1.4 平行线的判定-【拔尖特训】2024-2025学年新教材七年级下册数学（浙教版2024）

10 1.4　平行线的判定 第1课时 平行线的判定(1) ▶ “答案与解析”见P4 1. 如图,∠1=90°,为保证两条铁轨平行,添加 的下列条件中,正确的是 ( ) A. ∠2=90° B. ∠3=90° C. ∠4=90° D. ∠5=90° (第1题) (第2题) 2. (2024·杭州西湖段考)如图,将木条a,b与c 钉在一起,∠1=80°,∠2=50°,要使木条a 与b平行,木条a旋转的度数至少是 ( ) A. 25° B. 30° C. 35° D. 40° (第3题) 3. 如图,若∠MBG=∠GCN, 则 ∥ ;若 ∠FAE = ∠BCE, 则 ∥ . 4. 如图,直线l1,l2被直线AB所截,AC⊥l2于 点C.若∠1=50°,∠2=40°,则l1与l2平行 吗? 请说明理由. (第4题) 5. 如图,直线AB,CD 被直线EF所截,如果要 添加条件,使得MQ∥NP,那么下列条件中, 能判定MQ∥NP的是 ( ) A. ∠1=∠2 B. ∠BMF=∠DNF C. ∠AMQ=∠CNP D. ∠1=∠2,∠BMF=∠DNF (第5题) (第6题) 6. 如图,直线EF分别交CD,AB于点 M,N,且∠EMC=65°,∠MNB= 115°,则下列结论中,正确的是 ( ) A. AE∥DF B. AB∥CD C. ∠A=∠D D. ∠E=∠F 7. 看图填空: 如图,AC⊥AE,BD⊥BF,∠1=35°,∠2= 35°,AC与BD平行吗? AE与BF平行吗? (第7题) 解:因为∠1=35°,∠2=35°, 所以∠1=∠2. 根据“ ”,可得 ∥ . 已知 AC⊥AE, 根据“ ”,可得∠EAC=90°. 所以∠EAB=∠EAC+∠1=125°. 同理,可得∠FBG=∠FBD+∠2= . 所以∠EAB=∠FBG. 根据“ ”,得 ∥ . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(浙教版)七年级下 11 8. 如图,CF 平分∠ACM,∠1=72°,∠2=36°, 判断CM 与DN 是否平行,并说明理由. (第8题) 9. 如图,在四边形ABCD 中,你能用折纸的方 法折出一条折痕MN,使MN∥BC吗? 小明 同学是这样做的:第一次折叠,使点C与点B 重合,得折痕EF;第二次折叠,使点F 与 点E重合,得折痕MN,EF,MN 交于点O, 则MN 即为所求.你觉得小明的做法对吗? 如果对,请说明理由. (第9题) 10. (2023·周口太康期末改编)如图, 直线EF上有两点A,C,分别作两 条射线AB,CD.∠BAF=110°, CD与AB 在直线EF的两侧.若∠DCF= 60°,射线AB,CD分别绕点A,C以1°/s和 6°/s的速度同时按顺时针方向转动.在射线 CD 转动一周的时间内,第ts时,CD与AB 平行,试求出t的值. (第10题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第1章　相交线与平行线 12 第2课时 平行线的判定(2) ▶ “答案与解析”见P4 1. (2024·温州瓯海期末)如图,点E在AC的延 长线上,下列条件中,能判定AB∥CD的是 ( ) A. ∠3=∠4 B. ∠1=∠4 C. ∠D=∠DCE D. ∠D+∠ABD=180° (第1题) (第2题) 2. 如图,下列说法中,不正确的是 ( ) A. 若∠1=∠E,则AC∥DE B. 若∠2=∠BAC,则AB∥CD C. 若∠B+∠BAD=180°,则AD∥BC D. 若∠E+∠ADE=180°,则AC∥DE (第3题) 3. 如图,AB⊥AC,∠1=30°, 当∠D 的度数为 时,AB∥CD. 4. 如图,在三角形ABC 中,∠ADE=60°,DF 平分∠ADE,∠1=30°,DF 与BE 平行吗? 请说明理由. (第4题) 5. (2024·温州鹿城期中)如图,有下列条件: ① ∠1=∠2;② ∠2=∠3;③ ∠3+∠4= 180°;④ ∠2+∠4=180°.其中,一定能判定 l1∥l2的是 ( ) (第5题) A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ②④ 6. 一辆汽车在公路上行驶,两次拐弯 后,仍沿原来的方向平行行驶,则这 两次拐弯的情况可能是 ( ) A. 先向左转130°,再向左转50° B. 先向左转50°,再向右转50° C. 先向左转50°,再向右转40° D. 先向左转50°,再向左转40° 7. 如图,∠1=30°,AB⊥AC,要使AD∥BC,需 再添加的一个条件是 (要求:添加这 个条件后,其他条件也必不可少,才能推出结论). (第7题) 8. (跨学科融合·物理)如图,平面反 光镜AC斜放在地面AB上,一束光 从地面上的点P 处射出,DE 是反 射光线 (注:由光学知识,得 ∠ADP = ∠CDE).已知∠APD=120°,若要使反射光 线DE∥AB,则∠CAB 的度数应调节为 . (第8题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(浙教版)七年级下 13 9. 如图,点E在AB上,且CE平分∠BCD,DE 平分∠ADC,∠EDC+∠DCE=90°.试说 明:AD∥BC. (第9题) 10. (2023·九江期末)如图,在三角形ABC中, AD平分∠BAC,交BC于点D,点E,F分 别在边BC,AC上,连结EF并延长,交BA 的延长线于点G.若∠CFE=∠G,试说明: AD∥EG. (第10题) 11. 如图,将一副三角尺中的两个直角 顶点C 叠放在一起,其中∠A= 30°,∠B=60°,∠D=∠E=45°. (1) 若∠BCD=150°,求∠ACE的度数. (2) 试猜想∠BCD与∠ACE之间的数量关 系,并说明理由. (3) 若固定三角尺ABC,绕顶点C 转动三 角尺CDE,试探究当∠BCD 的度数为多少 时,CD∥AB,并说明理由. (第11题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第1章　相交线与平行线 平面划分成4部分. (第12题) 13. (1) 答案不唯一,如正面:AB∥ EF;上面:A'B'∥AB;右面:DD'∥ HR. (2) EF∥A'B'. (3) 没有公共点,不能说这两条直线 平行. 具有类似位置关系的直线还有直线 EF 与直线DD',直线BB'与直线 DH(答案不唯一). 可知在叙述平行线的概念时,必须要 加上“在同一平面内”这一限制条件, 即“在同一平面内,不相交的两条直线 叫作平行线”. 1.4　平行线的判定 第1课时 平行线的判定(1) 1. C 2. B 3. MB CN FA BC 4. l1∥l2. 理由:如图,因为∠1=50°,∠2=40°, 所以∠3=180°-∠1-∠2=90°. 所以AC⊥l1. 因为AC⊥l2, 所以l1∥l2. (第4题) 5. D 6. B [解析] 因为∠EMC=65°, 所以∠EMD=180°-65°=115°. 所以∠MNB = ∠EMD = 115°. 所以AB∥CD. 7. 同 位 角 相 等,两 直 线 平 行 AC BD 垂直的定义 125° 同位 角相等,两直线平行 AE BF 8. CM∥DN. 理由:因为CF平分∠ACM, 所以∠ACM=2∠1. 因为∠1=72°, 所以∠ACM=2∠1=144°. 所以∠BCM=180°-144°=36°. 因为∠2=36°, 所以∠2=∠BCM. 所以CM∥DN. 9. 小明的做法是对的. 理由:因为第一次折叠,使点C与点B 重合,得折痕EF, 所以EF⊥BC. 所以∠EFC=90°. 因为第二次折叠,使点F 与点E 重 合,得折痕MN, 所以MN⊥EF,即∠EON=90°. 所以∠EON=∠EFC. 所以MN∥BC. 10. 分三种情况:① 如图①,AB 与 CD在直线EF的异侧时,延长DC到 点G. 根据题意,得 ∠GCF = ∠ACD = 180°-60°-(6t)°=120°-(6t)°, ∠BAC=110°-t°. 因为要使AB∥CD,须使∠GCF= ∠BAC, 所以120°-(6t)°=110°-t°,解得 t=2. 因为(180°-60°)÷6°=20, 所以此时0<t<20. 所以t=2符合题意. ② 如图②,CD 与AB 都在直线EF 的右侧时,根据题意,得∠DCF= 360°-(6t)°-60°=300°-(6t)°, ∠BAC=110°-t°. 因为要使AB∥CD,须使∠DCF= ∠BAC, 所以300°-(6t)°=110°-t°,解得 t=38. 因为(360°-60°)÷6°=50, 所以此时20<t<50. 所以t=38符合题意. ③ 如图③,CD 与AB 都在直线EF 的左侧时,根据题意,得∠DCF= (6t)°-(180°-60°+180°)=(6t)°- 300°,∠BAC=t°-110°. 因为要使AB∥CD,须使∠DCF= ∠BAC, 所以(6t)°-300°=t°-110°,解得t=38. 因为由②可知,此时t>50, 又因为38<50, 所以此情况不存在. 综上所述,当t的值为2或38时,CD 与AB平行. (第10题) 第2课时 平行线的判定(2) 1. D 2. D 3. 60° 4. DF∥BE. 理由:因为DF平分∠ADE, 所以∠FDE=12∠ADE. 因为∠ADE=60°, 所以∠FDE=30°. 因为∠1=30°, 所以∠FDE=∠1. 所以DF∥BE. 5. B 6. B [解析] 对于选项A,如图①, 因为∠1=130°,所以∠3=50°=∠2. 所以a∥b,但方向相反.故选项A错 误.对于选项B,如图②,因为∠1= 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 4 ∠2=50°,所以a∥b,且方向相同.故 选项B正确.对于选项C,如图③,因 为∠1=50°,∠2=40°,所以∠1≠ ∠2.所以a与b不平行.故选项C错 误.对于选项D,如图④,因为∠1= 50°,∠2=40°,所以∠3=140°≠∠1. 所以a与b不平行.故选项D错误. (第6题) 7. 答案不唯一,如∠B=60° 8. 30° [解析] 因为 ∠APD 与 ∠PDE是直线AB与DE被直线DP 所截形成的内错角,所以当∠PDE= ∠APD=120°时,DE∥AB.因 为 ∠ADP=∠CDE,∠ADP+∠CDE+ ∠PDE = 180°,所 以 ∠ADP = ∠CDE=12 (180°-∠PDE)=12× (180°-120°)=30°.所以在三角形 APD 中,∠CAB=180°-∠APD- ∠ADP=180°-120°-30°=30°.所 以要使反射光线DE∥AB,则∠CAB 的度数应调节为30°. 9. 因为CE 平分∠BCD,DE 平分 ∠ADC, 所以∠EDC=12∠ADC ,∠DCE= 1 2∠BCD. 又因为∠EDC+∠DCE=90°, 所以∠ADC+∠BCD=180°. 所以AD∥BC. 10. 因为AD平分∠BAC, 所以∠BAD=∠CAD. 因为∠CFE=∠G,∠CFE=∠AFG, 所以∠G=∠AFG. 因 为 ∠BAC + ∠GAF = 180°, ∠GAF+∠G+∠AFG=180°, 所以∠BAC=∠G+∠AFG. 所以∠BAD+∠CAD=∠G+∠AFG. 所以2∠CAD=2∠AFG. 所以∠CAD=∠AFG. 所以AD∥EG. 11. (1) 因为∠BCA=∠ECD=90°, ∠BCD=150°, 所以∠DCA=∠BCD-∠BCA= 150°-90°=60°. 所以∠ACE=∠ECD-∠DCA= 90°-60°=30°. (2) ∠BCD+∠ACE=180°. 理由:当三角尺ABC与三角尺CDE 有重叠部分时, 因为∠BCD=∠BCA+∠ACD= 90°+ ∠ACD,∠ACE= ∠ECD - ∠ACD=90°-∠ACD, 所以∠BCD+∠ACE=180°. 当三角尺ABC 与三角尺CDE 没有 重叠部分时,∠BCD + ∠ACE = 360°- ∠BCA - ∠ECD =360°- 90°-90°=180°. (3) 当∠BCD 的度数为120°或60° 时,CD∥AB. 理由:如图①,当∠BCD=120°时, 因为∠B=60°, 所以∠BCD+∠B=180°. 所以CD∥AB. 如图②,当∠BCD=60°时, 因为∠B=60°, 所以∠BCD=∠B. 所以CD∥AB. 综上所述,当∠BCD的度数为120°或 60°时,CD∥AB. (第11题) 1.5　平行线的性质 第1课时 平行线的性质(1) 1. B 2. B 3. 55° 4. 35° 5. 如图,因为AB∥CD, 所以∠1=∠ABC=65°. 因为BC平分∠ABD, 所以∠ABD=2∠ABC=130°. 所以∠3=180°-∠ABD=50°. 因为AB∥CD, 所以∠2=∠3=50°,即∠2的度数 为50°. (第5题) 6. B 7. A 8. C [解析] 如图,因为AB∥CD, 所以∠ABC=∠1.所以∠ABD= ∠2+∠ABC=∠2+∠1.因为BD 是折痕,所以∠ABD=∠DBE.因为 ∠CBE=180°,所以∠2+∠DBE= ∠2+∠ABD=180°,即∠2+∠2+ ∠1=180°.所以2∠2+∠1=180°.因 为∠1∶ ∠2=4∶3,所以 ∠2= 3 4∠1. 所以2×34∠1+∠1=180° , 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 5