精品解析：江苏省苏州工业园区唯亭学校 2024-2025学年下学期八年级数学3月月考卷

2024-2025学年第二学期随堂练习卷 初二年级数学学科 注意事项： 1．本试卷满分100分，考试时间100分钟； 2．所有的答案均应书写在答题卷上，按照题号顺序答在相应的位置，超出答题区域书写的答案无效；书写在试题卷上、草稿纸上的答案无效； 3．字体工整，笔迹清楚．保持答题纸卷面清洁． 一、选择题（共8小题，每小题3分） 1. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史．以下是在棋谱中截取的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 某校从名学生中随机抽取名学生进行百米测试，下列说法正确的是（ ） A. 该调查方式是普查 B. 样本容量是 C. 每名学生的百米测试成绩是个体 D. 名学生的百米测试成绩是总体 3. 如图，在平行四边形中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 下列说法正确的是（ ） A. 菱形四个内角都是直角 B. 矩形的对角线互相垂直 C. 正方形的每一条对角线平分一组对角 D. 平行四边形是轴对称图形 5. 如图，将绕点A顺时针旋转得到，若，，，则的长为（ ） A. 7 B. 5 C. 4 D. 3 6. 如图，小义同学想测量池塘A，B两处之间的距离．他先在A，B外选一点C，然后步测的中点为D，E， 测得， 则A，B之间的距离为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，与关于点成中心对称，，，，（ ） A. B. C. D. 8. 如图，的对角线、交于点平分交于点，且，，连接，下列结论：①；②；③；④；⑤；其中成立的个数是( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（共10小题，每小题3分） 9. 在英文“ ”句中，字母“”出现的频率为__________ 10. 每年的4月23日是“世界读书日”，某校为了解八年级350名学生对“世界读书日”的知晓情况，从中随机抽取了50名学生进行调查，则本次调查的样本容量是____． 11. 式子在实数范围内有意义，则x取值范围是_______________． 12. 如图，在平行四边形中，，则______． 13. 在菱形中，对角线，，则菱形的面积为______． 14. 如图，在正方形中，以为边在正方形内作等边，则________． 15. 如图，平行四边形的对角线和相交于点，过点的直线分别交和于点，且，那么图中阴影部分的面积为______． 16. 如图，在中，D，E分别是的中点，，F是线段上一点，连接，．若，则的长度是__________． 17. 在▱ABCD中，∠BAD的平分线AE把边BC分成5和6两部分，则▱ABCD的周长为_____． 18. 如图，矩形纸片ABCD中，已知AD＝12，AB＝9，E是BC上的点，以AE为折痕折叠纸片，使点B落在点F处，连接FC，当△EFC为直角三角形时，BE的长为_____． 三、解答题（共9小题，共46分） 19. 在正方形网格中，的三个顶点都在格点上． （1）在图1中作出绕点逆时针旋转得到的； （2）在图2中作出与关于点对称的． 20. 某中学开展主题为“垃圾分类，绿色生活”宣传活动，为了解学生对垃圾分类知识的掌握情况，该校团委在校园内随机抽取了部分学生进行问卷调查，将他们的得分按：优秀，：良好，：合格，：不合格四个等级进行统计，并绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图． （1）这次学校抽查的学生人数是__________； （2）将条形图补充完整； （3）如果该校共有2200人，请估计该校不合格的人数． 21. 如图，在中，点分别在边上，．求证：四边形是平行四边形． 22. 已知，如图： （1）写出点的坐标__________； （2）画出点关于原点的对称点； （3）画出点关于直线对称点； （4）以点为顶点的三角形形状是__________三角形，的面积__________． 23. 重庆市积极推进素质教育，各学校开展了多元的课外实践活动．某校推出了科技与人文融合的四项特色活动：A．智能机器人编程体验，B．巴渝文化历史探寻，C．生态环境监测实践，D．校园微电影创作．为了解学生对这四项活动的参与兴趣，学校随机抽取了部分学生进行问卷调查，规定被调查学生必须且只能选择一项，并根据统计数据绘制成如下两幅不完整的统计图： 课外实践活动条形统计图 课外实践活动扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）本次共调查了__________名学生； （2）在扇形统计图中，m的值是__________；的度数是__________； （3）请补全条形统计图． 24. 如图，在矩形中，E为边上一点，连接．若，过点D作于点F．求证：． 25. 如图，在四边形中，，点E在边上， ．请从“①；②，”这两组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上（填序号），再解决下列问题： （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，，，求线段的长． 26. 如图，在矩形中，，相交于点，，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，则四边形面积为 ． 27. 已知，如图，为坐标原点，四边形为矩形，，，点是的中点，动点在线段上以每秒个单位长的速度由点向运动． 设动点的运动时间为秒． （1）当 时（直接写出的值），四边形是平行四边形； （2）在线段上是否存在一点，使得四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求的值，并求出点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）在线段上有一点且，求四边形的周长最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年第二学期随堂练习卷 初二年级数学学科 注意事项： 1．本试卷满分100分，考试时间100分钟； 2．所有的答案均应书写在答题卷上，按照题号顺序答在相应的位置，超出答题区域书写的答案无效；书写在试题卷上、草稿纸上的答案无效； 3．字体工整，笔迹清楚．保持答题纸卷面清洁． 一、选择题（共8小题，每小题3分） 1. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史．以下是在棋谱中截取的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合． 把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．据此判断即可． 【详解】解：选项A、B、C不都能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形． 选项D能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以是中心对称图形． 故选：D． 2. 某校从名学生中随机抽取名学生进行百米测试，下列说法正确的是（ ） A. 该调查方式是普查 B. 样本容量是 C. 每名学生的百米测试成绩是个体 D. 名学生的百米测试成绩是总体 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象，总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小，样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位． 【详解】解：A、该调查方式是抽样调查，故A不符合题意； B、样本容量是，故B不符合题意； C 、每名学生百米测试成绩是个体，故C符合题意． D 、名学生的百米测试成绩是总体，故D不符合题意； 故选：． 3. 如图，在平行四边形中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质得到，即可求出答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴ ∵ ∴， 故选：B． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质：对角相等，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 4. 下列说法正确的是（ ） A. 菱形的四个内角都是直角 B. 矩形的对角线互相垂直 C. 正方形的每一条对角线平分一组对角 D. 平行四边形是轴对称图形 【答案】C 【解析】 【分析】根据菱形的性质、矩形的性质、正方形的性质、平行四边形的性质和轴对称图形的定义即可求解． 【详解】解：A．菱形的四个内角不一定都是直角，不符合题意； B．矩形的对角线不一定互相垂直，不符合题意； C．正方形的每一条对角线平分一组对角，正确，符合题意； D．平行四边形不一定是轴对称图形，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了菱形的性质、矩形的性质、正方形的性质、平行四边形的性质和轴对称图形的定义，熟练掌握基础知识是解题的关键． 5. 如图，将绕点A顺时针旋转得到，若，，，则的长为（ ） A. 7 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质，由旋转的性质可得，，得出为等边三角形，即可得解． 【详解】解：由旋转的性质可得：，， ∴为等边三角形， ∴， 故选：A． 6. 如图，小义同学想测量池塘A，B两处之间的距离．他先在A，B外选一点C，然后步测的中点为D，E， 测得， 则A，B之间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中位线定理应用，根据D，E是的中点，即是的中位线，根据三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，即可求解． 【详解】解：∵D，E是的中点，即是的中位线， ∴ ∵， ∴． 故选：D． 7. 如图，与关于点成中心对称，，，，（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称的性质，勾股定理，熟练掌握中心对称的性质是解题的关键； 根据中心对称的性质，得出，，再根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：与关于点成中心对称， ， ，， ，， 根据勾股定理可得：， ； 故选：A 8. 如图，的对角线、交于点平分交于点，且，，连接，下列结论：①；②；③；④；⑤；其中成立的个数是( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】由平行四边形性质可得，由角平分线定义得是等边三角形，进而得E为中点，则可得，则可判定①；易得，则可判定②；由直角三角形中斜边最长则可判定③；由是等腰三角形及O为中点可判定⑤；由含角直角三角形性质可判定④，最后可确定答案． 【详解】解：四边形是平行四边形，， ∴，， ∴，； ∵平分， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴； ∵， ∴， ∴点E为中点， ∴， ∴ ∴； ∵， ∴， 故①正确； ∵， ∴； 故②正确； ∵， ∴直角三角形中斜边最长，即， 故③错误； ∵， ∴平分，， ∴； 故⑤正确； 在中，， ∴； ∵， ∴ 故④正确； 故正确的有4个； 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，含角直角三角形性质，灵活运用这些性质是关键． 二、填空题（共10小题，每小题3分） 9. 在英文“ ”句中，字母“”出现的频率为__________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求频率，熟练掌握频率的计算公式是解题关键．利用英文句子中，字母“”的个数除以总的字母个数即可得． 【详解】解：在英文“ ”句中，字母“”出现2次，总共有10个字母， 则字母“”出现的频率为， 故答案为：． 10. 每年的4月23日是“世界读书日”，某校为了解八年级350名学生对“世界读书日”的知晓情况，从中随机抽取了50名学生进行调查，则本次调查的样本容量是____． 【答案】50 【解析】 【分析】根据样本容量的概念：一个样本包括的个体数量叫做样本容量，即可解答． 【详解】解：从八年级350名学生中随机抽取了50名学生进行调查， 则样本容量是50， 故答案为：50． 【点睛】本题考查了总体、个体、样本、样本容量，熟练掌握样本容量的概念是解题的关键． 11. 式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，求不等式的解集，掌握二次根式被开方为非负数是解题的关键． 根据二次根式被开方数为非负数得，再运用不等式的性质求解即可． 【详解】解：式子在实数范围内有意义， ∴， 解得，， 故答案为： ． 12. 如图，在平行四边形中，，则______． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，邻补角．熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 由平行四边形的对角相等的性质得到，然后由邻补角的定义解答即可． 【详解】解：在平行四边形中，， 则， 所以， 故答案为：． 13. 在菱形中，对角线，，则菱形的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理等知识点，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 由菱形的性质可得，再根据勾股定理求出，从而得到，然后根据菱形的性质即可求出其面积． 【详解】解：如图， ∵四边形是菱形，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 如图，在正方形中，以为边在正方形内作等边，则________． 【答案】##75度 【解析】 【分析】由正方形的性质及等边三角形的性质，求得，从而由等腰三角形的性质可得． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和等知识，掌握这些性质是关键． 15. 如图，平行四边形的对角线和相交于点，过点的直线分别交和于点，且，那么图中阴影部分的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，平行四边形的性质．过点作于点，勾股定理求得，证明，进而可得阴影部分面积等于平行四边形面积的一半，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵平行四边形的对角线和相交于点， ∴， ∴， 又∵， ∴ ∴ 同理： ∴阴影部分面积面积, 故答案为：． 16. 如图，在中，D，E分别是的中点，，F是线段上一点，连接，．若，则的长度是__________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线定理，直角三角形斜边中线的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．根据三角形中位线定理求出，再根据题意求出，然后根据直角三角形的性质计算即可． 【详解】解：∵D、E分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∵，E是的中点， ∴， 故答案为：6． 17. 在▱ABCD中，∠BAD的平分线AE把边BC分成5和6两部分，则▱ABCD的周长为_____． 【答案】32或34 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质可得∠DAE＝∠AEB，再由角平分线的性质和等腰三角形的性质可得AB＝BE，然后再分两种情况计算即可. 【详解】解：在平行四边形ABCD中，AD∥BC，则∠DAE＝∠AEB， ∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE＝∠DAE， ∴∠BAE＝∠BEA， ∴AB＝BE，BC＝BE+EC， ①当BE＝5，EC＝6时，平行四边形ABCD的周长为：2（AB+BC）＝2×（5+5+6）＝32； ②当BE＝6，EC＝5时，平行四边形ABCD的周长为：2（AB+BC）＝2×（6+6+5）＝34． 故答案为32或34． 【点睛】平行四边形的性质及等腰三角形的性质、角平分线的性质是本题的考点，根据其性质求得AB＝BE是解题的关键. 18. 如图，矩形纸片ABCD中，已知AD＝12，AB＝9，E是BC上的点，以AE为折痕折叠纸片，使点B落在点F处，连接FC，当△EFC为直角三角形时，BE的长为_____． 【答案】或9 【解析】 【分析】当△CEF为直角三角形时，有两种情况：①当点F落在矩形内部时，如图1所示．连结AC，先利用勾股定理计算出AC=15，根据折叠的性质得∠AFE=∠B=90°，而当△CEF为直角三角形时，只能得到∠EFC=90°，所以点 A、F、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点F处，则EB=EF，AB=AF=9，可计算出CF=6，设BE=x，则EF=x，CE=12-x，然后在Rt△CEF中运用勾股定理可计算出x．②当点F落在AD边上时，如图2所示．此时四边形ABEF为正方形，易得BE． 【详解】解：当△CEF为直角三角形时，有两种情况： ①当点F落在矩形内部时，如图1所示． 连结AC， 在Rt△ABC中，AB=9，BC=12， ∴AC==15， ∵∠B沿AE折叠，使点B落在点F处， ∴∠AFE=∠B=90°， 当△CEF为直角三角形时，只能得到∠EFC=90°， ∴点A、F、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点F处，如图， ∴EB=EF，AB=AF=9， ∴CF=15-9=6， 设BE=x，则EF=x，CE=12-x， 在Rt△CEF中， ∵EF2+CF2=CE2， ∴x2+62=（12-x）2， 解得x=， ∴BE=； ②当点F落在AD边上时，如图2所示． 此时ABEF为正方形， ∴BE=AB=9． 综上所述，BE的长为或9． 故答案为或9． 【点睛】本题考查了折叠问题：折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等．也考查了矩形的性质以及勾股定理．注意本题有两种情况，需要分类讨论，避免漏解． 三、解答题（共9小题，共46分） 19. 在正方形网格中，的三个顶点都在格点上． （1）在图1中作出绕点逆时针旋转得到的； （2）在图2中作出与关于点对称的． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了作图—旋转变换、中心对称，结合题意正确作出图形是解题关键． （1）根据旋转的性质作出图形即可； （2）根据中心对称的性质作出图形即可． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求： 【小问2详解】 解：如图所示，即为所求： 20. 某中学开展主题为“垃圾分类，绿色生活”的宣传活动，为了解学生对垃圾分类知识的掌握情况，该校团委在校园内随机抽取了部分学生进行问卷调查，将他们的得分按：优秀，：良好，：合格，：不合格四个等级进行统计，并绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图． （1）这次学校抽查学生人数是__________； （2）将条形图补充完整； （3）如果该校共有2200人，请估计该校不合格的人数． 【答案】（1）40人 （2）见解析 （3）220人 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形统计图与条形统计图信息相关联，用样本估计总体，正确读懂统计图是解题的关键． （1）通过优秀的百分数和人数求出总人数； （2）先求出：合格人数，再补充条形图即可； （3）先求出原数据中不合格人数的份数，再用这个份数乘以2200即可． 【小问1详解】 解：总人数为：人 【小问2详解】 ：合格人数为：（人） 【小问3详解】 （人） 答：估计该校不合格的人数为220人． 21. 如图，在中，点分别在边上，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质．由可得，由得到即可． 【详解】证明：∵ ∴ ∵四边形是平行四边形 ∴ ∴四边形是平行四边形． 22. 已知，如图： （1）写出点的坐标__________； （2）画出点关于原点的对称点； （3）画出点关于直线的对称点； （4）以点为顶点的三角形形状是__________三角形，的面积__________． 【答案】（1）； （2）画图见解析； （3）画图见解析； （4）直角；． 【解析】 【分析】（）由图可得答案； （）根据中心对称的性质作图即可； （）根据轴对称的性质作图即可； （）利用勾股定理以及勾股定理逆定理可得为直角三角形，再利用三角形的面积公式计算的面积即可； 本题考查了作图-轴对称变换、作图-中心对称变换，勾股定理、勾股定理的逆定理，熟练掌握轴对称的性质、中心对称的性质、勾股定理、勾股定理的逆定理是解题的关键． 【小问1详解】 解：由图可得，点的坐标为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图，点即为所求； 【小问3详解】 解：如图，点即为所求； 【小问4详解】 解：由勾股定理得， ，，， ∴， ∴， 为直角三角形， ∴的面积为， 故答案为：直角；． 23. 重庆市积极推进素质教育，各学校开展了多元的课外实践活动．某校推出了科技与人文融合的四项特色活动：A．智能机器人编程体验，B．巴渝文化历史探寻，C．生态环境监测实践，D．校园微电影创作．为了解学生对这四项活动的参与兴趣，学校随机抽取了部分学生进行问卷调查，规定被调查学生必须且只能选择一项，并根据统计数据绘制成如下两幅不完整的统计图： 课外实践活动条形统计图 课外实践活动扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）本次共调查了__________名学生； （2）在扇形统计图中，m的值是__________；的度数是__________； （3）请补全条形统计图． 【答案】（1）50 （2）32； （3）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了条形统计图、扇形统计图等知识点，正确从统计图中获取所需信息是解题的关键． （1）用A的人数除以其所占的百分比即可解答； （2）先求出B的人数，然后求出其所占的百分比即可确定m的值；再用乘以C所占的比例即可求得的度数； （3）根据（2）所得B的人数，补全条形统计图即可． 【小问1详解】 解：，即本次共调查了50名学生． 故答案为：50． 【小问2详解】 解：B的人数为：， ∴，即：． 由． 故答案为：32，． 【小问3详解】 解：由（2）可得B的人数为16，则补全条形统计图如下： ． 24. 如图，在矩形中，E为边上一点，连接．若，过点D作于点F．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】此题考查矩形的性质，根据矩形的性质得出，，进而利用证明三角形全等解答即可． 【详解】证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， 在与中， ， ∴， ∴． 25. 如图，在四边形中，，点E在边上， ．请从“①；②，”这两组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上（填序号），再解决下列问题： （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，，，求线段的长． 【答案】（1）①或②，证明见解析； （2）6 【解析】 【分析】题目主要考查平行四边形的判定和性质，勾股定理解三角形，理解题意，熟练掌握平行四边形的判定和性质是解题关键． （1）选择①或②，利用平行四边形的判定证明即可； （2）根据平行四边形的性质得出，再由勾股定理即可求解． 【小问1详解】 解：选择①， 证明：∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形； 选择②， 证明：∵，， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形； 【小问2详解】 解：由（1）得， ∵，， ∴． 26. 如图，在矩形中，，相交于点，，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，则四边形的面积为 ． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识． （1）根据，，可得四边形是平行四边形，根据矩形的性质可推出，即可得证； （2）连接，交于点，根据四边形是菱形，可得，，，再根据勾股定理求出，进而得到，即可求解． 【小问1详解】 解：，， 四边形是平行四边形， 在矩形中，，相交于点， ，，， ， 平行四边形是菱形； 【小问2详解】 如图，连接，交于点， 四边形是菱形， ，，， ， ， ， 菱形的面积为：， 故答案为：． 27. 已知，如图，为坐标原点，四边形为矩形，，，点是的中点，动点在线段上以每秒个单位长的速度由点向运动． 设动点的运动时间为秒． （1）当 时（直接写出的值），四边形是平行四边形； （2）在线段上是否存在一点，使得四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求的值，并求出点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）在线段上有一点且，求四边形的周长最小值． 【答案】（1）秒 （2）秒时，；秒时， （3） 【解析】 【分析】（1）先求出，进而求出，再由运动知，进而由平行四边形的性质建立方程即可得出结论； （2）分两种情况讨论，利用菱形的性质和勾股定理即可得出结论； （3）先判断出四边形周长最小，得出最小，即可确定出点M的位置，再用勾股定理求出，即可得出结论． 【小问1详解】 解：∵四边形为矩形，，， ∴，，，， ∵点是的中点， ∴， ∵动点在线段上以每秒个单位长的速度由点向运动，点的运动时间为， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， 故答案为：秒； 【小问2详解】 解：①如图，当点在的右边时， ∵四边形为菱形， ∴， ∴在中，， ∴， ∴， ∵， ∴； ②如图，当点在的左边时， ∵四边形为菱形， ∴， ∴在中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 综上所述，秒时，；秒时，； 【小问3详解】 如图，由（1）知：， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形的周长为： ∴最小时，四边形的周长最小， ∴作点关于的对称点，连接交于， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴此时最小，即最小， ∵， ∴的最小值为：， ∴四边形的周长最小值为． 【点睛】本题考查矩形的性质，平行四边形的性质与判定，菱形的性质，轴对称的性质，坐标与图形，勾股定理，两点之间线段最短等知识点，利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$