精品解析：2025年河南省濮阳市南乐县中考一模数学试题

河南省九年级第八届名校联盟考 数学 注意事项： 1．共三大题，23小题，满分120分，答题时间100分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个答案，其中只有一个是符合题意的） 1. 剪纸文化作为中国传统文化中一颗熠熠生辉的璀璨明珠，承载着千年的历史底蕴与民族智慧．它以纸张为画布，以剪刀或刻刀为妙笔，通过艺人灵动的双手，在纸上精心剪刻出形态各异、栩栩如生的花纹图案．下列剪纸可以看作是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 著名科学家钱学森组建了中国第一个火箭、导弹研究机构，被誉为“中国航天之父”．为了纪念钱学森，中国科学院紫金山天文台将一颗距地球约5.23亿公里的行星命名为“钱学森星”．数据“5.23亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 砚台，亦称为研，是中国传统手工艺品之一，与笔、墨、纸合称中国传统的文房四宝，是中国书法的必备用具．如图，这是一方寓意“规矩方圆”的砚台，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 4. 根据物理学知识，作用于物体上的压力所产生的压强与物体受力面积三者之间满足．若压力为时，压强要大于，则此时关于的说法正确的是（ ） A. 小于 B. 大于 C. 小于 D. 大于 5. 如图，内接于，是的直径，连接，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 定义新运算：．例如：．则关于的方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 8. 如图，这是4张背面相同的卡片，卡片正面印有不同的生活现象图案，现将所有卡片背面朝上洗匀，然后从中随机抽取两张，则这两张卡片的正面图案恰好都是物理变化的概率是（ ）    A. B. C. D. 9. 已知二次函数和一次函数，则这两个函数在同一平面直角坐标系中的大致图象是（ ） A. B. C. D. 10. 在一定温度下，某固态物质在溶剂中达到饱和状态时所溶解的质量叫做这种物质在这种溶剂中的溶解度，物质的溶解度会随温度的变化而变化．已知甲、乙两种物质在水中的溶解度（单位：g）与温度（单位：）之间的对应关系如图所示，相关信息请见下表，则下列说法正确的是（ ） 信息窗 1．溶质质量+溶剂质量=溶液质量． 2．在一定温度下，向一定量溶剂里加入某种溶质，当溶质不能继续溶解时，所得到的溶液叫做这种溶质的饱和溶液；还能继续溶解的溶液，叫做这种溶质的不饱和溶液． A. 甲种物质的溶解度大于乙种物质的溶解度 B. 在温度从升高至的过程中，甲种物质的溶解度随着温度的升高而增大 C 当时，向水中添加甲种物质，则甲溶液一定能达到饱和状态 D. 当时，向水中添加乙种物质，则乙溶液一定能达到饱和状态 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 请写出一个含有字母和，且次数为3的单项式______________． 12. 不等式组的最小整数解为______________． 13. 某林业局将一种树苗移植成活的情况绘制成如图所示的折线统计图，由该图可估计移植这种树苗2000棵，成活的大约有______________棵． 14. 如图，在扇形中，，点，分别在，上，连接，，点，关于直线对称，连接，若的长为，则扇形的面积为_______________． 15. 如图，在中，，，．将绕点按逆时针方向旋转，得到，为线段中点，是线段上的动点，在将绕点按逆时针方向旋转的过程中，点的对应点是点，则线段的最小值为_______________，最大值为______________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算：． （2）化简：． 17. 随着自然语言处理、机器学习、深度学习等技术的不断进步，聊天机器人的智能化水平显著提高，能够更准确地理解用户意图并给出相应回答．预计2025年，我国对话机器人行业市场规模将达到98.5亿元．有关人员开展了对A，B两款聊天机器人的使用满意度的评分调查，并从中各随机抽取20份数据，进行整理、描述和分析（评分分数用表示，满分100分，分为四个等级：不满意、比较满意、满意、非常满意），下面给出了部分信息． 抽取的对A款AI聊天机器人的评分数据中“满意”的数据：84，86，86，87，88，89． 抽取的对B款AI聊天机器人的评分数据： 66，68，69，81，84，85，86，87，87，87，88，89，95，97，98，98，98，98，99，100． 抽取的对A，B两款聊天机器人的评分统计表 聊天机器人 平均数 中位数 众数 “非常满意”所占百分比 A 88 96 B 88 87.5 根据以上信息，解答下列问题 （1）上述图表中，_____________，_____________，_____________． （2）根据以上数据，你认为哪款聊天机器人更受用户喜爱？请说明理由（写出一条理由即可）． （3）在此次调查中，有400人对A款聊天机器人进行评分，300人对B款聊天机器人进行评分．请通过计算，估计此次调查中对聊天机器人不满意的共有多少人． 18. 如图，小亮在草稿纸上画了某反比例函数在第一象限内的图象，并把矩形直尺放在上面直尺与反比例函数图象交于点，，并且与轴交于点． （1）求反比例函数解析式． （2）求直线函数解析式． 19. 随着新年的到来，清明上河园景区又迎来了一年一度的旅游高峰，为了给游客更好的体验，该景区准备购进一批太阳帽和旅行包．已知购进4个太阳帽和3个旅行包共需要100元，购进6个太阳帽和4个旅行包共需要140元． （1）求每个太阳帽和每个旅行包的进价． （2）该景区太阳帽的售价为15元，旅行包的售价为30元．景区计划购进太阳帽和旅行包共600个，且购进太阳帽的数量不少于旅行包数量的2倍，景区该如何设计进货方案，可使销售所获利润最大？最大利润为多少？ 20. 洛阳文峰塔始建于宋代，明末毁于战火，清初重建．塔身九层，通体用青砖砌成，是一座密檐式砖石塔．塔基为方形青石砌成，塔身每层檐下施有砖质斗拱，造型古朴典雅：前人建造此塔有“祈福赐恩”之意，企盼洛阳文化繁荣、多出人才．因此，文峰塔又被人们亲切地称为“状元塔”，在综合实践活动中，某数学课外活动小组开展了“测量文峰塔的高度”的课题活动，具体方案及数据如下表． 课题 测量文峰塔的高度 测量方案 说明：如图2，代表文峰塔，他们选择了一座高为7.5m的古建筑，并测得这座古建筑与文峰塔之间的距离为40m．他们在两者之间的点处利用1.5m高的测角仪，测得文峰塔顶点的仰角为，古建筑顶点的仰角为（点，，，，，在同一平面内，） 测量数据 测量项目 第一次 第二次 平均值 仰角的度数 仰角的度数 参考数据 ，，，，， （1）表中的值为______________． （2）求文峰塔的高度（结果精确到0.1m） 21. 如图，为的半径，为的直径，直线与相切于点A． （1）请用无刻度的直尺和圆规过点作线段的垂线（要求：不写作法，保留作图痕迹）． （2）连接，若（1）中所作的垂线分别与直线，交于点，．求证：． 22. 足球训练中，球员从球门正前方9米的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为6米时，球达到最高点，此时球离地面3米．现以为原点建立如图所示的平面直角坐标系． （1）求抛物线的函数解析式， （2）已知守门员站在距离球门1米处，且正面对着球，守门员防守高度为米，通过计算判断球是否会被守门员扑到（忽略守门员的反应时间和其他因素） （3）已知为上一点，米，米，现规定在球门上方点到点之间的区域（含点和点）为“死角区”，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，当球员带球向正后方移动1米再射门时，通过计算判断球是否能射进“死角区”． 23. 综合与探究 如图，，点在的平分线上，于点． （1）【操作判断】 如图1，过点作于点，根据题意，在图1中画出，并直接写出的度数： _______________． （2）【问题探究】 如图2，点在线段上，连接，作，交射线于点，探究，与之间的数量关系，并给出证明． （3）【拓展延伸】 点在射线上，连接，作，交射线于点，射线与射线相交于点．若，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 河南省九年级第八届名校联盟考 数学 注意事项： 1．共三大题，23小题，满分120分，答题时间100分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个答案，其中只有一个是符合题意的） 1. 剪纸文化作为中国传统文化中一颗熠熠生辉的璀璨明珠，承载着千年的历史底蕴与民族智慧．它以纸张为画布，以剪刀或刻刀为妙笔，通过艺人灵动的双手，在纸上精心剪刻出形态各异、栩栩如生的花纹图案．下列剪纸可以看作是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的知识，把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：A、该图形不属于中心对称图形，故该选项不符合题意； B、该图形属于中心对称图形，故该选项符合题意； C、该图形不属于中心对称图形，故该选项不符合题意； D、该图形不属于中心对称图形，故该选项不符合题意； 故选：B． 2. 著名科学家钱学森组建了中国第一个火箭、导弹研究机构，被誉为“中国航天之父”．为了纪念钱学森，中国科学院紫金山天文台将一颗距地球约5.23亿公里的行星命名为“钱学森星”．数据“5.23亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正整数，当原数绝对值小于1时，n是负整数；由此进行求解即可得到答案． 本题主要考查了科学记数法的表示方法，熟练掌握科学记数法的表示方法是解题的关键． 【详解】解：5.23亿 故选：A 3. 砚台，亦称为研，是中国传统手工艺品之一，与笔、墨、纸合称中国传统的文房四宝，是中国书法的必备用具．如图，这是一方寓意“规矩方圆”的砚台，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了简单几何体的三视图，会画简单几何体的俯视图是解题的关键． 根据从上面看得到的图象是俯视图，可得答案． 【详解】解：从上边看，可得如图： 故选：C． 4. 根据物理学知识，作用于物体上的压力所产生的压强与物体受力面积三者之间满足．若压力为时，压强要大于，则此时关于的说法正确的是（ ） A. 小于 B. 大于 C. 小于 D. 大于 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，由题意可得，再由题意得出，解不等式即可得解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵压强要大于， ∴， ∴， ∴小于， 故选：A． 5. 如图，内接于，是的直径，连接，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理及其推论，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 根据直径所对的圆周角的直角可得，从而可得，然后利用同弧所对的圆周角相等可得，即可求解． 【详解】解： 是的直径， ， ， ， ， 故选：A． 6. 若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键． 先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的性质，判断的大小即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向下，对称为直线， ∴当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而增大而减小， ∵关于直线的对称点坐标为， ∵，，又， ∴． 故选：C． 7. 定义新运算：．例如：．则关于的方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】先根据新定义得到，再把方程化为一般式为，然后计算根的判别式的值，再根据根的判别式的意义判断方程根的情况． 本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 【详解】解：方程化为， 一元二次方程化一般式为， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：B． 8. 如图，这是4张背面相同的卡片，卡片正面印有不同的生活现象图案，现将所有卡片背面朝上洗匀，然后从中随机抽取两张，则这两张卡片的正面图案恰好都是物理变化的概率是（ ）    A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． 将四种生活现象分别记作A、B、C、D，画树状图，得出所有等可能结果共有12种，两张卡片的正面图案恰好都是物理变化的结果数有2种，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：将4张卡片分别记为A、B、C、D，则属于物理变化的有A、D，不属于物理变化的有B、C， 画树状图如下： 由图可得所有等可能的结果共有12种，其中这两张卡片正面图案呈现的现象恰好都属于物理变化的结果有2种，即AD、DA， ∴这两张卡片正面图案呈现的现象恰好都属于物理变化的概率是． 故选：D． 9. 已知二次函数和一次函数，则这两个函数在同一平面直角坐标系中大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数及一次函数的图象的性质．熟练掌握二次函数和一次函数的图象的性质是解答本题的关键．本题可先由二次函数的图象得到字母系数a、b的正负，再与一次函数图象得到字母系数的正负，相比是否一致． 【详解】解：A、图象中二次函数，，一次函数，，故此选项不符合题意． B、图象中二次函数，，一次函数，，故此选项不符合题意． C、图象中二次函数，，一次函数，，故此选项符合题意． D、图象中二次函数，，一次函数，，故此选项不符合题意． 故选：C． 10. 在一定温度下，某固态物质在溶剂中达到饱和状态时所溶解的质量叫做这种物质在这种溶剂中的溶解度，物质的溶解度会随温度的变化而变化．已知甲、乙两种物质在水中的溶解度（单位：g）与温度（单位：）之间的对应关系如图所示，相关信息请见下表，则下列说法正确的是（ ） 信息窗 1．溶质质量+溶剂质量=溶液质量． 2．在一定温度下，向一定量溶剂里加入某种溶质，当溶质不能继续溶解时，所得到的溶液叫做这种溶质的饱和溶液；还能继续溶解的溶液，叫做这种溶质的不饱和溶液． A. 甲种物质的溶解度大于乙种物质的溶解度 B. 在温度从升高至的过程中，甲种物质的溶解度随着温度的升高而增大 C. 当时，向水中添加甲种物质，则甲溶液一定能达到饱和状态 D. 当时，向水中添加乙种物质，则乙溶液一定能达到饱和状态 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了函数的图象，读函数的图象时首先要理解横纵坐标表示的含义，理解问题叙述的过程，能够通过图象得到函数是随自变量的增大，知道函数值是增大还是减小． 根据对图象的交点及在一点范围内图象的性质进行分析，对各条信息逐一判断即可． 【详解】解：A、当温度小于时，甲种物质溶解度小于乙种物质的溶解度；当温度大于时，甲种物质的溶解度大于乙种物质的溶解度；当温度等于时，甲种物质的溶解度等于乙种物质的溶解度；原说法错误，故此选项不符合题意； B、在温度从升高至的过程中，甲种物质的溶解度先随着温度的升高而减小，后又随着温度的升高而增大；原说法错误，故此选项不符合题意； C、由图或知：当时，甲种物质的溶解度大于，所以向水中添加甲种物质，则甲溶液一定不能达到饱和状态，原说法错误，故此选项不符合题意； D、由图或知：当时，乙种物质的溶解度小于，所以向水中添加乙种物质，则乙溶液一定能达到饱和状态，说法正确，故此选项符合题意． 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 请写出一个含有字母和，且次数为3的单项式______________． 【答案】(答案不唯一) 【解析】 【分析】本题考查了单项式的定义．解答此题关键是构造单项式的系数和次数，把一个单项式分解成数字因数和字母因式的积，是找准单项式的系数和次数的关键． 根据单项式系数、次数的定义来求解，单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数． 【详解】解：先构造系数，例如为2，然后使a、b的指数和是3． 则如：(答案不唯一)． 故答案为：(答案不唯一)． 12. 不等式组的最小整数解为______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查不等式的解和解一元一次不等式组，解题的关键在于求出不等式组的解集． 先解不等式组求出其解集，再判定出最小整数解即可． 【详解】解：， 由①得： 由②得：， ∴， ∴不等式组的最小整数解为， 故答案为：． 13. 某林业局将一种树苗移植成活的情况绘制成如图所示的折线统计图，由该图可估计移植这种树苗2000棵，成活的大约有______________棵． 【答案】1600 【解析】 【分析】本题考查折线统计图，频率估计概率，利用样本的概率估计总体数量，正确记忆相关知识点是解题关键． 根据图形可以发现，频率在0.8附近波动，从而可以估计这种树苗移植成活的概率，再根据成活概率估算总体数量即可． 【详解】解：由图可得这种树苗成活的频率约为0.8， ∴这种树苗成活的概率为0.8， ∴这种树苗移植2000棵，成活的大约有：（棵）， 故答案为：1600． 14. 如图，在扇形中，，点，分别在，上，连接，，点，关于直线对称，连接，若的长为，则扇形的面积为_______________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，证明是等边三角形，得到，从而得到，利用弧长公式求得扇形的半径，再根据扇形面积公式求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵点，关于直线对称， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵的长为， ∴， ∴， ∴扇形的面积为， 故答案为：． 【点睛】本题考查轴对称性质，弧长、扇形的面积，等边三角形的判定与性质，证得是等边三角形是解题的关键． 15. 如图，在中，，，．将绕点按逆时针方向旋转，得到，为线段的中点，是线段上的动点，在将绕点按逆时针方向旋转的过程中，点的对应点是点，则线段的最小值为_______________，最大值为______________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】如图，过点作，为垂足，根据直角三我的性质与勾股定理求出，，根据为线段的中点，求得．当在上运动，与垂直的时候，绕点旋转，使点的对应点在线段上时，最小，根据求最小值；当在上运动至点，绕点旋转，使点的对应点在线段的延长线上时，最大，根据求最大值． 【详解】解：如图，过点作，为垂足， 在中， ，， ， ∴， ∵， ∴， 在中， ，， ∴， ∵为线段的中点， ∴， 当在上运动，与垂直的时候，绕点旋转，使点的对应点在线段上时，最小，如图： 此时最小值为：． 当在上运动至点，绕点旋转，使点的对应点在线段的延长线上时，最大，如图： 此时最大值为：， 故答案为：，． 【点睛】本题考查旋转变换，勾股定理，直角三角形的性质，最短距离问题等知识，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊位置解决最值问题，属于中考常考题型． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算：． （2）化简：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查实数混合运算，分式混合运算，熟练掌握负整指数幂、零指数幂和分式混合运算法则是解题的关键． （1）先计算乘方，并求绝对值，再计算加减即可； （2）先根据分式加法法则计算括号内的，再用分式除法法则计算即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 17. 随着自然语言处理、机器学习、深度学习等技术的不断进步，聊天机器人的智能化水平显著提高，能够更准确地理解用户意图并给出相应回答．预计2025年，我国对话机器人行业市场规模将达到98.5亿元．有关人员开展了对A，B两款聊天机器人的使用满意度的评分调查，并从中各随机抽取20份数据，进行整理、描述和分析（评分分数用表示，满分100分，分为四个等级：不满意、比较满意、满意、非常满意），下面给出了部分信息． 抽取的对A款AI聊天机器人的评分数据中“满意”的数据：84，86，86，87，88，89． 抽取的对B款AI聊天机器人的评分数据： 66，68，69，81，84，85，86，87，87，87，88，89，95，97，98，98，98，98，99，100． 抽取的对A，B两款聊天机器人的评分统计表 聊天机器人 平均数 中位数 众数 “非常满意”所占百分比 A 88 96 B 88 87.5 根据以上信息，解答下列问题 （1）上述图表中，_____________，_____________，_____________． （2）根据以上数据，你认为哪款聊天机器人更受用户喜爱？请说明理由（写出一条理由即可）． （3）在此次调查中，有400人对A款聊天机器人进行评分，300人对B款聊天机器人进行评分．请通过计算，估计此次调查中对聊天机器人不满意的共有多少人． 【答案】（1）10，88.5，98 （2）A款，因A款中位数88.5大于B款的87.5，所以A款好（理由不唯一） （3）85人 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图、中位数、众数以及样本估计总体等知识，正确理解中位数、众数的意义，熟练掌握中位数、众数的计算方法是解题的关键； （1）用1分别减去其他三个等级所占百分比可得a的值，根据中位数的定义可得b的值，根据众数的定义可得c的值； （2）通过比较A，B款的评分统计表的数据解答即可； （3）由A、B两款的不满意的人数之和即可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意得：A款“满意”所占百分比为， ∴“不满意”所占百分比为， ∴； ∵A款的评分非常满意有个，“满意”的数据：84，86，86，87，88，89； ∴把A款的评分数据从小到大排列，排在中间的两个数是88、89， ∴， 在B款的评分数据中，98出现的次数最多， ∴； 故答案为：10，88.5，98； 【小问2详解】 解：A款聊天机器人更受用户喜爱，理由如下： 因为两款的评分数据的平均数都是88，但A款评分数据的中位数比B款高，所以A款聊天机器人更受用户喜爱（理由不唯一）； 【小问3详解】 解：B款中“不满意”的有3人，所占百分比为， 估计此次测验中对聊天机器人不满意的共有（人）． 18. 如图，小亮在草稿纸上画了某反比例函数在第一象限内的图象，并把矩形直尺放在上面直尺与反比例函数图象交于点，，并且与轴交于点． （1）求反比例函数的解析式． （2）求直线的函数解析式． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法求出反比例函数解析式． （2）根据待定系数法求出直线的函数解析式，再利用平移即可求解． 本题考查了反比例函数与一次函数的交点，解（1）的关键是将点A的坐标代入，解（2）的关键是求出直线的函数解析式． 【小问1详解】 解：设反比例函数的解析式为， ∵反比例函数的图象经过点 ∴， 解得： ∴反比例函数的解析式为 【小问2详解】 设直线的函数解析式为， 把点代入得，，解得， ∴直线的函数解析式为， 由图象可知，直线向上平移3个单位长度得到直线 ∴直线的函数解析式为， 19. 随着新年的到来，清明上河园景区又迎来了一年一度的旅游高峰，为了给游客更好的体验，该景区准备购进一批太阳帽和旅行包．已知购进4个太阳帽和3个旅行包共需要100元，购进6个太阳帽和4个旅行包共需要140元． （1）求每个太阳帽和每个旅行包的进价． （2）该景区太阳帽的售价为15元，旅行包的售价为30元．景区计划购进太阳帽和旅行包共600个，且购进太阳帽的数量不少于旅行包数量的2倍，景区该如何设计进货方案，可使销售所获利润最大？最大利润为多少？ 【答案】（1）每个太阳帽的进价是10元，每个旅行包的进价是20元 （2）购进400个太阳帽，200个旅行包，可使销售所获利润最大，最大利润为4000元 【解析】 【分析】本题考查了一次函数、二元一次方程组和一元一次不等式的应用，解题的关键是正确理解题意． （1）设每个太阳帽的进价是x元，每个旅行包的进价是y元，根据购进4个太阳帽和3个旅行包共需要100元，购进6个太阳帽和4个旅行包共需要140元建立二元一次方程组求解； （2）设购进太阳帽m个，旅行包个，设销售完后获得的利润为w元，根据“总利润=太阳帽的利润+旅行包的利润”建立函数，根据函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设每个太阳帽进价是x元，每个旅行包的进价是y元， 由题意得，， 解得：， ∴每个太阳帽的进价是10元，每个旅行包的进价是20元； 【小问2详解】 解：设购进m个太阳帽，则购进旅行包个，所获利润为w元， ∵购进太阳帽的数量不少于旅行包数量的2倍， ∴， 解得， 由题意得，， ∵， ∴w随m的增大而减小， ∴当时，w取得最大值，最大值为， 此时， ∴购进400个太阳帽，200个旅行包，可使销售所获利润最大，最大利润为4000元． 20. 洛阳文峰塔始建于宋代，明末毁于战火，清初重建．塔身九层，通体用青砖砌成，是一座密檐式砖石塔．塔基为方形青石砌成，塔身每层檐下施有砖质斗拱，造型古朴典雅：前人建造此塔有“祈福赐恩”之意，企盼洛阳文化繁荣、多出人才．因此，文峰塔又被人们亲切地称为“状元塔”，在综合实践活动中，某数学课外活动小组开展了“测量文峰塔的高度”的课题活动，具体方案及数据如下表． 课题 测量文峰塔的高度 测量方案 说明：如图2，代表文峰塔，他们选择了一座高为7.5m的古建筑，并测得这座古建筑与文峰塔之间的距离为40m．他们在两者之间的点处利用1.5m高的测角仪，测得文峰塔顶点的仰角为，古建筑顶点的仰角为（点，，，，，在同一平面内，） 测量数据 测量项目 第一次 第二次 平均值 仰角的度数 仰角的度数 参考数据 ，，，，， （1）表中的值为______________． （2）求文峰塔的高度（结果精确到0.1m） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形—仰角俯角的应用，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）求两个数的平均值即可； （2）延长交于点G，在中，求得，那么，在中， 求得，再由即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得， 故答案为：； 【小问2详解】 解：延长交于点G， 由题意得，，， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 答：文峰塔的高度约为． 21. 如图，为的半径，为的直径，直线与相切于点A． （1）请用无刻度的直尺和圆规过点作线段的垂线（要求：不写作法，保留作图痕迹）． （2）连接，若（1）中所作的垂线分别与直线，交于点，．求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据尺规基本作图-作垂线，作出过点，垂直作线段的垂线即可； （2）由切线的性质得到，根据直角三角形的性质得，然后由等腰三角形的性质得到，又由对顶角性质得，即可由等角的余角相等得出结论． 【小问1详解】 解：如图所示，直线即为所求， 【小问2详解】 证明：如图， ∵直线与相切于点A， ∴，即， 由（1）知：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查尺规基本作图-作垂线，切线的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，对顶角性质，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 22. 足球训练中，球员从球门正前方9米的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为6米时，球达到最高点，此时球离地面3米．现以为原点建立如图所示的平面直角坐标系． （1）求抛物线的函数解析式， （2）已知守门员站在距离球门1米处，且正面对着球，守门员防守高度为米，通过计算判断球是否会被守门员扑到（忽略守门员的反应时间和其他因素） （3）已知为上一点，米，米，现规定在球门上方点到点之间的区域（含点和点）为“死角区”，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，当球员带球向正后方移动1米再射门时，通过计算判断球是否能射进“死角区”． 【答案】（1） （2）球会被守门员扑到 （3）球不能射进“死角区” 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是掌握用待定系数法求函数解析式，二次函数图象平移规律． （1）用待定系数法即可求解； （2）当时，，根据，即可得出结论； （3）根据抛物线的平移规律，求得设抛物线为，再当时，，比较大小，即可得出结论. 【小问1详解】 解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， 设抛物线为， 把代入，得， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：当时，， ∵， ∴球会被守门员扑到． 【小问3详解】 解：∵射门路线的形状、最大高度均保持不变，当球员带球向正后方移动1米再射门时， ∴抛物线的顶点坐标为，即， ∴则抛物线为， 当时，， ∵， ∴球不能射进“死角区”． 23. 综合与探究 如图，，点在的平分线上，于点． （1）【操作判断】 如图1，过点作于点，根据题意，在图1中画出，并直接写出的度数： _______________． （2）【问题探究】 如图2，点在线段上，连接，作，交射线于点，探究，与之间的数量关系，并给出证明． （3）【拓展延伸】 点在射线上，连接，作，交射线于点，射线与射线相交于点．若，请直接写出的值． 【答案】（1）图见解析， （2），证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据尺规基本作图——作垂线，作出；再利用四边形内角和等于360度求出即可； （2）作于C，证明，得到，再证明，得到，从而得到，然后证明，由勾股定理，得，即可得，从而得出结论． （3）证明，得到，，从而可证得是等边三角形，得出，，再证明，设，则，由（2）知：，，从而求得，然后证明，得，即可求出，即可代入求解． 【小问1详解】 解：如图，即为所求， ∵，， ∴， ∵， ∴ ， 故答案为：． 【小问2详解】 解：， 证明：如图，作于C， 由（1）知：， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵点在的平分线上， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点在的平分线上，， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理，得， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：如图， 由（1）知：， ∵ ∴ ∵，， ∴， ∵点在的平分线上， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， 由（2）知：， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， 由（2）知：，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查尺规基本作图-作垂线，角平分线的性质，全等三角形的判定，相似三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，证明和是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$