精品解析：江苏省扬州市广陵区2024-2025学年八年级上学期1月期末试卷数学试题

2024-2025学年第一学期期末调研考试八年级数学试题 说明： 1．本试卷共6页，包含选择题（第1题~第8题，共8题）、非选择题（第9题～第28题，共20题）两部分．本卷满分150分，考试时间为120分钟． 2．所有的试题都必须在专用的“答题卡”上作答，选择题用2B铅笔作答，非选择题在指定位置用0.5毫米的黑色笔作答．在试卷或草稿纸上答题无效． 3．如有作图需要，请用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将该选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 第33届夏季奥运会将于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行，如图所示巴黎奥运会项目图标中，轴对称图形（ ） A. B. C. D. 2. 下列实数是无理数的是（ ） A. B. C. 5 D. 3.14 3. 根据下列表述，能确定准确位置的是（ ） A. 万达影城1号厅2排 B. 扬州中学南偏东 C. 东经，北纬 D. 文昌西路 4. 我国传统工艺中，油纸伞制作非常巧妙，其中蕴含着数学知识．如图是油纸伞的张开示意图，，则的依据是（ ） A. B. C. D. 5. 在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 6. 下列长度的三条线段首尾相连能组成直角三角形的是（ ） A. 4，5，6 B. 1，2，3 C. 2，3，4 D. 5，12，13 7. 如图，∠AOB＝70°，在OA上取点C，以点C为圆心，CO长为半径画弧交OB于点D，连接CD；以点D为圆心，DC长为半径画弧交OB于点E，连接CE，∠DCE的度数为（　　） A. 20° B. 25° C. 30° D. 35° 8. 如图，直线与分别交轴于点，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 或 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 36的算术平方根是___． 10. 已知△ABC≌△A'B'C'，∠A＝60°，∠B＝40°，则∠C′＝_____． 11. 自行车的主框架采用了三角形结构，这样设计的依据是三角形具有______． 12. 已知n为整数，且，则n等于________． 13. 已知等腰三角形的两边长分别为4和10，则这个等腰三角形的周长为________． 14. 如图，两个阴影部分都是正方形，它们的面积分别为，，则边长的值为________． 15. 已知关于x的一次函数为，下列说法中正确的是________． ①若函数图象经过原点，则；②若，则函数图象经过第一、二、三象限； ③函数图象与y轴交于点；④函数的图象总经过点． 16. 如图，在正方形中，，E为边上一动点，点F在边上，且，将点E绕点F顺时针旋转得到点G，连接，则长的最小值为________． 17. 函数可用表示，例如，当时，，若函数，则的值为______． 18. 在平面直角坐标系中，已知点，直线与线段有交点，则k的取值范围为________． 三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算： （1）； （2）． 20. 解方程： （1）； （2）． 21. 已知算术平方根为2，的立方根为3，求的平方根． 22. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点如图所示： （1）分别写出A、B、C三点坐标：A（___，___）、B（___，___）、C（___，___）； （2）在图中作出关于y轴对称的； （3）在y轴上找一点P，使的距离最小，直接写出P点的坐标________． 23. 如图，，，，点D在边上，与相交于点O． （1）求证：； （2）若，求的度数． 24. 如图，平面直角坐标系中，，，A、C分别在x轴的正、负半轴上．过点C的直线绕点C旋转，交y轴于点D，交线段于点E． （1）直接写出A、C的坐标； （2）写出直线解析式； （3）若与的面积相等，求点E的坐标． 25. “漏壶”是一种古代计时器，在社会实践活动中，某小组同学根据“漏壶”的原理制作了如图1所示的液体漏壶，漏壶是由一个圆锥和一个圆柱组成的，中间连通，液体可以从圆锥容器中匀速漏到圆柱容器中，实验开始时圆柱容器中已有一部分液体． （1）实验记录的圆柱体容器液面高度y（厘米）与时间x（小时）的数据如下表： 时间x（小时） 0 1 2 3 4 圆柱体容器液面高度y（厘米） 3 5 7 9 11 在如图2所示的直角坐标系中描出表中各点，并用光滑的线连接； （2）请根据（1）中的数据确定y与x之间的函数表达式； （3）如果本次实验记录的开始时间是上午，那么当圆柱体容器液面高度达到15厘米时是几点？ 26. （1）如图1，在中，，．求证：．补全证明过程． 证明：如图2，取中点D，连接． ∴． 在中，，D为中点． ∴　　①　　； ∴． 又，∴． ∴为　　②　　三角形． ∴． 请用文字概括证明的命题：　　③　　． （2）如图3，某市三个城镇中心D，E，F恰好分别位于一个等边三角形的三个顶点处，在三个城镇中心之间铺设通信光缆，以城镇D为出发点设计了三种连接方案： 方案1：； 方案2：（G为的中点）； 方案3：（O为三边的垂直平分线的交点）． 设，分别计算这三种连接方案中铺设的光缆长度，并比较它们的大小（用“＜”号连接“方案1”、“方案2”、“方案3”，并直接写出结果）． 27. 定义：在中，若，，，满足，则称这个三角形为“类勾股三角形”．请根据以上定义解决下列问题： （1）如图1所示，若等腰三角形是“类勾股三角形”，，．求的度数． （2）如图2所示，在中，，且．求证：为“类勾股三角形”．小明同学想到可以在上找一点使得，再作． ①探索的形状并说明理由． ②请你帮助小明完成证明过程． 28. 把一次函数（k，b为常数，）在x轴下方图象沿x轴向上翻折，与原来在x轴上方的图象组合，得到一个新的图象，我们称之为一次函数的“V”形图象，例如，如图1就是函数的“V”形图象． （1）请在图2中画出一次函数的“V”形图象，并直接写出该“V”形图象的函数表达式及自变量x的取值范围； （2）在（1）的条件下，若一次函数的“V”形图象与x轴交于点A，与直线相交于B，C两点，求的面积； （3）一次函数（k为常数）的“V”形图象经过，两点，且，求k的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年第一学期期末调研考试八年级数学试题 说明： 1．本试卷共6页，包含选择题（第1题~第8题，共8题）、非选择题（第9题～第28题，共20题）两部分．本卷满分150分，考试时间为120分钟． 2．所有的试题都必须在专用的“答题卡”上作答，选择题用2B铅笔作答，非选择题在指定位置用0.5毫米的黑色笔作答．在试卷或草稿纸上答题无效． 3．如有作图需要，请用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将该选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 第33届夏季奥运会将于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行，如图所示巴黎奥运会项目图标中，轴对称图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、是轴对称图形，故此选项符合题意； C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 2. 下列实数是无理数的是（ ） A. B. C. 5 D. 3.14 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有：①π类，如，等；②开方开不尽的数，如，等；③具有特殊结构的数，如0.1010010001…（两个1之间依次增加1个0），0.2121121112…（两个2之间依次增加1个1）．据此判断即可． 【详解】解：，5，3.14是有理数； 是无理数． 故选B． 3. 根据下列表述，能确定准确位置的是（ ） A. 万达影城1号厅2排 B. 扬州中学南偏东 C. 东经，北纬 D. 文昌西路 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了坐标确定位置．根据坐标的定义，确定位置需要两个数据对各选项分析判断利用排除法求解． 【详解】解：A、万达影城1号厅2排，不能确定具体位置，故本选项不符合题意； B、扬州中学南偏东，不能确定具体位置，故本选项不符合题意； C、东经，北纬能确定具体位置，故本选项符合题意； D、文昌西路，不能确定具体位置，故本选项不符合题意； 故选：C． 4. 我国传统工艺中，油纸伞制作非常巧妙，其中蕴含着数学知识．如图是油纸伞的张开示意图，，则的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有，，，，两直角三角形全等还有．根据全等三角形的判定定理推出即可． 【详解】解：在和中， ， ， 故选：D． 5. 在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了平面内坐标点的特征．根据各象限内点的坐标特征：①第一象限：；②第二象限：；③第三象限：；④第四象限：进行判断即可． 【详解】解：∵第二象限内的点横坐标，纵坐标， ∴点所在的象限是第二象限． 故选：B． 6. 下列长度的三条线段首尾相连能组成直角三角形的是（ ） A. 4，5，6 B. 1，2，3 C. 2，3，4 D. 5，12，13 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查构成三角形的条件及勾股定理逆定理，根据构成三角形的条件及勾股定理逆定理逐项验证即可得到答案，熟记构成三角形的条件及勾股定理逆定理是解决问题的关键． 【详解】解：A、4，5，6满足构成三角形的条件，但是，三条线段首尾相连不能组成直角三角形，不符合题意； B、由可知，这三条线段不能构成三角形，不符合题意； C、2，3，4满足构成三角形的条件，但是，三条线段首尾相连不能组成直角三角形，不符合题意； D、5，12，13满足构成三角形的条件，且，三条线段首尾相连能组成直角三角形，符合题意； 故选：D． 7. 如图，∠AOB＝70°，在OA上取点C，以点C为圆心，CO长为半径画弧交OB于点D，连接CD；以点D为圆心，DC长为半径画弧交OB于点E，连接CE，∠DCE的度数为（　　） A. 20° B. 25° C. 30° D. 35° 【答案】D 【解析】 【分析】由作图可知，CO＝CD，DC＝DE，根据等腰三角形的性质以及三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：由作图可知，CO＝CD，DC＝DE， ∵CO＝CD， ∴∠ODC＝∠COD＝70°， ∴∠DCE＋∠CED＝∠ODC＝70°， ∵DC＝DE， ∴∠DCE＝∠CED＝35°，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了作图−基本作图，等腰三角形的性质以及三角形外角的性质，由作图得出CO＝CD，DC＝DE是解题的关键． 8. 如图，直线与分别交轴于点，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了直线交点与不等式的解集，理解图示，掌握直线交点与不等式的性质是解题的关键． 根据直线的交点的特点，不等式的性质，数形结合即可求解． 【详解】解：直线与分别交轴于点， 不等式， ∴与异号， ∴当时，与异号，符合题意； 当，与同号，不符合题意； 当时，与异号，符合题意； ∴解集为或， 故选：D ． 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 36的算术平方根是___． 【答案】6 【解析】 【分析】根据算术平方根可直接进行求解． 【详解】解：∵， ∴36的算术平方根是6； 故答案为6． 【点睛】本题主要考查算术平方根，熟练掌握求一个数的算术平方根是解题的关键． 10. 已知△ABC≌△A'B'C'，∠A＝60°，∠B＝40°，则∠C′＝_____． 【答案】80°． 【解析】 【分析】直接利用全等三角形的性质得出对应角相等进而得出答案． 【详解】∵△ABC≌△A'B'C'， ∴∠A=∠A′=60，∠B=∠B′=40， ∴∠C′=180﹣60﹣40=80． 故答案为：80． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，正确得出对应角是解题关键． 11. 自行车的主框架采用了三角形结构，这样设计的依据是三角形具有______． 【答案】稳定性 【解析】 【分析】本题主要考查三角形的稳定性，熟练掌握三角形的稳定性是解题的关键；因此此题可直接根据题意进行求解． 【详解】解：自行车的主框架采用了三角形结构，这样设计的依据是三角形具有稳定性； 故答案为：稳定性． 12. 已知n为整数，且，则n等于________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数的估算．先找出介于，之间的整数，然后求出答案即可． 【详解】解：∵，，5是整数， ∴， 故答案为：5． 13. 已知等腰三角形的两边长分别为4和10，则这个等腰三角形的周长为________． 【答案】24 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角新三边数量关系，掌握等腰三角形的定义，分类讨论是关键． 根据等腰三角形的定义分类讨论即可． 【详解】解：等腰三角形的两边长分别为4和10， 当腰长是，底边长为时， ∵， ∴不能构成等腰三角形； 当腰长是，底边长是时， ∵， ∴符合等腰三角形的定义， ∴这个等腰三角形的周长为， 故答案为：24 ． 