精品解析：广东省广州大学附属中学2024-2025学年高二下学期第一次月考数学试题

广大附中2024—2025学年高二（下）第一次月考 数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，则“为纯虚数”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 已知是定义在上的奇函数，若为偶函数且，则（ ） A 3 B. C. D. 0 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，则向量在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 设数列的前项之积为，满足，则（ ） A. B. C. D. 6 若、都有恒成立，则（ ） A. B. C. D. 7. 在四面体中，，且与所成的角为.若该四面体的体积为，则它的外接球半径的最小值为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 8. 已知双曲线的两焦点分别为、，过右焦点作直线交右支于、点，且，若，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分．若只有2个正确选项，每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分． 9. 设一组样本数据满足，则（ ） A. 拿走，这组数据方差变大 B. 拿走，这组数据的方差变大 C. 拿走，这组数据的方差减小 D. 拿走，这组数据的方差减小 10. 若函数的图象上至少存在两个不同的点P，Q，使得曲线在这两点处的切线垂直，则称函数为“垂切函数”．下列函数中为“垂切函数”的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知、是椭圆的左、右两个顶点，为右焦点，、是椭圆上异于、的任意两点，为坐标原点，则（ ） A. 直线、的斜率之积为 B. 若直线过点，则直线、的斜率之积为 C. 若直线过点，则直线、的斜率之积为 D. 若三角形的面积为，则直线、的斜率之积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡中的横线上． 12. 某中学举行数学解题比赛，其中7人的比赛成绩分别为：70，97，85，90，98，73，95，则这7人成绩的上四分位数与极差之和是________． 13. 在中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，已知，，则的内切圆半径r的最大值为__________. 14. 古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面上到两定点的距离之比为常数的点的轨迹是一个圆心在直线上的圆，该圆被称为阿氏圆.如图，在长方体中，，点在棱上，，动点满足，若点在平面内运动，则点对应的轨迹的面积是_______________；为的中点，则三棱锥体积的最小值为______________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某学校为提高学生对《红楼梦》的了解，举办了"我知红楼"知识竞赛，现从所有答卷卷面成绩中随机抽取100份作为样本，将样本数据（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，并作出如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中的值； （2）求样本数据的第62百分位数所在区间的组中值； （3）若落在中样本数据平均数是52，方差是6；落在中的样本数据平均数是64，方差是3，求这两组数据的总平均数和方差. 16. 已知a，b，c是中三内角A，B，所对的边，设面积为，，． （1）求角A的值; （2）若的面积为，求的周长． 17. 在多面体中，已知，，且，． （1）证明：平面平面； （2）求直线与平面所成角正弦值． 18. 在数列中，，都有，，成等差数列，且公差为. （1）求，，，； （2）求数列的通项公式； （3）是否存在，使得，，，成等比数列.若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 19. 已知双曲线C：（，）的两个焦点是，，顶点，点M是双曲线C上一个动点，且的最小值是. （1）求双曲线C的方程； （2）设点P是y轴上异于C的顶点和坐标原点O的一个定点，直线l过点P且平行于x轴，直线m过点P且与双曲线C交于B，D两点，直线AB，AD分别与直线l交于G，H两点.若O，A，G，H四点共圆，求点P的坐标. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 广大附中2024—2025学年高二（下）第一次月考 数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，则“为纯虚数”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分不必要条件的定义及复数的相关概念可确定选项. 【详解】当为纯虚数时，设，则， ∴. 当时，可取，则为纯虚数不成立. 综上得，“为纯虚数”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 2. 已知是定义在上的奇函数，若为偶函数且，则（ ） A. 3 B. C. D. 0 【答案】D 【解析】 【分析】由为奇函数可得，再结合为偶函数，可得，从而可得，得周期，然后利用周期化简计算即可. 【详解】因为是定义在上的奇函数，所以，， 所以有， 由为偶函数可得， 故有，， 即，， 故，所以周期，且. 故 . 答案：D 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用平方和公式和二倍角公式化简即可得出答案. 【详解】因为，所以，所以同号，即，从而， 所以． 故选：C. 4. 已知向量，则向量在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用数量积的性质得到，然后求投影向量即可. 【详解】由，得，由， 得，则， 因此，在上的投影向量为. 故选：D. 5. 设数列的前项之积为，满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知递推式可得数列是等差数列，从而可得，进而可得的值． 【详解】由，得，即，解得， 当时，，显然，则， 因此数列是首项为，公差为2的等差数列，， 则，所以. 故选：C 6. 若、都有恒成立，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】推导出，，将代入各选项中的代数式，利用基本不等式逐项判断即可. 【详解】显然不满足等式，所以，，则， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立，故，A对B错； ， 当且仅当时，即当时，等号成立，即，CD都错. 故选：A. 7. 在四面体中，，且与所成的角为.若该四面体的体积为，则它的外接球半径的最小值为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】将四面体补形为直三棱柱，设，由可得，在中，由勾股定理可得，利用余弦定理和基本不等式求解. 【详解】依题意，可将四面体补形为如图所示的直三棱柱. 因为与所成的角为，所以或. 设，外接球半径记为，外接球的球心如图点. 易知平面，所以点到平面的距离等于点到平面的距离， 于是，所以. 在中，， 在中，由余弦定理得， 显然当时，外接球的半径会更小，此时， 所以， 所以，故它的外接球半径的最小值为2. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题关键是将四面体补形为直三棱柱，转化为求直三棱柱外接球半径的最小值. 8. 已知双曲线的两焦点分别为、，过右焦点作直线交右支于、点，且，若，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】令，可得出，，  由双曲线的定义可得出、，在中，利用余弦定理可出，可得出、，然后在中利用余弦定理可求得该双曲线的离心率的值. 【详解】令，由，得，，   由双曲线定义，， 在中，， 由余弦定理可得， 得，整理得， 解得，所以，，． 由余弦定理， 得， 整理得，则． 故选：D. 【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下： （1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值； （2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解； （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分．若只有2个正确选项，每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分． 9. 设一组样本数据满足，则（ ） A. 拿走，这组数据的方差变大 B. 拿走，这组数据的方差变大 C. 拿走，这组数据的方差减小 D. 拿走，这组数据的方差减小 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，直接证明即可；对于B，C，构造反例即可；对于D可直接用拿走后的方差为零说明结论. 【详解】熟知对一组数据，其方差等于各个数据的平方的算术平均值与算术平均值的平方之差，即. 将拿走前后的方差分别记为. 对于A，给五个元素同时加上或减去同一个数，不影响方差，所以可以适当平移，使得剩下的4个元素：的平均值为0， 不妨设，则，，所以. 故 ， 所以A正确； 对于B，考虑，则，，所以B错误； 对于C，考虑，则，，所以C错误； 对于D，由于这组数据不全相等，所以，而，所以D正确. 故选：AD. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于方差的计算. 10. 若函数的图象上至少存在两个不同的点P，Q，使得曲线在这两点处的切线垂直，则称函数为“垂切函数”．下列函数中为“垂切函数”的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由题意可知,导函数中至少存在两个点,它们的函数值相乘为,才可能是“垂切函数”,求导相乘,逐项判断即可. 【详解】存在,,使成立,A正确． 不存在,,使成立,B错误． ,存在,使得成立,C正确． 存在,，使成立,D正确, 故选:ACD. 11. 已知、是椭圆的左、右两个顶点，为右焦点，、是椭圆上异于、的任意两点，为坐标原点，则（ ） A. 直线、的斜率之积为 B. 若直线过点，则直线、的斜率之积为 C. 若直线过点，则直线、的斜率之积为 D. 若三角形的面积为，则直线、的斜率之积为 【答案】AB 【解析】 【分析】求出、、的值，利用斜率公式以及椭圆方程可判断A选项；利用韦达定理结合斜率公式可判断BC选项；设直线、的斜率分别为、，则、，将直线的方程与椭圆方程联立，求出以及点到直线的距离，利用三角形的面积公式化简得出的值，可判断D选项. 【详解】在椭圆中，，，则， 所以，、、，设点、，则， 所以，，其中， 对于A选项，，A对； 对于B选项，由题意可知，直线不与轴重合，设直线的方程为， 联立可得， ， 由韦达定理可得，， 所以， ，B对； 对于C选项，当直线过点时， ，C错； 对于D选项，设直线、的斜率分别为、，则、， 联立可得，则， 点到直线的距离为， ， 整理可得，即，解得，D错. 故选：AB. 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡中的横线上． 12. 某中学举行数学解题比赛，其中7人的比赛成绩分别为：70，97，85，90，98，73，95，则这7人成绩的上四分位数与极差之和是________． 【答案】125 【解析】 【分析】根据百分位数、极差定义求上四分位数与极差，即可得答案. 【详解】将7个数据从小到大排列为70，73，85，90，95，97，98， 因为，所以这7人成绩的上四分位数是97，极差为， 故上四分位数与极差之和是． 故答案为：125 13. 在中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，已知，，则的内切圆半径r的最大值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题设利用正弦定理、余弦定理得到及，再根据 得到，化简变形并运用基本不等式即可求得其最大值. 【详解】已知，由正弦定理可得， 又，可求得，， 利用余弦定理，可得， 所以， 又三角形面积， 又，所以， 故，当且仅当时等号成立， 所以的内切圆半径r的最大值为 故答案为： 14. 古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面上到两定点的距离之比为常数的点的轨迹是一个圆心在直线上的圆，该圆被称为阿氏圆.如图，在长方体中，，点在棱上，，动点满足，若点在平面内运动，则点对应的轨迹的面积是_______________；为的中点，则三棱锥体积的最小值为______________. 【答案】 ①. ； ②. ． 【解析】 【分析】以为原点，为轴建立如图所示的空间直角坐标系，用坐标表示两点间距离转化后可得轨迹方程，从而得轨迹求得面积，利用空间向量法求得点到平面的距离，并结合平面上圆的性质求得距离的最小值，从而得棱锥体积最小值． 【详解】如图，以为原点，为轴建立空间直角坐标系，则 ，，，，，，，， 在平面内， 设，则由得， 化简得， 所以点轨迹是以为圆心，为半径的圆，面积为， 在长方体中，，， ， 设平面的一个法向量是， 则，取得， ， 到平面的距离为， 满足， 所以的最小值等于， 从而到平面的距离的最小值为， ∴三棱锥体积的最小值为． 故答案为：；． 【点睛】方法点睛：在涉及到空间两点间的距离问题时，如果与长方体、正方体有关的图形时，可以建立空间直角坐标系，利用空间向量法（把平面解析几何法类比于空间解析几何法）求空间的距离、角度．把几何问题用计算方法求解． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某学校为提高学生对《红楼梦》的了解，举办了"我知红楼"知识竞赛，现从所有答卷卷面成绩中随机抽取100份作为样本，将样本数据（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，并作出如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中的值； （2）求样本数据的第62百分位数所在区间的组中值； （3）若落在中的样本数据平均数是52，方差是6；落在中的样本数据平均数是64，方差是3，求这两组数据的总平均数和方差. 【答案】（1）0.030 （2）75 （3）， 【解析】 【分析】（1）根据每组小矩形的面积之和为1列式即可求解；（2）由频率分布直方图求第百分位数的计算公式即可求解；（3）利用分层抽样的平均数和方差的计算公式即可求解. 【小问1详解】 由， 解得； 【小问2详解】 因为， ， 所以样本数据的第62百分位数在内，所在区间的组中值为； 【小问3详解】 样本数据落在的个数为， 落在个数为， ， 总方差. 16. 已知a，b，c是中三内角A，B，所对的边，设面积为，，． （1）求角A的值; （2）若的面积为，求的周长． 【答案】（1）；（2）6. 【解析】 【分析】（1）由三角形面积公式和余弦定理进行边角互化可得，从而求出角；（2）由三角形的面积可解出，结合余弦定理可求出，从而求出周长. 【详解】（1）由得，又， 得， ，． （2）因为三角形的面积为，所以，则， 又，，由余弦定理可得， 即，所以， 因此的周长为． 17. 在多面体中，已知，，且，． （1）证明：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）先作辅助线，证得，结合，再根据线面垂直的判断定理，以及面面垂直的判断定理，即可求证． （2）根据已知条件，通过线面位置关系，可得就是直线与平面所成的角，分别求出，的值，即可求解． 【小问1详解】 如图，分别取，的中点、，连接、、，则且， 因为且， 所以且 则四边形为平行四边形，所以且， 因为，所以， 所以， 又因，所以， 又因为，、平面， 所以平面， 又因为平面， 所以平面平面． 【小问2详解】 取的中点为，的中点为，连接，，，如图所示， 因为，所以， 在等腰梯形中，易得， 又因为，、平面， 所以平面， 因为平面， 所以平面平面， 过作于点，由平面平面，平面， 则平面， 连接，则就是直线与平面所成的角， 因为平面，所以， 由，，得，，是中点，， 在等腰梯形中，， 所以在等腰中，腰上的高， 又因为， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 18. 在数列中，，都有，，成等差数列，且公差为. （1）求，，，； （2）求数列通项公式； （3）是否存在，使得，，，成等比数列.若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1）3；5；9；13 （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）根据，，成等差数列，公差为2；，，成等差数列，公差为4求解即可； （2）由题意，，再分与两种情况求解即可； （3）根据等比中项的性质，结合通项公式求解即可. 【小问1详解】 由题意，，，成等差数列，公差为2；，，成等差数列，公差为4. 则，，，. 小问2详解】 由题意，. 当，时， ， 且满足上式，所以当为奇数时，. 当时，. 所以 【小问3详解】 存在时，使得，，，成等比数列 证明如下： 由（2）可得，，， 假设，，成等比数列， 则， 化简得，所以，即， 此时，所以当时，，，，成等比数列. 19. 已知双曲线C：（，）的两个焦点是，，顶点，点M是双曲线C上一个动点，且的最小值是. （1）求双曲线C的方程； （2）设点P是y轴上异于C的顶点和坐标原点O的一个定点，直线l过点P且平行于x轴，直线m过点P且与双曲线C交于B，D两点，直线AB，AD分别与直线l交于G，H两点.若O，A，G，H四点共圆，求点P的坐标. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）法一：由顶点可得，根据双曲线方程可得解得，进而可得方程；法二：由顶点可得，根据双曲线定义分析可得解得，进而可得方程； （2）法一：设点，直线：，直线：，，，，联立方程直线利用韦达定理结合分析求解；法二：由结合双曲线的方程可得，，联立求解即可. 【小问1详解】 （法一）已知双曲线方程是（，）， 由顶点得，所以， 设点，，，， 所以， 当且仅当时取等号，故的最小值为， 所以，所以，， 故双曲线：. （法二）. 当且仅当时取等号，故的最小值为， 所以，所以，， 故双曲线：. 【小问2详解】 （法一）设点，，，则直线：， 设直线的方程为，，设点，， 联立，消去得， 其中，，，（*）， 设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，所以或， 故直线的斜率与直线的斜率满足. 因为直线的方程是，所以， 所以， 且， 所以， 将（*）代入，整理得到，解得或（舍），所以. （法二）同法一可知直线的斜率与直线的斜率满足， 又，则，所以， 设直线的方程是，将点代入直线， 得到①， 又双曲线的方程可化为， 由 得， 设，则， 直线和直线的斜率是该方程的两个根， 所以，所以②， 联立①②，得到，所以. 【点睛】方法点睛：与端点相关问题的解法 解决与弦端点有关的向量关系、位置关系等问题的一般方法，就是将其转化为端点的坐标关系，再根据联立消元后的一元二次方程根与系数的大小关系，构建方程（组）求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$