第7章 幂的运算 复习-【拔尖特训】2024-2025学年新教材七年级下册数学（苏科版2024）

15 第7章复习 ▶ “答案与解析”见P5 考点一 同底数幂的乘法与除法 典例1 (2024·湖南)下列计算正确的是( ) A. 3a2-2a2=1 B. a3÷a2=a(a≠0) C. a2·a3=a6 D. (2a)3=6a3 跟踪训练 1. 下列计算正确的是 ( ) A. a3+a4=a7 B. a3·a4=a7 C. a4÷a3=a7 D. (a3)4=a7 考点二 幂的乘方、积的乘方 典例2 (2024·眉山)下列运算正确的是( ) A. a2-a=a B. a·a2=a3 C. (a2)3=a5 D. (2ab2)3=6a3b6 跟踪训练 2. (2023·乐山)若m,n满足3m-n-4=0,则 8m÷2n= . 考点三 运用零指数幂、负整数指数幂的意义 运算　　　　　　　　　　　　　　 典例3 计算:|-8|-(π+3)0+ -14 -1 + (-1)2024. 跟踪训练 3. 计算:(-2)3÷4+ 12 -2 -|-2|+(3-π)0. 考点四 较小数的科学记数法 典例4 (2024·威海)据央视网2023年10月 11日消息,中国科学技术大学中国科学院量子 创新研究院与上海微系统所、国家并行计算机工 程技术研究中心合作,成功构建了255个光子的 量子计算原型机“九章三号”,再度刷新了光量子 信息的技术水平和量子计算优越性的世界纪录. “九章三号”处理高斯玻色取样的速度比上一代 “九章二号”提升一百万倍,在百万分之一秒时间 内所处理的最高复杂度的样本,需要当前最强的 超级计算机花费超过二百亿年的时间.将“百万 分之一”用科学记数法表示为 ( ) A. 1×10-5 B. 1×10-6 C. 1×10-7 D. 1×10-8 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第7章　幂的运算 16 跟踪训练 4. (2024·广元)2023年10月诺贝尔物理学奖 授予三位“追光”科学家,以表彰他们“为研究 物质中的电子动力学而产生阿秒光脉冲的实 验方法”.什么是阿秒? 1阿秒是10-18秒,也 就是十亿分之一秒的十亿分之一.目前世界 上最短的单个阿秒光学脉冲是43阿秒,将 43阿秒用科学记数法表示为 秒. 考点五 幂的有关运算 典例5 计算: (1) (2x3)2+(-2x2)3. (2) (-3a4)2-a2·a3·a4-a10÷a2. (1) 先利用积的乘方计算,再合并同类项. (2) 先利用积的乘方、同底数幂的乘法、同底数幂的 除法计算,再合并同类项. 跟踪训练 5. 已知n 是正整数,且x4n=2,求(2x2n)4- (x3)4n的值. 考点六 幂的运算性质的逆用 典例6 已知10a=2,10b=3,求: (1) 102a+103b的值. (2) 102a+3b的值. 逆用幂的运算性质进行解题.(1) 把原式化为 (10a)2+(10b)3 进行计算即可.(2) 把原式化为 102a×103b=(10a)2×(10b)3进行计算即可. 跟踪训练 6. 已知am=2,an=3,求: (1) a4m+3n的值. (2) a5m-2n的值. 考点七 阅读理解题 典例7 如果xn=y,那么我们记为(x,y)=n. 例如:32=9,则(3,9)=2. (1) (10,1 000)= ,(-5,25)= . (2) 若(x,16)=2,则x= . (3) 若(4,a)=2,(b,8)=3,求(b,a)的值. 跟踪训练 7. 规定:若两数a,b满足am=b,则记为(a, b)=m.例如:因为23=8,所以记为(2,8)= 3.我们还可以利用该规定来说明等式(3, 3)+(3,5)=(3,15)成立.理由:设(3,3)= m,(3,5)=n,则3m=3,3n=5.所以3m× 3n=3m+n=3×5=15.所以(3,15)=m+n. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)七年级下 17 所以(3,3)+(3,5)=(3,15). (1) 填空:(6,36)= . (2) 计算:(7,3)+(7,10)= . (3) 如果(3,m+17)=4,(9,m)=n,那么(3, )=2n. (4) 若(3n,2n)=s,(3,2)=t,请探究s与t 之间的关系(n为正整数). 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 1. (2024·镇江)下列运算正确的是 ( ) A. m3·m3=m6 B. m3+m3=m6 C. (m3)2=m5 D. m6÷m2=m3 2. 已知2a=3,2b=6,2c=12,则有下列式子: ① b=a+1;② c=a+2;③ a+c=2b; ④ b+c=2a+3.其中,正确的有 ( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3. 石墨烯堪称目前世界上最薄的材料,厚度约 为0.3纳米(1纳米=0.000000001米).0.3纳 米用科学记数法可以表示为 ( ) A. 3×10-8米 B. 0.3×10-9米 C. 3×10-9米 D. 3×10-10米 4. 若(x-4)0-2(2x-4)-2有意义,则x的取 值范围是 ( ) A. x>4 B. x<2 C. x≠4或x≠2 D. x≠4且x≠2 5. 若(x+3)x-3=1,则x的值为 ( ) A. 3 B. -2 C. -2或3 D. 3或-2或-4 6. 若10m =2,100n=5,则2m+4n-3= . 7. 计算:-23 2023 ×1.52024= . 8. 计算: (1) -12024- 12 -2 +(π-2)0. (2) a3·a5-(2a4)2+a10÷a2. 9. 若(9m+1)2=316,求正整数m的值. 10. 已知3x=5,3x+y=15,3z=11,3m=33,试判 断y,z,m之间的数量关系,并说明理由. 11. 已知272=a6=9b,求2a2+2ab 的值. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第7章　幂的运算 所以7a×7b=7a+b=36,(7c)2= 72c=36. 所以7a×7b=72c,即a+b=2c. 3. 因为2a=3,2b=9,2c=12, 所以2a·2c÷2b=3×12÷9=4. 所以2a+c-b=22. 所以a+c-b=2. 4. (1) 原式= 45 2023 × -54 2023 × -54 = 45× -54 2023 × -54 =-1× -54 =54. (2) 原式=258× 25 8 11 × 825 11 × (-8)=-25× 258× 8 25 11 =-25. 5. 因为a2m=-2,b3n=3, 所 以 (a3m )2 -b6n +a6mb5n ÷ (ambn)2 =a6m -b6n +a6mb5n ÷ a2mb2n=a6m-b6n+a4mb3n=(a2m)3- (b3n)2+(a2m)2b3n=(-2)3-32+ (-2)2×3=-8-9+12=-5. 6. (1) 因为n为正整数,且x2n=3, 所以xn-3·x3(n+1)=xn-3·x3n+3= x4n=(x2n)2=32=9. (2) 因为n为正整数,且x2n=3, 所以5(x3n)2-2(-x2)2n=5x6n- 2x4n=5(x2n)3-2(x2n)2=5×33- 2×32=117. 7. (1) 因为2×4x×32x=812, 所以2×22x×25x=236,即21+7x= 236. 所以1+7x=36,解得x=5. (2) 因为5x+2+5x+1=750, 所以5×5x+1+5x+1=6×125. 所以6×5x+1=6×53,即5x+1=53. 所以x+1=3,解得x=2. 8. 因为31-x·272x-4·9x=816, 所以31-x·36x-12·32x=324. 所以37x-11=324. 所以7x-11=24. 所以x=5. 第7章复习 ［知识体系构建］ am+n amn ambm am-n 1 1 an ［高频考点突破］ 典例1 B [解析] A. 3a2-2a2= a2,原计算错误,不符合题意;B. a3÷ a2=a(a≠0),正确,符合题意; C. a2·a3=a5,原计算错误,不符合 题意;D. (2a)3=8a3,原计算错误,不 符合题意. [跟踪训练] 1. B 典例2 B [解析] a2与a不是同类 项,无法合并,则选项A不符合题意; a·a2=a3,则选项 B符合题意; (a2)3=a6,则选项C不符合题意; (2ab2)3=8a3b6,则选项 D不符合 题意. [跟踪训练] 2. 16 [解析] 因为 3m-n-4=0,所以3m-n=4.所 以8m÷2n=23m÷2n=23m-n=24= 16. 典例3 原式=8-1-4+1=4. [跟踪训练] 3. 原式=-8÷4+4- 2+1=-2+4-2+1=1. 典例4 B [解析] 百万分之一= 0.000001=1×10-6. [跟踪训练] 4. 4.3×10-17 [解析] 因为1阿秒是10-18 秒,所 以43阿秒=43×10-18 秒=4.3× 10-17秒. 典例5 (1) 原式=4x6-8x6= -4x6. (2) 原式=9a8-a9-a8=8a8-a9. [跟踪训练] 5. 原式=16x8n - x12n=16(x4n)2-(x4n)3. 当x4n=2时,原式=16×22-23=56. 典例6 (1) 因为10a=2,10b=3, 所以原式=(10a)2+(10b)3=22+ 33=4+27=31. (2) 因为10a=2,10b=3, 所以原式=102a×103b=(10a)2× (10b)3=22×33=4×27=108. [跟踪训练] 6. (1) 因为am=2, an=3, 所以a4m+3n=a4m ·a3n=(am)4· (an)3=24×33=16×27=432. (2) 因为am=2,an=3, 所以a5m-2n=a5m ÷a2n=(am)5÷ (an)2=25÷32=329. 典例7 (1) 3;2. [解析] 因为 103=1000,(-5)2=25,所以(10, 1000)=3,(-5,25)=2. (2) ±4. [解析] 因为(±4)2=16, 所以(±4,16)=2.所以x=±4. (3) 因为42=16,23=8, 所以(4,16)=2,(2,8)=3. 所以a=16,b=2. 又因为24=16, 所以(b,a)=(2,16)=4. [跟踪训练] 7. (1) 2. (2) (7,30). [解析] 设(7,3)=x, (7,10)=y,则(7,3)+(7,10)=x+ y.所以7x=3,7y=10.所以7x×7y= 7x+y=30.所以(7,30)=x+y.所 以(7,3)+(7,10)=(7,30). (3) 64. [解析] 因为(3,m+17)= 4,所以34=m+17,解得m=64. 因为(9,m)=n,所以9n=m.所以 9n=32n=64.所以(3,64)=2n. (4) 因为(3n,2n)=s,(3,2)=t, 所以3ns=2n,3t=2. 所以3tn=2n. 所以3ns=3tn. 因为n为正整数, 所以s=t. ［综合素能提升］ 1. A 2. D 3. D 4. D 5. C [解析] 根据1的任何次幂都 等于1,得x+3=1,解得x=-2.根 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 5 据任何不等于0的数的零次幂都等于 1,得x-3=0,且x+3≠0,解得x= 3.此时x+3=6,符合题意.根据- 1的偶数次幂等于1,得x+3=-1, 且x-3为偶数,解得x=-4.此时 x-3=-7,不是偶数,不合题意,舍 去.综上所述,x的值为-2或3. 6. -1 [解析] 因为10m=2,100n= 5,所以102m =4,(102)n=5.所以 102n =5.所 以 104n =25.因 为 102m+4n-3=102m ×104n÷103=4× 25÷1000=10-1,所以2m+4n- 3=-1. 7. -32 8. (1) 原式=-1-4+1=-4. (2) 原式=a8-4a8+a8=-2a8. 9. 因为(9m+1)2=92m+2=32(2m+2)= 316, 所以2(2m+2)=16,解得m=3. 10. y+z=m. 理由:因为3x+y=3x×3y=15,且 3x=5, 所以3y=15÷5=3. 因为3m=33=3×11,3z=11, 所以3m=3y×3z=3y+z. 所以y+z=m. 11. 因为272=(±33)2=(±3)6= a6=9b=(32)b=32b, 所以a=±3,2b=6,解得b=3. 所以当a=3,b=3时,2a2+2ab= 2×32+2×3×3=18+18=36; 当a=-3,b=3时,2a2+2ab=2× (-3)2+2×(-3)×3=18-18=0. 综上所述,2a2+2ab的值为36或0. 第8章　整式乘法 8.1　单项式乘单项式 1. D 2. C 3. (1) a3x3 (2) -3x7y4 4. (1) -4x2z (2) -xy 5. (1) 原式=-24x9y7z2. (2) 原式=-5a4. (3) 原式=6a8. (4) 原式=3a3b6. 6. B 7. C [解析] (-2a2)3·3a= -8a6·3a=-24a7. 8. A [解析] (5×103)×(20× 10m)×(4×102)=(5×20×4)× (103×10m×102)=400×103+m+2= 4×102×10m+5=4×10m+7,即4× 10m+7=4×109.所以m+7=9,解得 m=2. 9. 4 [解析] 因为(-2xmy2)· (4x2yn-1)=-8xm+2yn+1,-2xmy2与 4x2yn-1的积和-x4y3 是同类项, 所以m+2=4,n+1=3,解得m=2, n=2.所以mn=4. 10. -4 15 [解析] 因为(mx3)· (2xk)=2mx3+k = -8x18,所 以 2m=-8,3+k=18,解得m=-4, k=15. 11. 236 [解析] 64G=64×210× 210×210B=26×210×210×210B= 236B. 12. (1) 原式=-8m9+5m·m8= -8m9+5m9=-3m9. (2) 原式=27a3·a10·a-(-a6)· a8=27a14+a14=28a14. 13. (1) 原 式 = -27a9 ·a3 + 256a4·a8 = -27a12 +256a12 = 229a12. (2) 原式=-9a7÷a-4a6=-9a6- 4a6=-13a6. (3) 原式=a15÷a6-4a8·a=a9- 4a9=-3a9. 14. 因为2x·4y+x·(4y-2y)+ (4x-2x-x)·y=8xy+2xy+ xy=11xy(平方米), 所以至少需要11xy平方米的地砖, 购买地砖至少需要 11xy·n= 11xyn(元). 15. 原式=(-2ab)·(-ab)2- 5ab2·a2b=-2ab·a2b2-5a3b3= -2a3b3-5a3b3=-7a3b3. 解决阅读理解题的 一般方法 阅读理解题能够培养同学们 阅读理解的能力,解答的一般方法 是先阅读所给问题的背景材料,然 后理解所给的解题方法和蕴含在 其中的思想方法,再运用所给的新 知识和新方法解决新问题. 16. 原式=x6n+y6n-x6ny3n·2yn= x6n +y6n -2x6ny4n = (x3n)2 + (y2n)3-2·(x3n)2·(y2n)2. 当x3n=2,y2n=3时,原式=22+ 33-2×22×32=4+27-2×4× 9=-41. 8.2　单项式乘多项式 1. C 2. A 3. 2a(a+b)=2a2+ 2ab 4. (1) 6x3-8x2 (2) 3xy3 6x2 5. (1) 原式=6xy2+2x2-xy2= 2x2+5xy2. (2) 原式=2x2+2xy-3xy-3y= 2x2-xy-3y. (3) 原 式 =8x6 -3x6 +3x5 = 5x6+3x5. 6. D [解析] (x2-mx+3)x- x2(4mx2+3x+5)=x3-mx2+ 3x-(4mx4+3x3+5x2)=x3- mx2+3x-4mx4-3x3-5x2= -4mx4-2x3-(m+5)x2+3x. 因为结果中不含x2 项,所以-(m+ 5)=0.所以m=-5. 7. B [解析] 因为a2+a-4=0, 所以a2+a=4,a2=4-a.所以 a(a2-5)=a(-1-a)=-a-a2= -(a2+a)=-4. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 6