1.1 直线的相交-【拔尖特训】2024-2025学年新教材七年级下册数学（浙教版2024）

2 1.1　直线的相交 第1课时 对 顶 角 ▶ “答案与解析”见P1 1. 如图,下列各组角中,互为对顶角的是( ) A. ∠1和∠2 B. ∠1和∠3 C. ∠2和∠4 D. ∠2和∠5 (第1题) (第2题) 2. (2024·台州临海期中)如图,直线a,b相交 于点O.如果∠1+∠2=220°,那么∠3的度 数为 ( ) A. 50° B. 60° C. 70° D. 80° 3. 如图,为了测量古塔的外墙底角∠AOB的度 数,小明设计了如下方案:作AO,BO的延长 线OD,OC,量出∠COD 的度数,就得到了 ∠AOB的度数.小明这样做的依据是 . (第3题) 4. (2023·绍兴诸暨期末)如图,直线AB和CD 相交于点O,∠DOE 是直角,OF 平分 ∠AOE,∠BOD=22°,求∠AOE 和∠COF 的度数. (第4题) 5. (跨学科融合·物理)如图,当光从空气射入 水中时,原本沿直线传播的光方向发生了偏 折,这就是折射现象.已知图中∠1=47°, ∠2=30°,则光的传播方向改变的度数为 ( ) A. 13° B. 15° C. 17° D. 19° (第5题) (第6题) 6. 如图,直线AB,CD 相交于点O,∠BOE= 90°.有下列结论:① ∠AOC 与∠COE 互为 余角;② ∠AOC=∠BOD;③ ∠AOC= ∠COE;④ ∠COE 与∠DOE 互为补角; ⑤ ∠AOC与∠DOE 互为补角;⑥ ∠BOD 与∠COE互为余角.其中,错误的有 ( ) A. ③④ B. ③⑤ C. ③④⑤ D. ③⑤⑥ 7. 如图,直线AB,CD 相交于点O,∠AOE= 90°,且∠EOD=14∠COE ,则∠BOC的度数 为 . (第7题) 8. 直线AB与CD相交于点O,∠AOC=50°.若 ∠EOD=20°,则∠BOE的度数为 . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(浙教版)七年级下 第1章　相交线与平行线 3 9. 如图,直线AB,CD 相交于点O,∠AOE= ∠COF=90°. (1) 写出∠DOE的所有余角: . (2) 若∠AOF=70°,求∠BOD的度数. (第9题) 10. 如图,直线AB,CD 相交于点O, OE 把∠AOC 分成两个部分,且 ∠AOE∶∠COE=2∶3,OF 平 分∠BOE. (1) 若∠BOD=65°,求∠BOE的度数. (2) 若∠AOE=12∠BOF-10° ,求∠COE 的度数. (第10题) (第11题) 11. 小明用一副三角尺自制对 顶角的“小仪器”,第一步: 固定三角尺ABC,并将边 AC延长至点P,第二步:使 另一块三角尺CDE的直角 顶点与三角尺ABC的直角 顶点C重合,摆放方式如图所示.延长DC 至点F,∠PCD 与∠ACF 就是一组对顶 角.若重叠所成的∠BCE=n(0°<n<90°), 则∠PCF的度数为 ( ) A. 180°-n B. 90°-n C. 90°+n D. -n 12. ★观察下列各图(直线均相交于一 点),寻找对顶角(不含平角). (1) 如图①,共有 对对 顶角. (2) 如图②,共有 对对顶角. (3) 如图③,共有 对对顶角. (4) 根据(1)~(3)中直线的条数与对顶角 的对数之间的关系,探究:若有n条直线相 交于一点,则可形成多少对对顶角? (5) 若有2025条直线相交于一点,求形成 的对顶角的对数. (第12题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第1章　相交线与平行线 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋注:标“★”的题目设有“方法归纳”或“易错警示”,详见“答案与解析”. 4 第2课时 垂 线 ▶ “答案与解析”见P1 1. 下列结论中,不正确的是 ( ) A. 一条直线的垂线只有一条 B. 若两条直线相交所成的四个角相等,则这 两条直线互相垂直 C. 在同一平面内,垂直的两条直线一定相交 D. 在同一平面内,过一点只能画出已知直线 的一条垂线 2. 如图,∠1=15°,AO⊥CO,点B,O,D在同一 条直线上,则∠2的度数为 ( ) A. 75° B. 15° C. 105° D. 165° (第2题) (第3题) 3. 如图,在三角形ABC 中,BC=6,AC=3, CP⊥AB,垂足为P,则CP的长可能是 ( ) A. 2 B. 4 C. 5 D. 7 4. 过一条线段外一点,画出这条线段的垂线,垂 足在 ( ) A. 这条线段上 B. 这条线段的端点上 C. 这条线段的延长线上 D. 以上都有可能 5. 如图,OA⊥OB,OB平分∠COD.若∠BOC= 31.5°,则∠AOD的度数为 . (第5题) 6. 如图,直线AB,CD 相交于点O,P 是直线 CD上的一点. (1) 过点P画AB的垂线段PE. (2) 过点P画CD的垂线,与AB交于点F. (3) 试写出线段PE,PO,FO的长度的大小 关系(用“<”连接),并指出其依据. (第6题) 7. 如图,直线EF,CD 交于点O,OA⊥OB,且 OC平分∠AOF.若∠AOE=n°,则∠BOD 的度数为 ( ) A. 1 3n° B. 1 2n° C. 2 3n° D. n° (第7题) (第9题) 8. 在同一平面内,已知线段AB的长为10cm, 点A,B 到直线l的距离分别为6cm 和 4cm,则符合条件的直线l有 条. 9. 如图,直线AB,CD 相交于点O,OE 平分 ∠AOC,OF ⊥AB,OG 平分 ∠EOF.若 ∠BOC=48°,则∠AOG的度数为 . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(浙教版)七年级下 5 10. 如图,平原上有A,B,C,D 四个村 庄,为解决饮水问题,政府准备投 资修建一个蓄水池. (1) 不考虑其他因素,请你画图确定蓄水池 H 的位置,使它到四个村庄距离之和最小. (2) 政府计划把河水引入蓄水池H 中,怎 样开渠最短? 请说明理由. (第10题) 11. (2023·杭州拱墅期末)如图,直线AB,CD 相交于点O,OM⊥AB. (1) 若∠1=∠2,试说明:ON⊥CD. (2) 若∠1=13∠BOC ,求∠BOD的度数. (第11题) 12. 如图①,射线OC⊥AB,垂足为O, ∠DOE=90°,OM 平分∠BOD. (1) ∠BOE与∠COD 的数量关系 是 ,理由是 . (2) 探索∠AOD 与∠COM 的数量关系,并 说明理由. (3) 如图②,在上述条件下,将∠DOE 旋转 至直线AB 的下方,请继续探索∠AOD 与 ∠COM 的数量关系,并说明理由. (第12题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第1章　相交线与平行线 第1章　相交线与平行线 1.1　直线的相交 第1课时 对 顶 角 1. A 2. C 3. 对顶角相等 4. 因为∠DOE是直角, 所以∠COE=180°-90°=90°. 因为∠AOC=∠BOD=22°, 所以∠AOE=∠AOC+∠COE= 112°. 因为OF平分∠AOE, 所以∠AOF=12∠AOE=56°. 所以∠COF=∠AOF-∠AOC= 56°-22°=34°. 5. A [解析] 如图,延长AO 至点 B.因为∠1=47°,所以∠3=43°.所以 ∠2+∠4=43°.又因为∠2=30°,所 以∠4=13°,即光的传播方向改变的 度数为13°. (第5题) 6. B [解析] 因为∠BOE=90°,所 以∠AOE=180°-∠BOE=180°- 90°=90°.所以∠AOC+∠COE= 90°.所以∠AOC与∠COE互为余角. 故① 正确.由对顶角相等,可得 ∠AOC = ∠BOD.故 ② 正 确. ∠AOE=∠AOC+∠COE=90°,但 ∠AOC 与∠COE 不一定相等,故 ③错误.因为 ∠COE + ∠DOE = 180°,所以∠COE 与∠DOE 互为补 角.故④正确.∠COE+∠DOE= 180°,但∠AOC 与∠COE 不一定相 等,故⑤错误.因为∠BOD=∠AOC, 且 ∠COE + ∠AOC =90°,所 以 ∠BOD+∠COE=90°.所以∠BOD 与∠COE 互为余角.故⑥正确.综上 所述,错误的有③⑤. 7. 126° [解析] 因为 ∠EOD = 1 4∠COE ,∠EOD+∠COE=180°, 所以∠EOD+4∠EOD=180°.所以 ∠EOD=36°.又因为∠AOE=90°,所 以∠AOD=∠AOE+∠EOD=126°. 因为∠BOC 与∠AOD 是对顶角,所 以∠BOC=126°. 8. 70°或 30° [解析] 如图 ①, ∠EOD 在 ∠BOD 的 外 部.因 为 ∠AOC=50°,所以∠BOD=50°.所以 ∠BOE=∠BOD+∠EOD=70°.如 图②,∠EOD在∠BOD 的内部.因为 ∠AOC=50°,所以∠BOD=50°.所以 ∠BOE=∠BOD-∠EOD=30°.综 上所述,∠BOE的度数为70°或30°. (第8题) 9. (1) ∠BOD,∠AOC,∠EOF. (2) 因为∠AOF=70°,∠COF=90°, 所以∠AOC=∠COF-∠AOF= 90°-70°=20°. 因为∠AOC与∠BOD是对顶角, 所以∠BOD=∠AOC=20°. 10. (1) 因为∠AOC 与∠BOD 是对 顶角, 所以∠AOC=∠BOD=65°. 因为∠AOE∶∠COE=2∶3, 所以∠AOE=25∠AOC=26°. 所以∠BOE=180°-∠AOE=180°- 26°=154°. (2) 设∠AOE=2x,∠COE=3x. 因为∠AOE=12∠BOF-10° , 所以∠BOF=4x+20°. 因为OF平分∠BOE, 所以∠BOE=2∠BOF=8x+40°. 又因为∠AOE+∠BOE=180°, 所以 2x+8x+40°=180°,解得 x=14°. 所以∠COE=3x=42°. 11. A [解析] 由角的和差,得 ∠ACD + ∠BCE = ∠ACB + ∠BCD + ∠BCE = ∠ACB + ∠DCE=180°,所以∠ACD=180°- ∠BCE=180°-n.所以∠PCF= ∠ACD=180°-n. 12. (1) 2. (2) 6. (3) 12. (4) 若有n条直线相交于一点,则可 形成n(n-1)对对顶角. (5) 2025×(2025-1)=4098600(对), 所以若有2025条直线相交于一点, 则可形成4098600对对顶角. 找对顶角的方法 找一个角的对顶角时,可以分 别反向延长这个角的两边,以这两 条反向延长线为边的角即为原角 的对顶角. 第2课时 垂 线 1. A 2. C 3. A 4. D 5. 58.5° 6. (1) 如图所示. (2) 如图所示. (3) PE<PO<FO. 依据是连结直线外一点与直线上各点 的所有线段中,垂线段最短. (第6题) 7. B [解 析] 因 为 ∠AOF + ∠AOE=180°,∠AOE=n°,所以 ∠AOF=180°-n°.因为OC 平分 ∠AOF,所以∠AOC=12∠AOF= 90°- 12n°. 因为 OA ⊥OB,所以 ∠AOB=90°.所以∠BOD=180°- ∠AOB-∠AOC=12n°. 8. 3 [解析] 根据从直线外一点到 这条直线的垂线段的长度,叫作点到 直线的距离,画出图形进行判断.如图 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 1 ①,在线段AB 的两旁可分别画一条 满足条件的直线;如图②,作线段AB 的垂线,将线段AB 分成6cm,4cm 的两部分.故符合条件的直线l有 3条. (第8题) 9. 12° [解析] 因为∠BOC=48°,所 以∠AOC=180°-48°=132°.因为 OE 平 分 ∠AOC,所 以 ∠EOC = ∠AOE= 12 ∠AOC= 1 2 ×132°= 66°.因为OF⊥AB,所以∠BOF= 90°.所以∠EOF=360°-∠EOC- ∠BOC-∠BOF=360°-66°-48°- 90°=156°.因为OG 平分∠EOF,所 以∠EOG=∠FOG= 12 ∠EOF= 1 2 ×156°=78°. 所 以 ∠AOG = ∠EOG-∠AOE=78°-66°=12°. 10. (1) 如图,连结AD,BC 交于点 H,则点H 为所求蓄水池的位置. (2) 如图,过点H 作HG⊥EF,垂足 为G,按照HG开渠最短. 理由:连结直线外一点与直线上各点 的所有线段中,垂线段最短. (第10题) 11. (1) 因为OM⊥AB, 所 以 ∠AOM = 90°,即 ∠1 + ∠AOC=90°. 因为∠1=∠2, 所 以 ∠2 + ∠AOC = 90°,即 ∠CON=90°. 所以ON⊥CD. (2) 因为OM⊥AB, 所以∠AOM=∠BOM=90°. 所 以 ∠BOC = ∠BOM + ∠1= 90°+∠1. 因为∠1=13∠BOC , 所以 ∠1= 13 (90°+ ∠1),解 得 ∠1=45°. 因为∠AOM=90°, 所以∠AOC=∠AOM-∠1=90°- 45°=45°. 因为∠BOD与∠AOC是对顶角, 所以∠BOD=∠AOC=45°. 12. (1) 相等;同角的余角相等. (2) ∠AOD=2∠COM. 理由:因为OM 平分∠BOD, 所以∠BOD=2∠BOM. 所以 ∠AOD =180°- ∠BOD = 180°-2∠BOM=2(90°-∠BOM). 因为OC⊥AB, 所以∠COB=90°. 所以∠COM =∠COB-∠BOM = 90°-∠BOM. 所以∠AOD=2∠COM. (3) ∠AOD+2∠COM=360°. 理由:因为∠DOE=90°,OC⊥AB, 所以易得∠COE=∠AOD. 因为OM 平分∠BOD, 所以∠BOM=∠DOM. 所以易得∠COM=∠EOM. 因为∠COE+∠EOM +∠COM = 360°, 所以∠AOD+2∠COM=360°. 1.2　同位角、内错角、 同旁内角 1. B 2. C 3. 80 80 100 4. (1) 同位角:∠1与∠8,∠2与∠5, ∠3与∠6,∠4与∠7;内错角:∠3与 ∠8,∠4与∠5;同旁内角:∠3与∠5, ∠4与∠8. (2) ∠A 与∠5是直线AC 截直线 AB,DE 形成的同旁内角;∠A 与 ∠6是直线AC截直线AB,DE 形成 的内错角;∠A 与∠8是直线AC 截 直线AB,DE形成的同位角. 5. C [解析] 如图,与∠1成同位角 的角有∠2,∠3,∠4,共有3个. (第5题) 6. A [解析] 结合图形,可知∠1的 内错角只有∠3,故①正确.∠A 的同 旁内角有∠1,∠5,∠E,∠ABC,故 ②错误.∠2的内错角有∠4,∠E,故 ③错误.题图中的同位角有∠A 与 ∠EDF,∠E 与 ∠5,∠E 与 ∠4, ∠EDF 与 ∠EFC,∠EFC 与 ∠2, ∠4与 ∠C,∠3与 ∠5,∠EFD 与 ∠1,共8对,故④错误.综上所述,正 确的有1个. 7. a<b [解析] 因为∠1的同位角 只有∠E,所以a=1.因为∠1的内错 角为∠DBF,∠DBA,所以b=2.所 以a<b. 8. 9 [解析] 同位角有∠2与∠5, ∠3与∠7,∠4与∠8,∠1与∠6,则 a=4;内错角有∠6与∠8,∠3与 ∠5,∠1与∠4,∠2与∠7,则b=4; 同旁内角有∠3与∠8,∠1与∠8, ∠7与∠8,∠1与∠7,∠2与∠3, ∠2与 ∠4,∠3 与 ∠4,则c=7. 所以ab-c=4×4-7=9. 9. (1) 如图所示(画法不唯一). (2) 因为∠1=3∠2,∠2=3∠3, 所以∠1=9∠3. 因为∠1+∠3=180°, 所以9∠3+∠3=180°. 所以∠3=18°. 所以∠1=162°,∠2=54°. (第9题) 10. 分别把这三类角所对应的基本图 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2