精品解析：广东省东莞市光明中学2024-2025学年高三下学期适应性考试数学试题

光明中学2024-2025学年第二学期高三阶段性验收考试 数学科试卷 一、 单选题（本大题共8小题，共 40 分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 3. 已知公差不为零等差数列的前项和为，且，则（ ） A B. C. 13 D. 4. 已知点，向量，向量，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 函数在区间上的零点个数为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 6. 在平面直角坐标系中，满足不等式组的点表示的区域面积为（ ） A. B. C. D. 7. 锐角的内角所对的边分别为，角A的平分线交BC于点D，若，且，则下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 8. 若对于任意正数，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部份分，有选错的得0分. 9. 已知随机事件A，B发生的概率分别为，事件A，B的对立事件分别为，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若A与B互斥，则 C 若，则 A，B相互独立 D 10. 在正方体中，为四边形的中心，平面∩平面，则下列结论正确的是（　　） A. 直线与异面 B. C. 平面⊥平面 D. l∥平面 11. 已知定义域为的函数满足，且，为的导函数，则（ ） A. 为偶函数 B. 为周期函数 C. D. 三、填空题（本大题共3小题，共15分） 12. 若二项式的展开式中的系数是84，则实数__________． 13. 已知随机变量X，Y均服从伯努利分布，且X，Y的取值为0或1.若，且，则_______. 14. 设圆与抛物线交于点，为圆的直径，过点的直线与抛物线交于不同于点的两个点D，E，则直线AD与AE的斜率之积为__________. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 记锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 （1）求B的大小; （2）若，，成等差数列，且的外接圆半径为1，求的面积. 16. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）当时，求函数在的最小值. 17. 在如图所示的圆柱中，AB，CD分别是下底面圆O，上底面圆的直径，AD，BC是圆柱的母线，E为圆O上一点，P为DE上一点，且平面BCE. （1）求证：； （2）若，二面角的正弦值为，求三棱锥的体积. 18. 已知曲线为直线上动点，过作的两条切线，切点分别为. （1）证明：直线过定点： （2）若以为圆心的圆与直线相切，且切点为线段的中点，求该圆的方程. 19. 甲乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲乙各猜一个成语，已知甲、乙第一轮猜对的概率都为.甲如果第轮猜对，则他第轮也猜对的概率为，如果第k轮猜错，则他第轮也猜错的概率为；乙如果第k轮猜对，则他第轮也猜对的概率为，如果第k轮猜错，则他第轮也猜错的概率为.在每轮活动中，甲乙猜对与否互不影响. （1）若前两轮活动中第二轮甲乙都猜对成语，求两人第一轮也都猜对成语的概率； （2）若一条信息有种可能的情形且各种情形互斥，每种情形发生的概率分别为，，，，则称为该条信息的信息熵（单位为比特），用于量度该条信息的复杂程度.试求甲乙两人在第二轮活动中猜对成语的个数X的信息熵H； （3）如果“星队”在每一轮中活动至少有一人猜对成语，游戏就可以一直进行下去，直到他们都猜错为止.设停止游戏时“星队”进行了Y轮游戏，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 光明中学2024-2025学年第二学期高三阶段性验收考试 数学科试卷 一、 单选题（本大题共8小题，共 40 分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合是否为空集进行分类讨论，由此求得的取值范围. 【详解】当时，，满足， 当时，，由， 可知， 综上所述，. 故选：D 2. 已知，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】先利用复数的除法化简，再利用复数的模公式求解. 【详解】解：因为， 所以， 所以， 故选：C 3. 已知公差不为零的等差数列的前项和为，且，则（ ） A. B. C. 13 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列求和公式以及等差数列的性质可求得的值. 【详解】因为公差不为零的等差数列的前项和为，且， 因为， 整理可得，故，所以，. 故选：C. 4. 已知点，向量，向量，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，表示出、的坐标，从而得到方程组，解得求出，再由模长公式求解即可. 【详解】设，因为向量，， 则， ， 因为，所以，解得，∴. 故. 故选：D. 5. 函数在区间上的零点个数为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 分析】利用二倍角公式可得或，故可求零点个数. 【详解】令，则， 故或，而， 所以或或或或， 故共有5个零点， 故选：B. 6. 在平面直角坐标系中，满足不等式组的点表示的区域面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆与圆的位置关系来求得正确答案. 【详解】依题意，， 所以不等式组表示的区域是圆与圆公共的内部区域， 画出图象如下图所示，，两圆半径都是， 设两个圆相交于两点，则， 由于，， 所以是圆的切线，是圆的切线， 同理是圆的切线，是圆的切线， ，所以四边形是正方形， 所以区域面积为. 故选：D 7. 锐角的内角所对的边分别为，角A的平分线交BC于点D，若，且，则下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用余弦定理，三角形面积公式，逐项分析即可. 【详解】因为，且，， 所以，即， 由余弦定理，， 由，整理得，解得或， 当时，，此时B为钝角，与为锐角三角形矛盾，舍去， 故，即D错误； 由，，，和余弦定理，可得， 因为A为三角形的内角，所以，故A正确； 此时，，故C正确； 因为AD为角A的平分线，设， 由，可得， 即得，解得，即，故B正确. 故选：D. 8. 若对于任意正数，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对不等式分离参数得到，令，构造函数，，则，通过导数研究单调性求出最大值即可. 【详解】由不等式恒成立，且， 分离参数得，所以，即， 设，得，，设，，则. ，由得，当时，，单调递增；当时，，单调递减； 所以. 所以. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部份分，有选错的得0分. 9. 已知随机事件A，B发生的概率分别为，事件A，B的对立事件分别为，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若A与B互斥，则 C. 若，则 A，B相互独立 D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】由对立事件概率的公式求得，判断A选项；由互斥事件的概率公式求得，判断B选项；由独立事件的公式求得，判断C选项；由条件概率即可判断D选项. 【详解】对于A，因为，所以A正确; 对于B，因为A与B互斥，所以，所以B正确; 对于C，因为，根据事件独立性的定义可知A，B相互独立，所以C正确; 对于D，由，所以D错误. 故选：ABC. 10. 在正方体中，为四边形的中心，平面∩平面，则下列结论正确的是（　　） A. 直线与异面 B. C. 平面⊥平面 D. l∥平面 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意作图，由线线平行得到两直线共面，从而找到交线，由线线平行证明线面平行判断D选项；利用假设法和点线面的关系证明A选项；证明线面垂直，从而得到线线垂直，判断B选项；由锐二面角的定义得到两平面夹角，设正方体棱长，求出二面角即可判断C选项. 【详解】根据题意作图，取中点，连接，连接交与点，连接，如下： ∵为中点，∴且，∴平面， 同理可得：平面，即为直线，不在平面内， ∴，平面，∴l∥平面，D选项正确； ∵平面，∴平面平面， 又∵平面， 假设若直线与直线共面，则，显然假设不成立， 即直线与异面，A选项正确； 在正方形中，在正方体中平面，平面， ∴，又，平面，平面， ∴平面，又平面，∴，B选项正确； ∵，∴平面，平面，平面， ∴，，由∵平面，平面， 即为平面与平面的锐二面角，设正方体边长为2， 则， ∴，即，即平面⊥平面不成立，C选项错误. 故选：ABD. 11. 已知定义域为的函数满足，且，为的导函数，则（ ） A. 为偶函数 B. 为周期函数 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】通过对给定的函数关系式进行赋值等操作来分析函数的性质，并结合导数来判断各个选项的正确性，从而确定正确答案. 【详解】令，代入可得： ，即，所以， 令，则，即， 令得， 以替换，则， 以替换，则，所以函数是周期为的周期函数. 令，则，即， 所以是偶函数，A选项正确. 因为是周期为的周期函数，对两边求导得： ，即. 替换，则. 以替换，则， 所以是周期为的周期函数，B选项正确. 由的周期为，且，，，. ，C选项错误. 因为的周期为，，所以. 又，两边求导得，即， 所以. 而，令， 可得，即，. 对两边求导得，令，得. 对两边对求导， 得， 即 令， 可得，所以，则，D选项正确. 故选：ABD 【点睛】方法点睛： 对于抽象函数性质研究，赋值法是一种重要手段，通过合理选取赋值，能够挖掘出函数的奇偶性、周期性等关键性质. 函数与其导函数之间存在紧密联系，对函数等式两边求导，能从函数的性质推导出导函数的性质，反之亦然. 三、填空题（本大题共3小题，共15分） 12. 若二项式的展开式中的系数是84，则实数__________． 【答案】1 【解析】 【详解】试题分析：由二项式定理可得：，因为的系数是，所以即，即，所以. 考点：二项式定理. 13. 已知随机变量X，Y均服从伯努利分布，且X，Y的取值为0或1.若，且，则_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据已知及全概率公式、互斥事件和对立事件概率求法，分别求出、的概率，即可得. 【详解】因为随机变量X，Y均服从分布，且， 所以①， ②， 由，即， 则有③， 将③代入①可得：， 将③代入②可得：， 由， 则， 所以. 故答案： 14. 设圆与抛物线交于点，为圆的直径，过点的直线与抛物线交于不同于点的两个点D，E，则直线AD与AE的斜率之积为__________. 【答案】2 【解析】 【分析】由题意得出，，设，，由B，D，E三点共线可得，结合，，化简得，代入即可求. 【详解】将代入圆的方程中， 得，故， 又因为为圆与抛物线的交点， 所以，代入得，即抛物线， 由AB为圆的直径可得，A，B关于O对称， 则， 设，， 则由B，D，E三点共线可得， 整理得， 又因为，， 所以， 整理得， 由题意， 所以， 所以， 故答案为： 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 记锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 （1）求B的大小; （2）若，，成等差数列，且的外接圆半径为1，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由，结合两角和差得余弦公式化简即可求解； （2）结合等比中项及正弦定理可得，再由余弦定理及正弦定理即可求解； 【小问1详解】 因为， 所以， 又因为为锐角三角形，故，所以，即 【小问2详解】 因为，，成等差数列，故，由正弦定理得，而， 结合余弦定理，将代入，解得， 因此为正三角形，而外接圆的半径为1，利用正弦定理可得 故的面积为 16. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）当时，求函数在的最小值. 【答案】（1）答案见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）对函数求导，讨论、研究导数的区间符号，即可得对应单调性； （2）应用导数研究函数的单调性，讨论与区间的位置关系求函数最小值. 【小问1详解】 由题意知的定义域为，， ①若，恒成立，所以在上单调递减. ②若，由，得， 所以当时，；当时，； 所以在上单调递减，在上单调递增. 综上：当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 由（1）知，在单调递减，在单调递增. ①当，即时，在单调递减， 当时，有最小值； ②当，即时，在上单调递减，在上单调递增. 当时，有最小值； ③当，即时，在上单调递增， 当时，有最小值； 综上：. 17. 在如图所示的圆柱中，AB，CD分别是下底面圆O，上底面圆的直径，AD，BC是圆柱的母线，E为圆O上一点，P为DE上一点，且平面BCE. （1）求证：； （2）若，二面角的正弦值为，求三棱锥的体积. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先通过面面平行的判断证明平面平面，再由面面平行的性质证明，即是中位线，由此得到是的中点； （2）设，通过勾股定理计算将到的距离和到平面的距离用表示，根据二面角的正弦值列方程求出，再代入体积公式计算即可. 【小问1详解】 如图，连接，， 因为为母线， 所以, 又平面， 所以平面. 因为平面， 所以平面平面. 又因为平面平面，平面平面， 所以， 因为是的中点， 所以是的中点， 即. 【小问2详解】 如下图，作，， 设到的距离为，则到的距离为. 设，则有，， ， ，， 因为， 所以. 因为平面， 所以到平面的距离即是到平面的距离，即. 所以， 解得. 所以. 18. 已知曲线为直线上的动点，过作的两条切线，切点分别为. （1）证明：直线过定点： （2）若以为圆心的圆与直线相切，且切点为线段的中点，求该圆的方程. 【答案】(1)见详解；(2) 或. 【解析】 【分析】（1）可设，，然后求出A，B两点处的切线方程，比如：，又因为也有类似的形式，从而求出带参数直线方程，最后求出它所过的定点. （2）由(1)得带参数的直线方程和抛物线方程联立，再通过为线段的中点，得出的值，从而求出坐标和的值，最后求出圆的方程. 【详解】(1)证明：设,,则． 又因为，所以.则切线DA的斜率为，故，整理得.设，同理得.,都满足直线方程.于是直线过点，而两个不同的点确定一条直线，所以直线方程为.即，当时等式恒成立．所以直线恒过定点. (2)由(1)得直线方程为，和抛物线方程联立得： 化简得.于是,设为线段的中点，则 由于，而,与向量平行，所以， 解得或. 当时，，所求圆的方程为; 当时，或，所求圆的方程为. 所以圆的方程为或. 【点睛】此题第一问是圆锥曲线中的定点问题和第二问是求面积类型，属于常规题型，按部就班的求解就可以.思路较为清晰，但计算量不小. 19. 甲乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲乙各猜一个成语，已知甲、乙第一轮猜对的概率都为.甲如果第轮猜对，则他第轮也猜对的概率为，如果第k轮猜错，则他第轮也猜错的概率为；乙如果第k轮猜对，则他第轮也猜对的概率为，如果第k轮猜错，则他第轮也猜错的概率为.在每轮活动中，甲乙猜对与否互不影响. （1）若前两轮活动中第二轮甲乙都猜对成语，求两人第一轮也都猜对成语的概率； （2）若一条信息有种可能的情形且各种情形互斥，每种情形发生的概率分别为，，，，则称为该条信息的信息熵（单位为比特），用于量度该条信息的复杂程度.试求甲乙两人在第二轮活动中猜对成语的个数X的信息熵H； （3）如果“星队”在每一轮中活动至少有一人猜对成语，游戏就可以一直进行下去，直到他们都猜错为止.设停止游戏时“星队”进行了Y轮游戏，求证：. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据全概率公式即可求解， （2）根据全概率公式求解概率，即可由对数的运算求解， （3）根据全概率公式，结合错位相减法以及等比求和即可求解. 【小问1详解】 设“甲在第i轮活动中猜对成语”，“乙在第i轮活动中猜对成语”， “甲乙在第i轮活动中都都猜对成语”，， 则 故 【小问2详解】 由题意知，1，2， 由（1）知， ， 故X的信息熵 【小问3详解】 第二轮甲猜对的概率为， 第二轮乙猜对的概率为， 所以，， 每一轮甲乙都猜错的概率为， 因此， 则① 所以，② ①②得， 所以. 关键点点睛：根据全概率公式公式得，，由期望公式可得表达式，将其转化为数列求和，利用错位相减求数列的和是本题的关键所在. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $