精品解析：河南省信阳市光山县2024-2025学年九年级二模考试数学.

2025初中毕业班调研考试试卷 九年级数学 注意事项： 1、本试卷分试卷和答题卡两部分．试题卷共6页，三大题，满分120分，考试时间100分钟． 2、试题卷上不要答题．请用0.5毫米黑色签字水笔直接把答案写在答题卡上，答在试卷上的答案无效． 3、答题前，考生务必将本人姓名、准考证号填写在答题卡第一面的指定位置上． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 求值：（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了绝对值，根据负数的绝对值是它的相反数可得结论． 【详解】解：， 故选：A． 2. 剪纸文化是我国最古老的民间艺术之一．下列剪纸图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形和中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形的定义，进行判断即可． 【详解】解：A、不是中心对称图形，不符合题意； B、既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意； C、不是中心对称图形，不符合题意； D、不是轴对称图形，不符合题意； 故选B． 3. 华为Mate60，遥遥领先，其中手机采用的麒麟芯片，芯片内集成了基带，用的是5纳米集成芯片，5纳米就是米，数据用科学记数法可表示为（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中 ，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案，掌握科学记数法的定义是解题的关键． 【详解】解：， 故选：A． 4. 以下情形，适合采用抽样调查的是（ ） A. 成都某中学有一位同学确诊感染新冠肺炎，现需了解全校师生的健康情况 B. 某疫苗研发团队获批在人群中开展Ⅲ期临床研究，评估疫苗的安全性 C. 了解郑州市某班学生对“新冠肺炎预防知识”的掌握情况 D. 在世界杯比赛前，对参赛运动员进行兴奋剂检测 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全面调查与抽样调查，熟练掌握全面调查与抽样调查的特点是解题的关键．根据全面调查与抽样调查的特点，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、成都某中学有一位同学确诊感染新冠肺炎，现需了解全校师生的健康情况，适合采用全面调查，故A不符合题意； B、某疫苗研发团队获批在人群中开展Ⅲ期临床研究，评估疫苗的安全性，适合采用抽样调查，故B符合题意； C、了解郑州市某班学生对“新冠肺炎预防知识”的掌握情况，适合采用全面调查，故C不符合题意； D、在世界杯比赛前，对参赛运动员进行兴奋剂检测，适合采用全面调查，故D不符合题意； 故选：B 5. 已知一等腰三角形的周长为，其中一边长，则这个等腰三角形的腰长为（ ） A. B. C. 或 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加减运算，三角形的三边关系，等腰三角形的性质．熟练掌握二次根式的加减运算，三角形的三边关系，等腰三角形的性质是解题的关键． 由题意知，分一边长为腰，一边长为底边两种情况求解，然后对两种情况进行判断作答即可． 【详解】解：由题意知，分一边长为腰，一边长为底边两种情况求解； ①当一边长为腰时，则底边长为， ∵， ∴此时不能构成三角形，舍去； ②当一边长为底边时，则腰长为； 综上所述，腰长为， 故选：B． 6. 由若干个完全相同的小正方体搭成的几何体的主视图和左视图如图所示，则搭成该几何体所用的小正方体的个数最少是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了根据几何体的三视图判断组成几何体的小正方体的个数，关键是根据主视图和左视图确定组合几何体的层数和列数，先根据主视图和左视图得出该几何体为两层三列，再确定每层的最少个数即可． 【详解】由几何体的主视图和左视图可知，该几何体为两层三列， 最低层最少为个，第二层为1个， ∴最少由4个小正方体组成， 故选：A． 7. 如图， 是 的直径，弦 与 交于点 ，连接．若 平分 ，，则 的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，掌握直径对直角，同弧所对的圆周角相等是解题的关键；根据直径对直角可得，根据同弧所对的圆周角相等可得，根据角平分线的定义即可求解． 【详解】 是 的直径， ， ， ， ， 平分 ， ， ： ． 8. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，根据方程的根的判别式且计算即可． 【详解】∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，， ∴且， ∵ ∴且 解得 ∴， 解得且 ， 故选C． 9. 已知抛物线，则它的顶点M一定在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质．利用二次函数的性质判断抛物线开口向下，对称轴在 轴的右侧，然后求得，即可判断顶点一定在第一象限． 【详解】解： 抛物线， 抛物线开口向下，对称轴为直线， ， ， 对称轴在 轴的右侧， ， 抛物线与 轴有两个交点， 顶点一定在第一象限， 故选：A． 10. 如图1，在菱形中， ，P是菱形内部一点，动点M从顶点B出发，沿线段 运动到点P，再沿线段 运动到顶点A，停止运动．设点M运动的路程为x，，表示y与x的函数关系的图象如图2所示，则菱形的边长是（ ） A. B. 4 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据题意作图，然后由图象判断出点P在对角线 上，，，设，则，利用勾股定理求解即可． 【详解】如图所示， 由图象可得， 当x从0到4时， ∴ ∵四边形是菱形 ∴点P在对角线 上 ∴由图象可得，， ∴ ∵在菱形中， ， ∴， ∴设，则 ∴ ∴ ∴在中， ∴ 解得，负值舍去 ∴ ∴菱形的边长是． 故选：C． 【点睛】此题考查了动点函数图象问题，菱形的性质，勾股定理，含角直角三角形的性质等知识，解题的关键是根据图象正确分析出点P在对角线 上． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 明明用 秒走了米，他的速度是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式．根据速度 路程时间可得出答案． 【详解】解：由题意得，他的速度为． 故答案为： 12. 如图，点P是内部的一点，点P到三边 ， ， 的距离，若，则 的度数为_________． 【答案】##104度 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的判定定理，三角形内角和定理应用，熟练掌握角平分线的判定定理，是解题的关键．根据点P到三边 ， ， 的距离，得出 、 是 、 的角平分线，然后根据三角形内角和定理，进行求解即可． 【详解】解：∵点P到三边 ， ， 的距离， ∴ 、 是 、 的角平分线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 13. 安全教育是学校的生命线．某学校政教处举行了主题为“安全教育”的手抄报评比活动，设置了“交通安全”“消防安全”和“校园安全”三个主题内容．小颖与小莉参加活动选中的主题不相同的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】画树状图，共有16种等可能的结果，其中小颖与小莉他们两人选取不同主题的结果有6种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：把“交通安全”“消防安全” “校园安全”三个主题内容分别记为A、B、C， 画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中小颖与小莉两人选取主题不相同的结果有6种， ∴小颖与小莉两人选取主题不相同的概率是， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 14. 如图，在 中，，在 上取一点E，以点E为圆心， 的长为半径作弧，与 边恰好相切于点B，则图中阴影部分面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，平行四边形的性质，圆周角定理，扇形的面积公式，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键．连接 ，根据平行四边形的性质得到 ，根据切线的性质得到，根据直角三角形的性质得到，根据勾股定理得到，根据扇形和三角形以及平行四边形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：连接 ， 四边形是平行四边形， ， 以点 为圆心， 的长为半径作弧，与 边恰好相切于点， ， ， ， ， ， ， ， ， 图中阴影部分面积 平行四边形的面积 扇形的面积的面积， 故答案为：． 15. 矩形中，点 是边 上一动点，将 沿着 所在直线翻折，当点 的对应点恰好落在 上，且点 是 的三等分点时，的值为___________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据题意，分两种情况：当时；当时；作出图形，，由矩形性质及折叠性质得到相应线段长，在由勾股定理求出，利用等面积，求得的关系式，代入求值即可得到答案． 【详解】解：根据题意，分两种情况： 当时，如图所示： 设，则，，， 将 沿着 所在直线翻折，当点 的对应点恰好落在 上， ，且，即， 在中，由勾股定理可得， ，即，解得，两边同时平方得，再同时开方得（负值舍去）， ； 当时，如图所示： 设，则，，， 将 沿着 所在直线翻折，当点 的对应点恰好落在 上， ，且，即， 在中，由勾股定理可得， ，即，解得，两边同时平方得，再同时开方得（负值舍去）， ； 综上所述，的值为或． 【点睛】本题考查矩形性质、折叠性质、勾股定理、等面积法及代数式求值等知识，根据题意，分类讨论，准确作出图形，利用等面积法得到的关系式是解决问题的关键． 三、解答题：本题共8小题，共75分． 16. (1)计算：； (2)化简：． 【答案】（1），（2） 【解析】 【分析】（1）根据负整数指数幂、零指数幂的计算法则以及二次根式的性质计算即可； （2）根据分式的混合运算法则进行计算化简即可． 【详解】（1） ； （2） ． 【点睛】本题考查了分式的混合运算法则，负整数指数幂、零指数幂的计算法则以及二次根式的性质等知识，掌握负整数指数幂、零指数幂的计算法则，分式的混合运算法则是解答本题的关键． 17. 为了解某初中八年级学生的立定跳远情况，体育教研组的老师们在本校八（2）班，随机抽查了20名同学进行测试．然后根据获取的样本数据，制作了如图所示的条形统计图和扇形统计图． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）扇形①的圆心角度数是______； （2）这20个样本数据的中位数是______，众数是______； （3）如果该校八年级共有640名学生，估计该校八年级立定跳远得满分的学生有多少人？ 【答案】（1） （2）9分，9分 （3）估计该校八年级立定跳远得满分的学生有192人． 【解析】 【分析】此题考查条形统计图、扇形统计图以及样本估计总体的统计方法． （1）用乘以跳远得分为7分的学生所占的百分比即可； （2）根据中位数和众数的定义解答即可； （3）共样本估计总体即可． 【小问1详解】 解：， 答：扇形①的圆心角度数是 ． 故答案为： ； 【小问2详解】 解：分出现的次数最多， 这20个样本数据的众数是9分， 第10个和第11个数据均为9分， 这20个样本数据的中位数是9分． 故答案为：9分，9分； 【小问3详解】 解：（人)， 答：估计该校八年级立定跳远得满分的学生有192人． 18. 如图，一次函数的图象与 轴， 轴分别交于点， ，与反比例函数的图象交于点 ，，已知点 的纵坐标为 ． （1）求反比例函数的表达式； （2）直接写出时 的取值范围； （3）若点 是点 关于 轴的对称点，求的面积． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据点 的纵坐标为 ，代入一次函数得出，代入反比例函数解析式即可求解； （2）联立一次函数与反比例数解析式，求得点，然后根据函数图象直接写出 的取值范围； （3）一次函数的图象 轴交于点 ，则，根据点 是点 关于 轴的对称点，则，进而根据三角形面积公式进行计算即可求解． 【小问1详解】 解： 点 在直线上，点 的纵坐标为 ， ，解得 ， ． 点 在反比例函数上， ， ． 【小问2详解】 解： 点是和的交点， ， 解得或． 点在第四象限， ， 由图象可得：当或 时． 【小问3详解】 解： 一次函数的图象与 轴交于点 ，令，解得： ， ． 点 是点 关于 轴的对称点， ． ， ． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数综合运用，解一元二次方程，三角形面积公式，掌握一次函数与反比例函数的性质是解题的关键． 19. 如图所示，是等边三角形， 点是 的中点，延长 到 ，使 ． （1）求 的度数？ （2）用尺规作图的方法，过 点作 ，垂足为．（不写作法，保留作图痕迹） （3）求证： ． 【答案】（1） （2） 如图所示： （3） 证明： 是等边三角形， 是 中点， ，又 ， ， ， 又 ， ． 【解析】 【分析】此题综合考查了等边三角形的性质、基本作图和等腰三角形的性质．全等和等腰三角形都是证明线段相等的常用方法． （1）根据等边三角形的性质和三角形的外角的性质进行求解； （2）根据过直线外一点作已知直线的垂线的方法进行求作； （3）根据等腰三角形的三线合一进行证明． 【小问1详解】 解： 是等边三角形， ， 又 ， 为 的外角， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 20. 粒子加速器是当今高能物理学中研究有关宇宙的基本问题的重要工具．图1，图2是某环形粒子加速器的实景图和构造原理图，图3是粒子加速器的俯视示意图， 是粒子真空室，是两个加速电极，高速飞行的粒子 在点注入，在粒子真空室内做环形运动，每次经过时被加速，达到一定的速度在点引出，粒子注入和引出路径都与 相切．已知：，粒子注入路径与 夹角． （1）求 的度数； （2）通过计算，求粒子 在环形运动过程中，粒子 到 的最远距离（相关数据：）． 【答案】（1）53° （2）粒子 到 的最远距离是 【解析】 【分析】本题考查的是切线长定理的应用，垂径定理的应用，解直角三角形的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键； （1）延长交于 ，根据切线长定理可得答案； （2）如图，过点 作于点 ，延长交 于点 ，连接，则此时当粒子 运动到 点时，离 的距离最远，再结合垂径定理与解直角三角形可得答案． 【小问1详解】 解：延长交于 ， 由题意得：是 的切线， ， ； 【小问2详解】 解：如图，过点 作于点 ，延长交 于点 ，连接， 是 的切线， ， ， ， ， ， 在中， ， ， ， 如图，当粒子 运动到 点时，离 的距离最远， ，即粒子 到 的最远距离是 21. 为了传承中华优秀传统文化，增强文化自信，爱知中学举办了以“争做时代先锋少年”为主题的演讲比赛，并为获奖的同学颁发奖品．张老师去商店购买甲、乙两种笔记本作为奖品，若买甲种笔记本个，乙种笔记本 个，共用元，且买个甲种笔记本比买个乙种笔记本少花元． （1）求甲、乙两种笔记本的单价各是多少元？ （2）张老师准备购买甲乙两种笔记本共 个，且甲种笔记本的数量不少于乙种笔记本数量的倍，因张老师购买的数量多，实际付款时按原价的九折付款．为了使所花费用最低，应如何购买？最低费用是多少元？ 【答案】（1）甲种笔记本的单价是 元，乙种笔记本的单价是元 （2）购买 个甲种笔记本，购买 个乙种笔记本，所花费用最低，最低费用是元 【解析】 【分析】（1）设甲种笔记本的单价是 元，乙种笔记本的单价是 元，可得：，即可解得甲种笔记本的单价是 元，乙种笔记本的单价是元； （2）设购买 个甲种笔记本，根据甲种笔记本的数量不少于乙种笔记本数量的倍，可得，设所需费用为 元，，由一次函数性质得购买 个甲种笔记本，购买 个乙种笔记本，所花费用最低，最低费用是元． 【小问1详解】 解：设甲种笔记本的单价是 元，乙种笔记本的单价是 元， 根据题意得：， 解得， 甲种笔记本的单价是 元，乙种笔记本的单价是元； 【小问2详解】 解：设购买 个甲种笔记本，则购买个乙种笔记本， 甲种笔记本的数量不少于乙种笔记本数量的倍， ， 解得， 设所需费用为 元， ， ， 随 的增大而增大， 时， 最小，最小值为元， 此时， 答：购买 个甲种笔记本，购买 个乙种笔记本，所花费用最低，最低费用是元． 【点睛】本题考查二元一次方程组，一元一次不等式及一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组，不等式及函数关系式． 22. 2024年8月6日，在巴黎奥运会女子10米跳台跳水决赛中，中国选手全红婵以五跳共分的总成绩夺得金牌．已知跳水运动员起跳后的运动轨迹可近似看作抛物线，建立如图所示的平面直角坐标系． （1）某位运动员在第一次跳水中，从点处起跳（如图），她的竖直高度 （单位： ）与水平距离 （单位： ）近似满足函数关系式，测得几组数据如下表： 水平距离 3 3.5 4 4.5 竖直高度 10 10 则的值为__________，满足的函数关系式为____________________； （2）若该运动员在第二次跳水中，她的竖直高度 （单位： ）与水平距离 （单位： ）近似满足函数关系式，记她这两次跳水的入水点的水平距离分别为，，则_______；（填“>”“=”或“<”） （3）在（2）的条件下，从该运动员起跳后到达最高点处时开始计时，已知点到水平面的距离为，竖直高度 （单位： ）与时间 （单位：）之间近似满足函数关系式．若该运动员在达到最高点后需要 才能完成某个极具难度的动作，请通过计算说明，该运动员能否在落水前完成此动作． 【答案】（1）， （2）< （3） 解：， ， ， ， 当 时，， 该运动员能在落水前完成此动作． 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用及解一元二次方程，解题的关键是正确的求出函数解析式． （1）利用待定系数法求出解析式，即可； （2）分别求出两个解析式当 时， 的值，进行比较即可； （3）先求出的值，再求出 时的 值，进行判断即可． 【小问1详解】 解：由表格可知，图象过点，，， ， 解得：， ； 故答案为： ，； 【小问2详解】 解：， 当 时：， 解得：或（不合题意，舍去）； 米； ， 当 时：， 解得：或（不合题意，舍去）； ， ， 故答案为： ； 【小问3详解】 略 23. 综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动． （1）操作判断 操作：如图1，点E是边长为12的正方形纸片的边所在的射线 上一动点，将正方形沿着 折叠，点D落在点F处，把纸片展平，射线DF交射线 于点P． 判断：根据以上操作，图1中 与 的数量关系：______． （2）迁移探究 在（1）条件下，若点E是 的中点，如图2，延长 交 于点Q，点Q的位置是否确定？如果确定，求出线段 的长度，如果不确定，说明理由； （3）拓展应用 在（1）条件下，如图3， ， 交于点G，取 的中点H，连接 ，求 的最小值． 【答案】（1） （2）点的位置确定， （3） 的最小值为 【解析】 【分析】（1）如图，设 ， 交于点 ，由轴对称性质可得： ，，再结合正方形的性质可证明，从而得出，进而得出； （2）连接 ，由折叠可知，由题意可知 ，进而可得可证明，从而，设，则，在中，根据勾股定理可得，进一步得出结果； （3）取 的中点 ，再取 的中点，连接 ，，，依次求得，，，可得，当、 、共线时， 的最小值为． 【小问1详解】 解：如图，设 ， 交于点 ， 由轴对称性质可得： ，， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 点的位置确定，，理由如下： 连接 ，由折叠可知：，，， ∵点 是 的中点， ∴ ， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则， 在中，，， ， ∴， ∴ ， ∴； 【小问3详解】 取 的中点 ，再取 的中点，连接 ，，， ∵， ∴， ∵点 是 的中点，则是的中位线， ∴， ∵ ，，， ∴， ∵， ∴当、 、共线时， 的最小值为． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，三角形三边的关系等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造三角形的中位线． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025初中毕业班调研考试试卷 九年级数学 注意事项： 1、本试卷分试卷和答题卡两部分．试题卷共6页，三大题，满分120分，考试时间100分钟． 2、试题卷上不要答题．请用0.5毫米黑色签字水笔直接把答案写在答题卡上，答在试卷上的答案无效． 3、答题前，考生务必将本人姓名、准考证号填写在答题卡第一面的指定位置上． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 求值：（ ） A. 2 B. C. D. 2. 剪纸文化是我国最古老的民间艺术之一．下列剪纸图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 华为Mate60，遥遥领先，其中手机采用的麒麟芯片，芯片内集成了基带，用的是5纳米集成芯片，5纳米就是米，数据用科学记数法可表示为（   ） A. B. C. D. 4. 以下情形，适合采用抽样调查的是（ ） A. 成都某中学有一位同学确诊感染新冠肺炎，现需了解全校师生的健康情况 B. 某疫苗研发团队获批在人群中开展Ⅲ期临床研究，评估疫苗的安全性 C. 了解郑州市某班学生对“新冠肺炎预防知识”的掌握情况 D. 在世界杯比赛前，对参赛运动员进行兴奋剂检测 5. 已知一等腰三角形的周长为，其中一边长，则这个等腰三角形的腰长为（ ） A. B. C. 或 D. 无法确定 6. 由若干个完全相同的小正方体搭成的几何体的主视图和左视图如图所示，则搭成该几何体所用的小正方体的个数最少是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 7. 如图， 是 的直径，弦 与 交于点 ，连接．若 平分 ，，则 的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 9. 已知抛物线，则它的顶点M一定在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 10. 如图1，在菱形 中， ，P是菱形内部一点，动点M从顶点B出发，沿线段 运动到点P，再沿线段 运动到顶点A，停止运动．设点M运动的路程为x，，表示y与x的函数关系的图象如图2所示，则菱形 的边长是（ ） A. B. 4 C. D. 2 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 明明用 秒走了米，他的速度是_____________． 12. 如图，点P是 内部的一点，点P到三边 ， ， 的距离，若，则 的度数为_________． 13. 安全教育是学校的生命线．某学校政教处举行了主题为“安全教育”的手抄报评比活动，设置了“交通安全”“消防安全”和“校园安全”三个主题内容．小颖与小莉参加活动选中的主题不相同的概率是______． 14. 如图，在 中，，在 上取一点E，以点E为圆心， 的长为半径作弧，与 边恰好相切于点B，则图中阴影部分面积为________． 15. 矩形 中，点 是边 上一动点，将 沿着 所在直线翻折，当点 的对应点恰好落在 上，且点 是 的三等分点时，的值为___________． 三、解答题：本题共8小题，共75分． 16. (1)计算：； (2)化简：． 17. 为了解某初中八年级学生的立定跳远情况，体育教研组的老师们在本校八（2）班，随机抽查了20名同学进行测试．然后根据获取的样本数据，制作了如图所示的条形统计图和扇形统计图． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）扇形①的圆心角度数是______； （2）这20个样本数据的中位数是______，众数是______； （3）如果该校八年级共有640名学生，估计该校八年级立定跳远得满分的学生有多少人？ 18. 如图，一次函数的图象与 轴，轴分别交于点， ，与反比例函数的图象交于点 ，，已知点 的纵坐标为 ． （1）求反比例函数的表达式； （2）直接写出时 的取值范围； （3）若点 是点 关于 轴的对称点，求的面积． 19. 如图所示， 是等边三角形， 点是 的中点，延长 到 ，使 ． （1）求 的度数？ （2）用尺规作图的方法，过 点作 ，垂足为．（不写作法，保留作图痕迹） （3）求证： ． 20. 粒子加速器是当今高能物理学中研究有关宇宙的基本问题的重要工具．图1，图2是某环形粒子加速器的实景图和构造原理图，图3是粒子加速器的俯视示意图， 是粒子真空室，是两个加速电极，高速飞行的粒子 在点注入，在粒子真空室内做环形运动，每次经过时被加速，达到一定的速度在点引出，粒子注入和引出路径都与 相切．已知：，粒子注入路径与 夹角． （1）求 的度数； （2）通过计算，求粒子 在环形运动过程中，粒子 到 的最远距离（相关数据：）． 21. 为了传承中华优秀传统文化，增强文化自信，爱知中学举办了以“争做时代先锋少年”为主题的演讲比赛，并为获奖的同学颁发奖品．张老师去商店购买甲、乙两种笔记本作为奖品，若买甲种笔记本个，乙种笔记本 个，共用元，且买个甲种笔记本比买个乙种笔记本少花元． （1）求甲、乙两种笔记本的单价各是多少元？ （2）张老师准备购买甲乙两种笔记本共 个，且甲种笔记本的数量不少于乙种笔记本数量的 倍，因张老师购买的数量多，实际付款时按原价的九折付款．为了使所花费用最低，应如何购买？最低费用是多少元？ 22. 2024年8月6日，在巴黎奥运会女子10米跳台跳水决赛中，中国选手全红婵以五跳共分的总成绩夺得金牌．已知跳水运动员起跳后的运动轨迹可近似看作抛物线，建立如图所示的平面直角坐标系． （1）某位运动员在第一次跳水中，从点处起跳（如图），她的竖直高度（单位： ）与水平距离 （单位： ）近似满足函数关系式，测得几组数据如下表： 水平距离 3 3.5 4 4.5 竖直高度 10 10 则的值为__________，满足的函数关系式为____________________； （2）若该运动员在第二次跳水中，她的竖直高度（单位： ）与水平距离 （单位： ）近似满足函数关系式，记她这两次跳水的入水点的水平距离分别为，，则_______；（填“>”“=”或“<”） （3）在（2）的条件下，从该运动员起跳后到达最高点处时开始计时，已知点到水平面的距离为 ，竖直高度（单位： ）与时间 （单位：）之间近似满足函数关系式．若该运动员在达到最高点后需要 才能完成某个极具难度的动作，请通过计算说明，该运动员能否在落水前完成此动作． 23. 综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动． （1）操作判断 操作：如图1，点E是边长为12的正方形纸片 的边所在的射线 上一动点，将正方形沿着 折叠，点D落在点F处，把纸片展平，射线DF交射线 于点P． 判断：根据以上操作，图1中 与 的数量关系：______． （2）迁移探究 在（1）条件下，若点E是 的中点，如图2，延长 交 于点Q，点Q的位置是否确定？如果确定，求出线段 的长度，如果不确定，说明理由； （3）拓展应用 在（1）条件下，如图3， ， 交于点G，取 的中点H，连接 ，求 的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $