第2章 专题特训(四) 含字母系数”的二元一次方程(组)的有关问题-【拔尖特训】2024-2025学年新教材七年级下册数学（浙教版2024）

44 　　　 专题特训（四）　“含字母系数”的二元一次 方程（组）的有关问题 ▶ “答案与解析”见P18 类型一 利用二元一次方程的定义构造二元一次 方程组 1. (2024·金华东阳期中)若2xm-n-2y3n-m+ 11=0是二元一次方程,则 ( ) A. m=1,n=2 B. m=2,n=1 C. m=-1,n=2 D. m=3,n=4 2. 若方程x2a-b-3ya+b=2是关于x,y的二元 一次方程,则a-b= . 类型二 利用二元一次方程的解的意义构造二元 一次方程 3. 小明在解题时发现二元一次方程 □x-y= 3中,x的系数已经模糊不清(用“□”表示), 但查看答案发现 x=-2, y=5 是这个方程的一组 解,则“□”表示的数为 . 类型三 利用二元一次方程组的解的意义构造 二元一次方程组 4. (2023·沈阳和平期末)已知 x=2, y=3 是二元一 次方程组 mx+ny=28, mx-ny=4 的解,则6m+4n的 立方根为 ( ) A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 5. 已知方程2x+(1+m)y=-1与方程nx- y=1有一组相同的解 x=-2, y=1, 求(m+ n)2025的值. 类型四 二元一次方程组的错解问题 6. 甲、乙两人同时解关于x,y 的方程组 mx+y=5①, 2x-ny=13②, 甲解题时看错了①中的m, 解得 x=72 , y=-2, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 乙解题时看错了②中的n,解 得 x=3, y=-7, 试求原方程组的解. 类型五 利用相同解的方程组构造二元一次 方程组 7. (1) 解 二 元 一 次 方 程 组: x+2y=4, x-3y=9. (2) 若关于x,y 的方程组 ax+by=5, ax-3by=9 与 (1)中的方程组有相同的解,求(a-3b+ 1)a+10的值. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(浙教版)七年级下 45 8. ★(2023·揭阳榕城期末改编)已知关于x,y 的方程组 4x-y=-5, ax+by=-1 和3x+y=-9 , 3ax+4by=18 有 相同的解,求a,b的值以及 a+b的算术平 方根. 类型六 二元一次方程组的解适合第三个方程 9. ★(2023·泉州南安期中)已知关于x,y的方 程组 5x+3y=2m-1, x-y=-m+2 的解满足x+y= 3.求: (1) m的值. (2) 此方程组的解. 类型七 根据新运算的定义构造二元一次方程 10. (2023·鞍山千山期中改编)对于实数x,y, 定义新运算“*”:x*y=ax+by-1,其中 a,b是常数.若1*2=4,(-2)*3=10,则 a-5b= . 11. 对于实数a,b,定义运算“◆”和“*”:a◆ b= a 2+b2(a≥b), ab(a<b), 例如4◆3,由4>3, 得4◆3= 42+32=5;x*y=mx+ny+ 1,m,n为常数.若4*(-1)=5,1*2=8, 求m◆n的值. 12. 当m,n都是实数,且满足2m- n=6时,我们就称 m-1,n2+ 1 为“和谐数对”. (1) 判断(2,-4)是否为“和谐数对”. (2) 已知关于x,y的方程组 x+y=6, x-y=2a, 当 a为何值时,(x,y)为“和谐数对”? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第2章　二元一次方程组 所以m的值为80,n的值为60. (2) 根据题意,得120x+90y=3600. 所以4x+3y=120. 由(1),可得售出1个A 款足球获利 120-80=40(元),售出1个B 款足 球获利90-60=30(元), 所以售出x个A款足球,y个B款足 球可获利40x+30y=10(4x+3y)= 10×120=1200(元). 所以该商场可获利1200元. (3) 设该日销售A 款足球a个,B款 足球b个. 根据题意,得(120-10-80)a+13× (90×3-60×3-10×2)b=600, 所以a=20-79b. 因为a,b均为正整数, 所以b为9的倍数. 当b=9时,a=20-7=13;当b= 18时,a=20-14=6. 所以 a=13, b=9 或 a=6 , b=18. 所以该日销售A 款足球13个,B 款 足球9个或A款足球6个,B款足球 18个. 9. 设加工竖式纸箱m 个,加工横式 纸箱n个. 根据题意,得 m+2n=50①, 4m+3n=a②. 由①,得m=50-2n③. ①×4-②,得5n=200-a. 所以n=40-a5. 因为n,a为正整数, 所以a为5的倍数. 又因为120<a<136, 所以满足条件的a 的值为 125, 130,135. 当a=125时,n=15,把n=15代入 ③,得m=50-2×15=20. 此时的成本是300×20+200×15= 9000(元); 当a=130时,n=14,把n=14代入 ③,得m=50-2×14=22. 此时的成本是300×22+200×14= 9400(元); 当a=135时,n=13,把n=13代入 ③,得m=50-2×13=24. 此时的成本是300×24+200×13= 9800(元). 因为9000<9400<9800, 所以当a=15时成本最低,最低成本 是9000元. 专题特训（四）　“含字母 系数”的二元一次方程（组）的 有关问题 1. B 2. 1 3 3. -4 4. B [解析] 因为 x=2, y=3 是二元一 次方程组 mx+ny=28, mx-ny=4 的解,所以 2m+3n=28①, 2m-3n=4②. ①+②,得4m=32, 解得m=8.把m=8代入①,得2× 8+3n=28,解得n=4.所以 m=8, n=4. 所以6m+4n=6×8+4×4=48+ 16=64.因为64的立方根为 364=4, 所以6m+4n的立方根为4. 5. 把 x=-2, y=1 分别代入2x+(1+ m)y = -1 和 nx -y =1,得 -4+1+m=-1, -2n-1=1, 解得 m=2 , n=-1. 所以(m+n)2025=(2-1)2025=1. 6. 把 x=72 , y=-2 代入②,得7+2n=13, 解得n=3. 把 x=3, y=-7 代入①,得3m-7=5,解 得m=4. 把 m=4, n=3 代 入 原 方 程 组,得 4x+y=5, 2x-3y=13, 解得 x=2 , y=-3. 7. (1) 记 x+2y=4①, x-3y=9②. ①-②,得5y=-5,解得y=-1. 把y=-1代入①,得x=6. 所以方程组的解为 x=6, y=-1. (2) 把 x=6, y=-1 代入 ax+by=5 , ax-3by=9, 得 6a-b=5, 6a+3b=9, 解得 a=1 , b=1. 所以(a-3b+1)a+10=(1-3+ 1)1+10=(-1)11=-1. 8. 记 4x-y=-5①, 3x+y=-9②. ①+②,得7x=-14,解得x=-2. 把x=-2代入①,得-8-y=-5, 解得y=-3. 所以 x=-2, y=-3. 根据题意,得方程组 4x-y=-5, 3x+y=-9 和 ax+by=-1, 3ax+4by=18 有相同的解. 所以 -2a-3b=-1, -6a-12b=18, 即 -2a-3b=-1③, a+2b=-3④. ③+④×2,得b=-7. 把b= -7 代入 ④,得 a+2× (-7)=-3,解得a=11. 所以 a=11, b=-7. 所以a+b=4. 所以 a+b=2. 因为2的算术平方根是2, 所以 a+b的算术平方根是2. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 81 已知两个方程组同解,求 字母常数的值的方法 第一步:将不含字母常数的两 个方程联立组成方程组,求出方程 组的解; 第二步:将方程组的解代入含 字母常数的方程,得到关于字母常 数的方程(组),即可求出字母常数 的值. 9. (1) 记 5x+3y=2m-1①, x-y=-m+2②. ①-②,得4x+4y=3m-3. 又因为x+y=3, 所以4x+4y=12. 所以3m-3=12,解得m=5. 所以m的值为5. (2) 把 m =5代入原方程组,得 5x+3y=9①, x-y=-3②. ①+②×3,得8x=0,解得x=0. 把x=0代入②,得0-y=-3,解得 y=3. 所以此方程组的解为 x=0, y=3. 已知方程组的解适合另一个 方程,求字母的值的方法 方法一:把方程组中的字母看 成已知数,先用含字母的式子把方 程组的解表示出来,再代入另一个 方程,得到关于字母的一元一次方 程,解方程即可. 方法二:由方程组中的两个方 程消去字母,结合另一个方程求出 x,y的值,进而求得字母的值. 10. -16 [解析] 因为1*2=4, (-2)*3=10,所以 a+2b-1=4, -2a+3b-1=10, 即 a+2b=5①, -2a+3b=11②. ① + ②,得 -a+5b=16.所以a-5b=-16. 11. 因为4*(-1)=5,1*2=8, 所以 根 据 “*”的 运 算 法 则,得 4m-n+1=5①, m+2n+1=8②. ①×2+②,得9m+3=18,解得 m=53. 把m=53 代入①,得203-n+1=5 ,解 得n=83. 所以 m=53 , n=83. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 又因为5 3< 8 3 ,即m<n, 所以m◆n=53× 8 3= 40 9. 12. (1) 由题意,得 m-1=2, n 2+1=-4 , 解 得 m=3, n=-10. 所以2m-n=16≠6. 所以(2,-4)不是“和谐数对”. (2) 记 x+y=6①, x-y=2a②. ①+②,得2x=2a+6,解得x= a+3. 把x=a+3代入①,得y=3-a. 由 题 意, 得 m-1=a+3, n 2+1=3-a , 解得 m=a+4, n=4-2a. 当(x,y)为“和谐数对”时,2m-n= 2a+8-4+2a=6,解得a=12. 所以当a=12 时,(x,y)为“和谐数对”. 专题特训（五）　二元一次 方程组的实际应用 1. (1) 180;x8 ;y 12 ;甲工程队工作的 天数;乙工程队工作的天数. (2) 选择小明同学的解题思路: 设甲工程队整治河道x米,乙工程队 整治河道y米. 根据题意,得 x+y=180, x 8+ y 12=20 , 解得 x=120, y=60. 所以甲工程队整治河道120米,乙工 程队整治河道60米. 选择小华同学的解题思路: 设m表示甲工程队工作的天数,n表 示乙工程队工作的天数. 根据题意,得 m+n=20, 8m+12n=180, 解得 m=15, n=5. 所以8m=8×15=120,12n=12× 5=60. 所以甲工程队整治河道120米,乙工 程队整治河道60米. 2. (1) 设甲种多肉每株的价格是 x元,乙种多肉每株的价格是y元. 根据题意,得 5x+y=38, 2x+3y=36, 解得x=6 , y=8. 所以甲种多肉每株的价格是6元,乙 种多肉每株的价格是8元. (2) ① 由(1)并根据题意,得6m+ 8n=120. 所以8n=120-6m. 所以n=15-34m. ② 因为n=15-34m ,m≥1,n≥1,且 m,n均为偶数, 所以m为4的倍数. 当m=4时,n=12,符合题意;当m= 8时,n=9,不符合题意;当m=12 时,n=6,符合题意;当m=16时,n= 3,不符合题意. 所以 m=4, n=12 或 m=12 , n=6. 所以共有2种方案,方案一:购买4株 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 91