精品解析：湖北省黄冈市英山县实验中学2024-2025学年九年级下学期3月质量检测数学试卷

2025年3月九年级数学质量检测试题 （时间：120分钟满分：120分） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 2025的相反数是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了求一个数的相反数，熟悉掌握只有符号不同的两个数互为相反数是解题的关键． 根据相反数的定义判断即可． 【详解】解：的相反数为， 故选：A． 2. 下列实数中的无理数是（　　） A. 3.14 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了无理数的概念．根据无理数的概念，无理数是无限不循环小数，即可求解． 【详解】解：A、3.14是有限小数，是有理数，不是无理数，本选项不符合题意； B、是分数，属于有理数，不是无理数，本选项不符合题意； C、属于无理数，本选项符合题意； D、，是整数，属于有理数，不是无理数，本选项不符合题意； 故选：C． 3. 计算（2a2）3的结果是 A. 2a6 B. 6a6 C. 8a6 D. 8a5 【答案】C 【解析】 【分析】利用幂的乘方与积的乘方的性质求解即可求得答案． 【详解】解：（2a2）3=8a6． 故选C． 【点睛】本题考查幂的乘方与积的乘方的性质．此题比较简单，注意掌握指数的变化是解此题关键． 4. 如果分式的值为0，那么的值为（　　） A. 1 B. C. 或0 D. 1或 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可． 根据分式的值为零的条件可以求出x的值． 【详解】∵分式的值为0， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 5. 如果，，那么值为（ ） A. 0 B. 1 C. 4 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查因式分解，代数式求值，先将多项式进行因式分解，利用整体代入法，求值即可． 【详解】解：∵，， ∴ ； 故选D． 6. 下列说法正确的是（ ） A. 检测神舟十八号载人飞船零件的质量采用全面调查 B. “清明时节雨纷纷”是必然事件 C. 如果明天降水的概率是50%，那么明天有半天都在降雨 D. 若甲、乙两组数据平均数相同，，，则乙组数据较稳定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是调查方式选择、事件发生可能性大小及方差的应用，根据调查方式选择，事件发生可能性大小及方差作出判断即可． 【详解】解：A、检测神舟十八号载人飞船零件的质量采用全面调查，正确，故本选项符合题意； B、“清明时节雨纷纷”是不确定事件，故本选项不符合题意； C、如果明天降水的概率是50%，那么明天有半天都在降雨，错误，故本选项不符合题意； D、若甲、乙两组数据的平均数相同，，，则甲组数据较稳定，故本选项不符合题意； 故选：A． 7. 我国古代问题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺：若将绳四折测之，绳多一尺．绳长、井深各几何？这段话的意思是：用绳子量井深，把绳三折来量，井外余绳四尺；把绳四折来量，井外余绳一尺．绳长、井深各几尺？若设绳长为x尺，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程组的实际应用，利用井的深度不变建立方程是解题的关键． 【详解】解：设绳长为x尺，列方程为， 故选A． 8. 如图，在中，，，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于两点，作直线，分别交于点，连接，则的长为（　　） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，以及相似三角形的判定以及性质，由作图可知垂直平分，可得出，，进一步证明，即可得出，由相似三角形的性质可得出，即可求出，即 【详解】解：由作图可知，垂直平分， ∴，， ∵， 即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 9. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点在轴的正半轴上，，点的坐标为，将绕点逆时针旋转，使点的对应点落在边上，连接、，则线段的长度是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出，证明是等边三角形，可得结论． 【详解】解：，， ，， ， ， 由旋转的性质可知，， ， 是等边三角形， ， 故选：B． 【点睛】本题考查坐标与图形变化—旋转，等边三角形的判定，解直角三角形等知识，解题关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 10. 已知抛物线（a，b，c是常数）开口向上，与y轴交于正半轴，经过点，其中，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 时，y随x的增大而增大 D. 关于x的一元二次方程一定有一个根是小于1的正数 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质，根据题意得，，进一步得，解得，，结合对称轴可知C不确定，即可得到方程一定有一个根是小于1的正数． 【详解】解：∵抛物线开口向上，与y轴交于正半轴， ∴，， ∵点，其中， ∴，解得，故A错误； 则，故B错误； 对称轴，无法确定与1的关系，故C错误； ∵，，经过点，其中， ∴方程一定有一个根是小于1的正数，故D正确； 故选：D． 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. “北斗系统”是我国自主建设运行的全球卫星导航系统，国内多个导航地图采用北斗优先定位，目前，北斗定位服务日均使用量已超过24900亿次．24900亿用科学记数法表示为____________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 详解】24900亿． 故答案为：． 12. 中国象棋文化历史久远．在图中所示的部分棋盘中，“馬”的位置在“－－－”（图中虚线）的下方，“馬”移动一次能够到达的所有位置已用“●”标记，则“馬”随机移动一次，到达的位置在“－－－”上方的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】直接由概率公式求解即可． 【详解】解：“馬”移动一次可能到达的位置共有8种， 到达“－－－”上方的由2种， 故则“馬”随机移动一次， 到达的位置在“－－－”上方的概率是， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查利用概率公式计算简单的概率问题，解题的关键是掌握概率＝所求情况数与总情况数之比． 13. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查代数式有意义，根据二次根式的被开方数为非负数，分式的分母不为0，进行求解即可． 【详解】解：由题意，的：， ∴； 故答案为：． 14. 计算：___________． 【答案】## 【解析】 【分析】此题考查了分式的混合运算，首先计算括号内，然后计算括号外乘法求解即可． 【详解】 ． 故答案为：． 15. 如图，在等腰中，，，是边的中点，沿翻折，使点落在同一平面的点处，若，则 （1）的度数为___________． （2）___________． 【答案】 ①. ##45度 ②. 【解析】 【分析】（1）设，由等边对等角和三角形内角和求出，，然后结合折叠的性质求解即可； （2）记的交点为F，设，，则，，，由翻折的性质可知，，，，证明，则，即，可得，则，由勾股定理得，，即，整理得，；，即，整理得，；得，，可求，则，，由勾股定理得，，即，可求满足要求的解，，进而可求的值． 【详解】（1）设 ∵， ∴， ∴ ∴； （2）解：如图，记的交点为F，设，，则，，， 由翻折的性质可知，，，， ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴，即， 解得，， ∴， 由勾股定理得，，即，整理得，； ，即，整理得，； 得，， ∴， ∴，， 由勾股定理得，，即， 解得，或（舍去）， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了翻折的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识．熟练掌握翻折的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理是解题的关键． 三、解答题（共75分） 16. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数运算．直接利用零指数幂的性质，二次根式的性质以及负整数指数幂的性质、绝对值分别化简得出答案． 【详解】解： ． 17. 如图，四边形为矩形，对角线，交于点O， 交的延长线于点E． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形，熟练掌握矩形性质、平行四边形判定与性质，等腰三角形判定与性质，是解决问题的关键． （1）根据矩形性质，得到，，结合，得到四边形为平行四边形，得到，即得； （2）由知，，，由矩形性质知，得到，由三角形内角和定理即得． 【小问1详解】 ∵四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴； 【小问2详解】 ∵， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴． 18. 某“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动．他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，他们在该旗杆底部所在的平地上，选取两个不同测点，分别测量了该旗杆顶端的仰角以及这两个测点之间的距离，为了减小测量误差，小组在测量仰角的度数以及两个测点之间的距离时，都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果，测量数据如下表（不完整）． 课题 测量旗杆的高度 测量示意图 说明：线段表示学校旗杆，测量角度的仪器的高度米，测点，与在同一条水平直线上，，之间的距离可以直接测得，且点，都在同一竖直平面内．点在同一条直线上，点在上． 测量项目 第一次 第二次 平均值 测量数据 的度数 的度数 ，之间的距离 5.4米 5.6米 5.5米 根据以上测量结果，请你帮助该“综合与实践”小组求出学校旗杆的高度． （参考数据：，，，，，） 【答案】的高度为米． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质等知识．熟练掌握解直角三角形的应用，矩形的判定与性质是解题的关键． 由题意知，，，，，，四边形矩形，则，，，由，可得，可求，根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，，，，米，，四边形是矩形， ∴， ∴，， ∵， ∴， 解得，， ∴（米）， ∴的高度为米． 19. 某校为了增强学生的文化自信，举办了“品经典风韵•展文化自信”书香文化节知识竞赛，赛后随机抽取八、九年级各10名参赛同学的竞赛成绩（单位：分） 【数据收集】 八年级：80，80，80，70，70，100，100 九年级：70，90，90，80，70，90，80 【数据整理】 绘制成如下两幅不完整的统计图． 【数据分析】 年级 众数 中位数 平均数 八年级 a 80 84 九年级 90 90 b 根据上述的收集、整理和分析结果，解答下列问题． （1）扇形图中 ，表中 ，并补全条形统计图； （2）请计算表中b的值（需写出计算过程）； （3）若九年级共有100名同学参加了此次竞赛，请你估计九年级参加竞赛的同学中，共有多少名同学在此次竞赛中拿到了满分？ 【答案】（1）20，80；补充条形图见解析 （2）； （3）大约共有20名同学在此次竞赛中拿到了满分． 【解析】 【分析】（1）用70分的人数除以样本容量10可得的值；根据中位数的定义可得的值；用样本容量10分别减去其它分数的人数可得90分的人数，进而补全条形统计图； （2）根据平均数的计算方法解答即可； （3）用100乘样本中拿到满分的学生所占百分比即可． 【小问1详解】 解：由题意得70分学生的占比为：，故， 八年级10名参赛同学的竞赛成绩中80出现的次数最多，故众数； 补充条形图如下， 故答案为：20，80； 【小问2详解】 解：九年级的平均分： （分， 故平均数； 【小问3详解】 解：（名， 估计九年级参加竞赛的同学中，大约共有20名同学在此次竞赛中拿到了满分． 【点睛】本题考查用样本估计总体、中位数、众数，理解各个概念的内涵和计算方法是解题的关键． 20. 如图，一次函数（）的图象与反比例函数（）的图象交于点，，且一次函数与轴，轴分别交于点C，D． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）根据图象直接写出不等式的解集； （3）在第三象限的反比例函数图象上有一点P，使得，求点的坐标． 【答案】（1）， （2）或 （3）点坐标为 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数及一次函数的图象与性质是解题的关键． （1）将点坐标代入反比例函数解析式，求出，再将点坐标代入反比例函数解析式，求出点坐标，最后将，两点坐标代入一次函数解析式即可解决问题； （2）利用反比例函数以及一次函数图象，即可解决问题； （3）根据与的面积关系，可求出点的纵坐标，据此可解决问题． 【小问1详解】 解：将代入得， ∴， 反比例函数的解析式为， 将代入得，， 点的坐标为． 将点和点的坐标代入得， ， 解得， 一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：根据所给函数图象可知， 当或时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，即， 不等式的解集为：或． 【小问3详解】 解：将代入得，， 点的坐标为， ， ． 将代入得，， 点的坐标为， ， 解得． ∵点在第三象限， ∴， 将代入得，， 点坐标为． 21. 如图，在中，，平分交于点，圆心在上，经过点，的分别交，于点，． （1）求证：是的切线； （2）若，，求劣弧的长． 【答案】（1）证明见解析； （2）． 【解析】 【分析】（）连接，由，则，再根据角平分线的定义得，从而有，证明即可求证； （）连接交于点，作于点，则四边形和四边形都是矩形，再由，得，从而有，最后利用弧长计算公式即可． 【小问1详解】 证明：连接， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵是的半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：连接交于点，作于点， ∵是的直径， ∴， ∴四边形和四边形都是矩形， ∴，， ∴，， 在中，， ∴ ∴，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了切线的判定，平行线的判定与性质，弧长计算公式，矩形的判定与性质和三角函数的应用，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 22. 2024年“五一”假期期间，阆中古城景区某特产店销售A，B两类特产．A类特产进价50元/件，B类特产进价60元/件．已知购买1件A类特产和1件B类特产需132元，购买3件A类特产和5件B类特产需540元． （1）求A类特产和B类特产每件的售价各是多少元？ （2）A类特产供货充足，按原价销售每天可售出60件．市场调查反映，若每降价1元，每天可多售出10件（每件售价不低于进价）．设每件A类特产降价x元，每天的销售量为y件，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． （3）在（2）的条件下，由于B类特产供货紧张，每天只能购进100件且能按原价售完．设该店每天销售这两类特产的总利润为w元，求w与x的函数关系式，并求出每件A类特产降价多少元时总利润w最大，最大利润是多少元？（利润＝售价－进价） 【答案】（1）A类特产的售价为60元/件，B类特产的售价为72元/件 （2）（） （3）A类特产每件售价降价2元时，每天销售利润最犬，最大利润为1840元 【解析】 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用、函数关系式和二次函数的性质， 根据题意设每件A类特产的售价为x元，则每件B类特产的售价为元，进一步得到关于x的一元一次方程求解即可； 根据降价1元，每天可多售出10件列出函数关系式，结合进价与售价，且每件售价不低于进价得到x得取值范围； 结合（2）中A类特产降价x元与每天的销售量y件，得到A类特产的利润，同时求得B类特产的利润，整理得到关于x的二次函数，利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设每件A类特产的售价为x元，则每件B类特产的售价为元． 根据题意得． 解得． 则每件B类特产的售价（元）． 答：A类特产的售价为60元/件，B类特产的售价为72元/件． 【小问2详解】 由题意得 ∵A类特产进价50元/件，售价为60元/件，且每件售价不低于进价 ∴． 答：（）． 【小问3详解】 ． ∴当时，w有最大值1840． 答：A类特产每件售价降价2元时，每天销售利润最大，最大利润为1840元． 23. 如图，正方形中，点E、F分别在正方形的边、上，将线段绕点E逆时针旋转，得到线段，点F的对应点是点G，连接． （1）如图①，当点G在边上，且，时，求． （2）如图②，若E是的中点，与相交于点H，连接．求证：平分． （3）如图③，若点F和点B重合，、分别交于点M、N，连接．求证：． 【答案】（1） （2）答案见解析 （3）答案见解析 【解析】 【分析】（1）先根据正方形的性质，得到，然后利用直角三角形的性质推得，再根据全等三角形的判定得到，从而求得的长，最后根据勾股定理计算即得答案； （2）延长和延长线相交于点P，先根据正方形的性质，证明，然后证明，得到，再根据线段垂直平分线的性质，证得，从而得到，即得答案； （3）过点G作，交的延长线于点Q，先证明，得到，，进一步推得，从而可得，继续推理可证明，得到，即可得到答案． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 证明：延长和延长线相交于点P， E是的中点， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 即平分； 【小问3详解】 证明：过点G作，交的延长线于点Q， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，点P是直线上方抛物线上不与抛物线顶点重合的一动点，设点P的横坐标为m． （1）请直接写出a，b的值； （2）如图，若抛物线的对称轴为直线l，点D为直线l上一动点，当垂直平分时，求m的值； （3）过点P作x轴的垂线交于点M，过点P作y轴的垂线与抛物线的另一个交点为N，线段，的长度之和记为d． ①求d关于m的函数解析式； ②根据d的不同取值，试探索点P的个数情况． 【答案】（1） （2） （3）① ②当时，P点有2个，当时，P点只有1个 【解析】 【分析】（1）把，，两点坐标代入，求出a，b的值即可； （2）过点P作轴交于点Q，连接，证明轴，得出直线的解析式为，设，根据，建立方程，解方程，即可求解； （3）①设，且，则，根据对称性可得，则，进而分类讨论得出； ②分别求得两段二次函数的最值，进而画出图象，结合函数图象即可求解． 【小问1详解】 解：把，两点坐标代入，得： ， 解得，； 【小问2详解】 如图1所示，过点P作轴交于点Q，连接， 由（1）可得抛物线解析式为， 对称轴为直线， 当时，，则， ∵，则， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴轴， 设直线的解析式为，将，代入得： ， 解得：， 所以直线BC的解析式为， 设， ∵点P是直线上方抛物线上不与抛物线顶点重合的一动点，则且，则， ∴，， ∵， ∴， 解得：或(舍去)； 【小问3详解】 如图2所示， 设，且，则， 过点P作y轴的垂线与抛物线的另一个交点为N， 则N点与P点关于对称， ∴， ∴，， ∴； 当时，， 当时，， ∴； ②∵， 当时，， ∵当时，， 对称轴为直线，开口向下，当时，d随m的增大而增大，上限为6(取不到)， 当时，， 当时，， 对称轴为直线，开口向下，当时，d随m的增大而减小， 当时，(取不到)， 函数图象如图所示， ∴当时，P点有2个，当时，P点只有1个． 【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数的综合问题，难度较大，运用数形结合思想解题是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年3月九年级数学质量检测试题 （时间：120分钟满分：120分） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 2025的相反数是（　　） A. B. C. D. 2. 下列实数中的无理数是（　　） A. 3.14 B. C. D. 3. 计算（2a2）3的结果是 A 2a6 B. 6a6 C. 8a6 D. 8a5 4. 如果分式的值为0，那么的值为（　　） A. 1 B. C. 或0 D. 1或 5. 如果，，那么的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 4 D. 9 6. 下列说法正确的是（ ） A. 检测神舟十八号载人飞船零件质量采用全面调查 B. “清明时节雨纷纷”是必然事件 C. 如果明天降水的概率是50%，那么明天有半天都在降雨 D. 若甲、乙两组数据平均数相同，，，则乙组数据较稳定 7. 我国古代问题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺：若将绳四折测之，绳多一尺．绳长、井深各几何？这段话的意思是：用绳子量井深，把绳三折来量，井外余绳四尺；把绳四折来量，井外余绳一尺．绳长、井深各几尺？若设绳长为x尺，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于两点，作直线，分别交于点，连接，则的长为（　　） A. 2 B. C. 3 D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点在轴的正半轴上，，点的坐标为，将绕点逆时针旋转，使点的对应点落在边上，连接、，则线段的长度是（ ） A. 1 B. C. D. 10. 已知抛物线（a，b，c是常数）开口向上，与y轴交于正半轴，经过点，其中，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 时，y随x的增大而增大 D. 关于x的一元二次方程一定有一个根是小于1的正数 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. “北斗系统”是我国自主建设运行的全球卫星导航系统，国内多个导航地图采用北斗优先定位，目前，北斗定位服务日均使用量已超过24900亿次．24900亿用科学记数法表示为____________． 12. 中国象棋文化历史久远．在图中所示的部分棋盘中，“馬”的位置在“－－－”（图中虚线）的下方，“馬”移动一次能够到达的所有位置已用“●”标记，则“馬”随机移动一次，到达的位置在“－－－”上方的概率是______． 13. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是_______． 14. 计算：___________． 15. 如图，在等腰中，，，是边的中点，沿翻折，使点落在同一平面的点处，若，则 （1）的度数为___________． （2）___________． 三、解答题（共75分） 16. 计算： 17. 如图，四边形为矩形，对角线，交于点O， 交的延长线于点E． （1）求证：； （2）若，求的度数． 18. 某“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动．他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，他们在该旗杆底部所在的平地上，选取两个不同测点，分别测量了该旗杆顶端的仰角以及这两个测点之间的距离，为了减小测量误差，小组在测量仰角的度数以及两个测点之间的距离时，都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果，测量数据如下表（不完整）． 课题 测量旗杆的高度 测量示意图 说明：线段表示学校旗杆，测量角度仪器的高度米，测点，与在同一条水平直线上，，之间的距离可以直接测得，且点，都在同一竖直平面内．点在同一条直线上，点在上． 测量项目 第一次 第二次 平均值 测量数据 的度数 的度数 ，之间距离 5.4米 5.6米 5.5米 根据以上测量结果，请你帮助该“综合与实践”小组求出学校旗杆的高度． （参考数据：，，，，，） 19. 某校为了增强学生的文化自信，举办了“品经典风韵•展文化自信”书香文化节知识竞赛，赛后随机抽取八、九年级各10名参赛同学的竞赛成绩（单位：分） 【数据收集】 八年级：80，80，80，70，70，100，100 九年级：70，90，90，80，70，90，80 【数据整理】 绘制成如下两幅不完整的统计图． 【数据分析】 年级 众数 中位数 平均数 八年级 a 80 84 九年级 90 90 b 根据上述的收集、整理和分析结果，解答下列问题． （1）扇形图中 ，表中 ，并补全条形统计图； （2）请计算表中b的值（需写出计算过程）； （3）若九年级共有100名同学参加了此次竞赛，请你估计九年级参加竞赛的同学中，共有多少名同学在此次竞赛中拿到了满分？ 20. 如图，一次函数（）的图象与反比例函数（）的图象交于点，，且一次函数与轴，轴分别交于点C，D． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）根据图象直接写出不等式的解集； （3）在第三象限的反比例函数图象上有一点P，使得，求点的坐标． 21. 如图，在中，，平分交于点，圆心在上，经过点，的分别交，于点，． （1）求证：是的切线； （2）若，，求劣弧的长． 22. 2024年“五一”假期期间，阆中古城景区某特产店销售A，B两类特产．A类特产进价50元/件，B类特产进价60元/件．已知购买1件A类特产和1件B类特产需132元，购买3件A类特产和5件B类特产需540元． （1）求A类特产和B类特产每件的售价各是多少元？ （2）A类特产供货充足，按原价销售每天可售出60件．市场调查反映，若每降价1元，每天可多售出10件（每件售价不低于进价）．设每件A类特产降价x元，每天的销售量为y件，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． （3）在（2）的条件下，由于B类特产供货紧张，每天只能购进100件且能按原价售完．设该店每天销售这两类特产的总利润为w元，求w与x的函数关系式，并求出每件A类特产降价多少元时总利润w最大，最大利润是多少元？（利润＝售价－进价） 23. 如图，正方形中，点E、F分别在正方形的边、上，将线段绕点E逆时针旋转，得到线段，点F的对应点是点G，连接． （1）如图①，当点G在边上，且，时，求． （2）如图②，若E是的中点，与相交于点H，连接．求证：平分． （3）如图③，若点F和点B重合，、分别交于点M、N，连接．求证：． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，点P是直线上方抛物线上不与抛物线顶点重合的一动点，设点P的横坐标为m． （1）请直接写出a，b的值； （2）如图，若抛物线的对称轴为直线l，点D为直线l上一动点，当垂直平分时，求m的值； （3）过点P作x轴的垂线交于点M，过点P作y轴的垂线与抛物线的另一个交点为N，线段，的长度之和记为d． ①求d关于m的函数解析式； ②根据d的不同取值，试探索点P的个数情况． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $