精品解析：山东省潍坊市寒亭区2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题

2024－2025学年度第一学期期末质量检测 九年级数学试题 注意事项： 1．本场考试时间120分钟，本试卷满分150分． 2．答卷前，请将试卷密封线内和答题卡上的项目填涂清楚． 3．请在答题卡相应位置作答，不要超出答题区域，不要答错位置． 第Ⅰ卷（选择题 共44分） 一、单选题（本大题共6小题，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得4分，错选、不选均记0分） 1. 已知反比例函数，则它的图象必经过点（ ） A. B. C. D. 2. 下列说法正确的是（ ） A. “我市明天下雨的概率为”，意味着我市明天有的时间下雨 B. 任意投掷一枚硬币1000次，出现正面向上的次数不一定是500次 C. 从一副完整的扑克牌中随机抽取一张牌恰好是红桃K，这是必然事件 D. “某彩票中奖概率是”，表示买10000张这种彩票一定会有1张中奖 3. 如图，正五边形内接于，连接正五边形的对角线可得到我们常见的五角星图案，则的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 已知一次函数图象如图所示，则二次函数在平面直角坐标系中的图象是（ ） A. B. C. D. 5. 已知二次函数（，，为常数），下表给出了自变量与函数值的部分对应值． 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 3.96 4.25 4.56 4.89 5.24 根据表格，可以估计方程的近似解是（ ） A. 和2.55 B. 1.45和2.55 C. 1.25和2.75 D. 和2.75 6. 刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率．如图，内部多边形为的内接正十二边形，若的半径为2，则这个圆内接正十二边形的面积为（ ） A. 1 B. C. 12 D. 二、多选题（本题共4小题，共20分．在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得3分，错选，多选均记0分） 7. 如图，点、、在边长为1正方形网格格点上，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 二次函数的顶点为，现把其图象向右平移2个单位后再向下平移3个单位，可以得到一个新的二次函数图象，则下列描述正确的是（ ） A. 原图象顶点平移后为，因此得到 B. 原图象顶点平移后为，因此得到 C. 原图象上任意点平移后，因此得到 D. 原图象上任意点平移后为，因此得到 9. 如图，的斜边与半圆的直径平行，直角边交半圆于点，连接，，，已知，，，则下列结论正确的是（ ） A. 与半圆相切 B. 四边形为菱形 C. 的弧长为 D. 阴影区域的面积为 10. 如图，已知抛物线的对称轴是直线，且过点，顶点在第一象限．该函数图象经过，两点．下列结论正确的是（ ） A. B C. 若，且，则 D. 若，且，则 第Ⅱ卷（非选择题 共106分） 说明：将第Ⅰ卷答案用0.5mm的黑色签字笔答在答题卡的相应位置上． 三、填空题（本题共4小题，共16分．只要求填写最后结果，每小题填对得4分） 11. 如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同．小亮每次投掷飞镖均扎在该飞镖游戏板上，且扎在飞镖板上任意点处的机会是均等的．则小亮随机投掷一次飞镖，飞镖扎在阴影区域的概率是______． 12. 近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年3月份售价为23万元，5月份售价为16万元．设该款汽车这两个月售价的月均下降率是x，则所列方程为__________． 13. 如图，小莹用自制直角三角纸板测量“观光塔”的高度，她调整自己的位置，设法使斜边保持水平，边与点在同一直线上．已知直角三角纸板中，，测得点离地面的高度为，小莹与“观光塔”的水平距离为，则“观光塔”的高度是______． 14. 如图，的斜边与相切于点，与交于点，连接，．已知，，则的直径为______． 四、解答题（本大题共8小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤） 15. 一个盒子里装有分别写有数字1，3，5的三张卡片，另一个盒子里装有分别写有数字2，4的两张卡片，现从两个盒子中各任取一张卡片，请用画树状图或列表的方法，求取出的卡片上的数字为不相邻整数的概率． 16. 已知关于方程有两个实根，其中“□”内的数字待填． （1）请选择一个实数填入“□”内，并求出该方程的两个实根； （2）你认为“□”可以填入的实数应在什么取值范围内？写出推理过程． 17. 反比例函数与一次函数部分自变量与函数值的对应关系如下表： 2 ______ 1 7 ______ （1）求与的值，并补全表格； （2）一次函数图象与反比例函数图象左右两支分别交于点、，且它与轴，轴分别交于点、，请在图中画出一次函数的图象，并求； （3）请直接写出关于的不等式的解集． 18. 菲尔兹奖是国际上享有崇高声誉的一个数学奖项，被视为数学界的诺贝尔奖．该奖每4年评选一次，颁给有卓越贡献且年龄一般不超过40岁的2～4名年轻数学家．下面的数据是从1936至2022年菲尔兹奖得主获奖时的年龄： 29 39 35 33 39 28 33 35 31 31 37 32 38 36 31 39 32 38 37 34 29 34 38 32 35 36 33 29 32 35 36 37 39 38 40 38 37 39 38 34 33 40 36 36 37 40 31 38 38 40 40 37 30 40 34 36 36 39 35 37 （1）为了更好地说明菲尔兹得主获奖时的年龄分布，采取下列哪些分组方法合适？并说明理由． 方法（1）：组距是1，各组是，，…… 方法（2）：组距是3，各组是，，…… 方法（3）：组距是4，各组是，，…… 方法（4）：组距是10，各组是，，…… （2）小莹选择了方法②，请帮她补全频数分布表和频数分布直方图． 组别 年龄 频数 频率 1 4 0.067 2 3 13 0.217 4 22 0.366 5 0.200 （3）根据（2）中的信息，估算菲尔兹奖得主获奖时的平均年龄．（说明：取各组上限与下限的中间值近似表示该组的平均年龄） 19. 如图，点为某市物流中心，该物流中心下设，，三个配送站点，配送站点在的正北方向4.2km处，在的正西方向，在的北偏东37°方向2.5km处，在的北偏东64°方向．（，，，，，） （1）求配送站点与之间的距离； （2）“双11”期间，派送员从物流中心出发，以30km/h的速度沿着到各配送站点派送快递，派送员途径、两个站点各停留10min存放快递，请计算说明派送员能否在50min内到达配送站点？ 20. 水平放置的曲轴连杆的工作原理示意图如图所示，连杆在活塞的带动下绕轴匀速转动，连杆拖动气缸中的活塞做直线运动．连杆，连杆． （1）当连杆从位置按顺时针方向转至连杆与首次相切时，求活塞移动的距离． （2）当连杆从位置按顺时针方向旋转时，求活塞移动的距离．（说明：计算结果保留根号．） 21. 某兴趣小组做小球弹射实验，轴表示水平地面，表示斜坡，．从点处以一定方向和速度弹出小球，小球飞行路线可用抛物线刻画，其中为小球弹出后飞行的水平距离，为小球弹出后距离水平地面的高度．斜面可用直线刻画．实验测得：，，；小球飞行过程中经过、和三个点． （1）求抛物线的表达式； （2）求小球在斜面上的落点的横坐标； （3）当时，小球在飞行过程中与斜面间的竖直距离的最大值为多少？ 22. 如图，将一张矩形纸片按照如下步骤进行折叠，其中，． 步骤1：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，然后把纸片展平． 步骤2：再一次折叠纸片，点落在点处，并使折痕经过点，折痕交射线于点，过点作，交射线于点． （1）如图1，若点落在边的延长线上，猜想与的数量关系，并证明； （2）如图2，若点落在矩形外，设，，试求关于的函数表达式； （3）如图3，若点落在矩形内，为的外接圆，当与边相切时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年度第一学期期末质量检测 九年级数学试题 注意事项： 1．本场考试时间120分钟，本试卷满分150分． 2．答卷前，请将试卷密封线内和答题卡上的项目填涂清楚． 3．请在答题卡相应位置作答，不要超出答题区域，不要答错位置． 第Ⅰ卷（选择题 共44分） 一、单选题（本大题共6小题，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得4分，错选、不选均记0分） 1. 已知反比例函数，则它的图象必经过点（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出四个选项中点的横纵坐标之积，比照k即可得出结论．本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答． 【详解】解：A、，故反比例函数图象不经过点，不符合题意； B、，故反比例函数图象不经过点，不符合题意； C、，故反比例函数图象经过点，符合题意； D、，故反比例函数图象不经过点，不符合题意； 故选C． 2. 下列说法正确是（ ） A. “我市明天下雨的概率为”，意味着我市明天有的时间下雨 B. 任意投掷一枚硬币1000次，出现正面向上的次数不一定是500次 C. 从一副完整的扑克牌中随机抽取一张牌恰好是红桃K，这是必然事件 D. “某彩票中奖概率是”，表示买10000张这种彩票一定会有1张中奖 【答案】B 【解析】 【分析】概率表示可能性的大小，概率值越大，表示事件发生的可能性越大，但不一定必然发生．本题主要考查了事件的分类，概率的定义，解本题的要点在于了解概率值越大表示事件发生的可能性越大，但不一定必然发生． 【详解】解：A、下雨的概率为，表示明天降雨的可能性有六成，即下雨的可能性较大，故该选项不符合题意； B、任意投掷一枚硬币1000次，出现正面向上的次数不一定是500次，故该选项符合题意； C、从一副完整的扑克牌中随机抽取一张牌恰好是红桃K，这是随机事件，故该选项不符合题意； D、“某彩票中奖概率是”，表示买10000张这种彩票不一定会有1张中奖，故该选项不符合题意； 故选：B 3. 如图，正五边形内接于，连接正五边形的对角线可得到我们常见的五角星图案，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆与正多边形，圆周角定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先连接，因为正五边形内接于，得，因为，故，即可作答． 【详解】解：连接，如图所示： ∵正五边形内接于， ∴， ∵， ∴， 故选：B 4. 已知一次函数图象如图所示，则二次函数在平面直角坐标系中的图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数，二次函数图象的综合．根据一次函数图象，得到，，判定二次函数图象即可． 详解】解：观察一次函数图象可知：，， 则， ∴二次函数的图象开口向下，且与y轴的交点在y轴正半轴，对称轴在y轴的左侧． 只有选项A符合题意， 故选：A． 5. 已知二次函数（，，为常数），下表给出了自变量与函数值的部分对应值． 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 3.96 4.25 4.56 4.89 5.24 根据表格，可以估计方程的近似解是（ ） A. 和2.55 B. 1.45和2.55 C. 1.25和2.75 D. 和2.75 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根．通过表中数据确定当时，在和之间，再根据对称性得到当时，还在和之间，据此即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴观察表格可知，当时，在和之间， 根据二次函数对称性可知，当时，还在和之间， 故选：D． 6. 刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率．如图，内部多边形为的内接正十二边形，若的半径为2，则这个圆内接正十二边形的面积为（ ） A. 1 B. C. 12 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正多边形与圆，含角的直角三角形的性质等知识点，解决此题的关键是熟练运用这些知识点． 如图，过点A作于，得到圆的内接正十二边的圆心角为，根据三角形的面积公式即可求出结论． 【详解】解：由题意可作图如下，过点A作于， ∵圆的内接正十二边形的圆心角为， ∴， ∴， 即这个圆的内接正十二边形的面积为， 故选：C 二、多选题（本题共4小题，共20分．在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得3分，错选，多选均记0分） 7. 如图，点、、在边长为1的正方形网格格点上，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据勾股定理得出，，的长，进而利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，然后结合解直角三角函数的性质进而解答即可．此题考查解直角三角形，关键是根据勾股定理得出的长解答． 【详解】解：由勾股定理得： , ∴是直角三角形，， ∴，，， 故选：AC． 8. 二次函数的顶点为，现把其图象向右平移2个单位后再向下平移3个单位，可以得到一个新的二次函数图象，则下列描述正确的是（ ） A. 原图象顶点平移后为，因此得到 B. 原图象顶点平移后为，因此得到 C. 原图象上任意点平移后，因此得到 D. 原图象上任意点平移后为，因此得到 【答案】BD 【解析】 【分析】此题考查了二次函数图形的平移、坐标的平移，根据坐标的平移法则：左减右加，上加下减；二次函数图象的平移法则：左加右减，上加下减，逐项分析即可得出结果，熟练掌握坐标的平移法则以及二次函数图象的平移法则是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数的顶点为，现把其图象向右平移2个单位后再向下平移3个单位， ∴原图象顶点平移后为，即， ∴平移后的二次函数解析式为，故B正确，A错误； 由题意可得原图象上任意点平移后为，结合二次函数图象的平移法则：左加右减，上加下减，因此得到，故D正确，C错误； 故选：BD． 9. 如图，的斜边与半圆的直径平行，直角边交半圆于点，连接，，，已知，，，则下列结论正确的是（ ） A. 与半圆相切 B. 四边形为菱形 C. 的弧长为 D. 阴影区域的面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】证明，由是圆的半径即可判断选项A；连接交于点E，证明，则四边形是菱形，即可判断B选项；求出的弧长为，即可判断C选项；根据求出答案即可判断D选项． 【详解】解：∵的斜边与半圆的直径平行， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， ∵是圆的半径， ∴与半圆相切，故选项A正确； 连接交于点E，则， ∵， ∴是等边三角形， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， 故B选项正确； ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴的弧长为， 故C选项错误； ∵，， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴ 故选项D正确， 故选：ABD 【点睛】此题考查了弧长和扇形面积公式、菱形的判定和性质、圆周角定理、切线的判定、等边三角形的判定和性质、勾股定理等知识，综合性较强，难度较大，熟练掌握相关判定和性质是解题的关键． 10. 如图，已知抛物线的对称轴是直线，且过点，顶点在第一象限．该函数图象经过，两点．下列结论正确的是（ ） A B. C. 若，且，则 D. 若，且，则 【答案】AC 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的综合，掌握二次函数的图象与各项系数符号的关系是解题关键． 根据二次函数的图象及性质可得，，，由处的函数值可判断B选项；由处函数值可判断A选项；根据得到点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离可判断C选项，运用数形结合思想，则，且，则或，即可作答． 【详解】解：二次函数开口向下，则， 二次函数对称轴为，则， ∴，， ∴， ∵过点， ∴由对称可得二次函数与x轴的另一交点为， 由函数图象可得时， ∴，故A选项符合题意； ∵时， ∴， 把代入得：，故B选项不符合题意； ∵对称轴是直线， ∴若，即时，， 当时， ∵二次函数图象开口向下， ∴，故C选项符合题意． ∵，且， ∴， 如图： 画出两条直线， 观察图象得或，故D选项不符合题意； 故选：AC． 第Ⅱ卷（非选择题 共106分） 说明：将第Ⅰ卷答案用0.5mm的黑色签字笔答在答题卡的相应位置上． 三、填空题（本题共4小题，共16分．只要求填写最后结果，每小题填对得4分） 11. 如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同．小亮每次投掷飞镖均扎在该飞镖游戏板上，且扎在飞镖板上任意点处的机会是均等的．则小亮随机投掷一次飞镖，飞镖扎在阴影区域的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了几何概率计算公式及应用，熟练掌握面积之比几何概率是解题的关键． 根据飞镖扎在阴影区域的概率阴影区域面积与总面积之比，计算即可得到答案． 【详解】解：设小正方形面积为， 飞镖游戏板由大小相等的个小正方形构成， 飞镖游戏板的面积为，阴影区域面积为， 飞镖扎在阴影区域的概率是， 故答案为：． 12. 近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年3月份售价为23万元，5月份售价为16万元．设该款汽车这两个月售价的月均下降率是x，则所列方程为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，利用该款燃油汽车今年5月份的售价该款燃油汽车今年3月份的售价该款汽车这两月售价的月平均降价率，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：根据题意得：． 故答案为：． 13. 如图，小莹用自制直角三角纸板测量“观光塔”的高度，她调整自己的位置，设法使斜边保持水平，边与点在同一直线上．已知直角三角纸板中，，测得点离地面的高度为，小莹与“观光塔”的水平距离为，则“观光塔”的高度是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 根据题意可证明，得到，求出，即可得到答案． 【详解】解：，， ， ， ，，， ， 点离地面的高度为， ， ， 故答案为：． 14. 如图，的斜边与相切于点，与交于点，连接，．已知，，则的直径为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，作于点F，则，证明，则，得到，则，再求出，根据得到，即可得到答案． 【详解】解：连接，作于点F，则， ∵．，， ∴， ∴ ∴， ∴， ∵的斜边与相切于点， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的直径为， 故答案为： 【点睛】此题考查了切线的性质、垂径定理、勾股定理、解直角三角形、平行线分线段成比例定理等知识，添加合适的辅助线是解题的关键． 四、解答题（本大题共8小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤） 15. 一个盒子里装有分别写有数字1，3，5的三张卡片，另一个盒子里装有分别写有数字2，4的两张卡片，现从两个盒子中各任取一张卡片，请用画树状图或列表的方法，求取出的卡片上的数字为不相邻整数的概率． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了树状图求概率，正确画出树状图是解答本题的关键． 画出树状图，由树状图求出卡片上的数字为不相邻整数的等可能的结果数，再由概率公式即可求出答案． 【详解】解：画树状图得： 由图可知共有6种等可能的结果，抽到两张卡片上的数字为不相邻整数的的结果有2种， 抽到两张卡片上的数字为不相邻整数的概率为． 16. 已知关于的方程有两个实根，其中“□”内的数字待填． （1）请选择一个实数填入“□”内，并求出该方程的两个实根； （2）你认为“□”可以填入的实数应在什么取值范围内？写出推理过程． 【答案】（1）当“□”内的数字为时，该方程的两个实根都是（答案不唯一） （2），且．过程见详解 【解析】 【分析】本题考查了根据一元二次方程根的情况求参数，因式分解法解方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，则当“□”内的数字为时，再运用因式分解法进行解方程，即可作答． （2）根据关于的方程有两个实根，得，即可作答． 【小问1详解】 解：依题意，当“□”内的数字为时， 则， 解得； 【小问2详解】 解：且，过程如下： 设的值为a， 则方程为， ∵该方程有两个实根， ∴，且． 解得，且． 17. 反比例函数与一次函数部分自变量与函数值的对应关系如下表： 2 ______ 1 7 ______ （1）求与的值，并补全表格； （2）一次函数图象与反比例函数图象左右两支分别交于点、，且它与轴，轴分别交于点、，请在图中画出一次函数的图象，并求； （3）请直接写出关于的不等式的解集． 【答案】（1），，补全表格见详解 （2）见详解， （3）或 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的解析式，求反比例函数的解析式，一次函数的解析式，平行线分线段成比例，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先分别求出反比例函数的解析式，一次函数的解析式，再补充表格，即可作答． （2）先建立，则，，即，再求出；得出，则，代入数值得，故； （3）结合一次函数图象与反比例函数图象左右两支分别交于点、，且，运用数形结合思想进行作答即可． 【小问1详解】 解：依题意，把代入，得， ∴， ∴， 当时，则； 把代入，得， ∴， ∴， 当时，则； ∴补全表格如图所示： 2 7 1 7 【小问2详解】 解：依题意， ， 解得，， ∵一次函数图象与反比例函数图象左右两支分别交于点、，且它与轴，轴分别交于点、， ∴， 令，则，则； 过点A作直线轴，且过点C作，过点B作，一次函数的图象如图所示： ∴， ∴， 则， 则， ∴； 【小问3详解】 解：∵一次函数图象与反比例函数图象左右两支分别交于点、，且 ∴的不等式的解集是或． 18. 菲尔兹奖是国际上享有崇高声誉的一个数学奖项，被视为数学界的诺贝尔奖．该奖每4年评选一次，颁给有卓越贡献且年龄一般不超过40岁的2～4名年轻数学家．下面的数据是从1936至2022年菲尔兹奖得主获奖时的年龄： 29 39 35 33 39 28 33 35 31 31 37 32 38 36 31 39 32 38 37 34 29 34 38 32 35 36 33 29 32 35 36 37 39 38 40 38 37 39 38 34 33 40 36 36 37 40 31 38 38 40 40 37 30 40 34 36 36 39 35 37 （1）为了更好地说明菲尔兹得主获奖时的年龄分布，采取下列哪些分组方法合适？并说明理由． 方法（1）：组距是1，各组是，，…… 方法（2）：组距是3，各组是，，…… 方法（3）：组距是4，各组是，，…… 方法（4）：组距是10，各组是，，…… （2）小莹选择了方法②，请帮她补全频数分布表和频数分布直方图． 组别 年龄 频数 频率 1 4 0.067 2 3 13 0.217 4 22 0.366 5 0.200 （3）根据（2）中的信息，估算菲尔兹奖得主获奖时的平均年龄．（说明：取各组上限与下限的中间值近似表示该组的平均年龄） 【答案】（1）方法（2） （2）见详解 （3）岁 【解析】 【分析】本题主要考查了列频数分布表和画频数分布直方图，求平均数，做题的关键是掌握频数分布表和频数分布直方图的制作方法． （1）先读取题干数据，算出极差是，根据组距情况得出分成的组数，再进行分析作答即可． （2）先求出总人数，再运用总人数乘上频率，得出年龄在的人数，再求出年龄在的人数，最后补全频数分布表和频数分布直方图，即可作答． （3）运用求平均数的公式代入数值计算，即可作答． 【小问1详解】 解：∵最小年龄是岁，最高年龄是岁， ∴极差是， ∴方法（2）的方式，可以分成（组） ∴方法（3）的方式，可以分成（组） 但（1）组组距为1过于小，将数据分为12个组，组数过多，比较起来比较繁琐；（4）组距为10过于大，将数据分为3个组，组数过少比较起来参考性小， ∴不考虑（1）和（4）， ∵分为组相对分为4组来说，更为合理， ∴（2）组比（3）组更能说明诺贝尔奖者年龄分布情况． 【小问2详解】 解：调查总人数为（人）， ∴（人）， ∴（人）， ∴， ∴补全频数分布表和频数分布直方图．如图所示： ； 组别 年龄 频数 频率 1 4 0.067 2 9 0.150 3 13 0.217 4 22 0.366 5 12 0.200 【小问3详解】 解：依题意，（岁）． ∴估算菲尔兹奖得主获奖时的平均年龄为岁． 19. 如图，点为某市物流中心，该物流中心下设，，三个配送站点，配送站点在的正北方向4.2km处，在的正西方向，在的北偏东37°方向2.5km处，在的北偏东64°方向．（，，，，，） （1）求配送站点与之间的距离； （2）“双11”期间，派送员从物流中心出发，以30km/h的速度沿着到各配送站点派送快递，派送员途径、两个站点各停留10min存放快递，请计算说明派送员能否在50min内到达配送站点？ 【答案】（1）． （2）派送员能在到达配送站点． 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用—方向角问题，将实际问题转化成解直角三角形的问题，利用解直角三角形的知识求解是解题的关键． （1）过点作于，于，先解，求得、长，再证明，，继而求得长，再解即可得到答案； （2）求出派送员所需总时间，再与比较即可得出答案． 【小问1详解】 解：如图，过点作于，于， 由已知则有，，，， 在中，∵，， ∴，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 在中，∵，， ∴， 答：配送站点与之间的距离约为． 【小问2详解】 解：∵， ∵， ∴ ∴派送员到达配送站点所需的时间 ∵， ∴派送员能在到达配送站点． 20. 水平放置的曲轴连杆的工作原理示意图如图所示，连杆在活塞的带动下绕轴匀速转动，连杆拖动气缸中的活塞做直线运动．连杆，连杆． （1）当连杆从位置按顺时针方向转至连杆与首次相切时，求活塞移动的距离． （2）当连杆从位置按顺时针方向旋转时，求活塞移动的距离．（说明：计算结果保留根号．） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了圆的切线的性质、勾股定理、含角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握切线的性质和含角的直角三角形的性质是解题的关键． （1）根据切线的性质得到，则，即可求出答案； （2）过点A作于点H，利用含角的直角三角形的性质和勾股定理求出相关线段的长度即可． 【小问1详解】 解：∵连杆与相切， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ 【小问2详解】 过点A作于点H， 当连杆从位置按顺时针方向旋转时，， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 21. 某兴趣小组做小球弹射实验，轴表示水平地面，表示斜坡，．从点处以一定方向和速度弹出小球，小球的飞行路线可用抛物线刻画，其中为小球弹出后飞行的水平距离，为小球弹出后距离水平地面的高度．斜面可用直线刻画．实验测得：，，；小球飞行过程中经过、和三个点． （1）求抛物线的表达式； （2）求小球在斜面上的落点的横坐标； （3）当时，小球在飞行过程中与斜面间的竖直距离的最大值为多少？ 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数和一次函数解析式、二次函数的实际应用、二次函数的最值等知识，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）待定系数法求出抛物线解析式即可得解； （2）先求出斜面的解析式，再根据小球在斜面上的落点可以看作是斜面和抛物线的交点，联立方程组求解即可； （3）设的坐标为，则，表示出的长度，再利用二次函数最值求解即可． 【小问1详解】 解：将、代入得： ， 解得：， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：，，， ，， 将、两点坐标代入得： ， 解得：， 斜面的解析式为， 小球在斜面上的落点可以看作是斜面和抛物线的交点， 令， 解得：（负值舍去）， 小球在斜面上的落点的横坐标为； 【小问3详解】 解：设的坐标为，则， ， ， 当时，有最大值，此时， 答：小球在飞行过程中与斜面间的竖直距离的最大值为． 22. 如图，将一张矩形纸片按照如下步骤进行折叠，其中，． 步骤1：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，然后把纸片展平． 步骤2：再一次折叠纸片，点落在点处，并使折痕经过点，折痕交射线于点，过点作，交射线于点． （1）如图1，若点落在边的延长线上，猜想与的数量关系，并证明； （2）如图2，若点落在矩形外，设，，试求关于的函数表达式； （3）如图3，若点落在矩形内，为的外接圆，当与边相切时，求的长． 【答案】（1）； （2）； （3） 【解析】 【分析】(1)由题意得，可推出是矩形，进而得出，从而得出； (2)可推出，，从而，在中，根据勾股定理列出等式，进一步得出结果； (3)设交于，作射线，交于，交于，设交于，连接，可得出，，，设，则，在中，根据勾股定理得出，从而得出，根据求得的长，进一步得出结果． 【小问1详解】 解∶由题意得．四边形是矩形， ， ， ， 四边形是平行四边形，， 是矩形， 点沿着折叠是点， ， ， ； 【小问2详解】 解：由折叠得，，， ， 由（2）知：， ， 在中，， ， ； 【小问3详解】 解：如图， 设交于，作射线，交于，交于， 设交于，连接， ， ， ，， ，， 四边形是矩形， ， 四边形是矩形， ， 设， 则， 在中，， ， ， 由（1）知：， ， ， ，， ， ． 【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角、弧、弦之间的关系，矩形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $