2.4 二元一次方程组的应用-【拔尖特训】2024-2025学年新教材七年级下册数学（浙教版2024）

36 2.4　二元一次方程组的应用　　 第1课时 运用二元一次方程组解决简单的实际问题 ▶ “答案与解析”见P15 1. (2023·宁波鄞州期中)某校组织一批学生参 加社会实践活动,活动中男生戴白色安全帽, 女生戴红色安全帽.大家发现一个有趣的现 象,每名男生看到的白色安全帽比红色安全 帽多6顶,而每名女生看到的白色安全帽是 红色安全帽的2倍.设男生有x人,女生有 y人,下列方程组中,正确的是 ( ) A. x-1=y-6, y=2(x-1) B. x-1=y-6, x=2(y-1) C. x-1=y+6, y-1=2x D. x-1=y+6, x=2(y-1) 2. 一个长方形的周长为28厘米,长比宽的3倍 少6厘米,则这个长方形的面积是 ( ) A. 45平方厘米 B. 35平方厘米 C. 25平方厘米 D. 20平方厘米 3. 甲是乙现在的年龄时,乙8岁;乙是甲现在的 年龄时,甲20岁,则 ( ) A. 甲比乙大6岁 B. 乙比甲大6岁 C. 甲比乙大4岁 D. 乙比甲大4岁 4. 某船在河中航行,已知顺流的速度是 14km/h,逆流的速度是8km/h,则该船在静 水中的速度是 km/h,水流速度是 km/h. 5. ★机械厂加工车间有85名工人,平均 每人每天加工大齿轮16个或小齿轮 10个,已知2个大齿轮与3个小齿轮 配成一套,则安排 名工人加工大齿 轮,才能使每天加工的大、小齿轮刚好配套. 6. 近期,某校开展了“图书漂流”活动,学生委员 会的学生们自愿整理图书,2名男生和1名 女生共整理160本图书,1名男生和2名女生 共整理170本图书. (1) 男生和女生平均每人各整理多少本图书? (2) 如果学生委员会有12名男生和8名女 生,他们恰好能整理完所有的图书,那么一共 有多少本图书? 7. 某校七年级学生开展义务植树活动,参加的 人数是未参加人数的3倍.若该年级的人数 减少6,未参加的人数增加6,则参加的人数 是未参加人数的2倍.该校七年级学生共有 ( ) A. 72人 B. 80人 C. 96人 D. 100人 8. 已知A,B两地相距20km,甲从A 地,乙从 B地同时出发相向而行,经过2h相遇,相遇 后,甲立即返回A地,乙仍向A地前进,甲回 到A地时,乙离A地还有2km,则甲的速度 为 km/h,乙的速度为 km/h. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(浙教版)七年级下 37 9. 如图所示为由截面是同一种长方形的墙砖粘 贴的部分墙面,其中三块横放的墙砖比两块 竖放的墙砖低30cm,两块竖放的墙砖比两块 横放的墙砖高50cm,则每块墙砖的截面面积 是 . (第9题) 10. 春节期间,某集团公司采购了A,B 两种物 资共80吨,共用去200万元,A种物资每吨 2.2万元,B种物资每吨3.4万元. (1) A,B两种物资各购进了多少吨? (2) 该集团租用了大、小两种货车若干辆来 运输这些物资,每辆大货车可运8吨A 种 物资和2吨B种物资,每辆小货车可运5吨 A种物资和2.5吨B种物资,则租用的大、 小货车各多少辆? 11. 工厂接到生产如图①所示的巧克 力包装盒的订单,每个包装盒由 3个长方形侧面和2个等边三角形 底面组成,仓库有甲、乙两种规格的纸板共 2 600张,其中甲种规格的纸板刚好可以裁 出4个侧面(如图②),乙种规格的纸板可以 裁出3个底面和2个侧面(如图③),裁剪后 的边角料(图③的涂色部分)不再利用. (1) 若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完, 则甲、乙两种规格的纸板各有多少张? (2) 在(1)的条件下,一共能生产多少个巧 克力包装盒? (第11题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第2章　二元一次方程组 38 第2课时 运用二元一次方程组解决较复杂的实际问题 ▶ “答案与解析”见P15 1. (跨学科融合·物理)一根弹簧原长(不挂重 物)mcm,每挂上1kg的重物,它就伸长 ncm.当挂上xkg的重物时,弹簧的总长 L(cm)可用公式L=nx+m 计算.已经测得 当x=0.5时,L=16;当x=2时,L=19,则 当重物的质量为5kg(在弹性限度内)时,L 的值是 ( ) A. 22.5 B. 25 C. 27.5 D. 30 2. 某市现有人口42万人,一年后城镇人口增加 0.8%,农村人口增加1.1%,这样全市人口 增加1%,则这个城市现有城镇人口和农村 人口分别是 ( ) A. 28万人,14万人 B. 24万人,18万人 C. 14万人,28万人 D. 18万人,24万人 3. 小明在某商店购买商品A,B共两次,这两次 购买商品A,B的数量和费用如下表: 购买次序 商品A的 数量/个 商品B的 数量/个 总费用/元 第一次 4 3 93 第二次 6 6 162 若小丽需要购买2个商品A 和3个商品B, 则她要花费 ( ) A. 67元 B. 68元 C. 69元 D. 70元 4. 科学家通过实验发现:一定质量的某种气体, 在体积不变的情况下,压强p(kPa)与温度 T(℃)之间满足p=aT+k,且当温度为 100℃时,压强为140kPa;当温度为60℃时, 压强为124kPa,则a= ,k= . 5. 今 年 某 旅 游 景 点 共 接 待 游 客 92.4万人次,和去年相比,游客总 数增加了10%,其中省外游客增加 了14%,省内游客增加了8%. (1) 该景点去年接待的省外游客和省内游客 分别为多少万人次? (2) 若省外游客每张门票的均价为100元, 省内游客每张门票的均价为80元,则今年该 景点的门票收入是多少万元? 6. 为了卫生防控,学校需用含30%和75%的消 毒药水,配制含60%的消毒药水30kg,则含 30%和75%的消毒药水各需 ( ) A. 12kg,18kg B. 19kg,11kg C. 17kg,13kg D. 10kg,20kg 7. 某商场购进商品后,加价40%作为售价.商场 开展优惠促销活动,决定由顾客抽奖确定折 扣.某顾客购买甲、乙两种商品,分别抽到七 折和九折,共付款399元.若两种商品的原售 价之和为490元,则甲、乙两种商品的进价分 别是 ( ) A. 200元,150元 B. 210元,280元 C. 280元,210元 D. 150元,200元 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(浙教版)七年级下 39 8. 在某地,人们发现某种蟋蟀1min所叫次数x 与当时温度t(℃)之间的关系近似为t= ax+b.这种蟋蟀1min所叫次数与温度变化 情况的对照表如下: 1min所叫次数x … 84 98 119 … 温度t/℃ … 15 17 20 … 如果这种蟋蟀1min叫63次,那么该地当时 的温度约为 . 9. (2023·梅州大埔期末)端午节是中国传统节 日,人们有吃粽子的习俗.某商场从6月 12日起开始打折促销,肉粽六折,白粽七折, 打折前购买4盒肉粽和5盒白粽需350元, 打折后购买5盒肉粽和10盒白粽需360元. 轩轩同学想给敬老院送肉粽和白粽各5盒, 则他在6月13日购买比在打折前购买节省 元. 10. 某次考试结束后,老师找小强进行了谈话. 老师:“小强,你这次考试的语文、数学、英语 三科的总成绩为348分,在下次考试中,要 使这三科的总成绩达到382分,你有什么计 划吗?” 小强:“老师,我争取在下次考试中,语文成 绩保持124分,英语成绩再多16分,数学成 绩增加15%,这样刚好达到382分.” 请问:小强这次考试的英语、数学成绩各是 多少? 11. (新情境)水产养殖户李大爷准备 进行大闸蟹与河虾的混合养殖,他 了解到如下信息: ① 每公顷鱼塘的年租金为500元. ② 每公顷鱼塘可在年初混合投放4千克蟹 苗和20千克虾苗. ③ 每千克蟹苗的价格为75元,其饲养费用 为525元,当年可获1400元收益. ④ 每千克虾苗的价格为15元,其饲养费用 为85元,当年可获160元收益. (1) 如果租用鱼塘n公顷,那么年租金共需 元. (2) 水产养殖的成本包括鱼塘年租金、苗种 费用和饲养费用,求每公顷鱼塘蟹、虾混合 养殖的年利润(利润=收益-成本). (3) 李大爷现有资金25000元,他准备再向 银行贷款不超过25000元,用于蟹、虾混合 养殖.已知银行贷款的年利率为10%,则李 大爷应该租多少公顷鱼塘,并向银行贷款多 少元,可使年利润达到36600元? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第2章　二元一次方程组 ①×7-②×3,得-35y-6y=123, 解得y=-3. 把y=-3代入②,得7x-6=1,解得 x=1. 所以原方程组的解为 x=1, y=-3. 14. (1) 具有“邻好关系”. 理由:记 x+2y=7①, x-y=1②. ①-②,得3y=6,解得y=2. 把y=2代入②,得x=3. 所以方程组的解为 x=3, y=2. 因为|x-y|=|3-2|=1, 所以方程组的解x与y具有“邻好关系”. (2) 记 2x-y=6①, 4x+y=6m②. ①+②,得6x=6m+6,解得x= m+1. 把x=m+1代入①,得y=2m-4. 所以方程组的解为 x=m+1, y=2m-4. 因为x与y具有“邻好关系”, 所以|x-y|=|m+1-2m+4|= |-m+5|=1. 所以5-m=±1. 所以m=6或m=4. (3) 存在. 两式相加,得(2+a)y=12. 因为a,x,y均为正整数, 所以 a=1, x=3, y=4 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 或 a=2, x=1, y=3. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 易知只有当a=1时,|x-y|=1. 所以a 的值为1,方程组的解为 x=3, y=4. 2.4　二元一次方程组的应用 第1课时 运用二元一次方程组 解决简单的实际问题 1. D 2. A 3. C 4. 11 3 5. 25 解答配套问题的关键 在配套问题中,一套物品的各 个零部件的数量之间会有一定的 倍数关系,这个倍数关系就是列方 程的关键.配套问题中最常见的等 量关系是如果a件甲产品和b件 乙产品配成一套,那么甲产品数 a = 乙产品数 b ,由等式的性质可得,甲 产品数的b 倍等于乙产品数的 a倍. 6. (1) 设男生每人整理x本图书,女 生每人整理y本图书. 由 题 意,得 2x+y=160, x+2y=170, 解 得 x=50, y=60. 所以男生每人整理50本图书,女生每 人整理60本图书. (2) 12×50+8×60=1080(本), 所以一共有1080本图书. 7. C [解析] 设该校七年级参加植 树活动的有x人,未参加植树活动的 有 y 人. 根 据 题 意, 得 x=3y, x-6-6=2(y+6), 解 得 x=72 , y=24. 所以x+y=72+24=96.所以该校七 年级学生共有96人. 8. 5.5 4.5 [解析] 设甲的速度为 xkm/h,乙的速度为ykm/h.根据题 意,得 2(x+y)=20, 2(x-y)=2, 解得 x=5.5 , y=4.5. 所以甲的速度为5.5km/h,乙的速度 为4.5km/h. 9. 900cm2 [解析] 设每块墙砖的长 为xcm,宽为ycm,则每块墙砖的截 面面积是 xycm2.根据题意,得 2x-3y=30, 2x-2y=50, 解 得 x=45 , y=20. 所 以 xy=45×20=900.所以每块墙砖的 截面面积是900cm2. 10. (1) 设A 种物资购进了x 吨, B种物资购进了y吨. 根据题意,得 x+y=80, 2.2x+3.4y=200, 解得 x=60, y=20. 所以A 种物资购进了60吨,B 种物 资购进了20吨. (2) 设租用的大货车为a辆,小货车 为b辆. 根据题意,得 8a+5b=60, 2a+2.5b=20, 解得 a=5, b=4. 所以租用的大货车为5辆,小货车为 4辆. 11. (1) 设甲种规格的纸板有x张, 乙种规格的纸板有y张. 由题意,得 x+y=2600, 4x+2y 3 = 3y 2 , 解得 x=1000, y=1600. 所以甲种规格的纸板有1 000张,乙 种规格的纸板有1 600张. (2) 1 600×3÷2=2 400(个). 所以一共能生产2400个巧克力包 装盒. 第2课时 运用二元一次方程组 解决较复杂的实际问题 1. B 2. C 3. C 4. 0.4 100 5. (1) 设该景点去年接待的省外游客 为x万人次,省内游客为y万人次. 由题意, 得 (x+y)(1+10%)=92.4, (1+14%)x+(1+8%)y=92.4, 解得 x=28, y=56. 所以该景点去年接待的省外游客和省 内游客分别为28万人次,56万人次. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 51 (2) 今年该景点的门票收入是28× (1+14%)×100+56×(1+8%)× 80=8030.4(万元). 6. D [解析] 设需含30%的消毒药 水xkg,含75%的消毒药水ykg.由 题意,得 x+y=30, 30%x+75%y=60%×30, 解得 x=10, y=20. 所以含30%和75%的 消毒药水各需10kg,20kg. 7. D [解析] 设甲种商品的进价为 x元,乙种商品的进价为y元.由题 意,得 (1+40%)x+(1+40%)y=490, (1+40%)x·0.7+(1+40%)y·0.9=399, 解得 x=150, y=200. 所以甲种商品的进价 为150元,乙种商品的进价为200元. 8. 12℃ [解析] 根据题意,得 84a+b=15, 98a+b=17, 解得 a= 1 7 , b=3. 所以t= 1 7x+3. 将x=63代入,解得t=12. 所以该地当时的温度约为12℃. 9. 145 [解析] 设打折前每盒肉粽的 价格为x元,每盒白粽的价格为y元. 根据题意,得 4x+5y=350, 0.6×5x+0.7×10y=360, 解 得 x=50, y=30. 所以5x+5y-(0.6×5x+ 0.7×5y)=2x+1.5y=2×50+ 1.5×30=145.所以他在6月13日购 买比在打折前购买节省145元. 10. 设小强这次考试的英语成绩为 x分,数学成绩为y分. 由题意,得 124+x+y=348, 124+x+16+(1+15%)y=382, 解得 x=104, y=120. 所以小强这次考试的英语成绩为 104分,数学成绩为120分. 11. (1) 500n. (2) 4×(75+525)+20×(15+85)+ 500=4900(元),(1400×4+160× 20)-4900=3900(元). 所以每公顷鱼塘蟹、虾混合养殖的年 利润为3900元. (3) 设李大爷应该租y公顷鱼塘,并 向银行贷款x元,x≤25000. 由题意,得 4900y=25000+x, 3900y-10%x=36600, 解得 x=24000, y=10. 所以李大爷应该租10公顷鱼塘,并向 银行贷款24000元. 2.5　三元一次方程组 及其解法（选学） 1. C 2. 2 3. (1) 记 y=x+z①, 4x+2y+z=3②, 25x+5y+z=60③. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 将①代入②,得4x+2(x+z)+z= 3,即2x+z=1④. 把①代入③,得25x+5(x+z)+z= 60,即5x+z=10⑤. ④⑤组成方程组,得 2x+z=1, 5x+z=10, 解 得 x=3, z=-5. 把x=3,z=-5代入①,得y=3+ (-5)=-2. 所以原方程组的解为 x=3, y=-2, z=-5. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 (2) 记 3x+4y+z=14①, x+5y+2z=17②, 2x+2y-z=3③. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ①+③,得5x+6y=17④. ①×2-②,得5x+3y=11⑤. ④⑤组成方程组,得 5x+6y=17, 5x+3y=11, 解 得 x=1, y=2. 把x=1,y=2代入①,得3+8+z= 14,解得z=3. 所以原方程组的解为 x=1, y=2, z=3. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 运用消元法解三元一次 方程组的注意点 (1) 确定消去哪个未知数时, 要从整体考虑,一般选择消去后可 以使计算量相对较小的未知数.消 元的方法有代入消元法和加减消 元法,具体用哪种方法,要根据方 程组的特点选用. (2) 消去的未知数一定是同一 未知数,否则达不到消元的目的. 4. D 5. C [解析] 记 x+y=9a①, y+z=11a②, z+x=10a③, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 由 ①+②+③,化简得x+y+z=15a ④.由④-①,得z=6a.由④-②,得 x=4a.由④-③,得y=5a.把x= 4a,y=5a,z=6a 代入x+2y- 3z=-12,得4a+10a-18a=-12, 解得a=3. 6. 1 [解析] 根据非负数的性质,得 x-z-2=0①, 3x-6y-7=0②, 3y+3z-4=0③. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 由①×3-②,得 6y-3z+1=0④.由④+③,得9y= 3,解得y= 1 3. 把y= 1 3 代入④,得 z=1.把z=1代入①,得x=3.所以 xyz=3× 1 3×1=1. 7. 39 [解析] 设甲有x 元,乙有 y元,丙有z 元.根据题意,可得 x=2y, y=z+1, x-z=11, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得 x=20, y=10, z=9. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 所以x+ 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 61