14. 如图，两个阴影部分都是正方形，它们的面积分别为，，则边长的值为________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，算术平方根的运用，掌握勾股定理的计算是解题的关键． 根据勾股定理，两直角边的平方和等于斜边的平方，再结合正方形的面积公式即可求解． 【详解】解：根据勾股定理，两直角边的平方和等于斜边的平方，正方形的面积为边长的平方， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：8 ． 15. 已知关于x的一次函数为，下列说法中正确的是________． ①若函数图象经过原点，则；②若，则函数图象经过第一、二、三象限； ③函数图象与y轴交于点；④函数的图象总经过点． 【答案】①④ 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征．根据一次函数图象上点的坐标特征及一次函数性质逐项分析判断即可． 【详解】解：①一次函数为图象过原点，则有，解得，故①说法正确，符合题意； ②若，则函数解析式为，，， 图象经过第一三四象限，故②说法错误，不符合题意； ③当时，，函数图象与y轴交于点，故③说法错误，不符合题意； ④函数， 当时，，故函数的图象总经过点说法正确，符合题意， 故答案为：①④． 16. 如图，在正方形中，，E为边上一动点，点F在边上，且，将点E绕点F顺时针旋转得到点G，连接，则长的最小值为________． 【答案】3 【解析】 【分析】过点G作，垂足为H，可得，根据正方形的性质可得，，根据旋转的性质可得，，，然后利用同角的余角相等可得，从而可证，进而可得，最后可得点G在与平行且与的距离为1的直线上，从而可得当点G在边上时，的值最小，进行计算即可解答． 【详解】解：过点G作，垂足为H， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 由旋转得：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点G在与平行且与的距离为1的直线上， ∴当点G边上时，最小且， ∴的最小值为3， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 17. 函数可用表示，例如，当时，，若函数，则的值为______． 【答案】11 【解析】 【分析】根据题意，求出分段函数，在将自变量的值代入求对应的函数值． 【详解】解：∵， ∴f（-3）=f（-3+2）=f（-1）=f（-1+2）=f（1）=f（1+2）=f（3）=2×3+5=11． 故答案为：11． 【点睛】本题主要考查求分段函数的函数值，熟练掌握求自变量对应的函数的值的求法是解决本题的关键． 18. 在平面直角坐标系中，已知点，直线与线段有交点，则k的取值范围为________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与线段相交求参数问题，理解经过两点求得的临界值是解题的关键．要使直线与线段有交点，分别将代入，求得的临界值即可． 【详解】解：∵， ∴直线过定点． 当直线经过点时， 解得： 当直线经过点时， 解得： 或 故答案为：或． 三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先根据绝对值、零指数幂的运算法则计算，再合并即可； （2）先根据算术平方根、二次根式的性质、立方根的定义计算，再根据有理数的加减法则计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】本题考查了平方根，立方根，熟练掌握这两个定义是解题的关键． （1）根据平方根的定义解方程即可； （2）根据立方根的定义解方程即可． 【小问1详解】 解：， ∴， ∴， ∴或； 【小问2详解】 解：， ∴， ∴， ∴． 21. 已知的算术平方根为2，的立方根为3，求的平方根． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平方根，算术平方根及立方根的定义，结合已知条件求得a，b的值是解题的关键．根据算术平方根及立方根的定义求得的值，然后将期待如中计算后利用平方根的定义即可求得答案． 【详解】解：因为的算术平方根为2， 所以， 所以， 因为的立方根为3， 所以， 所以， 所以， 所以的平方根是． 22. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点如图所示： （1）分别写出A、B、C三点坐标：A（___，___）、B（___，___）、C（___，___）； （2）在图中作出关于y轴对称的； （3）在y轴上找一点P，使的距离最小，直接写出P点的坐标________． 【答案】（1）2，3；1，0；1，2 （2）见解析 （3）图见解析， 【解析】 【分析】本题考查作图-轴对称变换、轴对称-最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）由图直接可得答案； （2）根据轴对称的性质作图即可； （3）连接，交y轴于点P，则点P即为所求，即可得出答案． 【小问1详解】 解：由图可得，，，． 故答案为：2，3；1，0；1，2； 【小问2详解】 解：如图，即为所求． 【小问3详解】 解：连接，交y轴于点P，连接， 此时，为最小值， 则点P即为所求， ∴P点的坐标为． 故答案为：． 23. 如图，，，，点D在边上，与相交于点O． （1）求证：； （2）若，求度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）证即可求解； （2）由全等三角形的性质可得，据此即可求解． 【小问1详解】 证明： ∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∵，， ∴ 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质．熟记相关知识点即可． 24. 如图，平面直角坐标系中，，，A、C分别在x轴的正、负半轴上．过点C的直线绕点C旋转，交y轴于点D，交线段于点E． （1）直接写出A、C的坐标； （2）写出直线的解析式； （3）若与的面积相等，求点E的坐标． 【答案】（1）、 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，坐标与图形的性质，三角形的面积等知识点，数形结合是解此题的关键． （1）根据，求解即可； （2）用待定系数法即可求出直线的解析式； （3）推出和的面积相等，根据面积公式求出E的纵坐标． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解：设直线的解析式为． ∴ 解得 ∴直线的解析式为； 【小问3详解】 解：∵， ∴， 即， ∵点E在线段上， ∴点E在第一象限，且， ∴ ∴ 把代入直线的解析式得： ∴ ∴． 25. “漏壶”是一种古代计时器，在社会实践活动中，某小组同学根据“漏壶”的原理制作了如图1所示的液体漏壶，漏壶是由一个圆锥和一个圆柱组成的，中间连通，液体可以从圆锥容器中匀速漏到圆柱容器中，实验开始时圆柱容器中已有一部分液体． （1）实验记录的圆柱体容器液面高度y（厘米）与时间x（小时）的数据如下表： 时间x（小时） 0 1 2 3 4 圆柱体容器液面高度y（厘米） 3 5 7 9 11 在如图2所示的直角坐标系中描出表中各点，并用光滑的线连接； （2）请根据（1）中的数据确定y与x之间的函数表达式； （3）如果本次实验记录的开始时间是上午，那么当圆柱体容器液面高度达到15厘米时是几点？ 【答案】（1）见解析 （2）； （3）当圆柱体容器液面高度达到15厘米时是下午． 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握待定系数法求一次函数的关系式是解题的关键． （1）描点并连线即可； （2）利用待定系数法解答即可； （3）求出当时对应x的值，根据本次实验记录的开始时间计算即可． 【小问1详解】 解：描点并连线如图所示： 【小问2详解】 解：∵这些点的连线是一条直线， ∴y与x之间是一次函数关系． 设y与x之间的函数表达式为， 将坐标和分别代入， 得， 解得， ∴y与x之间的函数表达式为； 【小问3详解】 解：当时，得， 解得． 答：如果本次实验记录的开始时间是上午，那么当圆柱体容器液面高度达到15厘米时是下午． 26. （1）如图1，在中，，．求证：．补全证明过程． 证明：如图2，取中点D，连接． ∴． 在中，，D为中点． ∴　　①　　； ∴． 又，∴． ∴为　　②　　三角形． ∴． 请用文字概括证明的命题：　　③　　． （2）如图3，某市三个城镇中心D，E，F恰好分别位于一个等边三角形的三个顶点处，在三个城镇中心之间铺设通信光缆，以城镇D为出发点设计了三种连接方案： 方案1：； 方案2：（G为的中点）； 方案3：（O为三边的垂直平分线的交点）． 设，分别计算这三种连接方案中铺设的光缆长度，并比较它们的大小（用“＜”号连接“方案1”、“方案2”、“方案3”，并直接写出结果）． 