精品解析：湖北省武汉市青山区2024-2025学年九年级上学期期末数学试卷

2024-2025学年度第一学期期末质量检测九年级数学试卷 （请将答案写在答题卡上满分：120分时间：120分钟） 第I卷（选择题，共30分） 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑． 1. 同时抛掷两枚质地均匀的硬币，两枚硬币全部“反面向上”这一事件是（　　） A. 随机事件 B. 确定性事件 C. 不可能事件 D. 必然事件 2. 下列绿色能源图标中是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 3. 已知的半径是，点是外一点，则的长可能是（　　） A. B. C. D. 4. 解一元二次方程，配方后得到，则的值是（　　） A. 4 B. 21 C. 25 D. 46 5. 如图，五角星图案围绕中心旋转，至少旋转多少度才能与自身重合（　　） A. B. C. D. 6. 已知点，，在抛物线上．当，，时，，，三者之间的大小关系是（　　） A B. C. D. 7. 小数，小学和小美三位同学做“石头、剪刀、布”的游戏，三人同时随机出手一次，则三人出相同手势的概率是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，已知点的坐标为，点的坐标为，菱形的对角线交于坐标原点．将菱形绕原点逆时针旋转，每次旋转，则第2024次旋转结束时，点的坐标为（　　） A. B. C. D. 9. 日晷仪简称日晷，是观测日影计时的仪器．它是根据与晷盘垂直的晷针投射到晷盘上的影子，指定当时的时辰或刻数，是我国古代较为普遍的计时仪器．如图，日晷的晷盘是以点为圆心的圆，直线是日晷的底座，于点，交于点，为某一时刻晷针的影长，点在上，连接，交于点，若比小2，则的半径为（　　） A. 24 B. 25 C. 26 D. 10. 小明喜欢用计算机软件研究数学问题，下图是他绘制“对勾”函数的图象，发现它关于原点中心对称．下面是关于函数的描述，其中正确的是（　　） A. 函数图象对称中心是 B. 当时，随的增大而增大 C. 当时，函数有最小值，且最小值为4 D. 二次函数的图象与函数的图象有3个不同的公共点 第II卷（非选择题，共90分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将结论直接填写在答题卡的指定位置． 11. 写出一个对称轴是y轴的二次函数的解析式_____． 12. 如图，在两个同心圆中，四条直径把大圆分成八等份，若往圆面投掷飞镖，则飞镖落在黑色区域的概率是_______． 13. 要组织一次篮球联赛，赛制单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排场比赛，应邀请________个球队参加比赛 14. 用一个圆心角为120°，半径为6的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径是_____． 15. 如图，点是正方形的边上的一个动点，，连接，将线段绕点逆时针旋转得到，连接，面积的最小值为___________． 16. 已知抛物线的开口方向向上，与轴的正半轴交于两点．下列四个结论：①；②当时，；③点，点在抛物线上，若时，总有，则；④若，则不等式的解集为．其中一定正确的是___________．（填写序号） 三、解答题（共8小题，共72分）下列各题需要在答题卷的指定位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形． 17. 关于的一元二次方程有一个根是，求的值及方程的另一个根． 18. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，延长交于点． （1）则___________； （2）若，求的长． 19. 武汉，这座英雄的城市，不仅有着丰富的历史文化，还承载着深厚的红色记忆．小红和小丽计划周末到A（八七会议会址纪念馆）、B（武昌毛泽东旧居纪念馆）、C（武汉革命博物馆）、D（中共五大会址纪念馆）参加公益讲解活动． （1）若小红在这四个场馆中随机选择1个，则选中A的概率为___________； （2）若小红和小丽在A、B、C、D四个场馆中各自随机选择1个，请用列表或画树状图法求小红和小丽选到相同场馆的概率． 20. 如图，的内切圆与，，分别相切于点，，，且的周长为，，． （1）求的值； （2）若，将线段绕点逆时针旋转到点在上止，求点运动路径长． 21. 如图，是由边长为1的小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，过格点，且与格线交于点．仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，按步骤完成下列问题． （1）在图1中，先画圆心，再画的中点； （2）在图2中，先画点关于点的中心对称点；再过点作的切线． 22. 某学校科技小组的同学制作了简易“投石机”，通过实验，收集了石块相对于出发点的飞行水平距离（单位：），飞行高度（单位：）随飞行时间（单 位：s）变化的数据，如下表： 飞行时间 0 1 2 4 ... 飞行水平距离 0 10 20 40 ... 飞行高度 2 8 10 2 ... （1）科技小组发现与与之间的数量关系可以用我们已学过的函数来描述．请直接写出关于的函数解析式和关于的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）． （2）已知投石机停在水平线的处． ①将投石机原地抬高，再投出石块，求石块落地点距点的水平距离； ②如图2，矩形处是一堵高，厚度的道具城墙，若石块从点投出能够在达到最高点后越过道具城墙，则投石机离道具城墙的水平距离的取值范围是___________． 23. 将正方形的边，绕着点顺时针旋转至，连接． （1）如图1，连接，若，则___________． （2）如图2，与关于正方形的中心对称（其中点的对称点分别是点，连接，过点作交的延长线于点，连接． ①求的度数； ②若，请直接写出的长． 24. 已知抛物线(，且a为常数)，与轴交于点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）直线（，且为常数）与轴交于点（异于点），与抛物线交于点，，其中点在第一象限． ①如图1，若时，，求的值； ②如图2，若点关于点的中心对称点为点，直线交抛物线于另一点，过点作交轴于点，连接，若，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度第一学期期末质量检测九年级数学试卷 （请将答案写在答题卡上满分：120分时间：120分钟） 第I卷（选择题，共30分） 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑． 1. 同时抛掷两枚质地均匀的硬币，两枚硬币全部“反面向上”这一事件是（　　） A. 随机事件 B. 确定性事件 C. 不可能事件 D. 必然事件 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了必然事件、随机事件、不可能事件的概念，掌握“必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．”是解题的关键． 根据不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件即可得出答案． 【详解】解：同时抛掷两枚质地均匀的硬币，两枚硬币全部“反面向上”这一事件是随机事件， 故选：A． 2. 下列绿色能源图标中是中心对称图形的是（　　） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案． 【详解】解：选项A、C、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形； 选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形； 故选：B． 3. 已知的半径是，点是外一点，则的长可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查点与圆的位置关系，根据点是外一点，得到，即可得出结果． 【详解】解：∵的半径是，点是外一点， ∴； ∴的长可能是． 故选D． 4. 解一元二次方程，配方后得到，则的值是（　　） A. 4 B. 21 C. 25 D. 46 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．方程移项后，利用完全平方公式配方得到结果，即可作出判断． 【详解】解：方程， 配方得：，即， 则的值为4． 故选：A． 5. 如图，五角星图案围绕中心旋转，至少旋转多少度才能与自身重合（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了旋转图形，由旋转图形得，即可求解；理解旋转图形的定义是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， 至少旋转才能与自身重合； 故选：D． 6. 已知点，，在抛物线上．当，，时，，，三者之间的大小关系是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质．由抛物线解析式可知，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小，且离对称轴距离越远，值越大，据此即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小，且离对称轴距离越远，值越大， ∵，，， ∴， 故选：C． 7. 小数，小学和小美三位同学做“石头、剪刀、布”的游戏，三人同时随机出手一次，则三人出相同手势的概率是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法求概率，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 画树状图得出所有等可能的结果数以及三人出相同手势的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：画树状图如下： 由树状图可知，共有种等可能的结果，其中甲、乙、丙三人的手势都相同结果有，，，共3种， 游戏中甲、乙、丙三人出相同手势的概率概率为． 故选：A． 8. 如图，已知点的坐标为，点的坐标为，菱形的对角线交于坐标原点．将菱形绕原点逆时针旋转，每次旋转，则第2024次旋转结束时，点的坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，菱形的性质，坐标与图形，三角函数，由菱形的性质及三角函数得，按次一个循环，即可求解；能由旋转的性质、形的性质、三角函数求出旋转后对应点的坐标，找出规律是解题的关键． 【详解】解：如图， ， ， ， ， ， 四边形是菱形， ， ， ， ， 由旋转得：， 同理可求：，，， 按次一个循环， ， 第2024次旋转结束时，点的坐标为； 故选：A． 9. 日晷仪简称日晷，是观测日影计时的仪器．它是根据与晷盘垂直的晷针投射到晷盘上的影子，指定当时的时辰或刻数，是我国古代较为普遍的计时仪器．如图，日晷的晷盘是以点为圆心的圆，直线是日晷的底座，于点，交于点，为某一时刻晷针的影长，点在上，连接，交于点，若比小2，则的半径为（　　） A. 24 B. 25 C. 26 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理等知识，过O作于E，设，则，根据垂径定理得出，进而求出，，半径，在中，根据勾股定理得出，在中，根据勾股定理得出，则， 【详解】解：过O作于E， 则， ∵， ∴设，则， ∴，， ∵比小2， ∴， 又， ∴半径， 在中，， 在中，， ∴， 整理得， 解得，（此时，故舍去）， ∴半径， 故选：B． 10. 小明喜欢用计算机软件研究数学问题，下图是他绘制的“对勾”函数的图象，发现它关于原点中心对称．下面是关于函数的描述，其中正确的是（　　） A. 函数图象的对称中心是 B. 当时，随的增大而增大 C. 当时，函数有最小值，且最小值为4 D. 二次函数的图象与函数的图象有3个不同的公共点 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查函数的图象及性质，将函数变形为，因此该函数图象可看作由函数的图象向右平移1个单位，向上平移2个单位得到，根据由函数的图象逐项判断即可． 【详解】解：∵函数可变形为， ∴函数的图象可看作由函数的图象向右平移1个单位，向上平移2个单位得到， ∵函数的图象的对称中心为原点， ∴函数的图象的对称中心为，故A选项错误； ∵由图可知，函数在时，不存在连续的增减性， ∴函数的图象在时，不存在连续的增减性，故B选项错误； ∵由图象可知，函数图象在时，有最低点，即存在最小值， ∵， 即当时，由最小值，为2， ∴函数在时，有最小值，为， ∴函数在时，由最小值，为，故C选项正确； ∵由函数与函数，可得， 即， 解得，， ∴二次函数的图象与函数的图象有2个不同的公共点，故D选项错误． 故选：C 第II卷（非选择题，共90分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将结论直接填写在答题卡的指定位置． 11. 写出一个对称轴是y轴的二次函数的解析式_____． 【答案】，答案不唯一． 【解析】 【分析】根据二次函数的性质写出一个符合的即可． 【详解】解：抛物线的解析式为： 故答案为： 【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练的掌握二次函数的性质，此题是一道开放型的题目，答案不唯一．． 12. 如图，在两个同心圆中，四条直径把大圆分成八等份，若往圆面投掷飞镖，则飞镖落在黑色区域的概率是_______． 【答案】## 【解析】 【详解】解：∵两个同心圆被等分成八等份，飞镖落在每一个区域的机会是均等的，其中白色区域的面积占了其中的四等份， ∴P（飞镖落在白色区域）= 故答案为：． 13. 要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排场比赛，应邀请________个球队参加比赛 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．首先设应邀请个球队参加比赛，每个球除要和除自己以外的个球除进行次比赛，所以个球除进行单循环形式共需要进行场比赛，因为计划安排场比赛，所以可列方程，解方程即可求出球队的个数． 【详解】解：设应邀请个球队参加比赛， 根据题意可得： 解方程可得：，(舍去)， 答：应邀请个球队参加比赛． 故答案为： ． 14. 用一个圆心角为120°，半径为6的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径是_____． 【答案】2 【解析】 【详解】解：扇形的弧长==2πr， ∴圆锥的底面半径为r=2． 故答案为2． 15. 如图，点是正方形的边上的一个动点，，连接，将线段绕点逆时针旋转得到，连接，面积的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的应用、正方形性质及全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质是解题关键，过点F作交延长线于点H，先证，设，用含a的式子表示，再根据二次函数性质求最值即可． 【详解】解：过点F作交延长线于点H， ， 在正方形中，， ， ， 四边形是直角梯形， ， ， ， ， ， 设， ， ， ， 面积的最小值为， 故答案为：． 16. 已知抛物线的开口方向向上，与轴的正半轴交于两点．下列四个结论：①；②当时，；③点，点在抛物线上，若时，总有，则；④若，则不等式的解集为．其中一定正确的是___________．（填写序号） 【答案】①②③ 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，抛物线与与轴的交点问题，根据抛物线的开口方向向上，与轴的正半轴交于两点，得，对称轴，，即可判断①是正确的；结合，得，此时对称轴为直线，整理得，即可判断②是正确的；再因为点，点在抛物线上，且，得，即，即可判断③是正确的；先得，得，结合，整理得，函数的开口向上，则，令解得，然后再进行分类讨论，即可作答． 【详解】解：∵抛物线的开口方向向上，与轴的正半轴交于两点． ∴，对称轴， 即， 在时，随的增大而减小，且， 把代入，得， 即 ∴， 故①是正确的； ∵抛物线的开口方向向上，与轴的正半轴交于两点． 且， ∴， ∴对称轴为直线， 即， ∴， 故②是正确的； ∵点，点在抛物线上，且 ∴，， ∵，且对称轴为直线，且抛物线的开口方向向上， ∴ ∴； ∵抛物线与轴的正半轴交于两点． ∴， 故③是正确的； ∵抛物线与轴的正半轴交于两点． ∴， ∴， ∵对称轴为直线 ∴， ∵， ∴ 设函数， ∵， ∴开口向上， 则 令则， 解得， ∵函数的开口向上， 则不等式的解集为． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 当时，则不等式的解集为． 当时，则，故不等式的解集为． 故④是不正确的； 故答案为：①②③． 三、解答题（共8小题，共72分）下列各题需要在答题卷的指定位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形． 17. 关于的一元二次方程有一个根是，求的值及方程的另一个根． 【答案】，方程的另一个根为 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的根，一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键．先利用根的定义将代入求得，设方程的另一个根为，再利用根与系数的关系得出，即可求解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有一个根是， ∴， 解得：， 设方程的另一个根为， 则：， 解得：， ∴，方程的另一个根为． 18. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，延长交于点． （1）则___________； （2）若，求的长． 【答案】（1）90 （2） 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质、勾股定理、平行线的判定与性质等知识，熟练掌握旋转的性质是解题关键． （1）先根据旋转的性质可得，再根据平行线的判定可得，根据平行线的性质可得，由此即可得； （2）先根据旋转的性质可得，利用勾股定理可得的长，然后在中，利用勾股定理求解即可得． 小问1详解】 解：∵将绕点逆时针旋转得到，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：90． 【小问2详解】 解：∵将绕点逆时针旋转得到，且， ∴， ∴在中，， ∵，， ∴在中，． 19. 武汉，这座英雄的城市，不仅有着丰富的历史文化，还承载着深厚的红色记忆．小红和小丽计划周末到A（八七会议会址纪念馆）、B（武昌毛泽东旧居纪念馆）、C（武汉革命博物馆）、D（中共五大会址纪念馆）参加公益讲解活动． （1）若小红在这四个场馆中随机选择1个，则选中A的概率为___________； （2）若小红和小丽在A、B、C、D四个场馆中各自随机选择1个，请用列表或画树状图法求小红和小丽选到相同场馆的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了用树状图或列表法求等可能事件的概率，方法是用树状图或列表法列举出所有可能出现的结果总数，找出符合条件的结果数，用分数表示即可，注意每种情况发生的可能性相等． （1）直接根据概率公式进行计算即可； （2）利用画树状图或列表的方法，得出所有可能出现的结果总数，从中找到符合条件的结果数，进而求出概率即可． 【小问1详解】 解：小红在这四个场馆中随机选择1个，则选中A的概率为． 故答案为：． 【小问2详解】 解：依题意列表如下： 小红 小丽 A B C D A （A， A） （B， A） （C， A） （D， A） B （A， B） （B， B） （C， B） （D， B） C （A， C） （B， C） （C， C） （D， C） D （A， D） （B， D） （C， D） （D， D） …… 由上表可知，小红和小丽在 四个场馆中各自随机选择 1 个，有 16 种等可能的结果，其中 “选到相同场馆” 的结果有 4 种． （选到相同场馆） ． 20. 如图，的内切圆与，，分别相切于点，，，且的周长为，，． （1）求的值； （2）若，将线段绕点逆时针旋转到点在上止，求点的运动路径长． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了切线长定理，圆周角定理，弧长公式，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由切线长定理得，，，故有 ，又的周长为，得出，求解即可； （）连接，，由圆周角定理得，则，然后用弧长公式即可求解． 【小问1详解】 解：∵，，分别相切于点，，， ∴，， ， ∴ ， ∵周长为， ∴， ∵ ， ∴； 【小问2详解】 解：连接，， ∵，分别与相切于点，， ∴，， ∵所对圆周角和圆心角分别是，，， ∴， ∴ ， ∵ ， ∴点运动的路径长． 21. 如图，是由边长为1小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，过格点，且与格线交于点．仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，按步骤完成下列问题． （1）在图1中，先画圆心，再画的中点； （2）在图2中，先画点关于点的中心对称点；再过点作的切线． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】此题考查了切线的判定、圆周角定理、垂径定理等知识，熟练掌握相关判定和性质是解题的关键． （1）根据垂径定理和网格的特征进行作图即可； （2）连接并延长交于点，延长交于点G，则即为所求． 【小问1详解】 解：如图所示： 点，点即为所求； ∵， ∴是的直径， ∵点在弦的垂直平分线上， ∴弦的垂直平分线过圆心， ∴弦的垂直平分线与的交点即为圆心， 由网格的特点可知，弦与网格线的交点N即为弦的中点，根据垂径定理可知，与的的交点即为的中点； 【小问2详解】 如图，点，切线即为所求． 由网格的特点可知，点是矩形对角线的交点， ∴， 即点关于点的中心对称点为点； ∵是的直径， ∴，即 ∴，垂直平分， ∴ ∴ ∵四边形是矩形 ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵是直径， ∴是的切线． 22. 某学校科技小组的同学制作了简易“投石机”，通过实验，收集了石块相对于出发点的飞行水平距离（单位：），飞行高度（单位：）随飞行时间（单 位：s）变化的数据，如下表： 飞行时间 0 1 2 4 ... 飞行水平距离 0 10 20 40 ... 飞行高度 2 8 10 2 ... （1）科技小组发现与与之间的数量关系可以用我们已学过的函数来描述．请直接写出关于的函数解析式和关于的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）． （2）已知投石机停在水平线的处． ①将投石机原地抬高，再投出石块，求石块落地点距点的水平距离； ②如图2，矩形处是一堵高，厚度的道具城墙，若石块从点投出能够在达到最高点后越过道具城墙，则投石机离道具城墙的水平距离的取值范围是___________． 【答案】（1）； （2）①落地点距点的水平距离是；② 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用、二次函数的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识点． （1）根据题意设出表达式，然后利用待定系数法求解即可； （2）①根据题意得到新表达式为，然后当时求出，然后代入求解即可； ②首先得到，求出顶点坐标为，将代入；然后将代入求出，然后代入，进而求解即可． 【小问1详解】 根据题意得，与是正比例函数关系，与是二次函数关系 ∴设， 将代入得， ∴； 设 将，，代入得， 解得 ∴； 【小问2详解】 ①∵将投石机原地抬高 ∴ ∴当时， 解得或（舍去） ∴ ∴石块落地点距点的水平距离是； ② ∴顶点坐标为 ∴将代入； 将代入得， 解得（舍去）或 将代入 ∵道具城墙厚度 ∴ ∴投石机离道具城墙的水平距离的取值范围是． 23. 将正方形的边，绕着点顺时针旋转至，连接． （1）如图1，连接，若，则___________． （2）如图2，与关于正方形的中心对称（其中点的对称点分别是点，连接，过点作交的延长线于点，连接． ①求的度数； ②若，请直接写出长． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）由正方形和旋转可得，，，结合得到是等边三角形，即可得到，利用等腰三角形得到，求出， （2）①连接与交于点，连接，过点A作，交延长线于点Q，设，则，，得到 ，再由对称得到，，，即可得到四边形是平行四边形，得到，推出，再证明，得到； ②过点作于，过点作于，先证明四边形是矩形，得到，再证明是等腰直角三角形，得到，则，最后根据结合三线合一得到． 【小问1详解】 解：∵正方形的边，绕着点顺时针旋转至， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：①连接与交于点，连接，过点A作，交延长线于点Q， 则， ∵四边形是正方形，， ∴，，正方形的中心为O， ，， 设， ，， ， ∵点A、E的对称点分别是点C、F， ∴，，， ∴四边形是平行四边形， ， 又， ， ， ， ， ， ， 即， 在和中， ， ， ； ②过点作于，过点作于，则， ， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的判定与性质． 24. 已知抛物线(，且a为常数)，与轴交于点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）直线（，且为常数）与轴交于点（异于点），与抛物线交于点，，其中点在第一象限． ①如图1，若时，，求的值； ②如图2，若点关于点的中心对称点为点，直线交抛物线于另一点，过点作交轴于点，连接，若，求点的坐标． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）运用待定系数法求解即可； （2）① 令,则，过点作交直线于点，作 于点 于点，为等腰直角三角形，证明，设点，则，那么，将 两点的坐标代入直线中得解得（舍），那么； ②点，由题意得点，设点的横坐标分别为．设直线为，直线为，直线为 ，联立直线与抛物线的解析式：整理得：，则，同理：联立直线与抛物线的解析式，整理得：，则，则，同理： 联立直线与抛物线的解析式，整理得： ，则，设直线的解析式为：，过点，得，则，则点过作轴，交于点，设点，则点 ，则，由建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：依题意将代入得： 解得：， ∴解析式为：； 【小问2详解】 解：① 令 ， 过点作交直线于点，作 于点 于点， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 设点 ， 则， ∴， 将 两点的坐标代入直线中得： 解得：（舍） ； ②点，由题意得点， 设点的横坐标分别为． 设直线为，直线为，直线为， 联立直线与抛物线的解析式： 整理得： 则， 同理：联立直线与抛物线的解析式： 整理得：， 则 ， ， ， 同理：联立直线与抛物线的解析式：， 整理得：， 则， ， 设直线的解析式为：，过点 得： ，则点 过作轴，交于点， 设点 ，则点 ， ， ∴ 解得： 点在第一象限． 点的坐标为 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，与一次函数的综合问题，涉及全等三角形的判定与性质，一元二次方程根与系数的关系，与面积的综合问题，难度大，综合性强． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$