第2章 专题特训(三) 二元一次方程(组)的特殊解及其应用-【拔尖特训】2024-2025学年新教材七年级下册数学（浙教版2024）

42 　　　 专题特训（三）　二元一次方程（组）的 特殊解及其应用 ▶ “答案与解析”见P17 类型一 二元一次方程的特殊解 1. 二元一次方程x+2y=10的正整数解共有 ( ) A. 3组 B. 4组 C. 5组 D. 6组 2. 写出一个关于x,y的二元一次方程,使它的 自然数解有且仅有三个,这个方程可以是 . 3. 若 x=4+3t, y=4-2t 是一个二元一次方程的一组 解,写出符合题意的二元一次方程,并写出这 个方程的所有正整数解. 类型二 二元一次方程组的特殊解 4. 已 知 关 于 x,y 的 二 元 一 次 方 程 组 5x+y=16, 4x-y=9-k 有正整数解,则k 的值为 . 5. 已 知 关 于 x,y 的 二 元 一 次 方 程 组 x+2y-6=0, x-2y+mx+5=0. (1) 请直接写出方程x+2y-6=0的所有正 整数解. (2) 若方程组的解满足x+y=0,求m的值. (3) 无论实数m取何值,方程x-2y+mx+ 5=0总有一组固定的解,请求出这个解. 类型三 二元一次方程的特殊解的实际应用 6. (2024·龙东地区)某班开展了主题为“书香 满校园”的读书活动.班级决定为在活动中表 现突出的同学购买笔记本和碳素笔进行奖励 (两种奖品都买).其中笔记本每本3元,碳素 笔每支2元,共花费28元,则购买方案有 ( ) A. 5种 B. 4种 C. 3种 D. 2种 7. (2023·北京朝阳一模)一个33人的旅游团 到一家酒店住宿,酒店的客房只剩下4间单 人间和若干间三人间,住宿价格是单人间每 晚100元,三人间每晚130元(说明:男士只 能与男士同住,女士只能与女士同住,三人间 客房可以不住满,但每间每晚仍需支付 130元). (1) 若该旅游团一晚的住宿房费为1530元, 则他们租住了 间单人间. (2) 若该旅游团租住了3间单人间,且共有 19名男士,则租住一晚的住宿房费最少为 元. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(浙教版)七年级下 43 8. 某体育用品商场销售A,B两款足球,售价和 进价如下表: 类 型 进价/(元/个) 售价/(元/个) A款 m 120 B款 n 90 若该商场购进10个A 款足球和 20个B 款足球需2000元;购进 20个A款足球和30个B款足球需 3400元. (1) 求m和n的值. (2) 某校在该商场一次性购买A款足球x个 和B款足球y个,共消费3600元,那么该商 场可获利多少元? (3) 为了提高销量,商场举办“买足球送跳 绳”的促销活动:买1个A 款足球送1根跳 绳,买3个B款足球送2根跳绳.每根跳绳的 成本为10元,某日售卖两款足球总计盈利 600元(统计购买B 款足球的个数为3的倍 数),那么该日销售A,B两款足球各多少个? 9. (2023·金华义乌期中改编)某工厂 承接了一批纸箱加工任务,用如图 ①所示的长方形和正方形纸板(长 方形的宽与正方形的边长相等)加工成如图 ②所示的竖式和横式两种无盖的长方体纸箱 (加工时接缝材料不计).该工厂某一天使用 的材料清单上显示,这天一共使用正方形纸 板50张,长方形纸板a张,全部加工成上述 两种纸箱,且120<a<136,一个竖式纸箱的 成本为300元,一个横式纸箱的成本为 200元,则关于这一天加工的两种纸箱,当a 取何值时成本最低,最低成本是多少元? (第9题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第2章　二元一次方程组 y+z=39.所以三人共有39元. 8. (1) 因为代数式ax2+bx+c,当 x=1和x=-3时,它的值都为5;当 x=-1时,它的值为1, 所以 a+b+c=5, 9a-3b+c=5, a-b+c=1, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得 a=1, b=2, c=2. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 (2) 由(1),得ax2+bx+c=x2+ 2x+2. 把x=-2代入,得原式=(-2)2+ 2×(-2)+2=2. 所以当x=-2时,代数式ax2+bx+ c的值为2. 9. 由题意,得 a+2b+c=9, -3a+3b+c=6, b+c=2, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得 a=2, b=5, c=-3. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 所以x􀱋y=2x+5y-3. 所以(-2)􀱋5=2×(-2)+5×5- 3=18. 10. 设甲组植树x棵,乙组植树y棵, 丙组植树z棵. 根据题意,可得 x+y+z=50, y= 1 4 (x+z), x=y+z, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 解得 x=25, y=10, z=15. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 所以甲组植树25棵,乙组植树10棵, 丙组植树15棵. 11. (1) 0;3. (2) 设按裁法一裁x块,按裁法二裁 y块,按裁法三裁z块. 根据题意,得 x+2y=48, 2x+3z=36, x+y+z=35, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得 x=6, y=21, z=8. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 所以按裁法一、裁法二和裁法三各裁 标准板材6块、21块和8块. 专题特训（三）　二元一次 方程（组）的特殊解及其应用 1. B 2. 答案不唯一,如x+y=2 3. 答案不唯一,如2x+3y=20. 这个 方 程 的 所 有 正 整 数 解 为 x=1, y=6, x=4 , y=4, x=7 , y=2. 4. 16或7或-2 [解析] 方程5x+ y=16的正整数解为 x=1, y=11, x=2 , y=6, x=3, y=1. 所以当x=1,y=11时,4× 1-11=9-k,解得k=16;当x=2, y=6时,4×2-6=9-k,解得k=7; 当x=3,y=1时,4×3-1=9-k,解 得k=-2.综上所述,k的值为16或 7或-2. 5. (1) x=2, y=2, x=4 , y=1. (2) 由题意,得 x+y=0, x+2y-6=0, 解得 x=-6, y=6. 把 x=-6, y=6 代入x-2y+mx+5= 0,解得m=-136. (3) 由题意,得(1+m)x-2y=-5. 因为无论实数m取何值,方程总有一 组固定的解, 所以当x=0时,y= 5 2. 所以这个解为 x=0, y= 5 2. 6. B [解析] 设购买笔记本x本,碳 素笔y 支.根据题意,得3x+2y= 28,所以y=14- 3 2x. 又因为x,y均 为正整数,所以14-32x 的值为正整 数.所以 x=2, y=11 或 x=4, y=8 或 x=6, y=5 或 x=8, y=2. 所以购买方案有4种. 7. (1) 1 [解析] 设该旅游团租住了 x间单人间,y间三人间.因为单人间 每晚100元,三人间每晚130元,所以 该旅游团一晚的单人间、三人间的住 宿房费分别为100x元、130y元.因为 该 旅 游 团 一 晚 的 住 宿 房 费 为 1530元,所以100x+130y=1530. 所以y= 153-10x 13 . 因为酒店的客房 只剩下4间单人间,所以x,y均为自 然数,且x≤4.当x=4时,y= 113 13= 8913 ,不合题意;当x=3时,y= 123 13=9 6 13 ,不合题意;当x=2时, y= 133 13=10 3 13 ,不合题意;当x= 1时,y= 143 13=11 ,符合题意;当x= 0时,y= 153 13=11 10 13 ,不合题意. 所以 x=1, y=11. 所以他们租住了1间单 人间. (2) 1600 [解析] 当租住的三人间 全部住满时,租住一晚的住宿房费最 少.因为有19名男士,所以女士有 33-19=14(名).因为19÷3= 6(间)……1(名),14÷3=4(间)…… 2(名),男女不能混住,所以租住一晚 的住宿房费最少的租住方案为租住的 3间单人间里面1间住男士,2间住女 士,另租住6+4=10(间)三人间,此 时租住一晚的住宿房费为100×3+ 130×10=1600(元),即租住一晚的 住宿房费最少为1600元. 8. (1) 根据题意,得 10m+20n=2000, 20m+30n=3400, 解得 m=80 , n=60. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 71 所以m的值为80,n的值为60. (2) 根据题意,得120x+90y=3600. 所以4x+3y=120. 由(1),可得售出1个A 款足球获利 120-80=40(元),售出1个B 款足 球获利90-60=30(元), 所以售出x个A款足球,y个B款足 球可获利40x+30y=10(4x+3y)= 10×120=1200(元). 所以该商场可获利1200元. (3) 设该日销售A 款足球a个,B款 足球b个. 根据题意,得(120-10-80)a+13× (90×3-60×3-10×2)b=600, 所以a=20-79b. 因为a,b均为正整数, 所以b为9的倍数. 当b=9时,a=20-7=13;当b= 18时,a=20-14=6. 所以 a=13, b=9 或 a=6 , b=18. 所以该日销售A 款足球13个,B 款 足球9个或A款足球6个,B款足球 18个. 9. 设加工竖式纸箱m 个,加工横式 纸箱n个. 根据题意,得 m+2n=50①, 4m+3n=a②. 由①,得m=50-2n③. ①×4-②,得5n=200-a. 所以n=40-a5. 因为n,a为正整数, 所以a为5的倍数. 又因为120<a<136, 所以满足条件的a 的值为 125, 130,135. 当a=125时,n=15,把n=15代入 ③,得m=50-2×15=20. 此时的成本是300×20+200×15= 9000(元); 当a=130时,n=14,把n=14代入 ③,得m=50-2×14=22. 此时的成本是300×22+200×14= 9400(元); 当a=135时,n=13,把n=13代入 ③,得m=50-2×13=24. 此时的成本是300×24+200×13= 9800(元). 因为9000<9400<9800, 所以当a=15时成本最低,最低成本 是9000元. 专题特训（四）　“含字母 系数”的二元一次方程（组）的 有关问题 1. B 2. 1 3 3. -4 4. B [解析] 因为 x=2, y=3 是二元一 次方程组 mx+ny=28, mx-ny=4 的解,所以 2m+3n=28①, 2m-3n=4②. ①+②,得4m=32, 解得m=8.把m=8代入①,得2× 8+3n=28,解得n=4.所以 m=8, n=4. 所以6m+4n=6×8+4×4=48+ 16=64.因为64的立方根为 364=4, 所以6m+4n的立方根为4. 5. 把 x=-2, y=1 分别代入2x+(1+ m)y = -1 和 nx -y =1,得 -4+1+m=-1, -2n-1=1, 解得 m=2 , n=-1. 所以(m+n)2025=(2-1)2025=1. 6. 把 x=72 , y=-2 代入②,得7+2n=13, 解得n=3. 把 x=3, y=-7 代入①,得3m-7=5,解 得m=4. 把 m=4, n=3 代 入 原 方 程 组,得 4x+y=5, 2x-3y=13, 解得 x=2 , y=-3. 7. (1) 记 x+2y=4①, x-3y=9②. ①-②,得5y=-5,解得y=-1. 把y=-1代入①,得x=6. 所以方程组的解为 x=6, y=-1. (2) 把 x=6, y=-1 代入 ax+by=5 , ax-3by=9, 得 6a-b=5, 6a+3b=9, 解得 a=1 , b=1. 所以(a-3b+1)a+10=(1-3+ 1)1+10=(-1)11=-1. 8. 记 4x-y=-5①, 3x+y=-9②. ①+②,得7x=-14,解得x=-2. 把x=-2代入①,得-8-y=-5, 解得y=-3. 所以 x=-2, y=-3. 根据题意,得方程组 4x-y=-5, 3x+y=-9 和 ax+by=-1, 3ax+4by=18 有相同的解. 所以 -2a-3b=-1, -6a-12b=18, 即 -2a-3b=-1③, a+2b=-3④. ③+④×2,得b=-7. 把b= -7 代入 ④,得 a+2× (-7)=-3,解得a=11. 所以 a=11, b=-7. 所以a+b=4. 所以 a+b=2. 因为2的算术平方根是2, 所以 a+b的算术平方根是2. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 81