2.2 二元一次方程组和它的解-【拔尖特训】2024-2025学年新教材七年级下册数学（浙教版2024）

30 2.2　二元一次方程组和它的解 ▶ “答案与解析”见P12 1. (2024·嘉兴桐乡段考)下列方程组中,是二 元一次方程组的为 ( ) A. 3x2+y=1, 10x-8y=-9 B. xy=4, x+2y=6 C. x-y=2, 1 x-3y=- 7 4 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 D. x+2y=4, 7x-9y=5 2. (2024·温州模拟)某校九年级师生共496人, 准备组织去某地参加综合社会实践活动.现 已预备了46座和52座两种客车共10辆,刚 好坐满.设46座客车有x 辆,52座客车有 y辆,根据题意可列出的方程组为 ( ) A. x+y=496, 46x+52y=10 B. x+y=496, 52x+46y=10 C. x+y=10, 46x+52y=496 D. x+y=10, 52x+46y=496 3. 若关于x,y的二元一次方程组 x+y=2, A=0 的 解为 x=-1, y=3, 则含x,y的多项式A 可以是 (写出一个即可). 4. (1) 已知方程x+y=8,填写下表: x … -2 -1 0 1 2 3 … y … … (2) 已知方程3x+2y=16,填写下表: x … -2 -1 0 1 2 3 … y … … (3) 请直接写出方程组 x+y=8, 3x+2y=16 的解. 5. 有下列方程组:① x+y=3, x-z=1; ② y=4x+1 , y=3+5x; ③ 1 x+ 2 y =32, x-y=1; 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ④ x2-y2=3, x+y=2. 其中,是二 元一次方程组的有 ( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 6. 从甲地到乙地有一段上坡路与一段平路.如 果上坡路每小时走3km,平路每小时走 4km,下坡路每小时走5km,那么从甲地到 乙地需54min,从乙地到甲地需42min.甲地 到乙地的路程是多少? 小红将这个实际问题 用列二元一次方程组的方法来解,设未知数 x,y,已经列出一个方程为 x 3+ y 4= 54 60 ,则另 一个方程正确的是 ( ) A. x 4+ y 3= 42 60 B. x 5+ y 4= 42 60 C. x 4+ y 5= 42 60 D. x 3+ y 4= 42 60 7. 在《九章算术》中,一次方程组是由算筹布置 而成的.如图①所示的算筹图表示的方程组 是 3x+2y=19, x+4y=23. 类似地,如图②所示的算筹 图表示的方程组为 ( ) (第7题) A. 2x+y=11, 4x+3y=22 B. 2x+y=11, 4x+3y=27 C. 3x+2y=19, x+4y=23 D. 2x+y=6, 4x+3y=27 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(浙教版)七年级下 31 8. (2023·金华东阳段考)方程组 2x-y=△, x-y=4 的 解为 x=-2, y=▽, 则被“△”和“▽”遮盖的两个数 分别为 ( ) A. -10,6 B. 2,-6 C. 2,6 D. 10,-6 9. 若方程组 y-(a-1)x=5, y|a|+(b-5)xy=3 是关 于x,y的二元一次方程组,则ab的 值为 . 10. 若方程组 2x+y=m, 2x-y=10 的解为 x=4 , y=n, 则 m= ,n= . 11. 已知关于x,y的方程组 x-y=2, 2x+3y=m, 则当 y=1时,求x的值及m的值. 12. 植树节这天,七年级二班的部分同学参加植 树活动.若每人种6棵,则还剩9棵;若每人 种8棵,则有一人少种1棵.设有x名学生, y棵树苗,请根据问题中的条件列出关于 x,y的方程组,并用列表的方法求出学生人 数与树苗的棵数. 13. 已知 x=1, y=-2 是二元一次方程组 ax-2y=0, 2bx+ay=2 的解.求: (1) a,b的值. (2) 关于x,y的方程组 a(2x+1)-2(3y-5)=0, 2b(2x+1)+a(3y-5)=2 的解. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第2章　二元一次方程组 因为∠H=∠4+10°, 所以∠4+10°+∠4=58°. 所以∠4=24°. 所以∠H=∠4+10°=34°. 第2章　二元一次方程组 2.1　二元一次方程 1. B 2. B 3. x+5y=120 4. (1) 因为5x+3y=18, 所以3y=18-5x. 所以y=- 5 3x+6. (2) 填表如下: x 0 1 2 3 4 y 6 13 3 8 3 1 - 2 3 (3) 由表可知,方程的非负整数解为 x=0, y=6 或 x=3 , y=1. 5. A 6. D [解析] 由题意可知,a+3≠ 0且|a|-2=1,解得a=3. 要注意二元一次方程需满足的 两个条件 关于x,y的二元一次方程的 一般形式为ax+by=c,其中a,b, c是常数,且a≠0,b≠0.我们应注 意两点:一是含x,y的项的次数都 是1,二是含x,y的项的系数不为 0.这两点必须同时满足,缺一 不可. 7. C 8. A [解析] 因为竞赛共有20道 题,其中杭杭同学答对了x道题,答 错了y道题,所以杭杭同学不答的题 有(20-x-y)道.因为每答对一道题 得5分,每答错一道题扣3分,所以答 对的x道题得5x分,答错的y道题 得-3y分.因为不答的题得1分,所 以不答的(20-x-y)道题得(20-x- y)分.因为杭杭同学这次竞赛的成绩 为60分,所以5x-3y+(20-x- y)=60,即5x-3y+20-x-y=60. 所以4x-4y=40.所以x-y=10. 9. B [解析] 由题表可知,方程的一 组解为 x=0, y=3, 代入方程ax-by=3, 得-3b=3,解得b=-1,所以方程为 ax+y=3.因为 x=1, y=1 也是方程 ax+y=3的一组解,代入,得a+1= 3,解得a=2,所以方程为2x+y=3. 将x=3,y=m 代入方程2x+y=3, 得2×3+m=3,解得m=-3. 10. -23x+13 11. 2022 [解析] 因为 x=3, y=-2 是二 元一次方程ax+by=-2的一个解, 所以3a-2b=-2.所以3a-2b+ 2024=-2+2024=2022. 12. x 1+10%+ y 1-5%=1 000 [解析] 由题意可知,原计划种植梨树 x 1+10% 株,原 计 划 种 植 苹 果 树 y 1-5% 株.根据“原计划种植梨树和 苹果树一共1000株”,列二元一次方 程为 x 1+10%+ y 1-5%=1 000. 13. 7 [解析] 设取出1角的硬币 x枚,5角的硬币y枚,则取出1元的 硬币(15-x-y)枚.依题意,得x+ 5y+10(15-x-y)=70,所以y= 16-95x. 因为x,y,15-x-y均为 非负整数,所以x=5,y=7,15-x- y=3.所以取出了7枚5角的硬币. 14. (1) 移项,得-3y=-4x+10. 两边同时除以-3,得y= 4 3x- 10 3. (2) 把 x=3m+1, y=2m-2 代入方程4x- 3y-10=0, 得4(3m+1)-3(2m-2)-10=0. 去括号,得12m+4-6m+6-10=0. 移项,得12m-6m=10-4-6, 解得m=0. 15. (1) 由题意,得20x+45y=400. (2) 因为20x+45y=400, 所以x=20-94y. 又因为x,y均为非负整数, 所以 x=20, y=0 或 x=11 , y=4 或 x=2 , y=8. 所以共有3种租车方案,方案一:租用 小客车20辆;方案二:租用小客车 11辆,大客车4辆;方案三:租用小客 车2辆,大客车8辆. (3) 由(2)可知,方案一所需的租金为 4000×20=80000(元),方案二所需 的租金为4000×11+7600×4= 74400(元),方案三所需的租金为 4000×2+7600×8=68800(元). 因为80000>74400>68800, 所以最省钱的租车方案为租用小客车 2辆,大 客 车 8 辆,最 少 租 金 为 68800元. 2.2　二元一次方程组 和它的解 1. D 2. C 3. 答案不唯一,如3x+y 4. (1) 10;9;8;7;6;5. (2) 11;192 ;8;132 ;5;72. (3) x=0, y=8. 5. A 6. B [解析] 根据题意可知,x表示 上坡路的千米数,y表示平路的千米 数.因为路程不变,所以从乙地到甲地 的下坡路为xkm,平路为ykm.所以 走下坡路所需时间为x 5h ,走平路所 需时间为y 4h. 根据“从乙地到甲地需 42min”,可列方程为x5+ y 4= 42 60. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 21 7. B [解析] 由题图①所示的算筹 图得到的方程组可知,两行算筹代表 两个关于x,y的二元一次方程,每行 左边的算筹表示x的系数,中间的算 筹表示y的系数,右边的算筹表示方 程右边的常数.竖直放置的算筹每个 代表1,只有水平放置的算筹表示该 算筹所处数位上的数字,如果水平放 置的算筹放在竖直放置的算筹上方, 那么那根水平放置的算筹代表5,所 以题图②所示的算筹图表示的方程组 为 2x+y=11, 4x+3y=27. 8. B [解 析] 因 为 方 程 组 2x-y=△, x-y=4 的解为 x=-2 , y=▽, 所以 -2-y=4,解得y= -6.所以 ▽=-6.所以 △=2×(-2)- (-6)=2.所以被“△”和“▽”遮盖的 两个数分别为2,-6. 9. -1 [解析] 由题意,得|a|=1, b-5=0,a-1≠0,解得a=-1,b= 5.所以原式=(-1)5=-1. 10. 6 -2 [解析] 把x=4代入 2x-y=10,得y=-2.所以n=-2. 所以m=2x+y=8-2=6.所以m= 6,n=-2. 11. 把y=1代入x-y=2,解得x=3. 把x=3,y=1代入2x+3y=m,解 得m=9. 12. 由题意,得 6x+9=y, 8x-1=y. 列表如下: 6x+ 9=y x 1 2 3 4 5 6 7 … y 15212733394551… 8x- 1=y x 1 2 3 4 5 6 7 … y 7152331394755… 由表可知,方程组 6x+9=y, 8x-1=y 的解为 x=5, y=39, 即有5名学生,39棵树苗. 13. (1) 因为 x=1, y=-2 是二元一次方 程组 ax-2y=0, 2bx+ay=2 的解, 所以把 x=1, y=-2 代入方程组中的第一 个方程,得a×1-2×(-2)=0. 所以a+4=0,解得a=-4. 因为把 x=1, y=-2 代入方程组中的第二 个方程,得2b×1+a×(-2)=2, 所以2b-2×(-4)=2. 所以2b+8=2. 所以b=-3. 所以a,b的值分别为-4,-3. (2) 因为方程组 ax-2y=0, 2bx+ay=2 的解 为 x=1, y=-2, 所以分别把方程组 a(2x+1)-2(3y-5)=0, 2b(2x+1)+a(3y-5)=2 中的2x+ 1,3y-5看作一个整体,可得2x+ 1=1,3y-5=-2. 所以x=0,y=1. 所以方程组 a(2x+1)-2(3y-5)=0, 2b(2x+1)+a(3y-5)=2 的 解 为 x=0, y=1. 2.3　解二元一次方程组 第1课时 代入消元法 1. C 2. C 3. D 4. x=3, y=-2 5. (1) x=2, y=7. (2) x=3, y=7. 6. B [解析] 由①,得x=8-3y2 ③. 把③代入②,得3·8-3y2 -5y=5. 去 分母,得24-9y-10y=10.所以合作 中出现错误的同学是丙.丁在丙的基 础上解得的x,y是正确的. 7. C [解析] 因为方程组的解满足 2x+3y=2,所以 2x+3y=2①, x-2y=1②. 由 ②,得x=2y+1③.把③代入①,得 2(2y+1)+3y=2,解得y=0.把y= 0代入③,得x=2×0+1=1. 所以 x=1, y=0. 把x=1,y=0代入3x+ y=a,得3×1+0=a,解得a=3. 8. 0.35 9. 1 [解析] 因为x⊗(-y)=2,且 2y⊗x=1,所以 2x-y=2, 4y+x=1, 解得 x=1, y=0. 所以x+y=1. 10. 10 10 [解析] 由题意可知, -a+2b=10①, 2a-b=10②, 由①,得a=2b- 10③.将③代入②,得2(2b-10)- b=10,解得b=10.将b=10代入③, 得a=10. 11. (1) 整理,得 3x-y=8①, 3x-5y=-20②. 由①,得3x=y+8③. 把③代入②,得y+8-5y=-20,解 得y=7. 把y=7代入③,得3x=7+8,解得 x=5. 所以 x=5, y=7. (2) 记 2x+3y 2 =1① , 3(2x+3y)-2y=6②. 由①,得2x+3y=2③. 把③代入②,得3×2-2y=6,解得 y=0. 把y=0代入③,得2x+3×0=2,解 得x=1. 所以 x=1, y=0. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 31