精品解析：江苏省盐城市盐都区第一共同体2024-2025学年九年级下学期3月月考数学试题

2025年春学期3月份课堂练习 九年级数学试卷 练习时间：120分钟，分值：150分 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分） 1. 5的相反数是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据相反数的定义解答． 【详解】解：只有符号不同的两个数称为互为相反数， 则5的相反数为-5， 故选D. 【点睛】本题主要考查了相反数的性质，只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0． 2. 全国深入践行习近平生态文明思想，科学开展大规模国土绿化行动，厚植美丽中国亮丽底色，2023年完成造林约3990000公顷.用科学记数法表示3990000是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：， 故选：C． 3. 分式中x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件，根据分式的分母不为0时，分式有意义，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故选：A． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，根据合并同类项，积的乘方，同底数幂的乘法和除法法则，进行计算即可． 【详解】解：A、，原选项计算错误； B、，原选项计算错误； C、，原选项计算正确； D、，原选项计算错误； 故选C． 5. 正五边形每一个外角是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查正多边形的外角，根据多边形的外角和等于360度，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：正五边形的每一个外角是； 故选D． 6. 整数a满足 则a的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握夹逼法是解题的关键．根据夹逼法估算无理数的大小即可求出a的值． 【详解】解：∵， ∴， 故选：B． 7. 圆锥的侧面展开图的面积为，圆锥母线与底面圆的半径之比为，则母线长为（ ）． A. 10 B. 20 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查圆锥的侧面积，设圆锥的底面圆的半径为，根据圆锥的侧面积公式列出方程进行求解即可． 【详解】解：设圆锥的底面圆的半径为，则：母线长为，由题意，得： ， ∴（负值舍去）， ∴母线长为； 故选：B． 8. 明代《算法统宗》有一首饮酒数学诗：“肆中饮客乱纷纷，薄酒名醨厚酒醇。醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人.共同饮了一十九，三十三客醉颜生.试问高明能算士，几多醨酒几多醇？”设有醇酒瓶，薄酒瓶．根据题意可列方程组为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组，解本题的关键是审题列出方程，设醇酒有x瓶，薄酒有y瓶；根据醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人，共同饮了一十九，三十三客醉颜生，建立二元一次方程组即可． 【详解】解：设醇酒有x瓶，薄酒有y瓶， 根据题意得：， 故选：D． 二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分） 9. 因式分解：a3－a=______． 【答案】a（a－1）（a + 1） 【解析】 【分析】先提取公因式a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解． 【详解】解：a3-a =a（a2-1） =a（a+1）（a-1） 故答案为：a（a－1）（a + 1）． 【点睛】本题考查了提公因式法和公式法，熟练掌握公式是解题的关键． 10. 若x，y满足方程组，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查解二元一次方程组，将两个方程进行相加，即可得出结果． 【详解】解：， ，得：； ∴； 故答案：1． 11. 抛物线与y轴交点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数与坐标轴的交点问题，令，求出值，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴当时，， ∴抛物线与y轴交点的坐标为； 故答案为：． 12. 若关于的一元二次方程的一个根为1，则另一个根为______． 【答案】-3 【解析】 【分析】根据根与系数的关系可得出两根之和为-2，从而得出另一个根． 【详解】解：设方程的另一个根为m，则1+m=-2， 解得m=-3． 故答案为：-3． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，，x1•x2=． 13. 如图，平行于y轴的直尺（部分）与反比例函数的图象交于A，C两点，与x轴交于B，D两点，连结，点A，B对应直尺上的刻度分别为5，2，直尺的宽度，，则点C的坐标是_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据点A、B对应直尺上的刻度分别为5、2，OB＝2．即可求得A的坐标,进而求出反比例函数解析式，直尺的宽度，可得C点横坐标，代入解析式可求坐标． 【详解】解：∵直尺平行于y轴，A、B对应直尺的刻度为5、2， ∴AB=3， ∵ OB＝2， ∴A点坐标为：（2，3）， 把（2，3）代入得， ， 解得，m=6， 反比例函数解析式为， ∵直尺的宽度BD＝2，OB＝2． ∴C的横坐标为4，代入得， , ∴点C的坐标是 故答案为： 【点睛】本题考查了坐标与图形性质，待定系数法确定函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 14. 写出一个函数表达式，使它满足：①图象经过点(1，1)；②在第一象限内函数y随自变量x的增大而减少，则这个函数的表达式为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据反比例函数、一次函数以及二次函数的性质作答． 【详解】解：该题答案不唯一，可以为等． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是反比例函数、一次函数以及二次函数的性质，熟知函数的增减性是解答此题的关键． 15. 如图，在四边形中，，，点为的中点，射线交的延长线于点，连接．若，则为_______． 【答案】 【解析】 【分析】证明，得，再证明四边形为菱形，由菱形的性质得，则，再由勾股定理求出的长，然后由勾股定理求出的长即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵点为的中点， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点评】本题考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 16. 如图，，点C为线段上一个动点，在上方构造等腰直角和等腰直角，，点F，G分别在边和上，且满足，，则的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】过作于，过作于，过作于，利用相似三角形的判定与性质求出，，设，则，利用矩形的判定与性质求出，利用勾股定理求出，然后利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：如图，过作于，过作于，过作于， 则四边形是矩形， ， ， ， ， ， ∵等腰直角和等腰直角， ， ， ， 同理， 设，则， ， ，， ， ∴当时，取最小值为， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理以及二次函数的性质等知识，利用勾股定理求出是解题的关键． 三、解答题（本大题共有11小题，共102分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出说明、推理过程或演算步骤） 17. 计算：． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，掌握负整数指数幂，零指数幂和特殊角的三角函数值，正确计算是解题关键．先分别化简负整数指数幂，零指数幂，锐角三角函数和二次根式，然后再进行实数的混合运算即可． 【详解】解：原式 ． 18. 解不等式组： 【答案】原不等式组的解集 【解析】 【分析】先求出每一个不等式的解集，后确定不等式组的解集． 本题考查了解不等式组，熟练掌握解题的基本步骤是解题的关键． 【详解】 由不等式①得 ， 由不等式②得 ， ∴原不等式组的解集， 19. 先化简，再求值：（﹣x）÷，请在0≤x≤2的范围内选一个合适的整数代入求值． 【答案】﹣2﹣x，－2 【解析】 【分析】先去括号、化除法为乘法进行化简，然后根据分式有意义的条件取x的值，代入求值即可． 【详解】解：原式＝ ＝ ＝﹣2﹣x． ∵x≠1，x≠2， ∴在0≤x≤2的范围内的整数选x＝0． 当x＝0时，原式＝﹣2﹣0＝﹣2． 【点睛】本题考查分式的化简求值,关键在于熟练掌握基础的计算方法. 20. 如图，已知和的边、在同一条直线上，，，． （1）求证：； （2）已知，，连接、、，当___________时，四边形是矩形． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）求出，然后由证明即可； （2）由勾股定理得，证明，可得，当时，，可得，则四边形是平行四边形，进而证明平行四边形是矩形，然后由三角形面积求出的长即可． 【小问1详解】 证明：， ∴， 在和中，， ； 【小问2详解】 解：，，， ， 由（1）可知，， ， 在和中， ， ， ，， ∴当时，， ∴， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是矩形， 此时， ， ∴当时，四边形是矩形． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、矩形的判定、平行四边形的判定和性质、勾股定理以及三角形面积公式等知识，熟练掌握矩形的判定和全等三角形的判定与性质是解题的关键． 21. 某中学为落实劳动教育，组织九年级学生进行了劳动技能竞赛，现随机抽取了部分学生的成绩（单位：分），得到如下相关信息． 信息一 某校九年级部分学生劳动技能成绩人数统计表 成绩分组 人数 1 2 a 8 4 信息二“”这一组的具体成绩为：88、87、81、80、82、88、84、86． 根据以上信息，回答下列问题： （1）______，抽取的这部分学生的劳动技能成绩的中位数是______分； （2）“”对应扇形的圆心角度数为______． （3）已知该校九年级共有900人，若将竞赛成绩不少于80分的学生评为“劳动达人”，请你估计该校九年级学生被评为“劳动达人”的学生人数． 【答案】（1），81.5 （2）72° （3）540人 【解析】 【分析】本题考查扇形统计图、中位数、用样本估计总体以及频数分布表，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）用“”除以40%可得总人数，进而得出a的值；再根据中位数的定义解答即可； （2）用360°乘“”所占比例可得答案； （3）用900乘样本中竞赛成绩不少于80分的学生所占比例即可． 【小问1详解】 解：由题意得，样本容量为：， 故， 抽取的这部分学生的劳动技能成绩的中位数是：， 故答案为：5，81.5； 【小问2详解】 ， 故答案为：72； 【小问3详解】 人， 答：估计该校九年级学生被评为“劳动达人”的学生人数大约为540人． 22. 如图，在电路AB中，有三个开关：S1、S2、S3． （1）当开关S1已经是闭合状态时，开关S2、S3的断开与闭合是随机的，电路AB能正常工作的概率是　 　； （2）若三个开关S1、S2、S3的断开与闭合都是随机的，求电路AB能正常工作的概率． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】先画树状图展示出所有等可能结果，从中找到使电路AB正常工作的情况数，在根据概率公式计算即可； 【详解】（1）画树状图如下： 由树状图知，共有4种等可能结果，其中电路AB能正常工作的有3种结果， ∴电路AB能正常工作的概率是； 故答案是． （2）画树状图如下： 由树状图知，共有8种等可能结果，其中电路AB能正常工作的有3种结果， ∴电路AB能正常工作的概率是； 【点睛】本题主要考查了画树状图求概率，准确分析计算是解题的关键． 23. 如图，是的直径，，E是的中点，连接并延长到点F，使．连接交于点D，连接，． （1）求证：直线是的切线； （2）若，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定、全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握相关的性质与定理是解题的关键． （1）连接，由已知可得，根据证明，根据全等三角形的对应角相等可得，继而可证明直线是的切线； （2）由（1）的全等可知，利用勾股定理求出的长，然后由，即可求出． 【小问1详解】 解：连接， ∵是的直径，， ∴， ∵是的中点， ， 在和中， ， ， ， ∴直线是的切线； 【小问2详解】 解：∵，由（1）得：， ， ， ， 即， ∴． 24. 如图1所示的是一种太阳能路灯，它由灯杆和灯管支架两部分组成，图2是它的简易平面图．小明想知道灯管D距地面的高度，他在地面F处测得灯管D的仰角为，在地面E处测得在灯管D仰角为，并测得，已知点在同一条直线上，请你帮小明算出灯管D距地面的高度．（结果精确到）（参考数据：） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，过点作于点，设，在中，得出，，根据列出方程，解方程，即可求解． 详解】解：如图所示，过点作于点， 设， ∵在中，， ， ， ， 在中，， ， 解得：（经检验是原方程的解）， 答：灯管距地面的高度约为 ． 25. 阅读感悟： 代数证明题是数学中常见的一种题型，它要求运用逻辑推理和代数知识来证明某个数学命题的正确性，如下例题： 例：已知实数m、n满足，证明：． 证明：因为且m，n均为正， 所以___________，___________．（不等式的两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变） 所以．（不等式的传递性） 解决问题： （1）请将上面的证明过程填写完整； （2）尝试证明：若，则． 【答案】（1）， （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查不等式的性质； （1）由不等式的性质得到，，再利用不等式的传递性求解即可； （2）由得到，再两边同时除以3即可得到． 【小问1详解】 证明：因为且m，n均为正， 所以，（不等式的两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变）， 所以．（不等式的传递性） 故答案为：，； 【小问2详解】 证明：∵， ∴，（不等式的两边都加上同一个式子，不等号的方向不变）， ∴， ∴，（不等式的两边都除以同一个正数，不等号的方向不变）， 26. 已知抛物线与x轴交于点点B两点，与y轴交于点， （1）求此抛物线的函数表达式； （2）点P是抛物线上一动点（不与点A，B，C重合），作轴，垂足为D，连接； ①如图1，若点P在第三象限，且，求点P横坐标； ②如图2，直线交直线于点E，当点E关于直线的对称点落在y轴上时，直接写出点P的坐标． 【答案】（1） （2）①；②， 【解析】 【分析】（1）将，两点代入抛物线的解析式，解方程即可； （2）①设直线交x轴于E，可推出为直角三角形，进而求得点坐标，从而求出的解析式，将其与抛物线的解析式联立，化为一元二次方程，从而求得结果； ②可推出四边形是菱形，从而得出，分别表示出和，从而列出方程，进一步求得结果． 【小问1详解】 解：由题意得， ， ∴， ∴抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：①如图1， 设直线交x轴于E， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点， ∴直线的解析式为：， 由得， ∴，（舍去）， 即点P的横坐标为； ②如图2， 令， 解得，， ∴， 直线过、两点， 直线的解析式为：， 设点， 分以下两种情况： 点P在第三象限时，作轴于F， ∵点E与关于对称， ∴，， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴为菱形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴（舍去），， ∴； 当点P在第二象限时， 同理可得：， ∴（舍去），， ∴； 综上所述：点P的坐标为或． 【点睛】本题考查了求一次函数和二次函数的解析式，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，轴对称性质等知识，解决问题的关键是正确分类，作辅助线，表示出线段的数量． 27. 【问题情境】 数学活动课上，同学们发现了以下结论：如图1，已知等腰和等腰，其中，射线与相交于点F，那么和数量关系是________，和位置关系是________； 【思考尝试】 如图2，已知四边形和四边形都是正方形，是等腰直角三角形，，连接、．同学们发现若能证明四边形为平行四边形，即可找出与的数量关系．请你根据以上思路，试猜想与的数量关系，并说明理由； 【实践探究】 如图3，四边形和四边形都是矩形，若，连接、．求出与的数量关系； 【拓展迁移】 如图3，在【实践探究】的基础上，若，，如果、所在直线相交于点H，请直接写出矩形绕点A旋转一周过程中长度的最小值为________． 【答案】问题情境：，； 思考尝试：∵四边形是正方形，是等腰直角三角形，， ， ， ， ∵四边形是正方形， ， ， ， ， ， 又， ∴四边形为平行四边形， ， ， ， ， ， 故答案为：； 实践探究：； 拓展迁移： 【解析】 【分析】问题情境：证明，得到，进而推导出，得到，即可得到； 思考尝试：证明四边形为平行四边形，得到，由勾股定理得到，即可得到， 实践探究：过点作，并使得，证明，得到，进而得到，即可得到，又由勾股定理得到，即得到， 拓展迁移：由作图可得，点的运动轨迹为以点为圆心的圆上，当时，和相切，点重合，此时最大，最小，即的长最小，由勾股定理求出，再根据即可求解． 【详解】解：问题情境：∵等腰和等腰， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； 思考尝试：略 实践探究：如图3，过点作，并使得，则，连接， 四边形是矩形， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， ∵四边形为矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又， ∴四边形为平行四边形， ， ， ， ， ， ． 拓展迁移：∵， ∴如图，点的运动轨迹为以点为圆心的圆上，当时，和相切，，此时点重合，此时最大， ， ∴此时最小，即的长最小， ， ， ， ， ， ， ∴矩形绕点旋转一周过程中长度的最小值为， 故答案为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年春学期3月份课堂练习 九年级数学试卷 练习时间：120分钟，分值：150分 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分） 1. 5的相反数是( ) A. B. C. D. 2. 全国深入践行习近平生态文明思想，科学开展大规模国土绿化行动，厚植美丽中国亮丽底色，2023年完成造林约3990000公顷.用科学记数法表示3990000是（ ） A. B. C. D. 3. 分式中x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 正五边形的每一个外角是（ ） A. B. C. D. 6. 整数a满足 则a的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 7. 圆锥的侧面展开图的面积为，圆锥母线与底面圆的半径之比为，则母线长为（ ）． A. 10 B. 20 C. D. 8. 明代《算法统宗》有一首饮酒数学诗：“肆中饮客乱纷纷，薄酒名醨厚酒醇。醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人.共同饮了一十九，三十三客醉颜生.试问高明能算士，几多醨酒几多醇？”设有醇酒瓶，薄酒瓶．根据题意可列方程组（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分） 9. 因式分解：a3－a=______． 10. 若x，y满足方程组，则______． 11. 抛物线与y轴交点的坐标为______． 12. 若关于的一元二次方程的一个根为1，则另一个根为______． 13. 如图，平行于y轴的直尺（部分）与反比例函数的图象交于A，C两点，与x轴交于B，D两点，连结，点A，B对应直尺上的刻度分别为5，2，直尺的宽度，，则点C的坐标是_________． 14. 写出一个函数的表达式，使它满足：①图象经过点(1，1)；②在第一象限内函数y随自变量x的增大而减少，则这个函数的表达式为__________． 15. 如图，在四边形中，，，点为的中点，射线交的延长线于点，连接．若，则为_______． 16. 如图，，点C为线段上一个动点，在上方构造等腰直角和等腰直角，，点F，G分别在边和上，且满足，，则最小值为___________． 三、解答题（本大题共有11小题，共102分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出说明、推理过程或演算步骤） 17. 计算：． 18. 解不等式组： 19. 先化简，再求值：（﹣x）÷，请在0≤x≤2范围内选一个合适的整数代入求值． 20. 如图，已知和的边、在同一条直线上，，，． （1）求证：； （2）已知，，连接、、，当___________时，四边形是矩形． 21. 某中学为落实劳动教育，组织九年级学生进行了劳动技能竞赛，现随机抽取了部分学生的成绩（单位：分），得到如下相关信息． 信息一 某校九年级部分学生劳动技能成绩人数统计表 成绩分组 人数 1 2 a 8 4 信息二“”这一组的具体成绩为：88、87、81、80、82、88、84、86． 根据以上信息，回答下列问题： （1）______，抽取的这部分学生的劳动技能成绩的中位数是______分； （2）“”对应扇形的圆心角度数为______． （3）已知该校九年级共有900人，若将竞赛成绩不少于80分学生评为“劳动达人”，请你估计该校九年级学生被评为“劳动达人”的学生人数． 22. 如图，在电路AB中，有三个开关：S1、S2、S3． （1）当开关S1已经是闭合状态时，开关S2、S3的断开与闭合是随机的，电路AB能正常工作的概率是　 　； （2）若三个开关S1、S2、S3的断开与闭合都是随机的，求电路AB能正常工作的概率． 23. 如图，是的直径，，E是的中点，连接并延长到点F，使．连接交于点D，连接，． （1）求证：直线是的切线； （2）若，求的长． 24. 如图1所示的是一种太阳能路灯，它由灯杆和灯管支架两部分组成，图2是它的简易平面图．小明想知道灯管D距地面的高度，他在地面F处测得灯管D的仰角为，在地面E处测得在灯管D仰角为，并测得，已知点在同一条直线上，请你帮小明算出灯管D距地面的高度．（结果精确到）（参考数据：） 25. 阅读感悟： 代数证明题是数学中常见的一种题型，它要求运用逻辑推理和代数知识来证明某个数学命题的正确性，如下例题： 例：已知实数m、n满足，证明：． 证明：因为且m，n均为正， 所以___________，___________．（不等式的两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变） 所以．（不等式的传递性） 解决问题： （1）请将上面的证明过程填写完整； （2）尝试证明：若，则． 26. 已知抛物线与x轴交于点点B两点，与y轴交于点， （1）求此抛物线的函数表达式； （2）点P是抛物线上一动点（不与点A，B，C重合），作轴，垂足为D，连接； ①如图1，若点P在第三象限，且，求点P的横坐标； ②如图2，直线交直线于点E，当点E关于直线的对称点落在y轴上时，直接写出点P的坐标． 27. 【问题情境】 数学活动课上，同学们发现了以下结论：如图1，已知等腰和等腰，其中，射线与相交于点F，那么和数量关系是________，和位置关系是________； 【思考尝试】 如图2，已知四边形和四边形都是正方形，是等腰直角三角形，，连接、．同学们发现若能证明四边形为平行四边形，即可找出与的数量关系．请你根据以上思路，试猜想与的数量关系，并说明理由； 实践探究】 如图3，四边形和四边形都是矩形，若，连接、．求出与的数量关系； 【拓展迁移】 如图3，在【实践探究】的基础上，若，，如果、所在直线相交于点H，请直接写出矩形绕点A旋转一周过程中长度的最小值为________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $