第9章 图形的变换 复习-【拔尖特训】2024-2025学年新教材七年级下册数学（苏科版2024）

所 以 ∠BAC =180°- ∠ABC - ∠ACB=180°-35°-65°=80°. 因为∠BAE=16°, 所以∠EAC=∠BAC-∠BAE= 80°-16°=64°. 因为线段AE 与AC 关于直线MN 对称, 所以∠EAN=∠CAN=12∠EAC= 1 2×64°=32°. 所以∠BAN=∠BAE+∠EAN= 16°+32°=48°. 所 以 ∠AFB =180°- ∠ABC - ∠BAN=97°. 所以∠BFN=180°-∠AFB=83°. (3) EC∥BD. 理由:设BD,EC分别交直线MN 于 点P,Q. 因为点E,C 关于直线MN 对称,点 B,D关于直线MN 对称, 所以MN⊥EC,MN⊥BD. 所以∠BPA=∠EQA=90°. 所以EC∥BD. 12. 答案不唯一,如图所示. (第12题) 13. (1) 答案不唯一,如图①所示. (2) 如图②所示. (3) 如图③所示. (第13题) 第9章复习 ［知识体系构建］ 平行(或在同一条直线上)且相等 平 行 垂直平分 旋转中心 旋转中心 中点 相等 相等 ［高频考点突破］ 典例1 B [解析] 因为组合图形被 经过旋转中心的射线平分成6个完全 相同的部分,所以360°÷6=60°.所 以旋转的度数为60°的倍数即可.观察 选项可知,只有60°符合要求. [跟踪训练] 1. D 典例2 A [解析] 由题意,得种草 部分的面积为(52-2)×(10-2)= 50×8=400(m2). [跟踪训练] 2. C [解析] 根据平 移,得小明从出口A到出口B所走的 路线可以分为横向路线与纵向路线, 横向路线的长等于AB 的长,纵向路 线的长等于(BC 的长-2米)×2. 因为AB=60米,BC=24米,所以小 明从出口A 到出口B 所走的路线长 为60+(24-2)×2=104(米). 典例3 如图,连接OP. 因为点P关于OM 对称的点是G,点 P关于ON 对称的点是H, 所以 ∠GOM = ∠MOP,∠PON = ∠NOH. 所以∠GOH=∠GOM+∠MOP+ ∠PON+∠NOH=2∠MON. 因为∠MON=35°, 所以∠GOH=2×35°=70°. 所以∠G+∠H=180°-∠GOH= 110°. 由题意,得△OGA 与△OPA 关于直 线OM 成轴对称,△OPB 与△OHB 关于直线ON 成轴对称. 所以∠G=∠OPA,∠H=∠OPB. 所以∠APB=∠OPA+∠OPB= ∠G+∠H=110°. (典例3图) [跟踪训练] 3. 118° [解析] 因 为△ABC和△ABE 关于直线AB 对 称,△ABC 和△ADC 关于直线AC 对称,所以∠DCA=∠ACB=18°, ∠BAC=∠BAE.因为∠ABC=32°, 所 以 ∠BAE = ∠BAC =180°- ∠ACB - ∠ABC = 130°.所 以 ∠EAC=360°-∠BAC-∠BAE= 100°.所以∠CFA=180°-∠EAC- ∠DCA=62°.所以∠CFE=180°- ∠CFA=118°. 典例4 根据旋转的性质,可知CA= CE,∠BCD=∠ACE=90°,∠B= ∠EDC. 所以△ACE是等腰直角三角形. 所以∠CAE=45°. 因为∠ACB=20°, 所以∠ACD=∠BCD-∠ACB= 70°. 所 以 ∠ADC =180°- ∠CAE - ∠ACD=65°. 所以∠EDC=180°-∠ADC=115°. 所以∠B=∠EDC=115°. [跟踪训练] 4. 90° [解析] 因为 △ABC为等腰直角三角形,∠ABC= 90°,所以∠BAD=∠BCD=45°.由旋 转的性质,可知∠BCE=∠BAD= 45°.所 以 ∠DCE = ∠BCE + ∠BCA=45°+45°=90°. 典例5 (1)如图①,△A1B1C1 即 为所求. (2) 如图②,点Q即为所求. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 91 (典例5图) [跟踪训练] 5. (1) 如图,点O 即 为旋转中心. (2) 旋转方向为顺时针方向. α=90°. (3) 如图,△A1B1C1即为所求. (第5题) ［综合素能提升］ 1. D 2. C 3. D [解析] 因为线段 DE,FG 为折痕,所以∠B=∠DHB,∠C= ∠FHC.因为∠A=60°,所以∠B+ ∠C =180°- ∠A =120°.所 以 ∠DHB+∠FHC=∠B+∠C= 120°.所 以 ∠DHF = 180° - (∠DHB+∠FHC)=60°. 4. 45° [解析] 因为把△ABC 绕点 C 按顺时针方向旋转 30°,得到 △A'B'C,所以∠ACA'=∠BCB'= 30°.因 为 ∠A'CB =105°,所 以 ∠ACB'= ∠A'CB - ∠ACA' - ∠BCC'=45°. 5. (1) 因为在△ABC 中,∠ACB= 90°,∠A=33°, 所以∠CBA=90°-33°=57°. 由平移,得∠E=∠CBA=57°. (2) 由平移,得AD=BE=CF. 因为AE=9cm,DB=2cm, 所以AD=BE=12× (9-2)=3.5(cm). 所以CF=3.5cm. 6. (1) 如图,△A'B'C'即为所求. (2) 平行且相等. (3) 4. [解析] △ABC 的面积为 1 2× (2+4)×3-12×1×2- 1 2× 2×4=9-1-4=4. (第6题) 7. 答案不唯一,如图所示. (第7题) 8. 因为∠BAC=90°,∠ACB=30°, 所 以 ∠B = 180° - ∠BAC - ∠ACB=60°. 因为将△ABC绕点A 按逆时针方向 旋转,得到△AB'C', 所以∠AB'C'=∠B=60°. 因为∠AB'B=∠B, 所以∠C'B'C=180°-∠AB'B- ∠AB'C'=180°-60°-60°=60°. 所以∠B=∠C'B'C=60°. 所以AB∥B'C'. 9. (1) 因为∠B=50°,∠C=60°, 所以∠A=180°-∠B-∠C=70°. (2) 因为将△ABC沿着DE 折叠,点 A与点A'重合, 所以∠AED=∠A'ED=12∠AEA' , ∠ADE=∠A'DE=12∠ADA'. 所以∠1+∠2=180°-∠AEA'+ 180°-∠ADA'=360°-2∠AED- 2∠ADE =360°-2(∠AED + ∠ADE). 因为∠AED+∠ADE+∠A=180°, 所以∠AED+∠ADE=180°-∠A. 所以∠1+∠2=360°-2(180°- ∠A)=2∠A. 因为∠1+∠2=130°, 所以∠A=12×130°=65°. (3) ∠1+∠2=2∠A. 第10章　二元一次方程组 10.1　二元一次方程 1. B 2. D 3. 7x+5y=650 4. (1) 0 (2) 2 021 5. (1) 0.5x+1.2y=14. (2) 把x=4代入0.5x+1.2y=14, 得0.5×4+1.2y=14,解得y=10. (3) 把y=5代入0.5x+1.2y=14, 得0.5x+1.2×5=14,解得x=16. 所以买了16支圆珠笔. 6. B [解析] 将 x=1, y=-2 代入方程 mx+ny=3,得 m-2n=3.所以 2m-4n=2(m-2n)=2×3=6. 7. D [解析] 因为2x+3y=12, 所以y=4- 2x 3. 所以非负整数解是 x=0, y=4, x=3, y=2, x=6, y=0, 共3个. 8. x=-12y+2 [解析] 因为y= 10-4t,所以t=10-y4 . 因为x=2t- 3,所以x=2×10-y4 -3=- 1 2y+2. 9. -1 1 10. 2024 [解析] 由题意,得m- 2n+3=0.所以m-2n=-3.所以 m2-4n2+12n+2015=(m+2n)· (m-2n)+12n+2015=-3(m+ 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 02 52 第9章复习 ▶ “答案与解析”见P19 考点一 图形变换的有关概念 典例1 如图,将正六边形和等边三角形构成的 组合图形绕点O 旋转一定度数可完全重合,旋 转的度数可以是 ( ) (典例1图) A. 30° B. 60° C. 80° D. 90° 跟踪训练 1. 我国“二十四节气”已被列入联合国教科文组 织人类非物质文化遗产代表作名录.下列四 幅作品分别代表“立春”“立夏”“芒种”“大 雪”,其中既是轴对称图形又是中心对称图形 的为 ( ) A. B. C. D. 考点二 运用平移的性质解题 典例2 如图,在一块长52m、宽10m的长方形 草坪上修筑宽度均为2m的小路(图中涂色部 分),其余部分种草,则种草部分的面积是( ) (典例2图) A. 400m2 B. 416m2 C. 500m2 D. 520m2 跟踪训练 2. 如图所示为某公园里一个长方形风景欣赏区 ABCD,长AB=60米,宽BC=24米,为方 便游人观赏,公园特意修建了小路(图中空白 部分),小路的宽均为2米,那么小明沿着小 路的中间,从出口A 到出口B 所走的路线 (图中虚线)长为 ( ) (第2题) A. 108米 B. 106米 C. 104米 D. 102米 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)七年级下 53 考点三 运用轴对称的性质解题 典例3 如图,∠MON 内有一点P,点P 关于 直线OM 对称的点是G,点P 关于直线ON 对 称的点是H,GH 分别交OM,ON 于点A,B.若 ∠MON=35°,求∠APB的度数. (典例3图) 连接OP,根据轴对称的性质可得∠GOM= ∠MOP,∠PON=∠NOH,然后得到∠GOH = 2∠MON,最后得到∠APB=∠G+∠H,从而可求 得∠APB的度数. 跟踪训练 3. 如图,△ABC和△ABE 关于直线AB 对称, △ABC和△ADC关于直线AC对称,CD 与 AE交于点F.若∠ABC=32°,∠ACB=18°, 则∠CFE的度数为 . (第3题) 考点四 运用旋转的性质解题 典例4 如图,将△ABC绕点C按顺时针方向 旋转90°得到△EDC.若点A,D,E在同一条直 线上,且∠ACB=20°,求∠CAE及∠B的度数. (典例4图) 根据旋转的性质可得△ACE 是等腰直角三角 形,可得∠CAE 的度数,再根据三角形的内角和为 180°求得∠ADC 的度数,从可得出∠EDC 的度数, 又由∠EDC=∠B,即可解决问题. 跟踪训练 4. 如图,等腰直角三角形ABC中,∠ABC=90°, 点D在AC上,将△ABD绕点B按顺时针方 向旋转90°后,得到△CBE,则∠DCE的度数 为 . (第4题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第9章　图形的变换 54 考点五 作变换后的图形 典例5 请按下列要求在网格图中用无刻度的 直尺作图(保留作图痕迹): (1) 如图①,将△ABC绕点O按逆时针方向旋 转90°得△A1B1C1,画出△A1B1C1. (2) 如图②,设△EFG绕点Q 按逆时针方向旋 转得△E'F'G',画出点Q. (典例5图) (1) 根据旋转的性质作图即可.(2) 连接EE', GG',利用网格分别作线段EE',GG'的垂直平分线, 交点即为所求的点Q. 跟踪训练 5. 如图,△ABC绕某点按一定方向旋转角度α (0°<α<180°)后得到△A1B1C1,点A,B,C 分别对应点A1,B1,C1. (1) 请通过画图找到旋转中心,将其记作O. (2) 直接写出旋转方向和α的度数. (3) 在图中画出△A1B1C1. (第5题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 1. 下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称 图形的是 ( ) A. B. C. D. 2. 将△AOB 绕点O 旋转180°得到△DOE,则 下列作图正确的是 ( ) A. B. C. D. 3. 在△ABC中,将∠B,∠C按如图所示的方式 折叠,点B,C均落在边BC上点H 处,线段 DE,FG为折痕.若∠A=60°,则∠DHF 的 度数为 ( ) (第3题) A. 90° B. 80° C. 75° D. 60° 4. 如图,把△ABC 绕点C 按顺时针方向旋转 30°,得到△A'B'C,A'B'交AC 于点D.若 ∠A'CB=105°,则∠ACB'= . (第4题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)七年级下 55 5. 如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=33°, 将△ABC沿直线AB向右平移得到△DEF. (1) 求∠E的度数. (2) 若AE=9cm,DB=2cm.求CF的长. (第5题) 6. 在正方形网格中,每个小正方形的边长为1, 格点三角形(顶点是网格线的交点的三角 形)ABC在如图所示的位置. (1) 将△ABC向右平移4个单位长度,向下 平移3个单位长度得到△A'B'C',请在网格 中直接画出△A'B'C'. (2) 若连接BB',CC',则这两条线段的关系 是 . (3) △ABC的面积为 . (第6题) 7. 如图,在方格纸中,每个图中均已将两个小正 方形涂色,请你在每个图中再选两个空白小 正方形涂色,分别使各图中涂色部分成为一 个轴对称图形(若涂色部分涂成可完全重合 的,视为一种图形). (第7题) 8. 如图,在△ABC 中,∠BAC=90°, ∠ACB=30°,将△ABC 绕点A 按 逆时针方向旋转,得到△AB'C',点 B的对应点B'恰好落在线段BC 上,且 ∠B=∠AB'B.试说明:AB∥B'C'. (第8题) 9. 如图,在折纸活动中,小李制作了一 张三角形纸片ABC,点D,E 分别 在边AB,AC 上,将△ABC 沿着 DE先折叠再压平,点A与点A'重合. (1) 若∠B=50°,∠C=60°,求∠A的度数. (2) 若∠1+∠2=130°,求∠A的度数. (3) 请直接写出∠1+∠2与∠A 的数量 关系. (第9题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第9章　图形的变换