【答案】（1）①；②等边；③直角三角形中角所对的直角边是斜边的一半；（2）方案三＜方案二＜方案一 【解析】 【分析】（1）取中点D，连接，则，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得，则，进而得为等边三角形，据此可得出结论；即直角三角形中，的角所对的直角边边等于斜边的一半． （2）方案1：根据等边三角形的性质得，则； 方案2：根据等边三角形的性质得，，再由勾股定理求出，则； 方案3：延长交于点H，根据等边三角形的性质及线段垂直平分线的性质得，，，，再根据（1）的结论及勾股定理可求出，则，根据方案2可知，则，然后再根据即可得出答案． 【详解】解：（1）证明：如图2所示，取中点D，连接， ∴， 在中，，D为中点， ∴①， ∴， 又， ∴， ∴为②等边三角形， ∴． 用文字概括证明的命题：③直角三角形中，的角所对的直角边等于斜边的一半； 故答案为：①；②等边；③直角三角形中，的角所对的直角边等于斜边的一半． （2）方案1：∵是等边三角形，， ∴，， ∵， ∴； 方案2：∵是等边三角形，G为的中点， ∴，， 在中，由勾股定理得：， ∴； 方案3：延长交于点H，如图3所示： ∵点O为三边的垂直平分线的交点， ∴，，，， ∴在中，根据（1）的结论得：， 由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴， 由方案2可知：， ∴， ∴， ∵， ∴方案3方案2方案1． 【点睛】此题主要考查了直角三角形斜边上的中线，线段垂直平分线的性质，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形斜边上的中线，线段垂直平分线的性质，等边三角形的性质，灵活运用含30度角的直角三角形的性质及勾股定理进行计算是解决问题的关键． 27. 定义：在中，若，，，满足，则称这个三角形为“类勾股三角形”．请根据以上定义解决下列问题： （1）如图1所示，若等腰三角形是“类勾股三角形”，，．求的度数． （2）如图2所示，在中，，且．求证：为“类勾股三角形”．小明同学想到可以在上找一点使得，再作． ①探索的形状并说明理由． ②请你帮助小明完成证明过程． 【答案】（1）； （2）①等腰三角形，理由见解析；②见解析 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的性质，结合“类勾股三角形”的定义得到是等腰直角三角形，由此即可求解； （2）①根据等边对等角得到，由三角形外角的性质得到，结合题意得到，根据三角形的定义即可求解； ②根据等腰三角形的性质得到，，在中，，在中，，由此得到，结合“类勾股三角形”的定义即可求解． 【小问1详解】 解：，， ，， 是类勾股三角形， ， ， 是等腰直角三角形， ； 【小问2详解】 解：①等腰三角形，理由如下： ， ， ， ， ， 是等腰三角形 ②由①得， ， ， ， ， 中，， 在中，， ， ， 是“类勾股三角形”． 【点睛】本题主要考查的新定义，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质，勾股定理的运用，理解新定义，掌握勾股定理的计算是解题的关键． 28. 把一次函数（k，b为常数，）在x轴下方的图象沿x轴向上翻折，与原来在x轴上方的图象组合，得到一个新的图象，我们称之为一次函数的“V”形图象，例如，如图1就是函数的“V”形图象． （1）请在图2中画出一次函数的“V”形图象，并直接写出该“V”形图象的函数表达式及自变量x的取值范围； （2）在（1）的条件下，若一次函数的“V”形图象与x轴交于点A，与直线相交于B，C两点，求的面积； （3）一次函数（k为常数）的“V”形图象经过，两点，且，求k的取值范围． 【答案】（1）图象见解析； （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用及两直线的交点问题、一次函数的基本性质等，理解题意，熟练掌握一次函数的基本性质是解题关键． （1）根据题意作出相应函数图象， （2）由一次函数解析式确定点A的坐标即可,然后联立求出交点坐标，结合图形求三角形面积即可； （3）对的取值范围进行分类讨论，利用一次函数的增减性质求解即可． 【小问1详解】 解：如图所示， 该“V”形图象的函数表达式为 【小问2详解】 ，当时，， ∴点坐标为 由图可得：线段所在直线的解析式为， ∴， 解得 ∴ 线段所在直线的解析式为， ∴， 解得 ∴ 由（1）得： ∴的面积； 【小问3详解】 ∵直线（，且为常数） 当时， ∴经过定点 当时， ∴该图象与x轴交点 ①当时，当，则对称轴直线， ∵， 由图象可知， 解得 ∴ ②当时，由图象可知，始终有 综上所述，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$