第8章 整式乘法 复习-【拔尖特训】2024-2025学年新教材七年级下册数学（苏科版2024）

31 第8章复习 ▶ “答案与解析”见P11 考点一 单项式与单项式、多项式相乘 典例1 先化简,再求值:3a(2a2-4a+3)- 2a2(3a+4),其中a=-2. 跟踪训练 1. 化简:x2y(x+y3)-(3xy2)2. 考点二 多项式乘多项式 典例2 如图,某高铁站广场前有一块长为2a+ b、宽为a+b的长方形空地,计划在中间留两个 长方形喷泉池(图中涂色部分),两个长方形喷 泉池之间及周边留有宽度为b的人行通道. (1) 求该长方形空地的面积(用含a,b的代数式 表示). (2) 求这两个长方形喷泉池的总面积(用含a,b 的代数式表示). (3) 当a=200,b=100时,求这两个长方形喷泉 池的总面积. (典例2图) 跟踪训练 2. 甲、乙两个长方形的长、宽如图所示(m 为正 整数),其面积分别为S1,S2. (1) 请用含m的代数式分别表示S1,S2. (2) 若一个正方形的周长等于甲、乙两个长 方形的周长之和,设该正方形的面积为S3, 则S3与2(S1+S2)的差是否为常数? 若是 常数,请求出这个常数;若不是常数,请说明 理由. (第2题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第8章　整式乘法 32 考点三 乘法公式与几何图形 典例3 通常,用两种不同的方法计算同一个图 形的面积可以得到一个恒等式.如图,将一个边 长为a+b的正方形分割成四个部分(两个正方 形和两个长方形). (1) 根据图中条件,用两种方法表示该图形的总 面积,可得如下公式: . (2) 如果a,b(a>b>0)满足a2+b2=70,ab= 15,求a+b的值. (3) 已知(x+9)2+(x-1)2=124,求(x+9)· (x-1)的值. (典例3图) 跟踪训练 3. 如图①,小长方形的长和宽分别为a和b,将 四个这样的长方形按如图②所示的方式 摆放. (1) 如图②,四边形EFGH 为正方形,其边 长为 . (2) 能用图②中的图形面积关系来验证的等 式为 . (3) 若x-y=3,xy=4,求x+y的值. (第3题) 考点四 整式的混合运算与化简求值 典例4 已知4x2+x-5=0,求代数式(x- 1)2-(3x+2)(3x-2)的值. 跟踪训练 4. 已知x2-2x=1,求代数式(x-1)2+(x- 3)(x+3)-2(x-5)的值. 考点五 代数推理问题 (典例5图) 典例5 小林和小明在信息技术课 上设计了一个游戏程序:如图,开始 时两人的屏幕上显示的数分别是 9和4.每按一次屏幕,小林的屏幕上 的数就会加上a2,同时小明的屏幕 上的数就会减去2a,且均显示化简后的结果.按 一次后及两次后屏幕上显示的结果如下表: 同 学 开始的数 按一次后 按两次后 小林 9 9+a2 9+2a2 小明 4 4-2a 4-4a (1) 从开始起按三次后,小林的屏幕上显示的结 果为 ,小明的屏幕上显示的结果为 . (2) 几轮游戏之后,小林对小明说:“我发现,不 管a的值是多少,从开始起按四次后,我们两个 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)七年级下 33 人的屏幕上显示的结果的和不可能是负数.”请 判断他的说法是否正确,并说明理由. 跟踪训练 5. 任意三个连续偶数的平方和是4的倍数. (1) (-2)2+02+22的结果是4的多少倍? (2) 设三个连续偶数的中间一个偶数为2x, 写出它们的平方和,并说明是否为4的倍数. (3) 设三个连续整数的中间一个整数为x,请 直接写出它们的平方和被3除的余数. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 1. 若x-y+3=0,则x(x-4y)+y(2x+y)的 值为 ( ) A. 9 B. -9 C. 3 D. -3 2. 若M=(x-2)(x-5),N=(x-2)(x-6), 则M 与N 的大小关系为 ( ) A. M=N B. M>N C. M<N D. 无法确定 3. 将4张长为a、宽为b(a>b)的长方形纸片按 如图所示的方式拼成一个边长为a+b的正 方形,图中空白部分的面积为S1,涂色部分的 面积为S2.若S1=2S2,则a,b满足 ( ) (第3题) A. 2a=5b B. 2a=3b C. a=3b D. a=2b 4. 已知ab=a+b+2024,则(a-1)(b-1)的值 为 . 5. 若代数式(x-2)(x-k)(x-4)的化简结果 为x3+ax2+bx+8,则a+b= . 6. 某同学在计算3×(4+1)×(42+1) 时,把3写成4-1后,发现可以连 续运用平方差公式计算: 3×(4+1)×(42+1)=(4-1)×(4+1)× (42+1)=(42-1)×(42+1)=162-1= 255. 请借鉴该同学的经验,计算: 1+12 ×1+122 ×1+124 ×1+128 +1215. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第8章　整式乘法 所以(10x+6)2-(10x+4)2=220, 解得x=5. 所以这两个两位数分别是56,54. 8. 能被10整除. 理由:原式=(3n)2-1-(32-n2)= 9n2-1-9+n2 =10n2 -10= 10(n2-1). 因为n为自然数, 所以10(n2-1)能被10整除. 所以(3n+1)(3n-1)-(3-n)(3+ n)的值能被10整除. 9. D [解析] 因为(x-z)2-4(x- y)(y-z)=0,所以x2+z2-2xz- 4xy+4xz+4y2-4yz=0.所以x2+ z2+2xz-4xy+4y2-4yz=0.所 以(x+z)2-4y(x+z)+4y2=0. 所以(x+z-2y)2=0.所以z+x- 2y=0. 10. (1) 因为m+n=-4, 所以(m+n)2=16,即m2+2mn+ n2=16. 因为m2+n2=40, 所以40+2mn=16. 所以mn=-12. (2) 因为m2-6m=k,n2-6n=k, 所以m2-6m+n2-6n=2k. 所以m2+n2-6(m+n)=2k. 因为m2+n2=40, 所以40-6(m+n)=2k. 所以k=20-3(m+n). 因为m2-6m=k,n2-6n=k, 所以m2-6m-n2+6n=(m+n)· (m-n)-6(m-n)=(m-n)(m+ n-6)=0. 因为m,n不相等, 所以m+n-6=0,即m+n=6. 所以k=20-3×6=2. 第8章复习 ［知识体系构建］ ca+cb ac+ad+bc+bd a2± 2ab+b2 a2-b2 ［高频考点突破］ 典例1 原式=-20a2+9a. 当a=-2时,原式=-20×(-2)2+ 9×(-2)=-98. [跟踪训练] 1. 原式 =x3y+ x2y4-9x2y4=x3y-8x2y4. 典例2 (1) 由题意,得(a+b)(2a+ b)=2a2+3ab+b2. 所以该长方形空地的面积为2a2+ 3ab+b2. (2) 由题意,得(a+b-2b)(2a+b- 3b)=(a-b)(2a-2b)=2a2- 4ab+2b2. 所以这两个长方形喷泉池的总面积 为2a2-4ab+2b2. (3) 当a=200,b=100时,2a2- 4ab+2b2=2×2002-4×200×100+ 2×1002=20000. 所以这两个长方形喷泉池的总面积 为20000. [跟踪训练] 2. (1) S1=(m+7)· (m+1)=m2+8m+7;S2=(m+ 4)(m+2)=m2+6m+8. (2) 是常数. 设该正方形的边长为a. 根据题意,得4a=2(m+7+m+1)+ 2(m+4+m+2). 所以a=2m+7. 所以S3=(2m+7)2. 所以S3-2(S1+S2)=(2m+7)2- 2(m2+8m+7+m2+6m+8)= 4m2+28m +49-4m2 -28m - 30=19. 所以S3 与2(S1+S2)的差是常数, 为19. 典例3 (1) (a+b)2=a2+2ab+b2. (2) 由(1),可得(a+b)2=a2+ 2ab+b2. 当a2+b2=70,ab=15时,(a+b)2= 70+2×15=100. 又因为a>b>0,所以a+b=10. (3) 设x+9=a,x-1=b,则(x+ 9)2+(x-1)2=a2+b2=124. 所以a-b=(x+9)-(x-1)=10. 因为(a-b)2=a2+b2-2ab,a-b= 10,a2+b2=124, 所以100=124-2ab. 所以ab=12. 所以(x+9)(x-1)=ab=12. [跟踪训练] 3. (1) a-b. (2) (a+b)2=(a-b)2+4ab. (3) 由(2),可得(x+y)2=(x- y)2+4xy. 因为x-y=3,xy=4, 所以(x+y)2=32+4×4=25. 所以x+y=5或x+y=-5. 典例4 原式=-8x2-2x+5. 因为4x2+x-5=0, 所以4x2+x=5. 所以原式=-2(4x2+x)+5=-2× 5+5=-5. [跟踪训练] 4. 原式=2x2-4x+2. 因为x2-2x=1, 所以原式=2(x2-2x)+2=2×1+ 2=4. 典例5 (1) 9+3a2;4-6a. (2) 小林的说法正确. 理由:由题意,可得开始起按四次后, 小林的屏幕上显示的结果为9+4a2, 小明的屏幕上显示的结果为4-8a. 所以9+4a2+4-8a=4(a2-2a+ 1-1)+13=4(a-1)2-4+13= 4(a-1)2+9. 因为4(a-1)2≥0, 所以4(a-1)2+9≥9. 所以小林的说法正确. [跟踪训练] 5. (1) 因为(-2)2+ 02+22=4+4=8,8÷4=2, 所以其结果是4的2倍. (2) 由题意,得另外两个偶数分别 为2x-2和2x+2. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 11 因为这三个连续偶数的平方和为 (2x-2)2+(2x)2+(2x+2)2= 4x2-8x+4+4x2+4x2+8x+4= 12x2+8=4(3x2+2), 所以其平方和是4的倍数. (3) 由题意,得另外两个整数分别 为x-1和x+1. 因为这三个连续整数的平方和为 (x-1)2+x2+(x+1)2=x2-2x+ 1+x2+x2+2x+1=3x2+2, 所以其被3除的余数是2. ［综合素能提升］ 1. A 2. D 3. D 4. 2025 5. -3 [解析] 因为(x-2)(x- k)(x-4)=(x2-6x+8)(x-k)= x3+(-k-6)x2+(6k+8)x-8k, 所以-k-6=a,6k+8=b,-8k=8. 所以a=-5,b=2,k=-1.所以a+ b=-5+2=-3. 6. 原式=2× 1-12 × 1+12 × 1+122 × 1+124 × 1+128 + 1 215 =2× 1- 1 22 × 1+122 × 1+124 × 1+128 + 1215 =2× 1-124 × 1+124 × 1+128 + 1 215=2× 1- 1 28 × 1+128 +1215= 2× 1-1216 +1215=2-1215+1215=2. 第9章　图形的变换 9.1　平　移 第1课时 平移的概念 1. C 2. D 3. 5 4. 84 5. (1) 如图,△A1B1C1即为所求. (2) △ABC的面积为12×2×3=3. (第5题) 6. C 7. B [解析] 把道路平移到长方形 的各边边沿处,得到一个空白小长方 形,它的长是30-2=28(米),宽是 20-2=18(米),它的面积是28× 18=504(平方米).所以草坪的面积是 504平方米. 8. C [解析] 由题意,得甲、乙两只 蚂蚁所爬的路程相同.因为甲、乙两只 蚂蚁的速度相同,所以甲和乙同时到. 9. 6 10. ②④⑥或①⑧⑩ [解析] 如图 ①,分别平移木条②④⑥,或如图②, 平移木条①⑧⑩,可将题图①所示的 图案变成题图②所示的图案. (第10题) 11. 9 [解析] 如图,将线段AB向右 平移3格,将线段CD向下平移2格, 将线段EF 向左平移2格,向上平移 2格,此时平移的格数最少.所以至少 需要平移3+2+2+2=9(格). (第11题) 12. (1) 如图①,△A1B1C1即为所求. (2) 如图②,△A2B2C2即为所求. (第12题) 13. (1) 如图①,△A'B'C'即为所求. (2)如图②,△CDE即为所求. (第13题) 14. 向下平移3格,向右平移2格 15. 5 [解析] 操作步骤如图所示. 所以要出现一个4×6的网格,至少需 要操作5次. (第15题) 第2课时 平移的基本性质 1. C 2. D 3. 5 4. 32.5 5. 如图,四边形A'B'C'D'即为所求. (第5题) 6. C 7. B [解析] 因为将△ABC沿射线 BA平移6个单位长度得到△DEF, 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 21