湖北省武汉市东西湖区华美实验学校2024-2025学年八年级4月数学检测试卷

湖北省武汉市东西湖区2024-2025学年华美实验学校八年级4月数学检测试卷 一、单选题 1．在中，，，的对边分别记为a，b，c，下列条件不能够判定为直角三角形的是（   ） A． B． C．，， D． 2．如图，一木杆在离地面3m处折断，木杆顶端落在离木杆底端4m处，则木杆折断之前的高度为（　　） A．5m B．7m C．8m D．9m 3．市面上有许多自带勺子的水杯，为了方便用户使用，勺子一般需要漏出杯子以上．如图是某款自带勺子的杯子的简化图，杯身是一个圆柱形杯子的内径是，杯子内侧高度为，则勺子的长度至少为（    ）厘米． A． B． C． D． 4．如图，有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形在水池的正中央有根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面则这根芦苇的长度是（　　） A．10尺 B．11尺 C．12尺 D．13尺 5．下列四组数据中，能作为直角三角形三边长的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 6．如图是我国古代著名的赵爽弦图的示意图，其由四个全等的直角三角形拼接成一个正方形，其中，连结，若，则正方形的边长是（   ） A． B．2 C． D． 7．如图，一架的云梯AB斜靠在一竖直的墙上，这时为．如果梯子的底端向墙一侧移动了，那么梯子的顶端向上滑动的距离是（　　） A． B． C． D． 8．如图，在Rt中，，分别以各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为（    ） A．6 B． C． D． 9．如图，在长方形中，，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则的长为（    ） A． B． C．1 D． 10．如图，中，，，，是线段上一个动点，以为边在外作等边．若是的中点，当取最小值时，的周长为（    ） A．6 B．9 C．12 D．18 二、填空题 11．已知，，则两点间的距离为 ． 12．如图，数轴上点表示的实数是 ． 13．已知m，n为实数，且满足．若的两边长分别为m和n，则它的第三边长为 ． 14．如图，铁路和公路在点处交会，点到的直线距离为．公路上点A处距离点O处如果火车行驶时，周围以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路上沿方向以的速度行驶时，点A处受噪音影响的时间为 s． 15．如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿的点处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径的长是 ． 16．如图，在等腰中，，，是边上中线，点D、E分别在边上运动，且保持．连接．在此运动变化的过程中，下列结论：①是等腰直角三角形；②四边形的面积保持不变；③长度的最小值为2；④．其中正确结论的序号是 ． 三、解答题 17．某单位计划对一块四边形空地进行绿化，如图，在四边形中，，米，米，米，米，若每平方米绿化的费用为90元，请预计绿化的费用． 18．如图，在四边形中，，，，，，求的度数． 19．如图，在中，，，，的垂直平分线分别交、于点、， (1)求的长度； (2)求的长． 20．如图，某大厦的外墙段需要修复，一辆工程车位于大厦前的点E处，从点D处伸长的云梯刚好接触到点A，当工程车向前平移一段距离，云梯腩好接触到点B．已知，，云梯的长度保持不变．工程车初始停留点E到点O的距离为，移动距离，求的长． 21．在海平面上有A，B，C三个标记点，C为灯塔，港口A在灯塔C的北偏西方向上，港口A与灯塔C的距离是40海里；港口B在灯塔C的南偏西方向上，港口B与灯塔C的距离是30海里，一艘货船将从A港口沿直线向港口B运输货物，货船的航行速度为10海里/小时． (1)货船从港口A航行到港口B需要多少时间； (2)为了保障航行的安全，C处灯塔将向航船发送安全信号，信号有效覆盖半径为25海里，这艘货船在由港口A向港口B运输货物过程中，为保证安全航行，货船接收灯塔的安全信号时间不低于1小时才符合航行安全标准．请问这艘货船在本次运输中是否符合航行安全标准，并说明理由？ 22．如图，是由边长为1的小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点都是格点，且，仅用无刻度直尺在给定的网格中完成画图，画图的过程用虚线表示． (1)先在图1中画出的中线，再在线段上画点，使得； (2)先在图2中画出的高，再在线段上画点，使得． 23．是等边三角形，点是射线边上一点（不与重合），，，连接． (1)如图1，点是线段上一点（不与，重合） ①判断与的位置关系，并证明； ②过点作，垂足为．直接写出，与之间的数量关系． (2)如图2，点是线段延长线上一点，过点作，垂足为．用等式，与之间的数量关系，并证明． 24．如图1，在平面直角坐标系中，已知点，点分别是轴负半轴，轴正半轴上的两个动点，点为第一象限的一个动点，其中，，连接，，，． (1)如图2，若，满足，，，以为边在上侧作等边，连接，， ①求证：； ②求的长； (2)如图3，若，，，，连接，求的长． 试卷第6页，共7页 试卷第2页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 《湖北省武汉市2024-2025学年华美实验学校八年级4月数学检测试卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C D D C A A A D B 1．D 【分析】本题考查三角形的内角和，勾股定理逆定理，能够熟练掌握勾股定理是解决本题的关键．根据三角形的内角和等于，各个角之间的数量关系，计算各个角的度数，根据边之间的等量关系，结合勾股定理来判断各个选项是否符合题意． 【详解】解：A．∵，，∴，∴能判定为直角三角形； B．∵，∴，∴能判定为直角三角形； C．∵，∴，∴能判定为直角三角形；     D．∵，∴，∴不能判定为直角三角形． 故选D． 2．C 【分析】本题考查勾股定理的应用，设折断部分的高度为，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：设折断部分的高度为，由题意和勾股定理，得：， ∴木杆折断之前的高度为； 故选C． 3．D 【分析】本题考查了勾股定理的应用．当勺子的底端在点时，勺子的长度最长．然后根据勾股定理求出的长，即可解决问题． 【详解】解：如图，当勺子的底端在点时，勺子的长度最长， 在中，，， ∴， 所以勺子的长度至少为． 故选：D． 4．D 【分析】本题考查正确运用勾股定理．找到题中的直角三角形，设水深为x尺，根据勾股定理解答． 【详解】解：设水深为x尺，则芦苇长为尺， 根据勾股定理得：， 解得：， 芦苇的长度（尺）， 答：芦苇长尺． 故选：D． 5．C 【分析】本题考查的知识点是勾股定理的逆定理，解题关键是熟练掌握勾股定理的逆定理． 根据勾股定理的逆定理对选项进行逐一判断即可． 【详解】解：、，不能作为直角三角形三边长，不符合题意，选项错误； 、，不能作为直角三角形三边长，不符合题意，选项错误； 、，可以作为直角三角形三边长，符合题意，选项正确； 、，不能作为直角三角形三边长，不符合题意，选项错误． 故选：． 6．A 【分析】本题主要查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的性质，正方形的性质，勾股定理．根据等腰三角形的判定可得，再由全等三角形的性质以及等腰三角形的性质可得是等腰直角三角形，根据勾股定理可得，再由勾股定理，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵由四个全等的直角三角形拼接成一个正方形， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴． 故选：A 7．A 【分析】此题考查了勾股定理，利用勾股定理求出的长，再求出的长，进而即可得解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴． 故选：A． 8．A 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，圆面积的计算等知识点，先根据勾股定理得到三角形的三边关系，再用圆面积的计算方法得到三个半圆的面积的关系，进而求得结论； 【详解】解：∵在Rt中，, ∴ ∴, ∴， ∴， ∵， ∴， 故选项B,C,D错误，不符合题意；选项 A正确，符合题意； 故选：A 9．D 【分析】本题考查了折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的运用，理解折叠的性质，掌握勾股定理的运用是解题的关键． 根据折叠的性质可证，得，设，则，在中运用勾股定理得到，由此列式求解即可． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴，， ∵折叠，点与点重合， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得，， ∴， 故选：D ． 10．B 【分析】连接，根据等腰三角形的三线合一得到点F在的平分线上，根据含角的直角三角形的性质、勾股定理计算即可得到答案． 【详解】解：如图，连接，    ∵为等边三角形，F是的中点， ∴，平分，即点F在的平分线上， ， 如图，当，点D在上时，最小，    在中，， 则， 由勾股定理得：， ∵平分，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中， ，， ∴， ∵， ∴， 解得（负值舍去）， ∴等边的周长为， 故选：B． 【点睛】本题考查的是等边三角形的性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理、垂线段最短，得出，点D在上时，最小是解题的关键． 11．5 【分析】本题考查了两点间的距离公式．熟记公式是解题的关键，比较简单． 根据两点间的距离公式进行解答即可． 【详解】解：， 故答案是：5． 12． 【分析】本题考查勾股定理，实数的知识，解题的关键是根据数轴，求出半径，再根据数轴的性质，进行解答，即可． 【详解】解：由图形可得：， ∴半径为， ∵点在原点的左边， 点表示的实数为． 故答案为：． 13．5或 【分析】本题考查了算术平方根的非负数的性质和勾股定理．先由非负数的性质求出，，由于题中直角三角形的斜边不能确定，故应分4是直角三角形的斜边和直角边两种情况讨论． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， 即这个直角三角形的两边长分别为3和4． ①当4是此直角三角形的斜边时， 则由勾股定理得另一直角边为， ②当4是此直角三角形的直角边时， 则由勾股定理得斜边为：． 故答案为：5或． 14．16 【分析】本题主要考查的是勾股定理的应用，过点A作，利用锐角三角函数的定义求出的长与相比较，发现受到影响，然后过点A作，求出的长即可得出居民楼受噪音影响的时间． 【详解】解：过点A作，上取点，，使， 由题意可得，， 当火车到B点时对A处产生噪音影响，此时， ∵，， ∴由勾股定理得：，，即， ∵火车在铁路上沿方向以的速度行驶， ∴影响时间应是：． 故A处受噪音影响的时间是． 故答案为：16． 15．/厘米 【分析】本题考查了轴对称图形的性质，勾股定理求最短路径，理解最短路径的计算，掌握勾股定理是解题的关键． 根据题意，作图，作点关于的对称点，连接，则线段是最短路径，过点作延长线点，图形结合，运用勾股定理即可求解． 【详解】解：根据题意，作图如下， ∴，，，作点关于的对称点，连接，则线段是最短路径，过点作延长线点，， ∴，，， ∴， 故答案为： ． 16．①②④ 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，以及等腰直角三角形的判定与性质．①连接，证明，可以得出结论正确；②根据两三角形全等时面积也相等得：，利用割补法知：，是定点，所以△的面积是定值，即四边形的面积保持不变；③由于是等腰直角三角形，因此当最小时，也最小，可以得出结论正确；④根据，判断即可． 【详解】解：连接， ，， ， 是边上的中点， ，，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 即， 是等腰直角三角形；故①正确； ∴， ， ， ． 四边形的面积保持不变；故②正确； ∵是等腰直角三角形， ∴， 当时，的值最小，此时的值最小， ∵，，， ∴，为等腰直角三角形， ∴， ∴的最小值为，故③错误； ④∵，且， ∴．故④正确； 故答案为：①②④． 17．元 【分析】本题考查勾股定理和勾股定理的逆定理，解题的关键是证明．先求出米，再证明，则四边形的空地转化为两个三角形，即可求解． 【详解】解：连接， ∵，米，米， ∴米 ∵米，米， ∴， ∴， ∴（米） 所以需费用（元）． 18． 【分析】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理及其逆定理．直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半，先求出边的长度，再利用勾股定理逆定理判断出为直角三角形，得到，由即可求解． 【详解】解：，， ，， 设，则， 又， ， 或（舍去）， ，， 又，， ，， ， 是直角三角形， ∴． 19．(1) (2) 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． （1）根据勾股定理即可得到结论； （2）设，则，根据勾股定理列方程，即可得到结论． 【详解】（1）解：在中， ∵，，， ∴． （2）解：∵垂直平分 ， ∴， 设 ，则， 在中， ∵， ∴， 解得． ∴． 20．的长为5米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，延长与交于点F，设，在中求出；在中根据勾股定理可求出结论． 【详解】解：如图，延长与交于点F，依题意，得． 设， 在中，，即， 解得，（舍去）． ∴； 在中，，即， 解得或（不合题意，舍去）， ∴的长为5米． 21．(1)5小时 (2)符合航行安全标准，理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理的应用以及方位角的应用，等腰三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先得出，结合勾股定理列式（海里），因为货船的航行速度为20海里/小时，则（小时），即可作答． （2）先在上取两点M，N使得海里，结合，分别算出的长度，然后结合等腰三角形的三线合一，得出海里，因为货船的航行速度为10海里/小时，则（小时），即可作答． 【详解】（1）解：∵港口A在灯塔C的北偏西方向上，港口A与灯塔C的距离是40海里；港口B在灯塔C的南偏西方向上 ∴， ∵港口A与灯塔C的距离是40海里，港口B与灯塔C的距离是30海里 （海里）， ∵货船的航行速度为10海里/小时 （小时）， 答：货船从A港口到B港口需要5小时； （2）答：这艘船在本次运输中符合航行安全标准，理由如下： 如图：过C作交于D， 在上取两点M，N使得海里 ∵， ∴（海里）， ∴（海里）， ∵， ∴是等腰三角形 ∵ ∴海里， ∴（小时） ∵， ∴这艘货船在本次运输中符合航行安全标准． 22．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了格点作图、平移的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，灵活运用所学知识解决问题是解题的关键． （1）根据网格确定的中点D，然后连接即为所求；如图取格点F、G，连接与网格线交于点H，连接与线段的交点即为所求点E； （2）如图：取格点I、H，连接与交于点F，连接即为所求；取格点J，连接与交于点K，连接与交于点G即为所求． 【详解】（1）解：如图，的中线和点即为所求． （2）解：如图，的高和点即为所求． 23．(1)①，证明见解析；② (2)当点在线段上时，；当点在线段延长线上时， 【分析】（1）①连接，证明是等边三角形，得到，，再证明，得到，结合，推出，从而得证；②在线段上截取，连接，先证明是等边三角形，在利用等腰三角形三线合一，得到，再利用30度所对的直角边等于斜边的一半以及勾股定理，得到，结合从而得证； （2）①当点在线段上时，在延长线上截取，连接．先证明是等边三角形，得到，，从而推出，，由勾股定理得，，最后得到；当点在线段长线上时，同上，截取，连接，同理可证． 【详解】（1）解：① 连接，如图所示： ， 是等边三角形 ， 是等边三角形 ， ， 在和中， ②，理由如下： 在线段上截取，连接，如图所示： 是等边三角形 ， 是等边三角形 ， （2）解：点是线段延长线上一点（不与，重合），过作，垂足为， ①当点在线段上时， 如图，在延长线上截取，连接． 是等边三角形 是等边三角形 ， ，垂足为 由勾股定理得， ， ②当点在线段长线上时， 截取，连接，如图所示： 是等边三角形 是等边三角形 ， ，垂足为 由勾股定理得， ， 【点睛】本题考查了等边三角形的性质与判定，三角形全等的判定与性质，平行的判定，30度所对的直角边等于斜边的一半，勾股定理，三线合一，熟练掌握以上知识点并作出合适的辅助线是解题的关键． 24．(1)①见详解；② (2) 【分析】（1）①由等边三角形的判定及性质得，是等边三角形，由可判定，由全等三角形的性质即可得证； ②取的中为，连接，由勾股定理得；由等边三角形的判定方法得是等边三角形，是等边三角形，由勾股定理得，由全等三角形的性质，即可求解； （2）过作轴交于，作轴交于，过作交于，由平行线的性质得 ，，由勾股定理得，由三角形的面积得，求出，由勾股定理得，即可求解． 【详解】（1）①证明：，， 是等边三角形， ， 是等边三角形， ，， ， ， 在和中 ， （）； ②解：如图，取的中为，连接， ， ，， 解得：，， ，， ； ， 是等边三角形， ， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ； （2）解：过作轴交于，作轴交于，过作交于， 轴，轴， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， ，， ， ， ． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理等，掌握等边三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，能添加适当的辅助线并熟练利用勾股定理求解是解题的关键． $$