，得：，当时，3，因此选项B正确； C．对于等式，两边同时乘以3，得，因此选项C不正确； D．对于等式，当时，两边同时除以c，得：因此选项D不正确． 故选：B． 7. 明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题：“隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤.”其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两，如果每人分九两，则还差半斤（注：明代时1斤=16两，故有“半斤八两”这个成语）.设有人分银子，根据题意所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意列出方程求出答案． 【详解】由题意可知：7x＋4＝9x−8 故选：A． 【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解题的关键是找出等量关系，本题属于基础题型． 8. 如果把分式中x、y的值都变为原来的2倍，则分式的值（ ） A. 变为原来的2倍 B. 不变 C. 变为原来的 D. 变为原来的4倍 【答案】A 【解析】 【分析】根据x，y都扩大2倍，即可得出分子扩大4倍，分母扩大2倍，由此即可得出结论． 【详解】解：∵分式中的x与y都扩大为原来的2倍， ∴分式中分子扩大为原来的4倍，分母扩大为原来的2倍， ∴分式的值扩大为原来的2倍，故A正确． 故选：A． 【点睛】本题主要考查分式的性质，解题关键在于掌握其性质进行化简． 9. 关于的不等式的解集为，则下列判断正确的是（ 　） A. B. C. D. 为任意数 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了不等式的基本性质及解不等式，熟练掌握不等式的性质是解题的关键。由含有的不等式（）的解集为：，根据不等式的基本性质，即可得解。 【详解】解：∵含有的不等式的解集为：， ∴根据不等式的基本性质，可知， 解得 故选C. 10. 如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（5，0），与y轴交于点C，其对称轴为直线x＝2，结合图象分析如下结论：①abc＞0；②b+3a＜0；③当x＞0时，y随x的增大而增大；④若一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A，则点E（k，b）在第四象限；⑤点M是抛物线的顶点，若CM⊥AM，则a＝．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】①正确，根据抛物线的位置判断即可；②正确，利用对称轴公式，可得b＝﹣4a，可得结论；③错误，应该是x＞2时，y随x的增大而增大；④正确，判断出k＞0，可得结论；⑤正确，设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣5）＝a（x﹣2）2﹣9a，可得M（2，﹣9a），C（0，﹣5a），过点M作MH⊥y轴于点H，设对称轴交x轴于点K．利用相似三角形的性质，构建方程求出a即可． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴a＞0， ∵对称轴是直线x＝2， ∴﹣＝2， ∴b＝﹣4a＜0 ∵抛物线交y轴的负半轴， ∴c＜0， ∴abc＞0，故①正确， ∵b＝﹣4a，a＞0， ∴b+3a＝﹣a＜0，故②正确， 观察图象可知，当0＜x≤2时，y随x的增大而减小，故③错误， 一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A， ∵b＜0， ∴k＞0，此时E（k，b）在第四象限，故④正确． ∵抛物线经过（﹣1，0），（5，0）， ∴可以假设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣5）＝a（x﹣2）2﹣9a， ∴M（2，﹣9a），C（0，﹣5a）， 过点M作MH⊥y轴于点H，设对称轴交x轴于点K． ∵AM⊥CM， ∴∠AMC＝∠KMH＝90°， ∴∠CMH＝∠KMA， ∵∠MHC＝∠MKA＝90°， ∴△MHC∽△MKA， ∴＝， ∴＝， ∴a2＝， ∵a＞0， ∴a＝，故⑤正确， 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考选择题中的压轴题． 二、填空题：本题共6小题，共23分． 11. 计算：_______． 【答案】 【解析】 【分析】先把化简为2，再合并同类二次根式即可得解. 【详解】2-=. 故答案为：. 【点睛】本题考查了二次根式的运算，正确对二次根式进行化简是关键． 12. 在实数范围内分解因式：_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平方差公式分解因式，把3写成的平方是利用平方差公式的关键．把3写成的平方，然后再利用平方差公式进行分解因式． 【详解】解：． 故答案为：． 13. 函数中，自变量x的取值范围是__________． 【答案】x≥-2且x≠1 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件即可求出结论． 【详解】解：由题意可得 解得x≥-2且x≠1 故答案为：x≥-2且x≠1． 【点睛】此题考查的是求自变量的取值范围，掌握二次根式有意义的条件和分式有意义的条件是解决此题的关键． 14. 若关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则k的值为_______________． 【答案】##0.75 【解析】 【分析】将k看做已知数求出x与y，代入2x十3y= 6中计算即可得到k的値． 详解】解： ①+②得：2x=14k，即x=7k， 将x=7k代入①得：7k+y=5k，即y=-2k， 将x=7k，y=-2k代入2x+3y=6得：14k-6k=6， 解得：k= 故答案为： 【点睛】此题考查了二元一次方程组的解以及二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边成立的未知数的值． 15. 直线l1：y＝x+1与直线l2：y＝mx+n相交于点P（a，2），则关于x的不等式x+1≥mx+n的解集为_____． 【答案】x≥1 【解析】 【分析】将P(a，2)代入直线l1：y＝x+1中求出a＝1，然后再根据图像越在上方，其对应的函数值越大即可求解． 【详解】解：将点P(a，2)坐标代入直线y＝x+1，得a＝1， 从图中直接看出，在P点右侧时，直线l1：y＝x+1在直线l2：y＝mx+n的上方， 即当x≥1时，x+1≥mx+n， 故答案为：x≥1． 【点睛】本题考查了一元一次不等式与一次函数的关系，图像越在上方，其对应的函数值就越大． 16. 如图，点A是反比例函数的图象上任意一点，AB∥x轴交反比例函数的图象于点B，以为边作平行四边形，其中C、D在x轴上，若平行四边形的面积为11，则k的值为 _____． 【答案】6 【解析】 【分析】过点作轴，过点作轴，可证得，得出，然后根据的几何意义求解． 【详解】解：过点作轴，过点作轴，则， 四边形为平行四边形， ，， ， 在和中 ， ， ， 又， ， ． 故答案为：6． 【点睛】本题考查了反比例函数的几何含义，平行四边形的性质．需要我们熟练掌握把已知图形转化为模型图形（与相关的矩形或三角形）的能力． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，解题的关键是先化简再去计算．根据零指数幂、平方根、立方根进行化简以后再计算即可． 【详解】解： ． 18. 解不等式组: 【答案】 【解析】 【分析】先求得每个不等式的解集，后根据口诀确定不等式组的解集． 【详解】解： ， ， ∴ 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握解不等式组的基本步骤是解题的关键． 19. 先化简，再求值：，其中. 【答案】 【解析】 【分析】根据分式运算法则进行化简，再代入求解． 【详解】解：原式= 将代入原式得． 【点睛】此题主要考查分式的运算，解题的关键是熟知分式的运算法则． 20. 如图，，点D在边上，，和相交于点O．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定，三角形的内角和定理，根据对顶角相等，结合三角形的内角和定理推出，利用即可得证． 【详解】证明：∵和相交于点O， ∴， 在和中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即； 在和中 ； ∴． 21. 已知，与成正比例，与成正比例，当时，；当时，．求与的函数关系式，并说明此函数是什么函数． 【答案】，y是x的一次函数 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，解方程组，熟练掌握待定系数法是解题的关键．根据与成正比例，设，根据与成正比例，设结合，把时，；时，，代入求解方程组解答即可． 【详解】解：∵与成正比例，设， ∵与成正比例，设 ∵， ∴， 把时，；时，，代入得 ， 解得， ∴， 故y是x的一次函数． 22. 如图，，交于点C、D，是半径，且于点F． （1）求证：； （2）若，，求的半径． 【答案】（1）见解析 （2）6 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理、等腰三角形三线合一、勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题关键． （1）先根据等腰三角形的三线合一可得，再根据垂径定理可得，然后根据线段和差即可得证； （2）连接，设的半径为r，则，，再根据垂径定理可得，然后在中，利用勾股定理求解即可得． 【小问1详解】 证明：∵，于点F， ∴， 又∵是的半径，， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：如图，连接， 设的半径为r，则， 由得：， ∵是的半径，，， ∴， 在中，由勾股定理可得：，解得：， ∴的半径为6． 23. 某玩具商场内有形形色色的玩具，其中两种玩具最受孩子们欢迎．已知1个种玩具和2个种玩具共卖360元，2个种玩具和3个种玩具共卖640元． （1）两种玩具的单价各是多少元？ （2）某机构计划团购两种玩具共15个，其中种玩具的数量不超过种玩具数量的，则该机构购买多少个种玩具花费最低？最低花费为多少元？ 【答案】（1）种玩具的单价为200元、种玩具的单价为80元 （2）当购买种玩具10个时花费最低，最低花费为2400元 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用： （1）根据两种购买信息列出二元一次方程组，解之可得单价； （2）由两种玩具数量限制列不等式求得A玩具数量的范围，再由利润和A玩具数量的函数关系，确定A的具体数量求出函数值即可． 【小问1详解】 解：设种玩具单价为元、种玩具的单价为元． 由题意得 解得 答：种玩具的单价为200元、种玩具的单价为80元． 【小问2详解】 解：设购买种玩具个，则购买种玩具个． 由题意得， 解得． 设总价为元， 则． ， ∴W随的增大而增大， 当时，（元）． 答：当购买种玩具10个时花费最低，最低花费为2400元． 24. 如图，抛物线与x轴交于A、B两点（B在A的左边），与y轴交于点，顶点为． （1）求该抛物线所对应的函数关系式； （2）如图，若点P是第二象限内抛物线上的一动点，过点P作轴于点M，交于点E，连接，是否存在点P，使得与相似？若存在，请求出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在，P点坐标为或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的综合应用，相似三角形的判定和性质． （1）设出顶点式，待定系数法求解析式即可； （2）求出的坐标，进而求出的解析式，设，则，易得是等腰直角三角形，根据相似，得到也是等腰直角三角形，分和，两种情况，进行讨论求解即可． 利用数形结合和分类讨论的思想，进行求解，是解题的关键． 【小问1详解】 解：设， 将点代入，得， ∴， ∴； 【小问2详解】 存在点P，使得与相似，理由如下： 令，则， ∴或， ∴， 设的解析式为， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∵与相似， ∴也是等腰直角三角形， ①当时，， ∴， ∴或， ∵， ∴， ∴； ②当时，， ∴， ∴或， ∵， ∴， ∴； 综上所述：P点坐标为或． 25. 如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，点，一次函数与y轴交于点C． （1）求反比例函数和一次函数解析式； （2）连接，求的面积； （3）如图2，点E是反比例函数图象上A点右侧一点，连接，把线段绕点A顺时针旋转，点E的对应点F恰好也落在这个反比例函数的图象上，求点E的坐标． 【答案】（1）； （2）4 （3）点E的坐标为 【解析】 【分析】（1）将代入反比例函数的解析式求得m的值，再将代入，即可求解； （2）利用的面积，即可求解； （3）设点，，又，利用等腰直角三角形的性质列方程组，解方程组即可求解. 【小问1详解】 解：将代入反比例函数， 解得， ∴， 将代入， 得， 将，点代入， ，解得， ∴； 【小问2详解】 解：设一次函数与x轴交于点D， 令，则，令，则， ∴的面积 ； ； 【小问3详解】 解：设点，又， 由旋转知：为等腰直角三角形， ∴， 解得， ∴. 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题．也考查了等腰直角三角形的性质．利用待定系数法确定反比例函数与一次函数的解析式；要能够借助直线和y轴的交点运用分割法求得不规则图形的面积是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 莆田第二十五中学2024-2025学年下学期九年数学月考一 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在0，，，四个数中，最大的数是（ ） A B. 0 C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列分式中，是最简分式是（ ） A. B. C. D. 4. 截至年月日，全国家电以旧换新数据平台显示，八大类家电产品带动销售约亿元．数“亿”用科学记数法表示为（    ） A. B. C. D. 5. 下列图像不能反映y是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列各式进行的变形中，正确的是（　　） A. 若，则 B 若，则 C. 若，则 D. 若，则 7. 明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题：“隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤.”其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两，如果每人分九两，则还差半斤（注：明代时1斤=16两，故有“半斤八两”这个成语）.设有人分银子，根据题意所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如果把分式中x、y的值都变为原来的2倍，则分式的值（ ） A. 变为原来的2倍 B. 不变 C. 变为原来的 D. 变为原来的4倍 9. 关于的不等式的解集为，则下列判断正确的是（ 　） A. B. C. D. 为任意数 10. 如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（5，0），与y轴交于点C，其对称轴为直线x＝2，结合图象分析如下结论：①abc＞0；②b+3a＜0；③当x＞0时，y随x增大而增大；④若一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A，则点E（k，b）在第四象限；⑤点M是抛物线的顶点，若CM⊥AM，则a＝．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题：本题共6小题，共23分． 11. 计算：_______． 12. 在实数范围内分解因式：_______． 13. 函数中，自变量x的取值范围是__________． 14. 若关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则k的值为_______________． 15. 直线l1：y＝x+1与直线l2：y＝mx+n相交于点P（a，2），则关于x的不等式x+1≥mx+n的解集为_____． 16. 如图，点A是反比例函数图象上任意一点，AB∥x轴交反比例函数的图象于点B，以为边作平行四边形，其中C、D在x轴上，若平行四边形的面积为11，则k的值为 _____． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算． 18. 解不等式组: 19. 先化简，再求值：，其中. 20. 如图，，点D在边上，，和相交于点O．求证：． 21. 已知，与成正比例，与成正比例，当时，；当时，．求与的函数关系式，并说明此函数是什么函数． 22. 如图，，交于点C、D，是半径，且于点F． （1）求证：； （2）若，，求的半径． 23. 某玩具商场内有形形色色的玩具，其中两种玩具最受孩子们欢迎．已知1个种玩具和2个种玩具共卖360元，2个种玩具和3个种玩具共卖640元． （1）两种玩具的单价各是多少元？ （2）某机构计划团购两种玩具共15个，其中种玩具的数量不超过种玩具数量的，则该机构购买多少个种玩具花费最低？最低花费为多少元？ 24. 如图，抛物线与x轴交于A、B两点（B在A的左边），与y轴交于点，顶点为． （1）求该抛物线所对应的函数关系式； （2）如图，若点P是第二象限内抛物线上的一动点，过点P作轴于点M，交于点E，连接，是否存在点P，使得与相似？若存在，请求出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 25. 如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，点，一次函数与y轴交于点C． （1）求反比例函数和一次函数解析式； （2）连接，求的面积； （3）如图2，点E是反比例函数图象上A点右侧一点，连接，把线段绕点A顺时针旋转，点E的对应点F恰好也落在这个反比例函数的图象上，求点E的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $