精品解析：2025年广东省清远市连州市北山中学九年级数学中考一模试卷

北山中学2025年初中学业水平模拟考试（一） 数学试卷 说明：1．全卷共4页，满分为120分，考试用时为120分钟． 2．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答題卡上填写自己的考试号、姓名、试室号、座位号，用2B铅笔 把对应该号码的标号涂黑． 3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题上． 4．非选择题答题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目的指定 区域内相应位置上；如需改 动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一 个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑． 1. 下列图形中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【详解】解：A、是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意； B、不是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意； C、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意； D、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项符合题意， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形沿对称轴折叠后可重合，中心对称图形关键是要寻找对称中心，图形旋转后与原图重合． 2. （ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，直接开方法解方程即可． 【详解】解：∵， ∴； 故选B． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】A、利用合并同类项的法则即可判定；B、利用去括号的法则即可判定；C、利用平方差公式即可判定；D、利用完全平方公式判定． 【详解】解：A、，不是同类项，，故选项错误； B、，故选项错误； C、，正确； D、，故选项错误． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了整式的运算法则，其中对于平方差公式和完全平方公式的公式结构一定要熟练． 4. 民以食为天．一米一面，虽看似平常，却代表着稳稳的幸福．2022年，全国粮食总产量亿斤，比上年增长，粮食产量连续8年稳定在万亿所以上，将用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用科学记数法的定义解决．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数． 【详解】解：． 故选：B． 【点睛】此题考查科学记数法的定义，关键是理解运用科学记数法． 5. 动车组列车的普通坐席位置通常用A，B，C，D，F五个字母表示，其中A，F代表靠窗坐席，随机购买一张普通动车组列车车票，坐席靠窗位置的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意知，共有5种等可能的结果，其中座位是靠窗的结果有2种，利用概率公式可得答案．本题考查概率公式，熟练掌握概率公式是解答本题的关键． 【详解】解：由题意知，共有5种等可能的结果，其中座位是靠窗的结果有2种， ∴座位是靠窗的概率为． 故选：B． 6. 如图，已知，如果，那么的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，邻补角互补，根据两直线平行，同位角相等，得，最后结合邻补角互补列式计算，即可作答． 【详解】解：如图所示： ∵， ∴， ∴， 故选：C． 7. 点向右平移 3 个单位后的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查点的平移，根据平移规则左减右加纵不变，上加下减横不变，进行求解即可． 【详解】解：点向右平移 3 个单位后的坐标是，即：； 故选D． 8. 反比例函数的图像可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质，时，图象在一、三象限，进行判断即可． 【详解】解：∵反比例函数，， ∴图象分布在第一、三象限，即： 故选C． 【点睛】本题考查反比例函数的图象．熟练掌握反比例函数的性质，是解题的关键． 9. 如题图，在平行四边形中，，，以点D为圆心，任意长为半径画弧，交于点P，交于点Q，分别以P、Q为圆心，大于为半径画弧交于点M，连接并延长，交于点E，连接，则（ ） A. 平分 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查作图-基本作图，角平分线的性质，平行四边形的性质等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题． 【详解】解：由作图可知平分，故选项A正确， 则， 在平行四边形中，，， ∴，，故B不正确， 则， ∴， ∴，则， 故无法判断选项C，D是否正确． 故选：A． 10. 二次函数 y＝ax²+bx+c（a≠0）的图象如图所示，A（﹣ 1，3）是抛物线的顶点，则以下结论中正确的是（ ） A. a＜0，b＞0，c＞0 B. 2a+b＝0 C. 当 x＜0 时，y 随 x 的增大而减小 D. ax2+bx+c﹣3≤0 【答案】D 【解析】 【分析】利用抛物线的对称轴为直线 x＝﹣＝﹣1，则 b＝2a＜0，则可对 A、 B 进行判断；利用二次函数的性质可对 C 进行判断；利用二次函数的最值问题可对 D 进行判断． 【详解】A.抛物线开口向下，则 a＜0，抛物线的对称轴为直线 x＝﹣＝﹣1，则 b＝2a＜0，抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方，则 c＞0，所以 A 选项错误； B.抛物线的对称轴为直线 x＝﹣＝﹣1，则 2a﹣b＝0，所以 B 选项错误； C.当 x＞﹣1 时，y 随 x 的增大而减小，所以 C 选项错误； D.二次函数的最大值为﹣3，则 y≤3，即 ax2+bx+c﹣3≤0，所以 D 选项正确． 故选D． 【点睛】本题考查了二次函数与不等式：利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解． 二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡 相应的位置上． 11. 因式分解：__________． 【答案】 【解析】 【详解】解：=； 故答案为 12. 不等式组的解集为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查求不等式组的解集，分别求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分，即为不等式组的解集． 【详解】解：， 由①，得：； 由②，得：； ∴不等式组的解集为：． 故答案为： 13. 单项式的系数为______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查单项式系数的定义，熟记单项式前面的数字因数叫做系数，是解决问题的关键． 【详解】解：由单项式定义可知，单项式的系数为1， 故答案为：1． 14. 如题图，是的直径，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，根据直径所对的圆周角为直角，同弧所对的圆周角相等，进行求解即可． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 故答案为：． 15. 如图，三个顶点都在格点上，已知小方格的边长为1，则_____． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了正切的定义，根据网格线的特点可得，，，进而可知是直角三角形，再利用正切的定义即可解答． 【详解】解：由勾股定理可得：，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， 故答案为：2． 三、解答题（一）（本大题3小题，每小题7分，共21分） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，特殊角的三角函数值的计算，先进行乘方，零指数幂和负整数指数幂，特殊角的三角函数值的计算，再进行加减运算即可． 【详解】解：原式． 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，除法变乘法，约分化简后，代值计算即可． 【详解】解：原式； 当时，原式． 18. 已知：如图，E，F在AC上，AD//CB且AD=CB，∠D=∠B．求证：AE=CF． 【答案】 证明：∵AD∥CB， ∴∠A=∠C， 在△ADF和△CBE中， ∴△ADF≌△CBE（ASA）， ∴AF=CE， ∴AF+EF=CE+EF，即AE=CF． 【解析】 【分析】根据两直线平行内错角相等即可得出∠A=∠C，再根据全等三角形的判定即可判断出△ADF≌△CBE，得出AF=CE，进而得出AE=CF． 【详解】略 【点睛】本题考查了平行线的性质以及全等三角形的判定及性质，难度适中． 四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分） 19. 现某校高三第一次模拟考试结束后，数学李老师对本班数学成绩作质量分析，并制成 如下统计图表，根据图表中信息，解答问题． 等级 分数段 频数 频率 优秀 A： 5 0.36 B： m 良好 C： n 0.44 D： 8 合格 E： 5 0.16 F： 3 不合格 G： 2 b （1）本班共有学生________人； （2）表格中 ________，________，_______； （3）A分数段的5位同学中有3男2女，从他们当中随机选择2位同学进行经验介绍，请用画树状图或列表法求恰好选中两个男生的概率． 【答案】（1）50 （2）13，14， （3） 【解析】 【分析】此题主要考查统计调查的应用，利用列表或画树状图求概率，解题的关键是概率公式的运用． （1）根据合格人数及其频率即可求出班级全体人数； （2）根据全班人数及良好人数的频率，依次求出n，m，b即可求解； （3）依题意画树状图得到所有可能的情况，再根据概率公式求解． 【小问1详解】 解：本班共有学生人， 故答案为：50； 【小问2详解】 良好的学生人数为人， ∴，， ∴， 故答案为：13，14，； 【小问3详解】 将男生分别标记为、、，女生分别标记为、， 画树状图如图： 一共有20种等可能的结果，其中恰好选中两个男生的结果有6种， 所以，恰好选中两个男生的概率为． 20. 2022年北京冬（残）奥运会吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”深受广大观众朋友的喜爱，欣欣购买了2件“冰墩墩”和5件“雪容融”共花了310元，而小华购买了3件“冰墩 墩”和2件“雪容融”共245元． （1）求两种纪念品的单价． （2）某旅行团准备花12000元购买 “冰墩墩”和“雪容融”共250件，最多可以购买多少件“冰墩墩”． 【答案】（1）“冰墩墩”和“雪容融”的单价分别为元和元 （2）最多可以购买133件“冰墩墩” 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式的实际应用： （1）设“冰墩墩”和“雪容融”的单价分别为元和元，根据欣欣购买了2件“冰墩墩”和5件“雪容融”共花了310元，而小华购买了3件“冰墩 墩”和2件“雪容融”共245元，列出方程组进行求解即可； （2）设可以购买件“冰墩墩”，根据题意，列出一元一次不等式，进行求解即可． 【小问1详解】 解：设“冰墩墩”和“雪容融”的单价分别为元和元， 由题意，得：，解得：； 答：“冰墩墩”和“雪容融”的单价分别为元和元； 【小问2详解】 设可以购买件“冰墩墩”，由题意，得： ， 解得：， ∵为整数， ∴的最大值为：133； 答：最多可以购买133件“冰墩墩”． 21. 如图，点A在第一象限内，轴于点B，反比例函数的图象分别交于点C，D．已知点C的坐标为． （1）求k的值及点D的坐标． （2）已知点P在该反比例函数图象上，且在的内部（包括边界），直接写出点P的横坐标x的取值范围． 【答案】（1），； （2）； 【解析】 【分析】（1）由C点坐标可得k，再由D点纵坐标可得D点横坐标； （2）由C、D两点的横坐标即可求得P点横坐标取值范围； 【小问1详解】 解：把C（2，2）代入，得，， ∴反比例函数函数为（x＞0）， ∵AB⊥x轴，BD=1， ∴D点纵坐标为1， 把代入，得， ∴点D坐标为（4，1）； 【小问2详解】 解：∵P点在点C（2，2）和点D（4，1）之间， ∴点P的横坐标：； 【点睛】本题考查了反比例函数解析式，坐标的特征，数形结合是解题关键． 五、解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 如图，是的直径，是的切线，为切点，交于点，点是弧的中点，与交于点． （1）当时，=_______； （2）求证：； （3）已知，，求的长． 【答案】（1） （2） 证明：由（1）可知，，， ∴，则， ∵点是弧的中点， ∴， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定及性质，角平分线的性质等知识点，掌握相关图形的性质是解决问题的关键． （1）根据题意可知，，进而利用直角三角形两锐角互余即可求解； （2）由（1）可知，，，进而可得，由点是弧的中点，可知，即可证明结论； （3）在中，由勾股定理可得：，结合（2）可证明，平分，在根据相似三角形的性质得，，设点到、的距离为，，则，结合等面积法可得，即，进而求得答案． 【小问1详解】 解：∵是的直径， ∴，则， 又∵是的切线， ∴，则， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 在中，由勾股定理可得：， 由（2）可知，， ∴，平分， ∴，即， ∴，， 设点到、的距离为，，则， ∴，则，即：， ∵， ∴． 23. 综合与探究 如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点P是第一象限内二次函数图象上的一个动点，设点P的横坐标为m．过点P作直线轴于点D，作直线BC交PD于点E （1）求A，B，C三点的坐标，并直接写出直线BC的函数表达式； （2）当是以PE为底边的等腰三角形时，求点P的坐标； （3）连接AC，过点P作直线 ，交y轴于点F，连接DF．试探究：在点P运动的过程中，是否存在点P，使得，若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），点C的坐标为； （2） （3）存在；m的值为4或 【解析】 【分析】（1）令中y和x分别为0，即可求出A，B，C三点的坐标，利用待定系数法求直线BC的函数表达式； （2）过点C作于点G，易证四边形CODG是矩形，推出，，，再证明，推出，由等腰三角形三线合一的性质可以得出， 则，由P点在抛物线上可得，联立解出m，代入二次函数解析式即可求出点P的坐标； （3）分点F在y轴的负半轴上和点F在y轴的正半轴上两种情况，画出大致图形，当时，，由（2）知，用含m的代数式分别表示出OF，列等式计算即可． 【小问1详解】 解：由得， 当时，， ∴点C的坐标为． 当时，， 解得． ∵点A在点B的左侧， ∴点A，B的坐标分别为． 设直线BC的函数表达式为， 将，代入得， 解得， ∴直线BC的函数表达式为﹒ 【小问2详解】 解：∵点P在第一象限抛物线上，横坐标为m，且轴于点D， ∴点P的坐标为，， ∴． ∵点B的坐标为，点C的坐标为， ∴，． 过点C作于点G，则． ∵， ∴四边形CODG是矩形， ∴ ，，． ∴． ∵， ∴． ∴，即， ∴． 在中， ∵， ∴． ∴， ∴ 解得（舍去）， ∴． 当时，﹒ ∴点P的坐标为． 【小问3详解】 解：存在；m的值为4或． 分两种情况，①当点F在y轴的负半轴上时，如下图所示，过点P作直线轴于点H， ∵过点P作直线，交y轴于点F， ∴ ， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， 由（2）知，． 根据勾股定理，在中，， 在中，， 当时，， ∵， ∴， ∴， 解得或， ∵点P是第一象限内二次函数图象上的一个动点， ∴； ②当点F在y轴的正半轴上时，如下图所示， 同理可得，，，，， ∴ ∴， 解得或， ∵点P是第一象限内二次函数图象上的一个动点， ∴； 综上，m的值为4或 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数、一次函数、等腰三角形、矩形、勾股定理、相似三角形等知识点，第三问难度较大，需要分情况讨论，画出大致图形，用含m的代数式表示出OF是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北山中学2025年初中学业水平模拟考试（一） 数学试卷 说明：1．全卷共4页，满分为120分，考试用时为120分钟． 2．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答題卡上填写自己的考试号、姓名、试室号、座位号，用2B铅笔 把对应该号码的标号涂黑． 3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题上． 4．非选择题答题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目的指定 区域内相应位置上；如需改 动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一 个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑． 1. 下列图形中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. （ ） A. B. C. 2 D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 民以食为天．一米一面，虽看似平常，却代表着稳稳的幸福．2022年，全国粮食总产量亿斤，比上年增长，粮食产量连续8年稳定在万亿所以上，将用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 5. 动车组列车的普通坐席位置通常用A，B，C，D，F五个字母表示，其中A，F代表靠窗坐席，随机购买一张普通动车组列车车票，坐席靠窗位置的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，已知，如果，那么的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 点向右平移 3 个单位后的坐标是（ ） A. B. C. D. 8. 反比例函数的图像可能是（ ） A. B. C. D. 9. 如题图，在平行四边形中，，，以点D为圆心，任意长为半径画弧，交于点P，交于点Q，分别以P、Q为圆心，大于为半径画弧交于点M，连接并延长，交于点E，连接，则（ ） A. 平分 B. C. D. 10. 二次函数 y＝ax²+bx+c（a≠0）的图象如图所示，A（﹣ 1，3）是抛物线的顶点，则以下结论中正确的是（ ） A. a＜0，b＞0，c＞0 B. 2a+b＝0 C. 当 x＜0 时，y 随 x 的增大而减小 D. ax2+bx+c﹣3≤0 二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡 相应的位置上． 11. 因式分解：__________． 12. 不等式组的解集为______． 13. 单项式的系数为______． 14. 如题图，是的直径，，则______． 15. 如图，三个顶点都在格点上，已知小方格的边长为1，则_____． 三、解答题（一）（本大题3小题，每小题7分，共21分） 16. 计算：． 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 已知：如图，E，F在AC上，AD//CB且AD=CB，∠D=∠B．求证：AE=CF． 四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分） 19. 现某校高三第一次模拟考试结束后，数学李老师对本班数学成绩作质量分析，并制成 如下统计图表，根据图表中信息，解答问题． 等级 分数段 频数 频率 优秀 A： 5 0.36 B： m 良好 C： n 0.44 D： 8 合格 E： 5 0.16 F： 3 不合格 G： 2 b （1）本班共有学生________人； （2）表格中 ________，________，_______； （3）A分数段的5位同学中有3男2女，从他们当中随机选择2位同学进行经验介绍，请用画树状图或列表法求恰好选中两个男生的概率． 20. 2022年北京冬（残）奥运会吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”深受广大观众朋友的喜爱，欣欣购买了2件“冰墩墩”和5件“雪容融”共花了310元，而小华购买了3件“冰墩 墩”和2件“雪容融”共245元． （1）求两种纪念品的单价． （2）某旅行团准备花12000元购买 “冰墩墩”和“雪容融”共250件，最多可以购买多少件“冰墩墩”． 21. 如图，点A在第一象限内，轴于点B，反比例函数的图象分别交于点C，D．已知点C的坐标为． （1）求k的值及点D的坐标． （2）已知点P在该反比例函数图象上，且在的内部（包括边界），直接写出点P的横坐标x的取值范围． 五、解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 如图，是的直径，是的切线，为切点，交于点，点是弧的中点，与交于点． （1）当时，=_______； （2）求证：； （3）已知，，求的长． 23. 综合与探究 如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点P是第一象限内二次函数图象上的一个动点，设点P的横坐标为m．过点P作直线轴于点D，作直线BC交PD于点E （1）求A，B，C三点的坐标，并直接写出直线BC的函数表达式； （2）当是以PE为底边的等腰三角形时，求点P的坐标； （3）连接AC，过点P作直线 ，交y轴于点F，连接DF．试探究：在点P运动的过程中，是否存在点P，使得，若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $