第四节 幂的混合运算2024-2025学年苏科版数学七年级下册

( 栏 ) ( 正 ) ( 订 )第四节 幂的混合运算 第一课时：幂的混合运算 1．计算： （1） （2） （3） （4） （5） （6） 2.已知am=3，an=2，求： （1）am+n；（2）（a3）n；（3）a2m+3n． 3.已知9n+1-9n=72，求n的值． 4.规定a*b=3a×3b，求： （1）求1*2； （2）若2*（x+1）=81，求x的值． ( 正 ) ( 栏 ) ( 订 )第二课时：阅读理解型问题 1.阅读以下材料：苏格兰数学家纳皮尔（J．Npler，1550-1617年）是对数的创始人．他发明对 数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Evler，1707-1783年）才发现指数与对 数之间的联系． 对数的定义：一般地，若ax=N（a＞0且a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记作x=logaN， 比如指数式24=16可以转化为对数式4=log216，对数式2=log39可以转化为指数式32=9． 我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：loga（M•N）=logaM+logaN（a＞0，a≠1，M＞0， N＞0）， 理由如下：设logaM=m，logaN=n，则M=am，N=an， ∴M•N=am•an=am+n， 由对数的定义得m+n=loga（M•N）． 又∵m+n=logaM+logaN， ∴loga（M•N）=logaM+logaN． 根据上述材料，结合你所学的知识，解答下列问题： （1）填空：①log264= ，②log327= ，③log71= ； （2）求证：loga=logaM-logaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）； （3）拓展运用：计算log464+log57-log535． 2.阅读下列材料，并解决下面的问题：我们知道，加减运算是互逆运算，乘除运算也是互逆运算， 其实乘方运算也有逆运算，如我们规定式子23=8可以变形为log28=3，log525=2也可以变形为52= 25，在式子23=8中，3叫做以2为底8的对数，记为log28．一般地，若an=b（a＞0且a≠1， b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为logab（即logab=n），且具有性质： ①logabn=nlogab；②logaan=n；③logaM+logaN=loga（M•N），其中a＞0且a≠1，M＞0，N＞0． 根据上面的规定，请解决下面问题： （1）计算：log31= ，log1025+log104= （请直接写出结果）； （2）已知x=log32，请你用含x的代数式来表示y，其中y=log372（请写出必要的过程）． ( 正 ) ( 栏 ) ( 订 )3.规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）：如果ac=b，那么（a，b）=c．例如： 因为23=8，所以（2，8）=3． （1）根据上述规定，填空： （5，125）= ，（-2，4）= ，（-2，1）= ； （2）小明在研究这种运算时发现一个现象：（3n，4n）=（3，4），他给出了如下的证明： 设（3n，4n）=x，则（3n）x=4n，即（3x）n=4n ∴3x=4，即（3，4）=x， ∴（3n，4n）=（3，4）． 请你尝试运用上述这种方法说明下面这个等式成立的理由．（4，7）+（4，8）=（4，56）． 4.规定两个非零数a，b之间的一种新运算，如果am=b，那么a※b=m．例如：因为52=25， 所以5※25=2；因为50=1，所以5※1=0． （1）根据上述规定填空：2※16= ；3※= ． （2）在运算时，按以上规定请说明等式8※9+8※10=8※90成立． 5.规定两数a，b之间的一种运算，记作【a，b】：如果ac=b．那么【a，b】=c例如因为23=8． 所以【2，8】=3 （1）根据上述规定，填空：【4，16】= ，【7，1】= ，【 ，81】=4 （2）小明在研究这种运算时发现一个现象【3n，4n】=【3，4】 小明给出了如下的证明：设【3n，4n】=x， 则（3n）x=4n，即（3x）n=4n ∴3x=4，即【3，4】=x ∴【3n，4n】=【3，4】 请你尝试运用这种方法解决下列问题： ①证明：【6，45】-【6，9】=【6，5】 ②猜想：【（x+1）n，（y-1）n】+【（x+1）n，（y-2）n】=【 ， 】（结果化成最简 形式） ( 正 ) ( 栏 ) ( 订 )第三课时：科学计数法 1.某银行去年新增加居民存款10亿元人民币．（结果用科学记数法表示） （1）经测量，100张面值为100元的新版人民币大约厚0.9厘米，如果将10亿元面值为100 元的新版人民币摞起来，大约有多高？ （2）一台激光点钞机的点钞速度是8×104张/时，按每天点钞5小时计算，如果让点钞机点一遍 10亿元面值为100元的新版人民币，点钞机大约要点多少天？ 2.一粒米微不足道，平时总会在饭桌上不经意地掉下几粒米饭，甚至有些挑食的同学会把吃剩 的米饭倒掉．针对这种浪费粮食的现象，老师组织同学们进行了实际测算，称得500粒大米重 约10克．现在请你来计算： （1）一粒大米重约 克 （2）按我国现有人口14亿，每年365天，每人每天三餐计算，若每人每餐节约一粒大米，一 年大约能节约大米多少千克？（结果用科学记数法表示） （3）若贫困地区每名儿童每天需0.4千克大米，则（2）节约下来的大米供多少名贫困地区儿童 生活一年？（结果用科学记数法表示） 3.21世纪，纳米技术被广泛应用，纳米是长度计算单位，1纳米=10-9米．VCD光碟的两面有用 激光刻成的小凹坑，已知小凹坑的宽度只有0.4微米（1微米=10-6米），试将小凹坑的宽度用纳 米作为计算单位表示出来．（结果用科学记数法表示） 4.一个正方体集装箱的棱长为0.4m． （1）这个集装箱的体积是多少（用科学记数法表示）？ （2）若有一个小立方块的棱长为1×10-3m，则需要多少个这样的小立方块才能将集装箱装满？ 第一课时：幂的混合运算 参考答案 1.计算 （1）原式=-4÷1+8-1=-4+8-1=3． （2）原式=-2-（-8）+2=-2+8+2=8； （3）原式=-x11÷x6（-x5）=x11-6+5=x10． （4）原式=x8+x5•x6+2x12=x8+x11+2x12． （5）原式=-27a6+16a6-a6=-12a6． （6）原式=a5+a6-4a6=a5-3a6． 2.解：∵am=3，an=2， ∴（1）am+n=am×an=3×2=6； （2）（a3）n=（an）3=23=8； （3）a2m+3n=a2m×a3n=（am）2×（an）3=32×23=9×8=72． 3.解：∵9n+1-9n=72， ∴9×9n-9n=72，则8×9n=8×9， ∴n=1． 4.解：（1）∵a*b=3a×3b， ∴1*2=31×32=3×9=27； （2） ∵2*（x+1）=81， ∴32×3x+1=34， 则2+x+1=4， 解得：x=1． 第二课时：阅读理解型问题 参考答案 1.解：（1）log264=6，log327=3，log71=0， 故①6；②3；③0； （2）设logaM=m，logaN=n，则M=am，N=an， ∴＝am−n， 由对数的定义得m−n＝loga． 又∵m-n=logaM-logaN ∴loga＝logaM−logaN． （3）log464+log57-log535 =3+log57-（log55+log57） =3+log57-log57-1 =2． 2.解：（1）log31=0，log1025+log104=log10100=2， 故答案为：0，2； （2）∵x=log32， ∴y=log372=log38+log39=3log32+2=3x+2． 3.解：（1）∵53=125，（-2）2=4，（-2）0=1， ∴（5，125）=3，（-2，4）=2，（-2，1）=0， 故答案为：3、2、0； （2）设（4，7）=x，（4，8）=y， ∴4x=7，4y=8， ∴4x•4y=7×8=56， ∵4x•4y=4x+y， ∴4x+y=56， ∴（4，56）=x+y， 即（4，7）+（4，8）=（4，56）． ∴等式成立． 4.解：（1）∵24=16， ∴2※16=4； ∵3−3＝， ∴3※=-3． 故答案为：4；-3； （2）设8※9=x，8※10=y， 则8x=9，8y=10，8x×8y=8x+y=90， ∴8※90=x+y， ∵8※9+8※10=x+y， ∴8※9+8※10=8※90． 5.解：（1）因为42=16，所以【4，16】=2． 因为70=1，所以【7，1】=0． 因为（±3）4=81，∴【±3，18】=4， 故答案为：2；0；±3； （2）①证明：设【6，9】=x，【6，5】=y，则6x=9，6y=5， ∴5×9=45=6x•6y=6x+y， ∴【6，45】=x+y， 则：【6，45】=【6，9】+【6，5】， ∴【6，45】-【6，9】=【6，5】； ②∵【3n，4n】=【3，4】， ∴【（x+1）m，（y-1）m】=【（x+1），（y-1）】，【（x+1）n，（y-2）n】=【（x+1），（y-2）】， ∴【（x+1）m，（y-1）m】+【（x+1）n，（y-2）n】， =【（x+1），（y-1）】+【（x+1），（y-2）】， =【（x+1），（y-1）（y-2）】， =【（x+1），（y2-3y+2）】． 故答案为：x+1，y2-3y+2． 第四课时：科学计数法 参考答案 1.解：（1）10亿=1 000 000 000=109， ∴10亿元的总张数为109÷100=107张， 107÷100×0.9=9×104（厘米）； （2）107÷（5×8×104）， =（1÷40）×（107÷104）， =0.025×103 =25 =2.5×10（天）． 2.解：（1）10÷500=0.02（克）．一粒大米重约0.02克． 故答案为：0.02； （2）0.02×1×3×365×1400000000÷1000=3.066×107（千克）． 答：一年大约能节约大米3.066×107千克． （3）3.066×107÷（0.4×365）=2.1×105（名）． 答：可供2.1×105名贫困地区儿童生活一年． 3.解：0.4微米÷1纳米 =（4×10-7米）÷10-9米 =4×10-7-（-9） =4×102． 4.解：（1）∵一个正方体集装箱的棱长为0.4m， ∴这个集装箱的体积是：0.4×0.4×0.4=6.4×10-2（m3）， 答：这个集装箱的体积是6.4×10-2m3； （2）∵一个小立方块的棱长为1×10-3m， ∴6.4×10-2÷（1×10-3）3=64000000（个）， 答：需要64000000个这样的小立方块才能将集装箱装满． 学科网（北京）股份有限公司 $$