精品解析：河南省郑州高新技术产业开发区2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试卷

2024-2025学年上学期期末调研 九年级数学 注意事项： 1．本试卷分试题卷和答题卡两部分，考试时间100分钟，满分120分． 2．考生应首先阅读试题卷和答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效，交卷时只交答题卡． 一、选择题（本题10个小题，每小题3分，满分30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 2025的相反数是（　　） A. B. C. D. 2. 某阅览室的椅子如图所示，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 3. “中原2号”等4颗卫星搭乘长征二号丁运载火箭于2024年12月17日2时50分发射升空，“中原2号”轨道高度为m．其中数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，把一块直角三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若，则的度数为 （ ） A. B. C. D. 5. 若分式的值等于0，则m的值是（ ） A. B. C. D. 6. 关于x的方程根的情况为（ ） A. 没有实数根 B. 两根之和是 C. 两根之积是3 D. 有两个相等的实数根 7. 将一张三角形纸片按如图步骤①至④折叠两次得图⑤，然后剪出图⑤中的阴影部分，则阴影部分展开铺平后的图形是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 矩形 D. 菱形 8. 某电子信息公司，2024年8月营收305万元，由于参加中国算力大会新签约订单增加，10月份营收1476.2万元．设该电子信息公司营收的月平均增长率为x，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 某校开展“书院文化讲解员”风采展示活动．两位同学分别从嵩阳书院、应天书院、岳麓书院、白鹿洞书院古代四大书院中随机选择一个进行讲解，则两位同学选择同一个书院进行讲解的概率为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，平面直角坐标系中四个点：，，，．经过这四个点中的三个点的二次函数，其中a的值最小为（ ） A. B. C. D. 1 二、填空题（本题5个小题，每小题3分，共15分） 11. 如图，在宽为，长为的矩形地面上按A、B两种方案修筑同样宽的道路（图中阴影部分）．两种方案阴影部分的面积分别记为，，则________（填“”或“”或“”）． 12. 综合实践小组的同学们利用自制密度计测量溶液的密度，当密度计悬浮在不同的液体中时，浸在溶液中的高度是液体的密度的反比例函数，其图象如图所示，当溶液密度时，密度计浸在溶液中的高度h为________． 13. 计算的结果是________． 14. 如图，在中，，，，以点B为圆心，为半径作弧交于点D，再分别以点C，D为圆心，以大于长为半径作弧，两弧相交于点E，作射线交于点F，则长为________． 15. 如图，在中，，，，把绕点A逆时针旋转，得，点B，C旋转后的对应点为，，连接，若点P为线段的中点，则的最大值为________，最小值为________． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 计算 （1） （2） 17. 某网络平台从准确性、规划性、易用性三项对甲、乙两款导航软件进行评分（每项满分100分），并按权重计算两款软件的综合得分，数据如下表： 准确性（分） 规划性（分） 易用性（分） 综合得分（分） 甲款软件 86 96 88 88.5 乙款软件 88 95 80 同时该平台又收集了10位网友对这两款导航软件的评价得分，并整理、描述、分析如下： a．网友评价得分（满分10分）： b．网友评价得分统计表： 平均数 中位数 方差 甲款软件 7 乙款软件 7 7 根据以上信息，回答下列问题： （1）表格中的________，________； （2）综合考虑甲、乙两款软件的综合得分以及网友评价，你会选择哪款导航软件？请说明理由． 18. 荥阳柿子甜如蜜，深受消费者喜爱．某采摘基地调查发现：当柿子每箱售价为50元时，平均每天可售出40箱；当每箱售价降价1元时，则平均每天会多售出2箱，综合各项成本考虑，每箱售价不低于40元． （1）当每箱售价降价3元时，每天销量可达________箱； （2）当柿子每箱售价定为多少元时，每天能获得2250元的销售额？ 19. 如图，在正方形中，点M，N分别是边，上的点，且，线段，相交于点E． （1）请用无刻度的直尺和圆规过点B作的垂线，交于点P，交于点Q（保留作图痕迹，不写作法）； （2）根据（1）中所作图形，判断四边形的形状，并说明理由． 20. 日常生活中我们经常会使用到订书机，是订书机的底座，是装订书针的托板，始终与底座平行，连接杆的长度不变，点D固定在压柄上，点E沿托板滑动，压柄可绕着转点B旋转．如图1，是订书机未装订书针闭合时的示意图，此时点A、E、D、B在一条直线上，且点A与点E重合，，；如图2，当压柄旋转到与托板的夹角时，求这个过程中点E滑动的距离，并判断是否能放入一排长度为的订书针．（答案保留根号，参考数据：，，） 21. 如图1，在仪器左边托盘A（固定）中放置一个物体，在右边托盘B（可左右移动）中放置一个装水的容器，容器的质量为5g，在容器中加入一定质量的水，可以使仪器左右平衡，改变托盘B与点C的距离，记录容器中加入的水的质量，得到如表： 托盘B与点C的距离 30 25 20 15 10 容器与水的总质量 20 24 30 40 60 加入的水的质量 15 19 25 35 55 把如表中的x与各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出这些点，并用光滑的曲线连接起来，得到如图2所示的关于x的函数图象． （1）请在该平面直角坐标系中作出关于x的函数图象； （2）观察函数图象，并结合表中的数据： ①猜测与x之间的函数关系，并求关于x的函数表达式； ②当时，随x的增大而________（填“增大”或“减小”），随x的增大而________（填“增大”或“减小”），关于x的函数表达式为________； （3）若在容器中加入的水的质量满足，求托盘B与点C的距离的取值范围． 22. 抛物线过点，顶点为Q，抛物线（其中t为常数）． （1）求a的值和点Q的坐标； （2）通过计算说明，无论t为何值，将的顶点Q向左平移1个单位长度后一定落在上； （3）当时，与的交点为A，B，请直接写出时，x的取值范围． 23. 在菱形中，过点作于点，将绕点逆时针旋转，得到，点对应的点分别为，所在直线分别与直线，直线相交于点． （1）观察猜想：如图1，当线段经过点时，线段与线段的数量关系是________，线段与线段的位置关系是________； （2）探究证明：如图2，当不经过点时，（1）中的两个结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由； （3）拓展延伸：若，的长为，当线段与直线垂直时，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年上学期期末调研 九年级数学 注意事项： 1．本试卷分试题卷和答题卡两部分，考试时间100分钟，满分120分． 2．考生应首先阅读试题卷和答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效，交卷时只交答题卡． 一、选择题（本题10个小题，每小题3分，满分30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 2025的相反数是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了求一个数的相反数，熟悉掌握只有符号不同的两个数互为相反数是解题的关键． 根据相反数的定义判断即可． 【详解】解：的相反数为， 故选：A． 2. 某阅览室的椅子如图所示，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了三视图，根据从左边看到的图形是左视图进行解答即可. 【详解】解：的左视图是 ， 故选：D 3. “中原2号”等4颗卫星搭乘长征二号丁运载火箭于2024年12月17日2时50分发射升空，“中原2号”轨道高度为m．其中数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了绝对值大于1的科学记数法的表示，解题的关键在于确定的值． 绝对值大于1的数，用科学记数法表示为，其中，的值为整数位数少1．据此进行解答即可． 【详解】解：大于1，用科学记数法表示为，其中，， ∴用科学记数法表示为， 故选：B． 4. 如图，把一块直角三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若，则的度数为 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了平行线的性质和平角的定义等知识，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．根据平角的定义得到，再根据平行线的性质即可得到的度数． 【详解】解：如图， 由题意可得，， ∵， ∴， 故选：C 5. 若分式的值等于0，则m的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查分式的值为零，根据分式的分子为0，分母不为0时，分式的值为0，进行求解即可． 【详解】解：由题意得， ∴， 故选：A． 6. 关于x的方程根的情况为（ ） A. 没有实数根 B. 两根之和是 C. 两根之积是3 D. 有两个相等的实数根 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的情况、根的判别式、根与系数的关系，熟练掌握根的判别式、根与系数的关系是关键． 先找出，再利用根的判别式和根与系数关系判断根的情况即可． 【详解】解： ∵ ∴ ∴这个一元二次方程有两个不相等的实数根，故选项A、D错误． ∵，故C正确， ,故B错误． 故选：C． 7. 将一张三角形纸片按如图步骤①至④折叠两次得图⑤，然后剪出图⑤中的阴影部分，则阴影部分展开铺平后的图形是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 矩形 D. 菱形 【答案】D 【解析】 【分析】此题是有关剪纸的问题，此类问题应亲自动手折一折，剪一剪． 【详解】解：由题可知，AD平分,折叠后与重合，故全等，所以EO=OF; 又作了AD的垂直平分线，即EO垂直平分AD，所以AO=DO，且EO⊥AD； 由平行四边形的判定：对角线互相平分的四边形为平行四边形，所以AEDF为平行四边形； 又AD⊥EF，所以平行四边形AEDF为菱形． 故选： 【点睛】本题主要考查学生对于立体图形与平面展开图形之间的转换能力，与课程标准中“能以实物的形状想象出几何图形，有几何图形想象出实物的图形”的要求相一致，充分体现了实践操作性原则． 8. 某电子信息公司，2024年8月营收305万元，由于参加中国算力大会新签约订单增加，10月份营收1476.2万元．设该电子信息公司营收的月平均增长率为x，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据2024年8月营收305万元，10月份营收1476.2万元．设该电子信息公司营收的月平均增长率为x，则，即可作答． 【详解】解：∵8月营收305万元，10月份营收1476.2万元，且设该电子信息公司营收的月平均增长率为x， ∴， 故选：C 9. 某校开展“书院文化讲解员”风采展示活动．两位同学分别从嵩阳书院、应天书院、岳麓书院、白鹿洞书院古代四大书院中随机选择一个进行讲解，则两位同学选择同一个书院进行讲解的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了列表法以及概率公式，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 先利用列表法求出所有等可能的结果，再从表中找出两位同学选择同一个书院进行讲解的结果数，最后利用概率公式求解即可． 【详解】解：将嵩阳书院、应天书院、岳麓书院、白鹿洞书院分别记为，，，， 列表如下： 共有种等可能的结果，其中两位同学选择同一个书院进行讲解的结果有种， 两位同学选择同一个书院进行讲解的概率为， 故选：B． 10. 如图，平面直角坐标系中四个点：，，，．经过这四个点中的三个点的二次函数，其中a的值最小为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．根据题意得到当时，开口小的那个最小，再利用待定系数法求出答案即可． 【详解】解：∵a的值最小， ∴抛物线开口向下， 又∵越大，开口越小， ∴当时，开口小的那个最小， 由图可知，过点的三点的二次函数的最小， 把，，代入得到 解得，， 故选：B 二、填空题（本题5个小题，每小题3分，共15分） 11. 如图，在宽为，长为的矩形地面上按A、B两种方案修筑同样宽的道路（图中阴影部分）．两种方案阴影部分的面积分别记为，，则________（填“”或“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列代数式，解决本题的关键是表示出两条道路的面积．阴影的面积道路的面积和，设道路宽米，可根据此关系列出方程求出阴影部分的面积，再进行比较即可． 【详解】解：设道路宽米．平方米， 平方米， 所以 故答案为：． 12. 综合实践小组的同学们利用自制密度计测量溶液的密度，当密度计悬浮在不同的液体中时，浸在溶液中的高度是液体的密度的反比例函数，其图象如图所示，当溶液密度时，密度计浸在溶液中的高度h为________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，由题意可得，设，把代入解析式即可求出k的值，再代入即可求出答案． 【详解】解：设h关于的函数解析式为， 把代入解析式，得， h关于的函数解析式为， 当时，， 故答案为：10． 13. 计算的结果是________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了积的乘方，熟练掌握相关法则是解题的关键．根据题意可以得到，即可得到答案． 【详解】解：计算的结果是：， 故答案为： 14. 如图，在中，，，，以点B为圆心，为半径作弧交于点D，再分别以点C，D为圆心，以大于长为半径作弧，两弧相交于点E，作射线交于点F，则长为________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理可得，再根据题意可得平分，从而得到，证明，得到，再利用三角形的外角性质可得，进而得到，根据即可求出答案． 【详解】解：，， ， 由题意得：平分， ， ， 又， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 或（舍） 故答案为：． 【点睛】本题考查了作图——基本作图，相似三角形的判定与性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 15. 如图，在中，，，，把绕点A逆时针旋转，得，点B，C旋转后的对应点为，，连接，若点P为线段的中点，则的最大值为________，最小值为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】延长至点D，使，由勾股定理求出，，以点A为圆心，以为半径作，则点D在上运动，据此可求出的最大值和最小值． 【详解】解：如图，延长至点D，使， ∵，，， ∴． 由旋转的性质得，， ∴， ∴， 以点A为圆心，以为半径作，则点D在上运动， ∵点P为线段的中点，， ∴． 当点D在处时，最小，此时取得最小值为； 当点D在处时，最大，此时取得最大值为； 故答案为：，． 【点睛】本题考查了勾股定理，旋转的性质，三角形中位线，圆的性质，正确作出辅助线是解答本题的关键． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 计算 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了实数的混合运算、二次根式的乘法、分式的四则混合运算等知识，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）利用二次根式的乘法、零指数幂、负整数指数幂计算即可； （2）先计算括号内的减法，再计算分式的除法即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 17. 某网络平台从准确性、规划性、易用性三项对甲、乙两款导航软件进行评分（每项满分100分），并按权重计算两款软件的综合得分，数据如下表： 准确性（分） 规划性（分） 易用性（分） 综合得分（分） 甲款软件 86 96 88 88.5 乙款软件 88 95 80 同时该平台又收集了10位网友对这两款导航软件的评价得分，并整理、描述、分析如下： a．网友评价得分（满分10分）： b．网友评价得分统计表： 平均数 中位数 方差 甲款软件 7 乙款软件 7 7 根据以上信息，回答下列问题： （1）表格中的________，________； （2）综合考虑甲、乙两款软件的综合得分以及网友评价，你会选择哪款导航软件？请说明理由． 【答案】（1）87， （2）乙软件，理由如下：从网友评价看甲、乙两款软件平均数一样，乙软件中位数大于甲软件，方差小于甲软件，说明评分较高且稳定。 【解析】 【分析】本题考查中位数，平均数，根据统计数据作决策．熟练掌握定义，计算公式是解题的关键． （1）根据加权平均数的计算方法求解即可； （2）根据中位数的定义，计算即可； （3）从中位数，方差等，比较即可解答． 【小问1详解】 解：87，，理由如下： 由题意可知， 根据折线图，可知甲的得分如下：4，5，5，6，6，7，8，9，10，10，那么中位数为 故答案为：87，； 【小问2详解】 略 18. 荥阳柿子甜如蜜，深受消费者喜爱．某采摘基地调查发现：当柿子每箱售价为50元时，平均每天可售出40箱；当每箱售价降价1元时，则平均每天会多售出2箱，综合各项成本考虑，每箱售价不低于40元． （1）当每箱售价降价3元时，每天销量可达________箱； （2）当柿子每箱售价定为多少元时，每天能获得2250元的销售额？ 【答案】（1） （2）每箱售价定为45元时，每天能获得2250元的销售额． 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，正确列出方程是解题的关键． （1）当柿子每箱售价为50元时，平均每天可售出40箱；当每箱售价降价1元时，则平均每天会多售出2箱，据此列式计算即可； （2）设每箱柿子降价x元，根据销量乘以单箱的售价即可列出方程，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：根据题意可得， 即当每箱售价降价3元时，每天销量可达箱， 故答案为： 【小问2详解】 解：设每箱柿子降价x元，根据题意，得． 解这个方程，得 ，． 当时，售价低于40元，不合题意，舍去， ∴售价为：元， 所以，每箱售价定为45元时，每天能获得2250元的销售额． 19. 如图，在正方形中，点M，N分别是边，上的点，且，线段，相交于点E． （1）请用无刻度的直尺和圆规过点B作的垂线，交于点P，交于点Q（保留作图痕迹，不写作法）； （2）根据（1）中所作图形，判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】（1） 如图 （2）四边形为平行四边形， 理由如下： 四边形为正方形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形为平行四边形． 【解析】 【分析】（1）根据几何语言画出对应的图形即可； （2）由正方形得，，，再证明，得到，再根据，可得，即，再结合，得到，进而即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了作图——复杂作图，垂线的作法，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，掌握以上知识是解题的关键． 20. 日常生活中我们经常会使用到订书机，是订书机的底座，是装订书针的托板，始终与底座平行，连接杆的长度不变，点D固定在压柄上，点E沿托板滑动，压柄可绕着转点B旋转．如图1，是订书机未装订书针闭合时的示意图，此时点A、E、D、B在一条直线上，且点A与点E重合，，；如图2，当压柄旋转到与托板的夹角时，求这个过程中点E滑动的距离，并判断是否能放入一排长度为的订书针．（答案保留根号，参考数据：，，） 【答案】能放入一排长度为的订书针 【解析】 【分析】此题考查了解直角三角形的应用，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键． 过点D作托板的垂线，在中，由，得，由，得，得到，得到这个过程中点E滑动的距离，进一步即可作出判断． 【详解】解：如图，过点D作托板的垂线， ， ， 在中，，， 由，得， 由，得， 在中，，， ， 这个过程中点E滑动的距离 能放入一排长度为3的订书针． 21. 如图1，在仪器左边托盘A（固定）中放置一个物体，在右边托盘B（可左右移动）中放置一个装水的容器，容器的质量为5g，在容器中加入一定质量的水，可以使仪器左右平衡，改变托盘B与点C的距离，记录容器中加入的水的质量，得到如表： 托盘B与点C的距离 30 25 20 15 10 容器与水的总质量 20 24 30 40 60 加入的水的质量 15 19 25 35 55 把如表中的x与各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出这些点，并用光滑的曲线连接起来，得到如图2所示的关于x的函数图象． （1）请在该平面直角坐标系中作出关于x的函数图象； （2）观察函数图象，并结合表中的数据： ①猜测与x之间的函数关系，并求关于x的函数表达式； ②当时，随x的增大而________（填“增大”或“减小”），随x的增大而________（填“增大”或“减小”），关于x的函数表达式为________； （3）若在容器中加入的水的质量满足，求托盘B与点C的距离的取值范围． 【答案】（1） 解：如图即为所求， （2）①；②减小，减小， （3） 【解析】 【分析】此题考查了反比例函数的图象和性质、反比例函数的实际应用，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． （1）用光滑的曲线顺次连接各点即可； （2）①由题意可以猜测是反比例函数，利用待定系数法求出关于x的函数表达式即可；②根据题意可知，当时，随x的增大而减小，随x的增大而减小，由表格可知，关于x的函数表达式； （3）由得，，进一步求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①由题意可以猜测是反比例函数， 设，代入，得， 解得， 故； ②当时，随x的增大而减小，随x的增大而减小，关于x的函数表达式为； 故答案为：减小，减小， 【小问3详解】 解：由得，， 由得， 解得， 22. 抛物线过点，顶点为Q，抛物线（其中t为常数）． （1）求a的值和点Q的坐标； （2）通过计算说明，无论t为何值，将的顶点Q向左平移1个单位长度后一定落在上； （3）当时，与的交点为A，B，请直接写出时，x的取值范围． 【答案】（1），点Q的坐标为； （2） 证明：将向左平移1个单位长度得到对应点的坐标为， 当时，， ∴在抛物线上． 即无论t为何值，将的顶点Q向左平移1个单位长度后一定落在上； （3） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图象和性质、坐标的平移，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）把点代入即可求出，把抛物线的解析式化为顶点式即可求出点Q的坐标； （2）求出平移后的坐标为，再求出当时，的值，即可得证． （3）求出两个交点的横坐标，结合函数图象即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵抛物线过点， ∴， 解得， ∴抛物线为， ∴点Q的坐标为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 当时，， 联立得到， 则， 得到， 解得，， ∴与的交点为A，B的横坐标分别为，， ∴如图可知，当时， 23. 在菱形中，过点作于点，将绕点逆时针旋转，得到，点对应的点分别为，所在直线分别与直线，直线相交于点． （1）观察猜想：如图1，当线段经过点时，线段与线段的数量关系是________，线段与线段的位置关系是________； （2）探究证明：如图2，当不经过点时，（1）中的两个结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由； （3）拓展延伸：若，的长为，当线段与直线垂直时，请直接写出的长． 【答案】（1）， （2） 解：（1）中的两个结论成立，理由如下， 如图2 四边形是菱形， ， 绕点逆时针旋转，得到， ， ， ， ， ， ， ， 垂直平分， ， （1）中的两个结论成立； （3）或 【解析】 【分析】（1）延长交于点，根据菱形的性质得到，，再根据旋转的性质得到，，得出，，利用等腰三角形的性质和线段垂直平分线的判定即可得到答案； （2）同（1）即可得到答案； （3）分两种情况：当在直线的右侧时，当在直线的左侧时；分别利用直角三角形的性质勾股定理，矩形的性质即可得到答案． 【小问1详解】 解：如图1，延长交于点， 四边形是菱形， ， 绕点逆时针旋转，得到， ， ， ， ， ， ， ， 垂直平分， ， 故答案为：，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：当在直线的右侧时， 如图3，该点作于点， 菱形中，，， ，， 在中，，， ， ， 同理， ， 四边形是矩形， ， 由旋转得：， ； 当在直线的左侧时， 如图4，过点作于点， 同理可得：， ， 综上，当线段与直线垂直时的长为或． 【点睛】本题考查是四边形综合题，考查了菱形的性质，矩形的判定和性质，直角三角形的性质，旋转的性质，勾股定理等，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $