精品解析：江西省抚州市临川第三中学2024—2025学年高三（实验部）上学期12月模拟考试数学试题

2024—2025学年高三年级12月模拟考试（实验部） 数学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 在复平面内，复数对应的点与复数对应的点关于实轴对称，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先计算复数，得到复数对应的点，由对称性即可得复数对应的点，进而得复数. 【详解】，所以复数对应的点为， 因为复数对应的点与复数对应的点关于实轴对称，所以复数对应的点为， 所以， 故选：D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先解一元二次不等式求出集合B，再根据交集的定义计算可得. 【详解】由，即，解得或， 所以或， 又，所以. 故选：C 3. 在的展开式中，的系数等于（ ） A. 280 B. 300 C. 210 D. 120 【答案】D 【解析】 【分析】 先找出每项中含有的项，利用组合数的性质即可得出结果． 【详解】在的展开式中， 项的系数为 ． 故选：D． 【点睛】本题考查了二项式定理、组合数的性质与应用问题，是基础题目． 4. 已知、是互相垂直的两个单位向量，若向量与的夹角为，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用平面向量数量积的运算性质求出、、，利用平面向量数量积的定义可得出关于的等式，解之即可. 【详解】因为、是互相垂直的两个单位向量，则，且， 由平面向量数量积的运算性质可得 ， ， ， 由平面向量数量积的定义可得， 即，则， 且有，又因为，故. 故选：D. 5. 甲，乙两人进行乒乓球比赛，比赛采用3局2胜制，如果每局比赛甲获胜的概率为0.7，乙获胜的概率为0.3，且各局比赛结果相互独立，那么在甲获胜的条件下，比赛进行了3局的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设相应事件，根据独立事件概率求法求，，进而求条件概率. 【详解】设甲获胜为事件A，比赛进行了3局为事件B， 则，， 所以. 故选：C. 6. 已知平面向量，，满足，，，，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】在平面直角坐标系xOy中，不妨设，，，由已知可得，由向量的加法和模的坐标运算结合基本不等式求解即可. 【详解】在平面直角坐标系xOy中，不妨设，，， 则，，， 所以， 当且仅当时等号成立， 因此，的最小值为2. 故选：C. 7. 若，，,则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用指数与对数运算将题设方程转化并放缩后得到不等式，再进行指数同构和对数同构两法，利用构造函数的单调性去掉函数符号，化简即得答案. 【详解】法一：由可得，即， 因为，所以，从而， 令，上述不等式可写成，易知在R上单调递增， 则有，即，也即，所以. 法二：由可得，即， 因为，所以，从而， 则，令， 则不等式可写成，易知在上单调递增， 而，故得，所以. 故选：C. 8. 已知函数的定义域为，且当时，，则当时，的解析式可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对A，分，，结合导数验证不等式，对于BCD代入验证即可. 【详解】对于A，当时，，此时，， 令， ，令，则， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 所以当时，函数取得极大值，此时， 又因为，所以， 即，即， 即，符合题意， 当时，，， 因为，即，所以， 即，故A正确； 对于B，，当，此时，， 此时，不符合题意，故B错误； 对于C，，当，此时，， 此时，不符合题意，故C错误； 对于D，，当，此时，， 此时，不符合题意，不符合题意，故D错误， 故选：A. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知事件发生的概率分别为，则（ ） A. 若与互斥，则 B. 若与相互独立，则 C. 若与相互独立，则 D. 若与相互独立，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用互斥事件、相互独立事件的概率公式逐项计算判断. 【详解】对于A，若与互斥，则，A正确； 对于B，若与相互独立，则，B错误； 对于C，若与相互独立，则与相互独立，则，C正确； 对于D，若与相互独立，则，D正确. 故选：ACD 10. 已知数列的前项和为，且满足，则（ ） A. B. C. 为递减数列 D. 【答案】AD 【解析】 【分析】令，计算可判断A；当，可得，两式相减可求得通项公式判断B；由，可判断C；利用错位相减法可求得可判断D. 【详解】当时，，故A正确； 当时，，又， 两式相减得，所以， 当时，适合上式，所以，故B错误； 所以， 所以，当时，，所以从第二项起是递减数列，故C错误； ， 所以， 两式相减得 所以，故D正确. 故选：AD. 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 直线为函数的图象的一条对称轴 B. 函数在上单调递增 C. 函数在上单调递增 D. ， 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据函数对称性经验证可知满足，即A正确，利用复合函数单调性判断即可得出B正确，由特殊值代入计算可得，即C错误，由单调性可知满足，可得D正确. 【详解】对于A，因为， 所以，故A对； 对于B，又易知在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减， 由复合函数的单调性可知在上单调递增，故B对； 对于C，易知，，不能满足，故C错； 对于D，易知，计算可得，， 结合B选项的单调性可得，使得，故D对． 故选：ABD 【点睛】方法点睛：判断函数对称性常用方法有 （1） 代入验证检验是否满足对称轴方程； （2） 利用函数奇偶性平移求出对称轴或对称中心； （3） 作出函数图象. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知均为常数，对任意的实数恒成立，则______. 【答案】20 【解析】 【分析】把问题转化为二项展开式的指定项的系数求解. 【详解】 即， 所以. 所以即为展开式中的的系数. 所以. 故答案为： 13. 在底面边长为2的正三棱柱中，异面直线与所成角的余弦值为，则该正三棱柱的体积为________． 【答案】 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用异面直线所成角的向量求法求出三棱柱的高，再利用体积公式即可求得答案。 【详解】设正三棱柱的高为h，以A为坐标原点，在底面内过点A作的垂线为x轴， 以所在直线为轴，建立空间直角标系， 则， 则， 因为异面直线与所成角的余弦值为， 故， 由于，即，解得， 故该正三棱柱的体积为， 故答案为： 14. 数列中，若存在，使得“且”成立，（，）则称为的一个峰值.若，则的峰值为________；若，且不存在峰值，则实数的取值范围为________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据二次函数的性质结合数列峰值的定义即可求出数列的峰值；构造函数，利用导数求出函数的单调区间，再结合数列峰值的定义即可得解. 【详解】由， 函数的对称轴为， 又， 所以， 所以的峰值为； 若，则， 令，则， 当时，，所以函数在上单调递减， 则数列是递减数列，符合题意； 当时，令，则，令，则， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 要使数列不存在峰值， 则，即，解得， 综上所述，实数的取值范围为. 故答案为：；. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数（是自然对数的底数） （1）求函数在上的单调增区间； （2）若为的导函数，函数，求在上的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接求导再令导函数大于等于0，解出即可； （2）求出，再分析其单调性即可得到最值. 【小问1详解】 由已知， 令，结合，解得，所以的单调递增区间， 【小问2详解】 由题可知， 因为，所以，令，解得， 令，解得，所以在上单调递增，在上单调递减， 所以的最大值为. 16. 如图，已知是半径为1，圆心角为的扇形，是扇形弧上的动点，记， （1）请用来表示平行四边形的面积； （2）若. ①求平行四边形面积的最大值，以及面积最大时角的值； ②记（其中），求的取值范围. 【答案】（1） （2）①，；② 【解析】 【分析】（1）过点作的垂线，在，中利用三角函数值表示边长，即可表示出四边形的面积； （2）①运用三角恒等变换和三角函数的性质计算关于的三角函数的最值即可；②通过建系，得出点的坐标，利用的三角函数来表示，再由三角函数的性质即可求得的范围. 【小问1详解】 过点作的垂线，垂足为，在中，， 在中，，则， 所以， 所以 【小问2详解】 ①若，由题意可得， 由（1）知： 故平行四边形的面积 由于，故， 故当时，即时，取得最大值为. ②根据题意，建立如图所示的坐标系，则，即 又，则 因，即， 则，， 解得：，， ， 由点是弧上一动点，则，则， 所以即. 则的取值范围为. 17. 如图，三棱锥中，，且，. （1）当三棱锥的体积最大时， ①求证：； ②求其外接球的表面积； （2）设为的中点，记平面与平面的夹角为，求的最小值. 【答案】（1）①证明： 三角形的面积为定值，且 ， 当三棱锥 的体积最大时， 平面， 平面 ，； ② （2） 【解析】 【分析】（1）①由于三角形的面积为定值，当三棱锥 的体积最大时， 平面，从而可证；② 先证 平面 ，可得，而 到的距离相等，所以为三棱锥 的外接球的球心. 求出外接球半径，利用外接球的表面积公式即可求解. （2）如图建立空间直角坐标系，设为的中点，，可设，得 ，利用空间向量法可得的表达式，再构造函数，利用导数研究函数的单调性即可求得的最小值. 【小问1详解】 ①略 ②由①知，当三棱锥的体积最大时，平面 ， 平面 ， 平面 ，， 又 为的中点， 到的距离相等， 即为三棱锥 的外接球的球心. 设外接球半径为，则， 三棱锥的外接球的表面积为 ； 【小问2详解】 以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 ， 设为的中点，， 可设 ，由 ，得， 又 ，设平面的法向量 ， 则，即，令则 ， 可得平面的法向量 又 ，设平面的法向量 ， 则 ，即，令，则 ， 可得平面的法向量 , 则 ； 设 ，则 ， 易知 单调递减： 单调递增， 当 时， ， 所以 的最小值为. 【点睛】关键点点睛：第二小问中，如何设点 坐标是解题关键，利用空间向量法表达出，通过构造函数，求出函数的最小值是难点. 18. 如图，由部分椭圆和部分双曲线，组成的曲线称为“盆开线”．曲线与轴有、两个交点，且椭圆与双曲线的离心率之积为． （1）求出部分椭圆方程和部分双曲线方程； （2）设过点的直线与相切于点，求点的坐标及直线的方程； （3）过的直线与相交于点、、三点，求证：． 【答案】（1）椭圆方程为：，双曲线方程为． （2），直线的方程为：． （3）证明：由题意可得的斜率存在且不为零，故设方程为：， 联立整理得：，，即且，解得：或，即． 联立整理得：， 解得：或，即． 所以， 所以，所以． 【解析】 【分析】（1）根据椭圆与双曲线的基本量关系求解即可； （2）设，根据椭圆的切线方程求解即可； （3）设方程为：，分别联立椭圆与双曲线，进而可得，，再证明即可. 【小问1详解】 由题设可得，，，故椭圆方程为：，双曲线方程为． 【小问2详解】 由图可知，切点在双曲线上． 设，则，则切线的方程为：，因为直线过点，所以，，代入，得， 所以，，直线的方程为：． 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛： （1）双曲线在点处的切线方程为； （2）证明两角度相等时，可考虑斜率的关系，联立方程得出韦达定理化简求解即可. 19. 对任意给定的，若有穷数列满足：其中．则称该数列为“数列”． （1）当时，是否存在符合条件的“数列”？若存在，请求出所有的符合条件的“数列”：若不存在，请说明理由： （2）证明：（i）； （ii）当时，任意符合条件的“数列”都满足； （3）当时，求出所有的“数列”． 【答案】（1）不存在，理由为： 当时，，可知不存在“数列”； 当时，若，又,矛盾； 若，则，因此只能， 故，但此时，矛盾，所以不存在“数列”. （2） （i）证明：由题意可知， 假设，满足，则，即， 与矛盾，因此，， 所以 （ii）证明：设， ①当时，可知,否则与（i）矛盾， 故，因此，而若，则,得矛盾， 所以； ②当时，由（i）得，而，因此， ，因此; 综上所述，当时，任意符合条件的“数列”都满足. （3） 【解析】 【分析】(1)根据数列的定义，分别验证是否符合“数列”； (2)（i）根据数列的定义，分别写出，，,求和即可； （ii）对，分别证明； (3)借助(2)可得，，，分别就，和求得所有的“数列” 【小问1详解】 当时，，可知不存在“数列”； 当时，若，又,矛盾； 若，则，因此只能， 故，但此时，矛盾，所以不存在“数列”. 【小问2详解】 （i）略 （ii）略 【小问3详解】 由(2)得当时，，，此时， ，. ①当时，，舍去； ②当时，，，而此时，与（i）矛盾，舍去； ③当时，恰好满足故其他项均为0，可知即,因此，，，其他项均为0. 综上所述，当时，只有一个符合题意的“数列”， 即为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年高三年级12月模拟考试（实验部） 数学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 在复平面内，复数对应的点与复数对应的点关于实轴对称，则等于（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 在的展开式中，的系数等于（ ） A. 280 B. 300 C. 210 D. 120 4. 已知、是互相垂直的两个单位向量，若向量与的夹角为，则实数（ ） A. B. C. D. 5. 甲，乙两人进行乒乓球比赛，比赛采用3局2胜制，如果每局比赛甲获胜的概率为0.7，乙获胜的概率为0.3，且各局比赛结果相互独立，那么在甲获胜的条件下，比赛进行了3局的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知平面向量，，满足，，，，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4 7. 若，，,则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的定义域为，且当时，，则当时，的解析式可以是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知事件发生的概率分别为，则（ ） A. 若与互斥，则 B. 若与相互独立，则 C. 若与相互独立，则 D. 若与相互独立，则 10. 已知数列的前项和为，且满足，则（ ） A. B. C. 为递减数列 D. 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 直线为函数的图象的一条对称轴 B. 函数在上单调递增 C. 函数在上单调递增 D. ， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知均为常数，对任意的实数恒成立，则______. 13. 在底面边长为2的正三棱柱中，异面直线与所成角的余弦值为，则该正三棱柱的体积为________． 14. 数列中，若存在，使得“且”成立，（，）则称为的一个峰值.若，则的峰值为________；若，且不存在峰值，则实数的取值范围为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数（是自然对数的底数） （1）求函数在上的单调增区间； （2）若为的导函数，函数，求在上的最大值． 16. 如图，已知是半径为1，圆心角为的扇形，是扇形弧上的动点，记， （1）请用来表示平行四边形的面积； （2）若. ①求平行四边形面积的最大值，以及面积最大时角的值； ②记（其中），求的取值范围. 17. 如图，三棱锥中，，且，. （1）当三棱锥的体积最大时， ①求证：； ②求其外接球的表面积； （2）设为的中点，记平面与平面的夹角为，求的最小值. 18. 如图，由部分椭圆和部分双曲线，组成的曲线称为“盆开线”．曲线与轴有、两个交点，且椭圆与双曲线的离心率之积为． （1）求出部分椭圆方程和部分双曲线方程； （2）设过点的直线与相切于点，求点的坐标及直线的方程； （3）过的直线与相交于点、、三点，求证：． 19. 对任意给定的，若有穷数列满足：其中．则称该数列为“数列”． （1）当时，是否存在符合条件的“数列”？若存在，请求出所有的符合条件的“数列”：若不存在，请说明理由： （2）证明：（i）； （ii）当时，任意符合条件的“数列”都满足； （3）当时，求出所有的“数列”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $