第2章 专题特训(五) 二元一次方程组的实际应用-【拔尖特训】2024-2025学年新教材七年级下册数学（浙教版2024）

已知两个方程组同解,求 字母常数的值的方法 第一步:将不含字母常数的两 个方程联立组成方程组,求出方程 组的解; 第二步:将方程组的解代入含 字母常数的方程,得到关于字母常 数的方程(组),即可求出字母常数 的值. 9. (1) 记 5x+3y=2m-1①, x-y=-m+2②. ①-②,得4x+4y=3m-3. 又因为x+y=3, 所以4x+4y=12. 所以3m-3=12,解得m=5. 所以m的值为5. (2) 把 m =5代入原方程组,得 5x+3y=9①, x-y=-3②. ①+②×3,得8x=0,解得x=0. 把x=0代入②,得0-y=-3,解得 y=3. 所以此方程组的解为 x=0, y=3. 已知方程组的解适合另一个 方程,求字母的值的方法 方法一:把方程组中的字母看 成已知数,先用含字母的式子把方 程组的解表示出来,再代入另一个 方程,得到关于字母的一元一次方 程,解方程即可. 方法二:由方程组中的两个方 程消去字母,结合另一个方程求出 x,y的值,进而求得字母的值. 10. -16 [解析] 因为1*2=4, (-2)*3=10,所以 a+2b-1=4, -2a+3b-1=10, 即 a+2b=5①, -2a+3b=11②. ① + ②,得 -a+5b=16.所以a-5b=-16. 11. 因为4*(-1)=5,1*2=8, 所以 根 据 “*”的 运 算 法 则,得 4m-n+1=5①, m+2n+1=8②. ①×2+②,得9m+3=18,解得 m=53. 把m=53 代入①,得203-n+1=5 ,解 得n=83. 所以 m=53 , n=83. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 又因为5 3< 8 3 ,即m<n, 所以m◆n=53× 8 3= 40 9. 12. (1) 由题意,得 m-1=2, n 2+1=-4 , 解 得 m=3, n=-10. 所以2m-n=16≠6. 所以(2,-4)不是“和谐数对”. (2) 记 x+y=6①, x-y=2a②. ①+②,得2x=2a+6,解得x= a+3. 把x=a+3代入①,得y=3-a. 由 题 意, 得 m-1=a+3, n 2+1=3-a , 解得 m=a+4, n=4-2a. 当(x,y)为“和谐数对”时,2m-n= 2a+8-4+2a=6,解得a=12. 所以当a=12 时,(x,y)为“和谐数对”. 专题特训（五）　二元一次 方程组的实际应用 1. (1) 180;x8 ;y 12 ;甲工程队工作的 天数;乙工程队工作的天数. (2) 选择小明同学的解题思路: 设甲工程队整治河道x米,乙工程队 整治河道y米. 根据题意,得 x+y=180, x 8+ y 12=20 , 解得 x=120, y=60. 所以甲工程队整治河道120米,乙工 程队整治河道60米. 选择小华同学的解题思路: 设m表示甲工程队工作的天数,n表 示乙工程队工作的天数. 根据题意,得 m+n=20, 8m+12n=180, 解得 m=15, n=5. 所以8m=8×15=120,12n=12× 5=60. 所以甲工程队整治河道120米,乙工 程队整治河道60米. 2. (1) 设甲种多肉每株的价格是 x元,乙种多肉每株的价格是y元. 根据题意,得 5x+y=38, 2x+3y=36, 解得x=6 , y=8. 所以甲种多肉每株的价格是6元,乙 种多肉每株的价格是8元. (2) ① 由(1)并根据题意,得6m+ 8n=120. 所以8n=120-6m. 所以n=15-34m. ② 因为n=15-34m ,m≥1,n≥1,且 m,n均为偶数, 所以m为4的倍数. 当m=4时,n=12,符合题意;当m= 8时,n=9,不符合题意;当m=12 时,n=6,符合题意;当m=16时,n= 3,不符合题意. 所以 m=4, n=12 或 m=12 , n=6. 所以共有2种方案,方案一:购买4株 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 91 甲种多肉,12株乙种多肉;方案二:购 买12株甲种多肉,6株乙种多肉. 因为方案一购买的数量为4+12= 16(株),方案二购买的数量为12+ 6=18(株),16<18, 所以购买的总数量最多的方案为购买 12株甲种多肉,6株乙种多肉. 3. (1) 设A商品的单价是x元,B商 品的单价是y元,则C商品的单价是 (x+y)元. 根据题意,得 3x+2y+4(x+y)=160, 2x+5y+3(x+y)=170, 解得 x=10, y=15. 所以x+y=10+15=25. 所以A 商品的单价是10元,B 商品 的单价是15元,C 商品的单价是 25元. (2) 设购买a个A商品,b个B商品, 则购买2a个C商品. ① 根据题意,得10a+15b+25× 2a=270. 所以b=18-4a. 所以k=a+b+2a=-a+18. 又因为a为正整数, 所以当a=1时,k取得最大值,最大 值=-1×1+18=17. 所以k的最大值为17. ② 因为优先赠送A商品, 所以购买2a 个C 商品,可以先送 a个A 商品,即A 商品不需要购买, 然后送2a-a=a(个)B商品,即只需 要购买(b-a)个B商品. 因为270÷25=10.8(个), 所以b-a≥1. 根据题意,得15(b-a)+25×2a= 270. 整理,得15b+35a=270. 所以b=18-73a. 又因为a,b均为正整数, 所以a为3的倍数. 当a=3时,b=11,此时b-a=11- 3=8,符合题意; 当a=6时,b=4,此时b-a=4-6< 1,不符合题意. 所以 a=3, b=11. 所以k=a+b+2a=3+11+2× 3=20. 所以k的值为20. 4. (1) 根据题意,得 16(a+0.9)=43.2①, 17(a+0.9)+8(b+0.9)=75.5②, 解得 a=1.8, b=2.8. (2) 设小王家9月用水x吨. 因为1.8+0.9=2.7(元/吨),2.8+ 0.9=3.7(元/吨),6.0+0.9= 6.9(元/吨), 所以月用水17吨需缴水费2.7× 17=45.9(元),月用水30吨需缴水费 45.9+(30-17)×3.7=94(元). 因为156.1>94, 所以小王家9月的用水量超过了 30吨,即x>30. 根据题意,得94+(x-30)×6.9= 156.1,解得x=39. 所以小王家9月用水39吨. (3) 设小王家11月用水y 吨,则 10月用水(50-y)吨. 因为10,11月两个月共用水50吨, 10月用水超过30吨, 所以11月用水少于30吨. 所以分两种情况: ① 当y≤17时,2.7y+94+(50- y-30)×6.9=215.8-30,解得 y=11. ② 当17<y<30时,45.9+(y- 17)×3.7+94+(50-30-y)× 6.9=215.8-30,解得y=9.125 (舍去). 所以小王家11月用水11吨. 第2章复习 ［知识体系构建］ 各个方程的解 解二元一次方程组 解一元一次方程 ［高频考点突破］ 典例1 -1 [跟踪训练] 1. 8 典例2 A [解析] 把 x=-2, y=m 代入 方程2nx+5y=4,得-4n+5m=4, 所以m-45n= 4 5. 所以3m-3× 4 5n= 4 5×3 ,即3m-125n= 12 5. 所以 3m-125n+ 3 5= 12 5+ 3 5=3. [跟踪训练] 2. 7 [解析] 把 x=2, y=-1 分别代入方程3x-2y=2m 和5x+y=3n,得6+2=2m,10- 1=3n,解得m=4,n=3,则m+n= 4+3=7. 典例3 (1) 方法1: 记 x+2y=-4①, x-y=5②. 由②,得x=5+y③. 把③代入①,得5+y+2y=-4,解得 y=-3. 把y=-3代入③,得x=2. 所以方程组的解是 x=2, y=-3. 方法2:记 x+2y=-4①, x-y=5②. ①-②,得3y=-9,解得y=-3. 把y=-3代入②,得x=2. 所以方程组的解是 x=2, y=-3. (2) 将 方 程 组 整 理 为 5x+2y=63①, -x+5y=9②. ②×5,得-5x+25y=45③. ①+③,得27y=108,解得y=4. 把y=4代入②,得x=11. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 02 46 　　专题特训（五）　二元一次方程组的实际应用 ▶ “答案与解析”见P19 类型一 信息补全问题 1. 有一段长为180米的河道整治任务由甲、乙 两支工程队先后接力完成,甲工程队每天整 治8米,乙工程队每天整治12米,共用时 20天.甲、乙两支工程队分别整治河道多 少米? (1) 小明、小华两名同学提出的解题思路 如下: 小明同学:设甲工程队整治河道x米,乙工程 队整治河道y米. 根据题意,得 x+y= , + =20. 小华同学:设m表示 ,n表示 . 根据题意,得 m+n=20, 8m+12n=180. 请你补全小明、小华两名同学的解题思路. (2) 请从(1)中任选一个解题思路写出完整 的解答过程. 类型二 方案设计类问题 2. 某班级同学打算购入多肉为教室增 添绿色气息.该班同学在市场上了 解到甲、乙两种多肉的价格和大小 都比较合适,现有如下信息: 信息1:购买5株甲种多肉和1株乙种多肉共 需38元. 信息2:购买2株甲种多肉和3株乙种多肉共 需36元. (1) 甲、乙两种多肉每株的价格分别是多 少元? (2) 若该班同学购买多肉共花费120元,设 甲、乙两种多肉分别购买m 株,n株(m≥1, n≥1). ① 用含m的代数式表示n. ② 若m,n均为偶数,求出所有满足条件的 购买方案,并指出哪种方案购买的总数量 最多. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(浙教版)七年级下 47 类型三 营销问题 3. (2023·温州苍南期中)小聪到某超市购买 A,B,C三种商品,其中A,B两种商品的单 价之和恰好等于C商品的单价,小聪前两次 购买的商品的数量和总费用如下表: 购买 次序 A商品的 数量/个 B商品的 数量/个 C商品的 数量/个 总费 用/元 第一次 3 2 4 160 第二次 2 5 3 170 (1) 求A,B,C三种商品的单价. (2) 若小聪第三次需要购买A,B,C三种商 品共k个(每种商品至少购买1个),其中 C商品的数量是A 商品数量的2倍,恰好花 了270元. ① 求k的最大值. ② 若小聪在第三次购买A,B,C三种商品时 正好遇上“买一送一”的促销活动,即购买一 个C商品赠送一个A商品或一个B商品(优 先赠送A商品),求k的值. 类型四 分段计费问题 4. (2023·遵义余庆期末)为了鼓励市 民节约用水,某市居民生活用水按 阶梯式水价计费.下表是该市“一户 一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息 (说明:① 每户生产的污水量等于该户自来水 用量;② 水费=自来水费+污水处理费): 每户每月的用水量 自来水的销售 价格/(元/吨) 污水的处理 价格/(元/吨) 17吨及以下 a 0.9 超过17吨但不超 过30吨的部分 b 0.9 超过30吨的部分 6.0 0.9 已知小王家7月用水16吨,缴水费43.2元; 8月用水25吨,缴水费75.5元. (1) 求a,b的值. (2) 如果小王家9月缴水费156.1元,那么小 王家9月用水多少吨? (3) 小王家10月忘了去缴水费,当小王11月 去缴水费时发现两个月一共用水50吨,其中 10月用水超过30吨,一共缴水费215.8元, 包含30元滞纳金.求小王家11月用水多少 吨(滞纳金:因未能按期缴纳水费,逾期要缴 纳的“罚款金额”). 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第2章　二元一次方程组