2.5 三元一次方程组及其解法(选学)-【拔尖特训】2024-2025学年新教材七年级下册数学（浙教版2024）

40 2.5　三元一次方程组及其解法(选学)▶ “答案与解析”见P16 1. 解方程组 3x-4y=1, 4x+6y-z=2, 3x-5y+2z=4 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 时 ,要使解法较为 简便,应 ( ) A. 先消去x B. 先消去y C. 先消去z D. 先消去常数 2. 已知x,y,z满足方程组 x+2y=1, y+2z=2, 2x+z=3, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 则x+ y+z的值为 . 3. ★解方程组: (1) (2023·南通海安期中改编) y=x+z, 4x+2y+z=3, 25x+5y+z=60. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 (2) (2023·威海环翠期中) 3x+4y+z=14, x+5y+2z=17, 2x+2y-z=3. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 4. 下列关于方程组 3x-y+z=4①, 2x+3y-z=12②, x+y-2z=3③ 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 的解 法,不正确的是 ( ) A. 由①②消去z,再由①③消去z B. 由①③消去z,再由②③消去z C. 由①③消去y,再由①②消去y D. 由①②消去z,再由①③消去y 5. 已知关于x,y,z的三元一次方程组 x+y=9a, y+z=11a, z+x=10a 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 的 解 使 x +2y - 3z=-12成立,则a的值为 ( ) A. 2 B. -3 C. 3 D. 6 6. 已知有理数x,y,z满足|x-z-2|+|3x- 6y-7|+(3y+3z-4)2=0,则xyz的值为 . 7. 已知甲、乙、丙三人各有一些钱,其中甲的钱 是乙的2倍,乙比丙多1元,丙比甲少11元, 则三人共有 元. 8. 已知代数式ax2+bx+c,当x=1和x= -3时,它的值都为5;当x=-1时,它的值 为1. (1) 求a,b,c的值. (2) 当x=-2时,求代数式ax2+bx+c 的值. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(浙教版)七年级下 41 9. 对于有理数x,y定义新运算:x􀱋y=ax+ by+c,其中a,b,c是常数.已知1􀱋2=9, (-3)􀱋3=6,0􀱋1=2,求(-2)􀱋5的值. 10. 某单位职工在植树节时去植树,甲、乙、丙三 组共植树50棵,乙组植树的棵数是甲、丙两 组植树棵数之和的1 4 ,甲组植树的棵数恰是 乙组与丙组植树棵数的和.问:每组分别植 树多少棵? 11. (新情境)某公司装修需用A 型板 材48块、B 型板材36块,A 型板 材的规格是60cm×30cm,B型板 材的规格是40cm×30cm.现只能购得规格 是150cm×30cm的标准板材,于是需将每 块标准板材尽可能多地裁出A 型、B 型板 材,三种裁法统计如下表(如图所示为裁法 一的裁剪示意图): 裁法一 裁法二 裁法三 A型板材块数 1 2 0 B型板材块数 2 m n (1) m= ,n= . (2) 如果所购的标准板材为35块,按裁法 一、裁法二和裁法三全部裁完,且所裁出的 A,B 两种型号的板材块数与所需块数相 符,那么按三种裁法各裁标准板材多少块? (第11题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第2章　二元一次方程组 (2) 今年该景点的门票收入是28× (1+14%)×100+56×(1+8%)× 80=8030.4(万元). 6. D [解析] 设需含30%的消毒药 水xkg,含75%的消毒药水ykg.由 题意,得 x+y=30, 30%x+75%y=60%×30, 解得 x=10, y=20. 所以含30%和75%的 消毒药水各需10kg,20kg. 7. D [解析] 设甲种商品的进价为 x元,乙种商品的进价为y元.由题 意,得 (1+40%)x+(1+40%)y=490, (1+40%)x·0.7+(1+40%)y·0.9=399, 解得 x=150, y=200. 所以甲种商品的进价 为150元,乙种商品的进价为200元. 8. 12℃ [解析] 根据题意,得 84a+b=15, 98a+b=17, 解得 a= 1 7 , b=3. 所以t= 1 7x+3. 将x=63代入,解得t=12. 所以该地当时的温度约为12℃. 9. 145 [解析] 设打折前每盒肉粽的 价格为x元,每盒白粽的价格为y元. 根据题意,得 4x+5y=350, 0.6×5x+0.7×10y=360, 解 得 x=50, y=30. 所以5x+5y-(0.6×5x+ 0.7×5y)=2x+1.5y=2×50+ 1.5×30=145.所以他在6月13日购 买比在打折前购买节省145元. 10. 设小强这次考试的英语成绩为 x分,数学成绩为y分. 由题意,得 124+x+y=348, 124+x+16+(1+15%)y=382, 解得 x=104, y=120. 所以小强这次考试的英语成绩为 104分,数学成绩为120分. 11. (1) 500n. (2) 4×(75+525)+20×(15+85)+ 500=4900(元),(1400×4+160× 20)-4900=3900(元). 所以每公顷鱼塘蟹、虾混合养殖的年 利润为3900元. (3) 设李大爷应该租y公顷鱼塘,并 向银行贷款x元,x≤25000. 由题意,得 4900y=25000+x, 3900y-10%x=36600, 解得 x=24000, y=10. 所以李大爷应该租10公顷鱼塘,并向 银行贷款24000元. 2.5　三元一次方程组 及其解法（选学） 1. C 2. 2 3. (1) 记 y=x+z①, 4x+2y+z=3②, 25x+5y+z=60③. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 将①代入②,得4x+2(x+z)+z= 3,即2x+z=1④. 把①代入③,得25x+5(x+z)+z= 60,即5x+z=10⑤. ④⑤组成方程组,得 2x+z=1, 5x+z=10, 解 得 x=3, z=-5. 把x=3,z=-5代入①,得y=3+ (-5)=-2. 所以原方程组的解为 x=3, y=-2, z=-5. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 (2) 记 3x+4y+z=14①, x+5y+2z=17②, 2x+2y-z=3③. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ①+③,得5x+6y=17④. ①×2-②,得5x+3y=11⑤. ④⑤组成方程组,得 5x+6y=17, 5x+3y=11, 解 得 x=1, y=2. 把x=1,y=2代入①,得3+8+z= 14,解得z=3. 所以原方程组的解为 x=1, y=2, z=3. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 运用消元法解三元一次 方程组的注意点 (1) 确定消去哪个未知数时, 要从整体考虑,一般选择消去后可 以使计算量相对较小的未知数.消 元的方法有代入消元法和加减消 元法,具体用哪种方法,要根据方 程组的特点选用. (2) 消去的未知数一定是同一 未知数,否则达不到消元的目的. 4. D 5. C [解析] 记 x+y=9a①, y+z=11a②, z+x=10a③, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 由 ①+②+③,化简得x+y+z=15a ④.由④-①,得z=6a.由④-②,得 x=4a.由④-③,得y=5a.把x= 4a,y=5a,z=6a 代入x+2y- 3z=-12,得4a+10a-18a=-12, 解得a=3. 6. 1 [解析] 根据非负数的性质,得 x-z-2=0①, 3x-6y-7=0②, 3y+3z-4=0③. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 由①×3-②,得 6y-3z+1=0④.由④+③,得9y= 3,解得y= 1 3. 把y= 1 3 代入④,得 z=1.把z=1代入①,得x=3.所以 xyz=3× 1 3×1=1. 7. 39 [解析] 设甲有x 元,乙有 y元,丙有z 元.根据题意,可得 x=2y, y=z+1, x-z=11, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得 x=20, y=10, z=9. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 所以x+ 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 61 y+z=39.所以三人共有39元. 8. (1) 因为代数式ax2+bx+c,当 x=1和x=-3时,它的值都为5;当 x=-1时,它的值为1, 所以 a+b+c=5, 9a-3b+c=5, a-b+c=1, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得 a=1, b=2, c=2. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 (2) 由(1),得ax2+bx+c=x2+ 2x+2. 把x=-2代入,得原式=(-2)2+ 2×(-2)+2=2. 所以当x=-2时,代数式ax2+bx+ c的值为2. 9. 由题意,得 a+2b+c=9, -3a+3b+c=6, b+c=2, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得 a=2, b=5, c=-3. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 所以x􀱋y=2x+5y-3. 所以(-2)􀱋5=2×(-2)+5×5- 3=18. 10. 设甲组植树x棵,乙组植树y棵, 丙组植树z棵. 根据题意,可得 x+y+z=50, y= 1 4 (x+z), x=y+z, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 解得 x=25, y=10, z=15. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 所以甲组植树25棵,乙组植树10棵, 丙组植树15棵. 11. (1) 0;3. (2) 设按裁法一裁x块,按裁法二裁 y块,按裁法三裁z块. 根据题意,得 x+2y=48, 2x+3z=36, x+y+z=35, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得 x=6, y=21, z=8. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 所以按裁法一、裁法二和裁法三各裁 标准板材6块、21块和8块. 专题特训（三）　二元一次 方程（组）的特殊解及其应用 1. B 2. 答案不唯一,如x+y=2 3. 答案不唯一,如2x+3y=20. 这个 方 程 的 所 有 正 整 数 解 为 x=1, y=6, x=4 , y=4, x=7 , y=2. 4. 16或7或-2 [解析] 方程5x+ y=16的正整数解为 x=1, y=11, x=2 , y=6, x=3, y=1. 所以当x=1,y=11时,4× 1-11=9-k,解得k=16;当x=2, y=6时,4×2-6=9-k,解得k=7; 当x=3,y=1时,4×3-1=9-k,解 得k=-2.综上所述,k的值为16或 7或-2. 5. (1) x=2, y=2, x=4 , y=1. (2) 由题意,得 x+y=0, x+2y-6=0, 解得 x=-6, y=6. 把 x=-6, y=6 代入x-2y+mx+5= 0,解得m=-136. (3) 由题意,得(1+m)x-2y=-5. 因为无论实数m取何值,方程总有一 组固定的解, 所以当x=0时,y= 5 2. 所以这个解为 x=0, y= 5 2. 6. B [解析] 设购买笔记本x本,碳 素笔y 支.根据题意,得3x+2y= 28,所以y=14- 3 2x. 又因为x,y均 为正整数,所以14-32x 的值为正整 数.所以 x=2, y=11 或 x=4, y=8 或 x=6, y=5 或 x=8, y=2. 所以购买方案有4种. 7. (1) 1 [解析] 设该旅游团租住了 x间单人间,y间三人间.因为单人间 每晚100元,三人间每晚130元,所以 该旅游团一晚的单人间、三人间的住 宿房费分别为100x元、130y元.因为 该 旅 游 团 一 晚 的 住 宿 房 费 为 1530元,所以100x+130y=1530. 所以y= 153-10x 13 . 因为酒店的客房 只剩下4间单人间,所以x,y均为自 然数,且x≤4.当x=4时,y= 113 13= 8913 ,不合题意;当x=3时,y= 123 13=9 6 13 ,不合题意;当x=2时, y= 133 13=10 3 13 ,不合题意;当x= 1时,y= 143 13=11 ,符合题意;当x= 0时,y= 153 13=11 10 13 ,不合题意. 所以 x=1, y=11. 所以他们租住了1间单 人间. (2) 1600 [解析] 当租住的三人间 全部住满时,租住一晚的住宿房费最 少.因为有19名男士,所以女士有 33-19=14(名).因为19÷3= 6(间)……1(名),14÷3=4(间)…… 2(名),男女不能混住,所以租住一晚 的住宿房费最少的租住方案为租住的 3间单人间里面1间住男士,2间住女 士,另租住6+4=10(间)三人间,此 时租住一晚的住宿房费为100×3+ 130×10=1600(元),即租住一晚的 住宿房费最少为1600元. 8. (1) 根据题意,得 10m+20n=2000, 20m+30n=3400, 解得 m=80 , n=60. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 71