8.4 乘法公式用&专题特训(二) 巧用乘法公式-【拔尖特训】2024-2025学年新教材七年级下册数学（苏科版2024）

24 8.4　乘法公式 第1课时 完全平方公式 ▶ “答案与解析”见P8 1. 下列式子中,一定成立的是 ( ) A. (a-b)2=a2-b2 B. (a+b)2=a2+b2 C. (a-b)2=a2-2ab+b2 D. (-a-b)2=a2-2ab+b2 2. 如果x2+x-3=0,那么代数式x(x-2)+ (x+2)2+5的值是 ( ) A. 14 B. 15 C. 16 D. 17 3. 若(m+2)2=64,则(m+1)(m+3)= . 4. (1) 若(2a-5)2=4a2-10ka+25,则k= . (2) 若(3a+b)2=9a2+ka+49,则k= . 5. 计算: (1) (x+1)2-x(x+2). (2) (3x-2y)2-(3x+2y)2. (3) (2a-3b)2-(3a-2b)2. (4) 4(x-2)2+3(x+2)2-(7x2+30). 6. (易错题)若(a+b)2-(a-b)2=4,则一定成 立的是 ( ) A. a是b的相反数 B. a是b的倒数 C. a是-b的相反数 D. a是-b的倒数 7. 若|x+y-5|+(xy-3)2=0,则 x2+y2的值为 ( ) A. 19 B. 31 C. 27 D. 23 8. 不论x,y 取何值,代数式x2+y2+2x- 4y+7的值 ( ) A. 总不小于2 B. 总不小于7 C. 可为任何正数 D. 可能为负数 9. (1) 已知a+b=4,ab=3,则a2+b2= ,(a-b)2= . (2) 已知a2+b2=5,a-b=3,则ab的值为 . 10. 若关于x的二次三项式x2+2(m-3)x+ 1为完全平方式,则m的值为 . 11. (新定义)将a,b,c,d这4个数排成两行两 列,每边各加一条竖直线,记为 a b c d ,定 义 a b c d =ad-bc.如果 x-1 x-1 x-1 x+1 = 6,那么x= . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)七年级下 25 12. 我国宋代数学家杨辉发现了(a+b)n(n=1, 2,3,…)的展开式中各项系数的规律如 下表: (a+b)1=a+b 展开式中各 项系数之和 为1+1 (a+b)2=a2+ 2ab+b2 展开式中各 项系数之和 为1+2+1 (a+b)3=a3+ 3a2b+3ab2+b3 展开式中各 项系数之和 为 1+3+ 3+1 (a+b)4=a4+ 4a3b+6a2b2 + 4ab3+b4 展开式中各 项系数之和 为 1+4+ 6+4+1 根据上述规律,(a+b)7的展开式中各项系 数之和是 . 13. 已知2x2+x-1=0,求代数式(2x+1)2- 2(x-3)的值. 14. 若x满足(9-x)(x-4)=4,求 (9-x)2+(x-4)2的值.小明的 解法如下: 解:设9-x=a,x-4=b,则ab=(9- x)(x-4)=4,a+b=(9-x)+(x- 4)=5. 所以(9-x)2+(x-4)2=a2+b2=(a+ b)2-2ab=52-2×4=17. 请仿照上面的方法解决问题: 若n满足(n-2020)2+(2022-n)2=1, 求(n-2020)(2022-n)的值. 15. 已知(x-2025)2+(x-2021)2= 34,则(x-2023)2的值是 ( ) A. 5 B. 9 C. 13 D. 17 16. ★通过用不同的方法表示同一个图形的面 积,可以探求相应的等式.如图①,四个形 状、大小完全相同的直角三角形与中间的小 正方形拼成了一个大正方形,直角三角形的 两条直角边的长分别为a,b(a<b),斜边的 长为c. (1) 图①中涂色部分的面积可用两种方法 分别表示为 , . (2) 由(1)可知,a,b,c之间的数量关系是 (化为最简形式). (3) 若一个直角三角形的两条直角边的长 分别为6和8,则其斜边的长为 . (4) 通过用不同的方法表示同一个几何体 的体积,也可以探求相应的等式.棱长为 a+b的正方体被分割成如图②所示的8块. ① 用不同的方法计算这个正方体的体积, 就可以得到一个等式,这个等式可以为 ( 化为最简形式). ② 已知a+b=3,ab=1,利用上面的规律求 a3+b3的值. (第16题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第8章　整式乘法 26 第2课时 平方差公式 ▶ “答案与解析”见P8 1. 下列计算正确的是 ( ) A. (-4a-1)(4a-1)=1-16a2 B. (x+y)(x2+y2)=x3+y3 C. (-4x)(2x2+3x-1)= -8x3- 12x2-4x D. (x-2y)2=x2-2xy+4y2 2. 下列式子中,不能运用平方差公式进行计算 的是 ( ) A. (x+a)(x-a) B. (a+b)(-a-b) C. (-x-b)(x-b)D. (b+m)(m-b) 3. 计算: (1) (-3m-4n)(-3m+4n)= . (2) (-a-5)(-a+5)= . (3) (7b-a)(a+7b)= . (4) (-4x-y)(4x-y)= . 4. 填空: (1) (a+7)( )=a2-49. (2) (5a-3b)( )=25a2-9b2. 5. 计算: (1) (a+2)(a-2)-(a-3)2. (2) (x-y)(x+y)(x2+y2). (3) (4x+1)(-4x-1)-(2x-3)(2x+3). (4) (3x-y+2)(3x+y-2). 6. 计算20242-2023×2025的结果是 ( ) A. 1 B. -1 C. 0 D. 2×20242-1 7. (易错题)若一个正整数能表示为两个连续奇 数的平方差,则称这个正整数为“好数”.下列 正整数中,能称为“好数”的是 ( ) A. 205 B. 250 C. 502 D. 520 8. 小刚把(2022x+2021)2展开后得到ax2+ bx+c,把(2021x+2020)2 展开后得到 mx2+nx+q,则a-m的值为 ( ) A. 1 B. -1 C. 4043 D. -4043 9. 观察:(x-1)(x+1)=x2-1,(x-1)(x2+ x+1)=x3-1,(x-1)(x3+x2+x+1)= x4-1.根据此规律,当(x-1)(x5+x4+ x3+x2+x+1)=0时,代数式x2023-2的 值为 ( ) A. 1 B. 0 C. 0或-2 D. -1或-3 10. (1) 若a-b=3,则代数式a2-b2-6b= . (2) 若(m+2022)2=10,则(m+2021)· (m+2023)= . 11. (学科内综合)如图,大正方形 ABCD与小正方形DEFG的面积 之差是64,则涂色部分的面积是 . (第11题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)七年级下 27 12. 已知(a2+b2+3)(a2+b2-3)=7, ab=3,则(a+b)2= . 13. 若m2-n2=5,则(m+n)2(m- n)2的值是 . 14. 先化简,再求值: (1) (a+2b)2+(a+2b)(a-2b)+2a(b- a),其中a=-1,b=2. (2) (x-3)(x+3)(x2+9)-(9-x2)2,其 中x=2. (3) (x+3)(x-3)+x(x-2),其中x2- x-1=0. 15. 某中学校园正在进行绿地改造,将原有的一 块正方形绿地每边都增加3米,则它的面积 增加了63平方米,问:原绿地的边长为多 少? 原绿地的面积为多少? 16. 如果一个正整数能表示为两个正 整数的平方差,那么称这个正整数 为“智慧数”,如3=22-12,7= 42-32,16=52-32,3,7,16就是三个“智慧 数”.在正整数中,从1开始,第2022个“智 慧数”是 . 17. 比任意一个偶数大3的数与此偶数的平方 差能被3整除. (1) 92-62的结果是3的多少倍? (2) 设偶数为2n(n为整数),试说明:比2n 大3的数与2n的平方差能被3整除. (3) 比任意一个整数大3的数与此整数的 平方差除以6后的余数为多少呢? 请说明 理由. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第8章　整式乘法 28 第3课时 乘法公式的综合应用 ▶ “答案与解析”见P9 1. 下列式子计算正确的是 ( ) A. m+m=m2 B. (-3m)2=6m2 C. (m+2n)2=m2+4n2 D. (m+3n)(m-3n)=m2-9n2 2. 