1.5 专题特训(二) 巧作平行线解决”断木问题”-【拔尖特训】2024-2025学年新教材七年级下册数学（浙教版2024）

理由:因为AB∥CD, 所以∠BCD=∠ABC=46°. 所以∠ECD=∠BCD-∠BCE= 46°-20°=26°. 所 以 ∠CEF + ∠ECD =154°+ 26°=180°. 所以EF∥CD. 所以∠EFD+∠D=180°,即∠EFD 与∠D互补. 11. (1) 因为AM∥BN,∠A=60°, 所以∠ABN=180°-∠A=120°. 又因为BC,BD 分别平分∠ABP 和 ∠PBN, 所以∠CBP=12∠ABP ,∠PBD= 1 2∠PBN. 所以∠CBD=∠CBP+∠PBD= 1 2 (∠ABP+∠PBN)=12∠ABN= 60°. (2) 不变. 因为AM∥BN, 所以 ∠APB = ∠PBN,∠ADB = ∠DBN. 因为BD平分∠PBN, 所以∠DBN=12∠PBN. 所以∠ADB=12∠APB ,即∠APB∶ ∠ADB=2. (3) 因为AM∥BN, 所以∠ACB=∠CBN. 又因为∠ACB=∠ABD, 所以∠ABD=∠CBN. 所以∠ABD-∠CBD=∠CBN - ∠CBD,即∠ABC=∠DBN. 因为BC,BD 分别平分∠ABP 和 ∠PBN, 所 以 ∠ABC = ∠CBP,∠PBD = ∠DBN. 所以 ∠ABC = ∠CBP = ∠PBD = ∠DBN. 所以∠ABC=14∠ABN=30°. 专题特训（一）　平行线的 判定和性质的综合应用 1. A 2. B 3. 77° 4. 34° [解析] 因为FG∥AE,所以 ∠1=∠A.又因为∠1=∠2,所以 ∠A= ∠2.所 以 AB∥CD.所 以 ∠ABC=∠C,∠D+∠ABD=180°. 因为 ∠D =112°,所 以 ∠ABD = 180°-112°=68°.因为 BC 平分 ∠ABD,所以∠ABC=12∠ABD= 34°.所以∠C=∠ABC=34°. 5. 因为∠AFC=∠AED, 所以BC∥DE. 所以∠CED=∠C=60°. 因为DE⊥AE, 所以∠AED=90°. 所以∠CEF=∠AED-∠CED= 90°-60°=30°. 因为AB∥CE, 所以∠A=∠CEF=30°. 6. (1) 因为BC∥DF, 所以∠D+∠BCD=180°. 因为∠B=∠D, 所以∠B+∠BCD=180°. 所以AB∥CD. 所以∠A=∠ACD. (2) 因为∠A+∠B=108°, 所以∠ACB=72°. 因为FG∥AC, 所以∠BGF=∠ACB=72°. 因为BC∥DF, 所以∠EFG=∠BGF=72°. 7. B [解析] 因为AB∥DE,所以 ∠1=∠AED.因为∠1=∠2,所以 ∠AED=∠2.所以AE∥DC. 8. EF∥BH. 理由:因为AB∥CD, 所以∠2+∠AEM=180°,即∠2+ ∠1+∠FEM=180°. 因为∠1+∠2=90°, 所以∠FEM=90°. 因为BH⊥EM, 所以∠HGM=90°. 所以∠FEM=∠HGM. 所以EF∥BH. 9. AB∥MN. 理由:因为EF⊥AC,BD⊥AC, 所以EF∥BD. 所以∠3=∠CDM. 因为∠3=∠2, 所以∠2=∠CDM. 所以MN∥CD. 所以∠AMN=∠C. 因为∠1=∠C, 所以∠1=∠AMN. 所以AB∥MN. 10. (1) ES∥TH. 理由:由题意,知∠AST=∠BSE, ∠DTH=∠CTS. 易知AB∥CD, 所以∠AST=∠CTS. 所以∠AST=∠BSE=∠DTH = ∠CTS. 所 以 ∠TSE =180°- ∠AST - ∠BSE = 180° - ∠DTH - ∠CTS=∠STH. 所以ES∥TH. (2) EM∥NP. 理由:由题意,知∠AMN=∠BME, ∠ANM=∠DNP,∠A=90°. 所 以 ∠AMN + ∠ANM = 90°, ∠NME = 180° - 2 ∠AMN, ∠MNP=180°-2∠ANM. 所以 ∠NME + ∠MNP =360°- 2(∠AMN+ ∠ANM )= 360° - 180°=180°. 所以EM∥NP. 专题特训（二）　巧作平行线 解决“断木问题” 1. C [解析] 如图,过点A 作AB∥ 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 7 CD.因为CD∥EF,所以AB∥CD∥ EF.所以∠BAG=∠α=43°,∠β= ∠BAH.因 为 ∠GAH =90°,所 以 ∠BAH=∠GAH-∠BAG=90°- 43°=47°.所以∠β=47°. (第1题) 2. B [解析] 如图,过点C作CF∥ AB.因为AB∥DE,CF∥AB,所以 CF∥DE.所以 ∠ACF = ∠BAC, ∠D + ∠DCF = 180°.又 因 为 ∠BAC =130°,∠D =70°,所 以 ∠ACF=130°,∠DCF=110°.所以 ∠ACD=∠ACF-∠DCF=20°. (第2题) 添加平行线解决求角问题 当已知角和所求角与两条已 知平行线没有直接关系时,可通过 添加平行线,借助平行线的性质解 决问题. 3. C [解析] 因为∠F+∠FEA= 180°,所以AB∥FG,即条件①不能说 明AB∥CD.故选项 A 错误.因为 ∠F+∠FGC=180°,所以CD∥FE, 即条件②不能说明AB∥CD.故选项 B错误.如图,过点F作FH∥CD,则 ∠HFG= ∠FGD.因 为 ∠EFG + ∠FGD = 90°,所 以 ∠EFH + ∠HFG + ∠FGD = 90°.所 以 ∠EFH+∠FGD+∠FGD=90°.所 以 ∠EFH =90°-2∠FGD.因为 ∠FEB + 2∠FGD = 90°,所 以 ∠FEB = 90°- 2∠FGD.所 以 ∠EFH=∠FEB.所以AB∥FH.所 以AB∥CD,即条件③能说明AB∥ CD.故选项C正确.因为∠FGC- ∠F =90°,∠F + ∠FGD =90°, 所以∠FGC-∠F+∠F+∠FGD= 90°+90°.所以∠FGC+∠FGD= 180°.这与∠CGD 为平角一致,即条 件④不能说明AB∥CD.故选项 D 错误. (第3题) 4. 115° [解析] 如图,过点D 作 DI∥EF,则∠FDI=180°-∠EFD= 180°-150°=30°.因为 ∠HDF= ∠CDB=35°,所以∠HDI=30°+ 35°=65°. 因为GH∥AB,EF∥AB, 所以GH∥EF.又因为DI∥EF,所以 GH ∥DI.所 以 ∠GHD =180°- ∠HDI=180°-65°=115°. (第4题) 5. 120° [解析] 如图,过点E 作 EG∥AB.因为AB∥CD,所以EG∥ CD.因为EC⊥CD,所以∠ECD= 90°.所以∠GEC = ∠ECD =90°. 因为∠BEC =30°,所以∠GEB = 90°-30°=60°.因为EG∥AB,所以 ∠ABE=180°-∠GEB=120°. (第5题) 6. (1) 如图①,过点E作EF∥AB. 因为AB∥CD, 所以AB∥CD∥EF. 所以∠B=∠BEF,∠D=∠DEF. 因为∠DEF=∠BEF+∠BED, 所以∠B+∠BED=∠D. (2) 如图②,过点F作FH∥BE. 因为DG∥BE, 所以BE∥FH∥DG. 所以∠E=∠EFH=30°,∠GDF+ ∠HFD=180°. 因为∠EFD=140°, 所以∠HFD=∠EFD-∠EFH=110°. 所以∠GDF=180°-∠HFD=70°. 因为DG平分∠CDF, 所以∠CDG=∠GDF=70°. 因为AB∥CD, 所以∠BGD=∠CDG=70°. 因为BE∥DG, 所以∠B=∠BGD=70°. (第6题) 7. B [解析] 如图,分别过点E,F 作EG∥AB,FH∥CD,则易得AB∥ EG∥FH ∥CD.因 为 AB∥EG, 所以∠ABE=∠BEG.又因为EG∥ HF,所 以 ∠EFH = ∠GEF. 所以∠ABE+ ∠EFH = ∠BEG+ ∠GEF=∠BEF=60°.因为 HF∥ CD,所以∠HFC+∠FCD=180°. 所以∠ABE+ ∠EFC + ∠FCD = ∠ABE + ∠EFH + ∠HFC + ∠FCD=60°+180°=240°. (第7题) 8. B [解析] 如图,分别过点B,C 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 8 作BE∥MN,CF∥PQ.设∠MAB= m°,∠PDC =n°.因 为 AB 平 分 ∠MAC,DC 平 分 ∠PDB,所 以 ∠MAC=2∠MAB=2m°,∠PDB= 2∠PDC=2n°.因为MN∥PQ,BE∥ MN,所 以 MN ∥BE∥PQ.所 以 ∠ABE=∠MAB,∠DBE=∠PDB. 所以∠ABE+∠DBE=∠MAB+ ∠PDB,即∠ABD=m°+2n°.同理, 可得∠ACD=∠PDC+∠MAC= n°+2m°.因为2∠ACD-∠ABD= 60°,所以2(n°+2m°)-(m°+2n°)= 60°.所以2n°+4m°-m°-2n°=60°, 解得m=20.所以∠MAC=2m°=2× 20°=40°. (第8题) 9. 30° [解析] 如图,分别过点B,C 作BG∥l1,CH∥l2.因为直线l1∥l2, 所以 易 得 BG ∥l1 ∥CH ∥l2. 所以∠EBG=∠1=40°,∠HCD= ∠4,∠GBC=∠HCB.所以∠2= 40°+ ∠GBC,∠3 = ∠HCB + ∠HCD=∠GBC+∠4.因为∠2比 ∠3 大 10°,所 以 40°+ ∠GBC - (∠GBC+∠4)=10°.所以40°- ∠4=10°,解得∠4=30°. (第9题) 10. AB∥EF. 理由:如图,过点C 作CG∥AB,过 点D作DH∥AB,则CG∥DH. 因为CG∥AB,∠B=25°, 所以∠BCG=∠B=25°. 因为∠BCD=45°, 所以∠GCD=∠BCD-∠BCG= 45°-25°=20°. 因为CG∥DH, 所以∠CDH=∠GCD=20°. 因为∠CDE=30°, 所以∠HDE=∠CDE-∠CDH=10°. 因为∠E=10°, 所以∠HDE=∠E. 所以DH∥EF. 所以AB∥EF. (第10题) 11. ∠BEF + ∠DGF = ∠B + ∠EFG+∠D. 如图,过点E,F,G分别作EM∥AB, FN∥AB,GH∥AB. 因为AB∥CD, 所以AB∥EM∥FN∥GH∥CD. 所以∠1=∠B,∠2=∠3,∠4=∠5, ∠6=∠D. 所以∠BEF+∠DGF=∠1+∠2+ ∠5+∠6=∠B+∠3+∠4+∠D= ∠B+∠EFG+∠D. (第11题) 12. (1) 如图①,过点E作EF∥AB, 交AC于点F. 因为AB∥CD, 所以AB∥EF∥CD. 所以∠AEF=∠BAE,∠CEF=∠DCE, ∠BAP+∠DCP=180°. 因为 AE,CE 分 别 平 分 ∠BAP, ∠DCP, 所以∠BAE=12∠BAP ,∠DCE= 1 2∠DCP. 所以∠BAE+∠DCE=12 (∠BAP+ ∠DCP)=90°. 所 以 ∠AEF + ∠CEF =90°,即 ∠AEC=90°. (2) ∠AEC=12∠APC. 理由:如图②,过点E作EM∥AB,过 点P作PN∥AB. 因为AB∥CD, 所以AB∥EM∥CD,AB∥PN∥CD. 所以∠BAE=∠AEM,∠ECD=∠MEC, ∠APN=∠BAP,∠NPC=∠DCP. 因为 AE,CE 分 别 平 分 ∠BAP, ∠DCP, 所以∠BAE=12∠BAP ,∠ECD= 1 2∠DCP. 所以∠AEC=∠AEM +∠MEC= ∠BAE+ ∠ECD = 12 (∠BAP + ∠DCP),∠APC = ∠APN + ∠NPC=∠BAP+∠DCP. 所以∠AEC=12∠APC. (3) 不成立. ∠AEC=180°-12∠APC. (第12题) 1.6　图形的平移 1. D 2. B 3. 35° 4. (1) 如图,三角形DEF即为所求. (2) 如图,线段AD,CF即为所求. AD=CF,AD∥CF. (第4题) 5. C 6. D [解析] 因为把三角形ABC沿 着直线BC 向右平移2.5cm后得到 三角形DEF,所以AC∥DF,AD∥ CF,AB∥DE,CF=AD=2.5cm.故 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 9 20 　　专题特训（二）　巧作平行线解决“断木问题” ▶ “答案与解析”见P7 类型一 过一个拐点作平行线 1. (2023·杭州富阳期中)将一把直角三角尺和 一把直尺按如图所示的方式放置.若∠α= 43°,则∠β的度数是 ( ) A. 43° B. 45° C. 47° D. 57° (第1题) (第2题) 2. ★(2024·温州乐清期中)某兴趣小组利用几 何图形画出螳螂的简笔画,如图,∠BAC= 130°,AB∥DE,∠D=70°,则∠ACD 的度 数为 ( ) A. 10° B. 20° C. 30° D. 60° 3. 如图,∠F+ ∠FGD =90°(其中 ∠F> ∠FGD),添加一个以下条件:① ∠F+ ∠FEA=180°;② ∠F+∠FGC=180°; ③ ∠FEB+2∠FGD=90°;④ ∠FGC- ∠F=90°.其中,能说明AB∥CD的是 ( ) A. ① B. ② C. ③ D. ④ (第3题) (第4题) 4. (新情境)如图,放置在水平操场上的篮球架 的横梁EF 始终平行于AB(即GH∥AB), EF与上拉杆CF形成的∠EFD=150°,主柱 AD垂直于地面,通过调整CF和后拉杆BC 的位置来调整篮筐的高度.当∠CDB=35° 时,点H,D,B 在同一条直线上,则∠GHD 的度数为 . 5. 如 图,AB∥CD,EC ⊥CD 于 点 C.若 ∠BEC=30°,则∠ABE的度数为 . (第5题) 6. 如图,AB∥CD. (1) 如图①,试说明:∠B+∠E=∠D. (2) 如图②,F为AB,CD 之间的一 点,∠E =30°,∠EFD =140°,DG 平 分 ∠CDF,交AB 于点G.若DG∥BE,求∠B 的度数. (第6题) 类型二 过多个拐点作平行线 7. 如图,若AB∥CD,∠BEF=60°,则∠ABE+ ∠EFC+∠FCD的度数为 ( ) (第7题) A. 215° B. 240° C. 320° D. 无法确定 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(浙教版)七年级下 21 8. (2023·宜宾翠屏期末)如图,MN∥PQ,AB 平分∠MAC,DC 平分∠PDB.若2∠C- ∠B=60°,则∠MAC的度数为 ( ) A. 30° B. 40° C. 50° D. 60° (第8题) (第9题) 9. 如图,直线l1∥l2.若∠1=40°,∠2比∠3大 10°,则∠4的度数为 . 10. 如图,∠B=25°,∠BCD=45°,∠CDE= 30°,∠E=10°,则AB与EF平行吗? 请说 明理由. (第10题) 11. 如图,AB∥CD,则∠BEF+∠DGF 与 ∠B+∠EFG+∠D 之间有何数量关系? 为什么? (第11题) 12. 已知射线AB∥CD,P 为一动点,连结PA, PC,∠BAP 的平分线AE 与∠DCP 的平 分线CE交于点E. (1) 如图①,当点P 在线段AC 上运动时 (不与点A,C重合),求∠AEC的度数. (2) 当点P 运动到图②的位置时,猜想 ∠AEC与∠APC之间的数量关系,并说明 理由. (3) 当点P运动到图③的位置时,(2)中的 结论还成立吗? 若不成立,试猜想∠AEC与 ∠APC之间的数量关系(不要求说明理由). (第12题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第1章　相交线与平行线