精品解析：山东省德州市禹城市齐鲁中学2024-2025学年下学期八年级3月月考数学试题

2024-2025学年数学八下3月月考 时间：120分钟 满分：150分 一、单选题（每小题4分，共48分） 1. 下列式子中，为最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式计算正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 下面四个命题：①对顶角相等；②同旁内角互补，两直线平行；③全等三角形的对应角相等；④如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等，其中逆命题是真命题的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 下列说法中错误的是( ) A. 若∠C=∠A–∠B，则△ABC为直角三角形 B. 若a∶b∶c=2∶2∶2，则△ABC为直角三角形 C. 若a=c，b=c，则△ABC为直角三角形 D. 若∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5，则△ABC为直角三角形 5. 已知，，则a与b的关系是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，，，以B为圆心，为半径画弧，交x轴负半轴于点C，则点C的坐标为（　　） A. B. C. D. 7. 如图，在波平如镜的湖面上，有一朵盛开的美丽的红莲，它高出水面3尺．突然一阵大风吹过，红莲被吹至一边，花朵刚好齐及水面，如果知道红莲移动的水平距离为6尺，则水是（　　）尺． A. 3.5 B. 4 C. 4.5 D. 5 8. 如图，在9×5的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若BD是∠ABC的平分线，则BD的长为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在等腰中，，，且，以边，，为直径画半圆，则所得两个月形图案和（图中阴影部分）的面积之和等于（ ） A. B. C. 4 D. 2 10. 如图，将的矩形纸片放在以所在直线为轴，边上一点为坐标原点的直角坐标系中，连接将纸片沿折叠，使点落在边上的点处，则点的坐标为（　　） A. B. C. D. 11. 把代数式中的移到根号内，那么这个代数式等于（ ） A. B. C. D. 12. 毕达哥拉斯树，也叫“勾股树”，是由毕达哥拉斯根据勾股定理所画出来的一个可以无限循环重复的树形图形，因为重复数次后的形状好似一棵树，所以被称为毕达哥拉斯树，毕达哥拉斯树的形成如图所示，若第n次操作后，图中正方形的个数为511 个，则n的值为 （ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 二、填空题（每小题4分，共24分） 13. 在式子中，字母x的取值范围是______． 14. 已知、、为的三边，且满足，则是___________ 15. 实数a、b在数轴上的对应点如图所示，化简:的结果是_________． 16. 临汾是帝尧之都，有着尧都之称．尧都华表柱身祥云腾龙，顶蹲冲天吼，底座浮雕长城和黄河壶口瀑布，是中华民族历史悠久、文化灿烂的标志．如图，在底面周长约为6米且带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面均匀地盘绕2圈到达柱顶正上方（从点A到点，为的中点），每根华表刻有雕龙的部分的柱身高约16米，则雕刻在石柱上的巨龙至少为____________． 17. 在中，，为BC边上的高，，则BC的长为___________． 18. 如图，在中，，垂足为平分，交于点，交于点．若，则线段的长为___________． 三、解答题 19. 计算： （1）3 （2） （3） （4）． 20. （1）已知，求下列各式的值： ① ②；③． ④ （2）已知，求代数式的值； 21. 如图，四边形是舞蹈训练场地，要在场地上铺上草坪．经过测量得知：，，，，． （1）判断∠D是不是直角，并说明理由； （2）求四边形需要铺的草坪的面积． 22. 如图，P是等边三角形ABC内的一点，连接PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ＝60°，且BQ＝BP，连接CQ． （1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论； （2）若∠APB＝150°，PB＝8，PA＝6，连接PQ，求PC的长． 23. 由于过度采伐森林和破坏植被，我国部分地区频频遭受沙尘暴的侵袭．近日，A城气象局测得沙尘暴中心在A城的正西方向240km的B处，以每时12km的速度向北偏东60°方向移动，距沙尘暴中心150km的范围为受影响区域． （1）A城是否受到这次沙尘暴的影响？为什么？ （2）若A城受这次沙尘暴影响，那么遭受影响的时间有多长？ 24. “数形结合”是一种重要的数学思想，有着广泛的应用． 例：求的最小值． 解题思路：如图，作线段，分别构造直角边为1，x和，2的两个直角三角形，当点A，D，E在一条直线上时，转化为两点之间线段最短，在中，由勾股定理，得，即，所以求得的最小值为5． 【类比求值】 （1）类比上面解题思路，完成下面的填空： ①求的最小值为______； ②求（a，b，c为正数，）的最小值为______． 【解决问题】 （2）如图，在矩形花园中，米，米，计划要铺设两条小路，点E在上．要使最小，设米． ①请用（1）中的结论，求最小值是多少？ ②若不用（1）中的结论，你还有其他解决方案吗？请写下来． 25. 如图，中，，若点P从点A出发，以每秒的速度沿折线运动，设运动时间为t秒（）． （1）若点P在上，且满足时，求出此时t的值； （2）若点P恰好在的角平分线上，求t的值； （3）在运动过程中，直接写出当t为何值时，为等腰三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年数学八下3月月考 时间：120分钟 满分：150分 一、单选题（每小题4分，共48分） 1. 下列式子中，为最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用最简二次根式定义进行解答即可． 【详解】A、是最简二次根式，故此选项符合题意； B、，故原式不是最简二次根式，故此选项不合题意； C、，故原式不是最简二次根式，故此选项不合题意； D、，故原式不是最简二次根式，故此选项不合题意； 故选：A 【点睛】本题主要考查了最简二次根式，关键是掌握最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 2. 下列各式计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算．根据二次根式的乘除法和加减法法则计算即可判断． 【详解】解：A、，本选项符合题意； B、，本选项不符合题意； C、与不是同类二次根式，不能合并，本选项不符合题意； D、，本选项不符合题意； 故选：A． 3. 下面四个命题：①对顶角相等；②同旁内角互补，两直线平行；③全等三角形的对应角相等；④如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等，其中逆命题是真命题的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，再把逆命题进行判断即可． 【详解】解：①对顶角相等的逆命题是相等的解是对顶角，是假命题； ②同旁内角互补，两直线平行的逆命题为：两直线平行，同旁内角互补是真命题； ③全等三角形的对应角相等的逆命题为：对应角相等的三角形是全等三角形，是假命题； ④如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等的逆命题为：如果两个实数相等，那么它们的平方相等，是真命题， 其中逆命题是真命题的有2个， 故选：B 【点睛】此题考查了命题与定理，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题． 4. 下列说法中错误的是( ) A. 若∠C=∠A–∠B，则△ABC为直角三角形 B. 若a∶b∶c=2∶2∶2，则△ABC为直角三角形 C. 若a=c，b=c，则△ABC为直角三角形 D. 若∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5，则△ABC为直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】利用直角三角形的判定方式逐一判定即可． 【详解】A．若∠C=∠A-∠B，则2∠A=180°，所以∠A=90°，则△ABC为直角三角形，该说法正确； B．若a：b：c=2：2：2，由勾股定理的逆定理可得：a2+b2=c2，则△ABC为直角三角形，该说法正确； C．若a=c，b=c，由勾股定理的逆定理可得：a2+b2=c2，则△ABC为直角三角形，该说法正确； D．若∠A：∠B：∠C=3：4：5，则三角形中最大角为75°≠90°则△ABC不为直角三角形，该说法错误； 故选：D． 【点睛】本题考查了直角三角形的判定，正确运用勾股定理的逆定理是解题的关键． 5. 已知，，则a与b的关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查的是二次根式的化简，掌握分母有理化是解决此题的关键．将a，b分母有理化，然后求出，，，即可得出结论． 【详解】解： ， ∴， ， ，故D正确． 故选：D． 6. 如图，，，以B为圆心，为半径画弧，交x轴负半轴于点C，则点C的坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，以及坐标系中点的坐标的特征等知识点，利用勾股定理求出的长，再根据即可得解，熟练掌握利用勾股定理求出的长度是解决此题的关键． 【详解】解：， ，， 在中，由勾股定理得： ， ， 点， 故故选：：D． 7. 如图，在波平如镜的湖面上，有一朵盛开的美丽的红莲，它高出水面3尺．突然一阵大风吹过，红莲被吹至一边，花朵刚好齐及水面，如果知道红莲移动的水平距离为6尺，则水是（　　）尺． A. 3.5 B. 4 C. 4.5 D. 5 【答案】C 【解析】 【详解】如图，设水深h尺， 在Rt△ABC中，AB＝h，AC＝h＋3，BC＝6， 由勾股定理得，AC2＝AB2＋BC2，即（h+3）2＝h2＋62， ∴h2＋6h＋9=h2＋36， 解得h=4.5． 故选：C． 8. 如图，在9×5的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若BD是∠ABC的平分线，则BD的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用勾股定理求出、、的长，可得为等腰三角形，利用等腰三角形三线合一可得的值，继续用勾股定理即可求出的值． 【详解】解：由题可知，，，， ， 又平分， ，且,即三角形ABD是直角三角形， ． 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，等腰三角形的三线合一，熟练掌握相关定理是解题的关键． 9. 如图，在等腰中，，，且，以边，，为直径画半圆，则所得两个月形图案和（图中阴影部分）的面积之和等于（ ） A. B. C. 4 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，求不规则图形面积，先利用勾股定理求出，则，再根据进行求解即可． 【详解】解：在等腰中，，，且， ∴由勾股定理得， ∴， ∴， ∴ ， 故选：D． 10. 如图，将的矩形纸片放在以所在直线为轴，边上一点为坐标原点的直角坐标系中，连接将纸片沿折叠，使点落在边上的点处，则点的坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了翻折变换，勾股定理，矩形的性质，坐标与图形变化，由矩形的性质和折叠的性质可得，，，由勾股定理可求的长，即可求的长，再由勾股定理可求的长，即可得点坐标，灵活运用折叠的性质是本题的关键． 【详解】解：四边形是矩形 ，， 连接将纸片沿折叠， ， 在中， 在中，， ， 点坐标， 故选：B． 11. 把代数式中的移到根号内，那么这个代数式等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：（a-1）=-（1-a）=． 故选A． 12. 毕达哥拉斯树，也叫“勾股树”，是由毕达哥拉斯根据勾股定理所画出来的一个可以无限循环重复的树形图形，因为重复数次后的形状好似一棵树，所以被称为毕达哥拉斯树，毕达哥拉斯树的形成如图所示，若第n次操作后，图中正方形的个数为511 个，则n的值为 （ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查图形规律探究，总结归纳出图形变化后正方形个数规律是解题的关键． 通过分析图中正方形个数，得出第n次操作后，图中正方形的个数为，根据第n次操作后，图中正方形的个数为511 个，得，则，即可求得n值． 【详解】解：第1次操作后，图中正方形的个数为个， 第2次操作后，图中正方形的个数为个， … 若第n次操作后，图中正方形的个数为个， ，即， ∴． 故选：B． 二、填空题（每小题4分，共24分） 13. 在式子中，字母x的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】根据分式的分母不能为0、二次根式的被开方数大于或等于0列出式子求解即可得． 【详解】解：由题意得：， 解得且， 故答案为：且． 【点睛】本题主要考查了分式和二次根式有意义的条件，熟练掌握分式和二次根式的定义是解题关键． 14. 已知、、为的三边，且满足，则是___________ 【答案】等腰三角形或直角三角形 【解析】 【分析】本题主要考查了非负性质，勾股定理的逆定理，等腰三角形的判定等知识，根据非负性质得出或，然后分三种情况讨论判定． 【详解】解：∵， ∴或， 即或， 当时，是等腰三角形， 当时，是直角三角形， 故答案为∶ 等腰三角形或直角三角形 15. 实数a、b在数轴上的对应点如图所示，化简:的结果是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了数轴，二次根式的性质与化简，利用数轴得出，进而化简得出答案，正确得出各部分符号是解题关键． 【详解】解：如图所示：， ∴ ， 故答案为：． 16. 临汾是帝尧之都，有着尧都之称．尧都华表柱身祥云腾龙，顶蹲冲天吼，底座浮雕长城和黄河壶口瀑布，是中华民族历史悠久、文化灿烂的标志．如图，在底面周长约为6米且带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面均匀地盘绕2圈到达柱顶正上方（从点A到点，为的中点），每根华表刻有雕龙的部分的柱身高约16米，则雕刻在石柱上的巨龙至少为____________． 【答案】20 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用——最短距离问题，解题的关键是能够将圆柱体的侧面展开，并分析出每圈龙的长度与高度和圆柱的周长组成直角三角形． 根据题意得到把圆柱体的侧面展开后是长方形，每圈龙的长度与高度和圆柱的周长组成直角三角形，根据勾股定理求出每圈龙的长度，最后乘2即可得到结果． 【详解】解：根据题意得：把圆柱体的侧面展开后是长方形， 如图，雕龙把大长方形均分为2个小长方形，则雕刻在石柱上的巨龙的最短长度为2个小长方形的对角线的和， ∵底面周长约为6米，柱身高约16米， ∴，， 在中 ， ∴雕刻在石柱上的巨龙至少为米． 故答案为：20． 17. 在中，，为BC边上的高，，则BC的长为___________． 【答案】7或5 【解析】 【分析】如图所示，分D在BC之间和BC延长线上两种情况考虑，先由求出BD，再求出BC的长． 【详解】解：如图，∵在Rt△ABD中，，， ∴，即：， ∴， 当D在BC之间时，BC=BD+CD=6+1=7； 当D在BC延长线上时，BC=BD-CD=6-1=5； 故答案为：7或5． 【点睛】此题主要考查了解三角形，根据已知得出两种符合要求的图形，即三角形为钝角三角形或锐角三角形分别分析是解题关键． 18. 如图，在中，，垂足为平分，交于点，交于点．若，则线段的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，角平分线的性质，等腰三角形的判定，过点作，垂足为，先在中，利用勾股定理求出，从而利用面积法求出的长，再利用角平分线的性质可得，从而利用面积法求出，然后利用角平分线的定义可得，再利用等角的余角相等可得，最后结合对顶角相等可得，从而可得，进而利用线段的和差关系，进行计算即可解答，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作，垂足为， ，，， ， 的面积， ， ， ， 平分，，， ， 的面积的面积的面积， ， ， ， ， 平分， ， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题 19. 计算： （1）3 （2） （3） （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】根据二次根式的混合运算，先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可． 【小问1详解】 【小问2详解】 【小问3详解】 【小问4详解】 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 20. （1）已知，求下列各式的值： ① ②；③． ④ （2）已知，求代数式的值； 【答案】（1）①；②1；③14；④；（2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，代数式求值，配方法，掌握平方差公式、完全平方公式的各种变形是解题的关键． （1）①代入计算即可； ②代入计算即可； ③利用完全平方公式即可解答； ④先通分，再计算即可； （2）根据配方法把化为，再计算即可． 【详解】解：（1）①； ②； ③； ④； （2） ， 把代入可得． 21. 如图，四边形是舞蹈训练场地，要在场地上铺上草坪．经过测量得知：，，，，． （1）判断∠D是不是直角，并说明理由； （2）求四边形需要铺的草坪的面积． 【答案】（1）直角，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）直接利用勾股定理以及勾股定理的逆定理分析得出答案； （2）直接利用直角三角形面积求法分析得出答案． 【小问1详解】 解：是直角，理由如下： 连接， 在中，， 由勾股定理得：， 在中，， ， ， 是直角三角形，； 【小问2详解】 ， 四边形需要铺的草坪的面积为． 【点睛】此题主要考查了勾股定理及其逆定理的应用，正确应用勾股定理是解题关键． 22. 如图，P是等边三角形ABC内的一点，连接PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ＝60°，且BQ＝BP，连接CQ． （1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论； （2）若∠APB＝150°，PB＝8，PA＝6，连接PQ，求PC的长． 【答案】（1）AP=CQ，证明见解析；（2）10． 【解析】 【分析】（1）AP＝CQ．证明△ABP≌△CBQ即可得证； （2）连接PQ，证明∠PQC＝90°，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）AP＝CQ． 证明：∵△ABC为等边三角形， ∴∠ABC＝60°，AB＝CB， ∴∠ABP+∠PBC＝60°． 又∵∠PBQ＝∠PBC+∠CBQ＝60°， ∴∠ABP＝∠CBQ． 在△ABP和△CBQ中， ， ∴△ABP≌△CBQ（SAS）， ∴AP＝CQ． （2）连接PQ，如图所示． ∵△ABP≌△CBQ， ∴∠BQC＝∠BPA＝150°． ∵BP＝BQ，∠PBQ＝60°， ∴△PBQ为等边三角形， ∴PQ＝PB＝8，∠BQP＝60°， ∴∠PQC＝90°． 在Rt△PQC中，∠PQC＝90°，PQ＝8，CQ＝AP＝6， ∴PC＝＝10． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，旋转的意义，直角三角形的性质与勾股定理，熟练掌握旋转的意义，灵活应用勾股定理是解题的关键． 23. 由于过度采伐森林和破坏植被，我国部分地区频频遭受沙尘暴的侵袭．近日，A城气象局测得沙尘暴中心在A城的正西方向240km的B处，以每时12km的速度向北偏东60°方向移动，距沙尘暴中心150km的范围为受影响区域． （1）A城是否受到这次沙尘暴的影响？为什么？ （2）若A城受这次沙尘暴影响，那么遭受影响的时间有多长？ 【答案】（1）受影响，理由见解析；（2）15小时 【解析】 【分析】（1）过点作AC⊥BM，垂足为C，在Rt△ABC中，由题意可知∠ABC=30°，由此可以求出AC 的长度，然后和150km比较大小即可判断A城是否受到这次沙尘暴的影响； （2）如图，设点E、F是以A为圆心，150km为半径的圆与BM的交点，根据勾股定理可以求出CE的长度，也就求出了EF的长度，然后除以沙尘暴的速度即可求出遭受影响的时间. 【详解】解：（1）过点A作AC⊥BM，垂足为C， 在Rt△ABC中，由题意可知∠CBA＝30°， ∴AC＝AB＝×240＝120， ∵AC＝120＜150， ∴A城将受这次沙尘暴的影响． （2）设点E，F是以A为圆心，150km为半径的圆与MB的交点，连接AE，AF， 由题意得，，CE＝90 ∴EF＝2CE＝2×90＝180 180÷12＝15（小时） ∴A城受沙尘暴影响的时间为15小时． 【点睛】本题考查了直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半及勾股定理的应用，正确理解题意，把握好题目的数量关系是解决问题的关键． 24. “数形结合”是一种重要的数学思想，有着广泛的应用． 例：求的最小值． 解题思路：如图，作线段，分别构造直角边为1，x和，2的两个直角三角形，当点A，D，E在一条直线上时，转化为两点之间线段最短，在中，由勾股定理，得，即，所以求得的最小值为5． 【类比求值】 （1）类比上面解题思路，完成下面的填空： ①求的最小值为______； ②求（a，b，c为正数，）的最小值为______． 【解决问题】 （2）如图，在矩形花园中，米，米，计划要铺设两条小路，点E在上．要使最小，设米． ①请用（1）中的结论，求最小值是多少？ ②若不用（1）中的结论，你还有其他解决方案吗？请写下来． 【答案】（1）①13② （2）①100 ②作点关于的对称点，连接， 则：，， ∴， ∵矩形， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为100． 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，利用轴对称求最短距离，掌握数形结合的思想，是解题的关键． （1）类比题干给出的方法，进行求解即可； （2）①直接利用结论求解即可；②作点关于的对称点，连接，得到，进行求解即可． 【详解】解：（1）①如图：作线段，分别构造直角边为2，x和，3的两个直角三角形，当点A，D，E在一条直线上时，转化为两点之间线段最短，在中，由勾股定理，得，即，所以求得的最小值为13． 故答案为：13. ②如图，同法①可得：的最小值为：； 故答案为： （2）①∵矩形， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理，得：， ∴ 由（1）中结论可得：的最小值为：； ②略 25. 如图，中，，若点P从点A出发，以每秒的速度沿折线运动，设运动时间为t秒（）． （1）若点P在上，且满足时，求出此时t的值； （2）若点P恰好在的角平分线上，求t的值； （3）在运动过程中，直接写出当t为何值时，为等腰三角形． 【答案】（1） （2）或 （3）或或或 【解析】 【分析】（1）根据已知可得的长，的长，从而可得的长，在直角三角形中利用勾股定理即可求得； （2）过P作于E，连接，根据角平分线的性质和三角形面积法列方程式求出，由此可求出t；当点运动返回到A点也符合题意； （3）分类讨论：当点P在上，，为等腰三角形时，根据的长即可得到t的值，当点P在上，，为等腰三角形时，根据P移动的路程易得t的值；当点P在上，，为等腰三角形时，过点C作于D，根据等腰三角形的性质得求出，进而求出即可得到答案；当点P在上，，为等腰三角形时，过点P作于D，则D为的中点，利用面积法求出，进而利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【小问1详解】 解：如图， ∵在中，， ∴由勾股定理得， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，根据勾股定理得，即， 解得； 【小问2详解】 解：如图，过P作于H，连接， ∵点P在的平分线上，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴（秒）； 当点运动返回到A点也符合题意， ∴（秒） 综上：点P恰好在的角平分线上，t的值为或6； 【小问3详解】 解：如图所示，当点P在上，，为等腰三角形时， 则， 解得； 如图所示，当点P在上，，为等腰三角形时， ∴， ∴； 如图所示，当点P在上，，为等腰三角形时，过点C作于D， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∴， ∴， ∴； 如图所示，当点P在上，，为等腰三角形时，过点P作于D，则D为的中点， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，当t为或5或或时，为等腰三角形． 【点睛】本题考查三角形综合题， 角平分线的性质， 等腰三角形的判定与性质， 勾股定理的应用．能熟练运用勾股定理解直角三角形在本题中至关重要，掌握等腰三角形的性质和会分类讨论思想是解决（3）的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $