精品解析：江苏省锡山高级中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题

江苏省锡山高级中学03月阶段检测 高二数学 （总分150分 时间120分钟） 1. 函数在时的瞬时变化率为（ ） A. 0 B. 2 C. 4 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】求导，即可代入求解. 【详解】由可得， 故时的瞬时变化率为， 故选：B 2. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由基本初等函数求导法则即可得解. 【详解】由题意，，，. 故选：C. 3. 若函数的极小值点为1，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对求导后，对分类讨论，利用函数单调性与极值点的关系即可求解. 【详解】因为， 所以. 若，当时，，当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 此时1是的极大值点，矛盾，故不符合题意； 若，则，等号成立当且仅当，此时在上单调递增， 即此时没有极值点，故不符合题意； 若，当时，，当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 此时1是的极小值点，故符合题意； 综上所述，符合题意的的取值范围是. 故选：B. 4. 已知函数，且，则实数（ ） A. 2024 B. 2023 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】观察函数特征，不妨令，所以，则，再代入运算即可. 【详解】令，所以， 所以， 所以， 解得． 故选：． 5. 函数在R上是单调递增的充分条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数判断的单调性，转化为不等式恒成立问题，结合即可求解. 【详解】由，得， 因为在R上单调递增，所以不等式在R上恒成立， 即在R上恒成立， 所以，解得. 所以在R上单调递增的充分条件为的子集. 故选：B 6. 已知，，，，则，，，的大小关系正确的为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用导数研究函数的单调性，再判断的大小，进而利用单调性比较大小即可. 【详解】因为，所以， 当时，，即在上单调递增， 因为， 所以，又， ，则， 又，， ， . 故选：D. 7. 已知函数，若不等式的解集中恰有两个不同的正整数解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】不等式可化为，利用导数分析函数的单调性，作函数，的图象，由条件结合图象列不等式求的取值范围. 【详解】函数的定义域为， 不等式化为：． 令，，， 故函数在上单调递增，在上单调递减． 当时，，当时，， 当时，， 当时，，当，且时，， 画出及的大致图象如下， 因为不等式的解集中恰有两个不同的正整数解， 且在的切线方程为，恰好过,故正整数解为． 故， 即． 故. 故选：C. 8. 已知函数，，若总存在两条不同的直线与函数，图象均相切，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设函数，的切点坐标分别为，，根据导数几何意义可得，，即该方程有两个不同的实根，则设，求导确定其单调性与取值情况，即可得实数a的取值范围. 【详解】解：设函数上的切点坐标为，且，函数上的切点坐标为，且， 又，则公切线的斜率，则，所以， 则公切线方程为，即， 代入得：，则，整理得， 若总存在两条不同的直线与函数，图象均相切，则方程有两个不同的实根， 设，则，令得， 当时，，单调递增，时，，单调递减， 又可得，则时，；时，，则函数的大致图象如下： 所以，解得，故实数a的取值范围为. 故选：B. 【点睛】本题考查了函数的公切线、函数方程与导数的综合应用，难度较大.解决本题的关键是，根据公切线的几何意义，设切点坐标分别为，且，，且，可得，即有，得公切线方程为，代入切点将双变量方程转化为单变量方程，根据含参方程进行“参变分离”得，转化为一曲一直问题，即可得实数a的取值范围. 9. 函数的导函数的图象如图所示，下列命题中正确的是（ ） A. 是函数的极值点 B. 在区间上单调递增 C. 是函数的最小值点 D. 在处切线的斜率小于零 【答案】AB 【解析】 【分析】根据导函数的正负确定函数的单调性，即可结合极值的定义，逐一求解. 【详解】根据导函数图象可知：当时，，在时，函数在上单调递减，在上单调递增，故B正确； 则是函数的极小值点，故A正确； 在上单调递增，不是函数的最小值点，故C不正确； 函数在处的导数大于切线的斜率大于零，故D不正确． 故选：AB 10. 已知函数为定义在上的奇函数，若当时，，且，则（ ） A. B. 当时， C. D. 不等式解集为 【答案】ACD 【解析】 【分析】构造函数结合导数求出单调性，再结合奇偶性，分别判断各个选项即可. 【详解】构造函数，其中， 因为函数为定义在上的奇函数，则， 所以，故函数为偶函数， 当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 因为，则，则. 因为，所以，即，，故A正确； 不妨取，则，，B错误； 因为偶函数在上单调递增，则， 即，整理可得，C正确； 当时，由可得，解得， 当时，由可得，解得. 综上所述，不等式解集为，D正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：构造函数，根据导函数判断函数的单调性，结合函数的奇偶性判断不等关系 11. 对于函数，则（ ） A. 函数的单调递减区间为 B. C. 若方程有6个不等实数根，则 D. 对任意正实数，且，若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用导函数求出递减区间判断A；利用函数单调性比较大小判断B；探讨函数的性质并作出简图，数形结合判断C；构造函数，利用导数证得判断D. 【详解】函数的定义域为，求导得， 对于A，由，得或，由，得， 因此函数的单调递减区间为和，A错误； 对于B，由A得，函数在上单调递增，，B正确； 对于C，为偶函数，当时，， 由A项知，函数的单调减区间为和，单调递增区间为， 又当时，，当时，， 当时，，时，， 当时，，当时，，时，， 函数的图象如图： 观察图象得，当且仅当时，直线与函数的图象有6个不同交点， C正确； 对于D，不妨设，由，得，即， 令函数，， 求导得， 当时，，，在上单调递增， 由，得，即，因此， 函数，求导得，当时，，在上单调递减， 而，则，即，D正确. 故选：BCD 12. 已知函数，则__________． 【答案】1 【解析】 【分析】先求导，再将代入可求的值，最后将代入原函数即可得答案. 【详解】因为，则， 所以，所以， 故，因此． 故答案为：1. 13. 过点且曲线相切的直线的方程为___________. 【答案】或 【解析】 【分析】设切点为，利用导数的几何意义求出切线方程，将点的坐标代入切线方程，求出的值，即可得出所求切线的方程. 【详解】设切点为，对函数求导得，则切线斜率为， 所以，曲线在点处的切线方程为， 因为切线过点，则有，整理可得， 即， 当时，切线斜率为，切线方程为，即； 当时，切线斜率为，切线方程为，即. 故答案为：或. 14. 已知函数，，若关于的不等式有解，则的最小值是__________. 【答案】## 【解析】 【分析】参变分离可得有解，令，，利用导数求出，即可求出参数的取值范围，从而得解. 【详解】由得，显然， 所以有解， 令，则， 令，则，所以当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，即， 所以，则，即的最小值是. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题的关键是参变分离得到有解，再构造函数，利用导数求出. 15. 已知函数． （1）若曲线在点处的切线方程为，求和的值； （2）求的单调区间与最大值． 【答案】（1）， （2）单调递增区间为，单调递减区间为，最大值为 【解析】 【分析】（1）求导，利用导数的几何意义得到切线斜率，求出，并根据得到； （2）求出定义域，求导，解不等式，得到函数单调性，求出最大值. 【小问1详解】 ， 所以，切线方程为， 又，所以，则． 【小问2详解】 的定义域为． ，当时，，当时，， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为， 所以的最大值为． 16. 已知顶点，边AC上的高BH所在直线方程为，边AB上的中线CM所在的直线方程为. （1）求直线AC的方程； （2）求的面积. 【答案】（1）； （2）24. 【解析】 【分析】（1）利用点斜式求得直线的方程. （2）先求得两点的坐标，结合点到直线的距离公式、两点间的距离公式求得三角形的面积. 【小问1详解】 由边上的高所在直线方程为，得直线的斜率为， 所以直线的方程为，即. 【小问2详解】 边上的中线所在的直线方程为， 由，解得，即， 设，则， 所以，解得，即， ，到的距离为， 所以的面积为. 17. 省锡中高一社团组织知识竞赛活动.比赛共有两轮答题，第一轮从5个生物问题中任选两题作答，答对其中一题得20分，两题均答对可得50分； 第二轮从5个化学问题中任选两题作答，每答对一题可得30分.甲乙两位同学同时参赛，甲同学回答出每个问题的概率均为0.4，乙同学能回答出生物问题中的3道题，能回答出每道化学问题的概率为0.3.经过两轮比赛后总得分达到80分的同学可以获得一个奖品. （1）求甲同学在第一轮得分为20分的概率. （2）甲乙两位同学谁获得奖品的概率更大? 请说明理由. 【答案】（1）0.48 （2）详解见解析 【解析】 【分析】（1）直接由相互独立事件的概率公式求解； （2）分别求出甲乙两同学获奖的概率，比较大小得结论． 【小问1详解】 因为甲同学回答出每个问题的概率均为0.4， 所以甲同学在第一轮得分为20分的概率为． 【小问2详解】 乙同学获得奖品的概率更大． 甲获奖总得分达到80分分两种情况： 甲第一轮得20分且第二轮得60分的概率为：， 甲第一轮得50分且第二轮至少得30分的概率为：， 甲同学获奖的概率为． 设乙同学能答出生物问题中的3道题分别为，，，不能答出的为，， 则乙同学从5个生物问题中任选两题作答，所有情况为： ，，，，，，，，，， 其中获20分的概率为，获50分的概率为． 乙获奖总得分达到80分分两种情况： 乙第一轮得20分且第二轮得60分的概率为：， 乙第一轮得50分且第二轮至少得30分的概率为：， 乙同学获奖的概率为：， ， 乙同学获得奖品的概率更大． 18. 三角形中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知 ，点D 是的中点，点E 在线段上，且，线段与线段交于点M. （1）求角B的大小; （2）若，求的值； （3）若点G是三角形的重心，求 的最小值. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理进行边角互化，由三角函数值求角即得； （2）利用两组三点共线，列出向量方程，由平面向量基本定理即可求得的值； （3）结合图形和条件将化简成，通过两边取平方，将化为，结合基本不等式即可求解. 【小问1详解】 因为， 所以由正弦定理可得，整理得， 故， 因为，所以. 【小问2详解】 如图， 由题意可得， 因为三点共线，故可设  ， 又因三点共线，故， 所以，故. 【小问3详解】 因为 所以， 因为，所以， 于是，两边平方化简得： ，当且仅当时取等号， 所以，即. 所以的最小值为. 19. 在四面体中，钝角的三边均为整数且满足. （1）求的外接圆半径. （2）（i）设分别为，的外心，过分别作平面BCD，平面ACD的垂线l，m，求证：直线l，m相交于一点. （ii）若四面体的外接球O的半径为 ，设的外接圆圆心为，延长交球面于点M， ，求直线AM与平面BCD所成角的正弦值. 【答案】（1） （2）（i）证明见解析；（ii）. 【解析】 【分析】（1）利用边长为整数与钝角三角形条件建立不等式求解即可； （2）（i）利用球的性质，可得过三角形外接圆圆心且与三角形所在平面垂直的直线都过球心，则两直线相交于球心即可得证；（ii）将所求线面角的正弦转化为直线与平面的垂线所成角的余弦，取弦中点构造直角三角形，分别求解直角边与斜边长度，再求余弦值可得. 【小问1详解】 设，由，则， 由两边之和大于第三边可得，解得. 又为钝角三角形，则最大边所对角为钝角， 则由余弦定理可得，解得， 所以有，又，故， 则. 所以，由为钝角， 所以， 由正弦定理得，的外接圆直径为， 故的外接圆半径为. 【小问2详解】 （i）如图1，设四面体外接球球心为， 取的中点，连接. 由，则，同理， ，且平面，平面， 所以平面，又平面， 则，同理可得. 由，平面，平面， 则平面，又已知直线平面，且过点， 因为经过一点与已知平面垂直的直线有且仅有一条，故直线即直线. 同理可得过点所作平面的垂线即为直线. 故直线相交于一点，该交点即为四面体外接球的球心； （ii）四面体的外接球球心为，圆为的外接圆， 由（i）知平面. 若圆所在平面，即平面时（如图2）， 设的外接圆半径为，由（1）知， 已知四面体的外接球半径， 则， 此时，此时不满足题意. 故不与平面垂直，即为平面的斜线. 如图3，取的中点，.过点作圆所在平面，垂足为， 则平面，故即为所求直线与平面所成角， 由平面，则， 则，则 所以有. 由，则， 所以，， 在中，. 故直线AM与平面BCD所成角的正弦值为. 【点睛】结论点睛：有关圆心与球心的性质的重要结论： （1）圆心与弦中点的连线垂直平分弦； （2）空间几何体的外接球球心与底面多边形外接圆圆心的连线垂直于底面. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省锡山高级中学03月阶段检测 高二数学 （总分150分 时间120分钟） 1. 函数在时的瞬时变化率为（ ） A. 0 B. 2 C. 4 D. 6 2. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 若函数的极小值点为1，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，且，则实数（ ） A. 2024 B. 2023 C. D. 5. 函数在R上是单调递增的充分条件是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，，，则，，，的大小关系正确的为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，若不等式的解集中恰有两个不同的正整数解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，，若总存在两条不同的直线与函数，图象均相切，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 9. 函数的导函数的图象如图所示，下列命题中正确的是（ ） A. 是函数的极值点 B. 在区间上单调递增 C. 是函数的最小值点 D. 在处切线的斜率小于零 10. 已知函数为定义在上的奇函数，若当时，，且，则（ ） A. B. 当时， C. D. 不等式解集为 11. 对于函数，则（ ） A. 函数的单调递减区间为 B. C. 若方程有6个不等实数根，则 D. 对任意正实数，且，若，则 12. 已知函数，则__________． 13. 过点且曲线相切的直线的方程为___________. 14. 已知函数，，若关于的不等式有解，则的最小值是__________. 15. 已知函数． （1）若曲线在点处的切线方程为，求和的值； （2）求的单调区间与最大值． 16. 已知顶点，边AC上的高BH所在直线方程为，边AB上的中线CM所在的直线方程为. （1）求直线AC的方程； （2）求的面积. 17. 省锡中高一社团组织知识竞赛活动.比赛共有两轮答题，第一轮从5个生物问题中任选两题作答，答对其中一题得20分，两题均答对可得50分； 第二轮从5个化学问题中任选两题作答，每答对一题可得30分.甲乙两位同学同时参赛，甲同学回答出每个问题的概率均为0.4，乙同学能回答出生物问题中的3道题，能回答出每道化学问题的概率为0.3.经过两轮比赛后总得分达到80分的同学可以获得一个奖品. （1）求甲同学在第一轮得分为20分的概率. （2）甲乙两位同学谁获得奖品的概率更大? 请说明理由. 18. 三角形中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知 ，点D 是的中点，点E 在线段上，且，线段与线段交于点M. （1）求角B的大小; （2）若，求的值； （3）若点G是三角形的重心，求 的最小值. 19. 在四面体中，钝角的三边均为整数且满足. （1）求的外接圆半径. （2）（i）设分别为，的外心，过分别作平面BCD，平面ACD的垂线l，m，求证：直线l，m相交于一点. （ii）若四面体的外接球O的半径为 ，设的外接圆圆心为，延长交球面于点M， ，求直线AM与平面BCD所成角的正弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $