精品解析：河南省实验中学2024-2025学年八年级下学期学业诊断1数学试卷

2024-2025学年（下）学业诊断1 八年级数学 （时间：100分钟，满分：120分） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 郑州市春季某日的最高气温是，最低气温是，则郑州当日气温的变化范围是（　　） A. B. C. D. 2. 下列命题中，逆命题是真命题的有（　　） （1）两直线平行，同旁内角互补； （2）对顶角相等； （3）在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行； （4）有一个角是的等腰三角形是等边三角形； （5）如果，那么． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3. 若（m﹣1）x＞m﹣1 解集是 x＜1，则 m 的取值范围是（ ） A. m＞1 B. m≤﹣1 C. m＜1 D. m≥1 4. 用反证法证明命题“三角形中至少有一个内角不大于”时，首先应假设这个三角形中（　　） A. 每一个内角都小于 B. 每一个内角都大于 C. 有一个内角大于 D. 有一个内角小于 5. 下列说法错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C 若，则 D. 若，则 6. 如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员操作方法通常是：从电线杆DE上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳AB与AC，当固定点B，C到杆脚E的距离相等，且B，E，C在同一直线上时，电线杆DE就垂直于BC．工程人员这种操作方法的依据是（　　） A. 等边对等角 B. 垂线段最短 C. 等腰三角形“三线合一” D. 线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等 7. 关于二元一次方程组的解满足，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 8. 在中，，．用无刻度的直尺和圆规在边上找一点，使为等腰三角形．下列作法正确的有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 9. 如图，某同学用圆规画一个半径为的圆，测得此时，为了画一个半径更大的同心圆，固定端不动，将端向左移至处，此时测得，则的长为（　　） A. B. C. D. 10. 如图，三点在同一条直线上，和都是等边三角形，，分别与交于点，如下结论：①；②；③；④；⑤是等边三角形，其中正确结论的是（　　） A. ①②④ B. ②③④⑤ C. ①③⑤ D. ①②④⑤ 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 的3倍与8的和不小于的5倍，用不等式表示为___________． 12. 如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点，已知，则___________． 13. 如图所示，其中BC⊥AC，∠BAC=30°，AB=10 cm，CB1⊥AB，B1C1⊥AC1，垂足分别是B1、C1，那么B1C1=_______cm． 14. 某种商品的进价为500元，出售时标价为600元，商店准备打折出售，但要保持利润率不低于，则至多可打几折？设该商品打折销售，则可列不等式为___________． 15. 如图，中，，，的平分线与的垂直平分线相交于点，点、分别在、上，点沿折叠后与点重合，则的度数为___________． 三、解答题 16. 解下列不等式，并把它们的解集分别表示在数轴上． （1）； （2）． 17. 已知：如图，是的高，且．求证：是等腰三角形． 18. 中，，． （1）作出的平分线，与交于点，过作边上的高，垂足为；要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹； （2）已知，则___________． 19. 代数证明题是数学中常见的一种题型，它要求运用逻辑推理和代数知识来证明某个数学命题的正确性． （1）例如这道题：“已知实数、满足，证明：； 初二年级的数学兴趣小组发现这一问题至少可用两种方法证明，请将下面的证明过程填写完整． 证法1：因为（___________），且， 所以___________0，___________0，（在横线上填上适当的不等符号） 所以． 证法2：因为且均为正， 所以（___________）（在横线上填上不等式的变形依据） 所以（不等式的传递性） 所以． （2）请你尝试证明：若，则． 20. （1）求证：如果直角三角形的一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30度． 根据所给图形，将下列“已知，求证，证明”补充完整． 已知：如图，在中，，___________． 求证：___________． 证明： （2）如图，是一张长方形纸片，且，沿过点的折痕将角翻折，使得点落在上（如图中的点），折痕交于点，则等于________度． 21. 近期，我国国产动画电影“哪吒2魔童闹海”票房突破了亿（含预售及海外票房），商家推出了两种类型的哪吒纪念娃娃．已知购进4件种娃娃和购进5件种娃娃的费用相同，购进6件种娃娃和4件种娃娃一共需要元．且种娃娃售价为元/个，种娃娃售价为元/个． （1）每个种娃娃和每个种娃娃的进价分别是多少元？ （2）根据网上预约的情况，该商家计划用不超过元的资金购进、两种娃娃共个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？ 22. 如图，在中，平分，且平分于点，于点交的延长线于点． （1）求证：； （2）如果，，求长． 23. 在中，，是边上的动点，过点作交于点，将沿折叠，点的对应点为点． （1）如图1，若点恰好落在边上，判断的形状，并证明； （2）如图2，若点落在内，且的延长线恰好经过点，，求的度数； （3）如图3，当点恰好落在外，交于点，连接，若，，在中，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发沿边向点运动，同时动点以每秒2个单位长度的速度从点出发沿边向点运动，当动点运动到点时，动点停止运动．设运动时间为秒，请直接写出当为直角三角形时，的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年（下）学业诊断1 八年级数学 （时间：100分钟，满分：120分） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 郑州市春季某日的最高气温是，最低气温是，则郑州当日气温的变化范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式，利用不等式的概念：用“＞”或“＜”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“≠”号表示不等关系的式子也是不等式，表示即可． 【详解】解：由题意得：郑州市春季某日气温的变化范围是：， 故选：D． 2. 下列命题中，逆命题是真命题的有（　　） （1）两直线平行，同旁内角互补； （2）对顶角相等； （3）在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行； （4）有一个角是的等腰三角形是等边三角形； （5）如果，那么． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查逆命题，判断命题的真假，将原命题的条件和结论互换，写出各项的逆命题，再判断真假即可． 【详解】解：①逆命题为：同旁内角互补，两直线平行，真命题，符合题意； ②逆命题为：相等的角是对顶角，是假命题，不符合题意； ③逆命题为：同一平面内，两条直线平行，则两条直线垂直于同一条直线，是真命题，符合题意； ④逆命题为：等边三角形是有一个角为60度的等腰三角形，是真命题，符合题意； ⑤逆命题为：如果，那么，是真命题，符合题意； 故选D． 3. 若（m﹣1）x＞m﹣1 的解集是 x＜1，则 m 的取值范围是（ ） A. m＞1 B. m≤﹣1 C. m＜1 D. m≥1 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知不等式的解集，利用不等式的基本性质求出m的范围即可． 【详解】解：∵（m-1）x＞m-1的解集为x＜1， ∴m-1＜0， 解得：m＜1， 故选：C． 【点睛】本题考查了不等式的解集，熟练掌握不等式的基本性质是解本题的关键． 4. 用反证法证明命题“三角形中至少有一个内角不大于”时，首先应假设这个三角形中（　　） A. 每一个内角都小于 B. 每一个内角都大于 C. 有一个内角大于 D. 有一个内角小于 【答案】B 【解析】 【分析】本考查反证法中的假设，根据反证法的第一步是假设结论不成立，反面成立，进行判断即可． 【详解】解：用反证法证明命题“三角形中至少有一个内角不大于”时，首先应假设这个三角形中每一个内角都大于； 故选B． 5. 下列说法错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式性质判断即可：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘（或除）同一个负数，不等号的方向改变． 【详解】解：A、若，则，即，故该选项正确； B、∵，当时，则，故该选项正确； C、若，当时，；当时，，当时，，故该选项错误； D、若，则，故该选项正确； 故选：C． 【点睛】本题考查不等式性质，熟记相关性质是解题的关键． 6. 如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法通常是：从电线杆DE上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳AB与AC，当固定点B，C到杆脚E的距离相等，且B，E，C在同一直线上时，电线杆DE就垂直于BC．工程人员这种操作方法的依据是（　　） A. 等边对等角 B. 垂线段最短 C. 等腰三角形“三线合一” D. 线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等 【答案】C 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：∵AB＝AC，BE＝CE， ∴AE⊥BC， 故工程人员这种操作方法的依据是等腰三角形“三线合一”， 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 7. 关于二元一次方程组的解满足，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查根据方程组的解的情况求参数的范围，解一元一次不等式，将两个方程相加得到的值，整体代入不等式中，解不等式即可． 【详解】解：， ，得：， ∴， ∵， ∴， 解得：； 故选A． 8. 在中，，．用无刻度的直尺和圆规在边上找一点，使为等腰三角形．下列作法正确的有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查作图-复杂作图，等腰三角形的判定，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是读懂图象信息．根据等腰三角形的定义一一判断即可． 【详解】解：第一图：由作图可知，是等腰三角形，故此作法正确； 第二图：由作图可知是的角平分线，推不出是等腰三角形，故此作法错误； 第三图：由作图可知，又，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴是等腰三角形，故此作法正确； 第四图：由作图可知，是等腰三角形，故此作法正确． 综上分析可知，正确的作法有3个， 故选：C． 9. 如图，某同学用圆规画一个半径为的圆，测得此时，为了画一个半径更大的同心圆，固定端不动，将端向左移至处，此时测得，则的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形，勾股定理：利用勾股定理求出的长，过点作，利用含30度角的直角三角形的性质，结合勾股定理求出的长，再根据线段的和差关系进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 过作， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选A． 10. 如图，三点在同一条直线上，和都是等边三角形，，分别与交于点，如下结论：①；②；③；④；⑤是等边三角形，其中正确结论的是（　　） A. ①②④ B. ②③④⑤ C. ①③⑤ D. ①②④⑤ 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识点；灵活运用相关判定定理和性质定理是解题的关键． 根据等边三角形的性质可得、，，再说明，即可证明，即可判断①；然后可得，再分别表示出和，即可判定②正确；求出，证明可判定③；由可得，然后结合可得，可判定④；可得，再说明即可判定⑤． 【详解】解：∵和均为等边三角形， ∴， ∴，即， ∴，故①正确； ∴， ∴， 又∵， ∴，②正确； ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即③错误； ∵， ∴， ∴，即，则④正确； ∵， ∴， ∵，， ∴是等边三角形，即⑤正确． 综上，正确结论的是①②④⑤． 故选D． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 的3倍与8的和不小于的5倍，用不等式表示为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查列不等式，正确的翻译句子，列出不等式即可． 【详解】解：由题意，可列不等式为：； 故答案为：． 12. 如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点，已知，则___________． 【答案】##72度 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质以及三角形外角的性质，由线段垂直平分线的性质可得出，进而可得出的度数，再根据三角形外角的性质即可求出的度数． 【详解】解：∵垂直平分线段， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 13. 如图所示，其中BC⊥AC，∠BAC=30°，AB=10 cm，CB1⊥AB，B1C1⊥AC1，垂足分别是B1、C1，那么B1C1=_______cm． 【答案】3.75 【解析】 【详解】解：在Rt△ABC中，∠CAB=30°，AB=10cm， ∴BC=AB=5cm， ∵CB1⊥AB， ∴∠B+∠BCB1=90°， 又∵∠A+∠B=90°， ∴∠BCB1=∠A=30°， 在Rt△BCB1中，BB1=BC=2.5cm， ∴AB1=AB-BB1=10-25=7.5cm， ∴在Rt△AB1C1中，∠A=30°， ∴B1C1=AB1=×7.5=3.75cm 14. 某种商品的进价为500元，出售时标价为600元，商店准备打折出售，但要保持利润率不低于，则至多可打几折？设该商品打折销售，则可列不等式为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元一次不等式的应用，熟练掌握利润率公式：利润率利润进价，是解题关键．设至多可打x折，根据利润率不低于，列出不等式即可． 【详解】解：设至多可打x折， 由题意得： 故答案为：． 15. 如图，中，，，的平分线与的垂直平分线相交于点，点、分别在、上，点沿折叠后与点重合，则的度数为___________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，设的平分线与交于点E，求出， ，根据垂直平分，得到，即，进一步可得，利用垂直平分，得到，由折叠的性质可知：，所以，进一步可得． 【详解】解：连接，设的平分线与交于点E，如图 ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵垂直平分， ∴，即， ∴， ∵，平分， 由三线合一的性质可得：垂直平分， ∴，即， 由折叠的性质可知：， ∴， ∴， 故答案为： 【点睛】本题考查了角平分线的定义、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质以及折叠的性质，三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握以上相关知识点，并能够综合运用． 三、解答题 16. 解下列不等式，并把它们的解集分别表示在数轴上． （1）； （2）． 【答案】（1），图见解析 （2），图见解析 【解析】 【分析】本题考查求不等式的解集，用数轴表示不等式的解集： （1）移项，合并，系数化1，求出不等式的解集，然后在数轴上表示出解集即可； （2）去分母，去括号，移项，合并，系数化1，求出不等式的解集，然后在数轴上表示出解集即可． 【小问1详解】 解： ∴； 在数轴上表示解集如图： 【小问2详解】 ∴； 数轴表示解集如图： 17. 已知：如图，是的高，且．求证：是等腰三角形． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】先证明再证明可得从而可得结论. 【详解】解： 是的高， 是等腰三角形. 【点睛】本题考查的是直角三角形全等的判定与性质，等腰三角形的判定，掌握利用等角对等边判定等腰三角形是解题的关键. 18. 在中，，． （1）作出的平分线，与交于点，过作边上的高，垂足为；要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹； （2）已知，则___________． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据角平分线和垂直的基本作图方法作图即可； （2）根据角平分线性质得出，证明为等腰直角三角形，得出，根据为等腰直角三角形，得出． 【小问1详解】 解：如图，为所求作的角平分线，为所求作的高． 【小问2详解】 解：∵平分，，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴． 【点睛】本题主要考查了尺规作一个角的平分线，作垂线，等腰直角三角形的判定和性质，角平分线的性质，解题的关键是说掌握基本的作图方法． 19. 代数证明题是数学中常见的一种题型，它要求运用逻辑推理和代数知识来证明某个数学命题的正确性． （1）例如这道题：“已知实数、满足，证明：； 初二年级的数学兴趣小组发现这一问题至少可用两种方法证明，请将下面的证明过程填写完整． 证法1：因为（___________），且， 所以___________0，___________0，（在横线上填上适当不等符号） 所以． 证法2：因为且均为正， 所以（___________）（在横线上填上不等式的变形依据） 所以（不等式的传递性） 所以． （2）请你尝试证明：若，则． 【答案】（1），，；不等式的基本性质2； （2）见解析． 【解析】 【分析】本题考查因式分解，不等式的性质： （1）利用平方差公式法进行因式分解，利用不等式的性质，进行作答即可； （2）根据不等式的性质，得到，进而得到，即可得证． 【小问1详解】 解：证法1：因为，且， 所以，，（在横线上填上适当的不等符号） 所以． 证法2：因为且均为正， 所以（不等式的基本性质2）（在横线上填上不等式的变形依据） 所以（不等式的传递性） 所以； 【小问2详解】 证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 20. （1）求证：如果直角三角形的一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30度． 根据所给图形，将下列“已知，求证，证明”补充完整． 已知：如图，在中，，___________． 求证：___________． 证明： （2）如图，是一张长方形纸片，且，沿过点的折痕将角翻折，使得点落在上（如图中的点），折痕交于点，则等于________度． 【答案】（1），，证明见解析（2）15 【解析】 【分析】本题考查折叠问题，中垂线的判定和性质，等边三角形的判定和性质： （1）根据命题条件和结论分别补全求证的题干和结论，再延长至D，使得，连接，即可证明垂直平分，进一步有是等边三角形，利用三角形内角和定理即可证明． （2）根据折叠的性质，长方形的性质，得到，利用（1）中结论即可得出结果． 【详解】解：（1）已知：如图，在中，，． 求证：． 证明：延长至D，使得，连接，如图， 则， ∵， ∴， ∵，且． ∴垂直平分 ∴， ∴， 则是等边三角形． ∴． ∴． 故答案为：，． （2）∵长方形，， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， 在中，， 由（1）可知：， ∴， ∴； 故答案为：15． 21. 近期，我国国产动画电影“哪吒2魔童闹海”票房突破了亿（含预售及海外票房），商家推出了两种类型的哪吒纪念娃娃．已知购进4件种娃娃和购进5件种娃娃的费用相同，购进6件种娃娃和4件种娃娃一共需要元．且种娃娃售价为元/个，种娃娃售价为元/个． （1）每个种娃娃和每个种娃娃的进价分别是多少元？ （2）根据网上预约的情况，该商家计划用不超过元的资金购进、两种娃娃共个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？ 【答案】（1）每个A种娃娃的进价是元，每个B种娃娃的进价是8元； （2）当购进个A种娃娃，个B种娃娃时，商家获利最大，最大利润是元． 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用、一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和方程的知识解答． （1）根据题意，可以列出相应的二元一次方程组，从而可以求得每个A种娃娃和每个B种娃娃的进价分别是多少元； （2）根据题意，可以得到利润与购进A种娃娃数量的函数关系，然后根据该商家计划用不超过元的资金购进A、B两种娃娃共个，可以求得购进A种娃娃数量的取值范围，再根据一次函数的性质，即可求得如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少 【小问1详解】 解：设每个A种娃娃的进价是x元，每个B种娃娃的进价是y元， 根据题意得： 解得：． 答：每个A种娃娃的进价是元，每个B种娃娃的进价是8元； 【小问2详解】 解：设购进m个A种娃娃，则购进个B种娃娃， 根据题意得：， 解得：． 设这个娃娃全部售完获得的总利润为w元，则， 即． ， 随m的增大而增大， 当时，w取得最大值，最大值为，此时（个）． 答：当购进个A种娃娃，个B种娃娃时，商家获利最大，最大利润是元． 22. 如图，在中，平分，且平分于点，于点交的延长线于点． （1）求证：； （2）如果，，求的长． 【答案】（1）证明见解析； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，角平分线的性质，等腰三角形的三线合一，掌握三角形全等的判定方法是解题的关键． （）连接，由角平分线性质得，根据垂直平分线性质可得，再证明，即可得出结论； （）由（）得出，证明，则，又，代入可求解． 【小问1详解】 证明：连接， ∵平分，，， ∴， ∵且平分于点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由（）知， 在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 23. 在中，，是边上的动点，过点作交于点，将沿折叠，点的对应点为点． （1）如图1，若点恰好落在边上，判断的形状，并证明； （2）如图2，若点落在内，且的延长线恰好经过点，，求的度数； （3）如图3，当点恰好落在外，交于点，连接，若，，在中，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发沿边向点运动，同时动点以每秒2个单位长度的速度从点出发沿边向点运动，当动点运动到点时，动点停止运动．设运动时间为秒，请直接写出当为直角三角形时，的值． 【答案】（1）等边三角形，证明见解析； （2）； （3）t的值为或． 【解析】 【分析】（1）平行线的性质，得到，折叠得到，进而得到，三角形内角和得到，即可得出结论； （2）同（1）可得：，进而得到，折叠，等边对等角，结合三角形的外角推出，求解即可； （3）分或，两种情况，利用含30度角的直角三角形的性质，列出方程进行求解即可． 小问1详解】 解：是等边三角形，证明如下： ∵， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形； 【小问2详解】 解：同（1）法可得：， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：同（2）可知：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∴， ∴， 由题意，得：，，则： ∴当运动到点时，点恰好运动到点， 当为直角三角形时，或， ①当时， ∵， ∴， ∴， ∴，解得：； ②当，则：， ∴， ∴，解得：， 综上：或． 【点睛】本题考查折叠问题，等边三角形的判定，等边对等角，三角形的内角和定理，三角线的外角，含30度角的直角三角形，熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$