计算(a+b-c)(a-b-c)的结果是 ( ) A. a2+b2-c2 B. a2-2ab+b2-c2 C. a2-b2+c2 D. a2-2ac+c2-b2 3. 已知(a+b)2=10,(a-b)2=6,则ab= . 4. 若两个正方形的周长之和为80cm,它们的面 积之差为40cm2,则这两个正方形的边长之 差为 . 5. 计算: (1) (a-b)2(a+b)2. (2) (2a+3b)2(2a-3b)2. (3) (2a-3)(4a2+9)(2a+3). (4) [(x-y)2+(x+y)2](x2-y2). 6. 下列计算正确的是 ( ) A. (x+2y)(x-2y)=x2-2y2 B. (-x+y)(x-y)=x2-y2 C. (2x-y)(x+2y)=2x2-2y2 D. (-x-2y)(-x+2y)=x2-4y2 7. (易错题)设a,b是有理数,定义新运算:a* b=(a-b)2.有下列结论:① a*b=b*a; ② (a*b)2=a2*b2;③ (-a)*b=a* (-b);④ a*(b+c)=a*b+a*c.其中,正 确的是 ( ) A. ①③ B. ①② C. ①③④ D. ①②③④ 8. 已知a2-5=2a,则代数式(a-2)(a+3)- 3(a-1)的值是 ( ) A. 2 B. -2 C. 8 D. -8 9. 某工厂原来生产一种边长为a厘米的正方形 地砖,现将地砖一组对边的长增加3厘米,另 一组对边的长减少3厘米,改成生产长方形地 砖.若地砖的材料成本为每平方厘米b元,则 每块长方形地砖的材料成本与每块正方形地 砖的材料成本相比,减少了 元. 10. 在边长为3a+1的正方形纸片中剪 下一个边长为a+1的正方形,将剩 余部分剪拼成一个长方形,尺寸如 图所示,则“?”表示的长度为 . (第10题) 11. 已知x+y+z=1,x2+y2-3z2+4z=7, 则xy-z(x+y)的值为 . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)七年级下 29 12. 先化简,再求值: (1) (2024·长沙)2m-m(m-2)+(m+ 3)(m-3),其中m=52. (2) [(2a+b)2-(2a+b)(2a-b)]÷2b,其 中a=2,b=-1. 13. ★设a>b>0,a2+b2=103ab ,求a+b a-b 的值. 14. (新情境)在日历上,我们可以发现其中某些 数满足一定的规律. (1) 图②是某月的月历,用如图①所示的 “Z”字形框架任意框住月历中的5个数, 将位置B,D上的数相乘,位置A,E上的 数相乘,再相减,例如:5×19-4×20= ,2×16-1×17= .不难 发现,结果都等于 . (2) 设“Z”字形框架中位置C上的数为x, 请利用整式的运算说明(1)中的规律成立. (3) 如图③,在某月历中,用正方形方框框 住9个数(涂色部分).如果最小的数和最大 的数的乘积为105,那么中间位置上的数 a= . (第14题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第8章　整式乘法 30 专题特训（二）　巧用乘法公式 ▶ “答案与解析”见P10 类型一 巧用乘法公式求代数式的值 1. 已知(a+b)2=12,ab=2,则(a-b)2的值为 ( ) A. 8 B. 20 C. 4 D. 16 2. 设 a=x-2022,b=x-2024,c= x-2023.若 a2+b2=16,则 c2 的 值是 ( ) A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 3. 已知(x+y)2=12,(x-y)2=4,则x2+ 3xy+y2的值为 . 4. 已知a2+ab=15,b2+ab=10,a-b=1,求: (1) a+b的值. (2) a2+b2的值. 类型二 巧用乘法公式进行简便计算 5. 简便计算:99×101×10001. 6. ★化简:6×(7+1)×(72+1)×(74+1)× (78+1)×(716+1)+1. 类型三 巧用乘法公式解决实际问题 7. 两个两位数的十位上的数字相同,一个数的 个位上的数字是6,另一个数的个位上的数 字是4,它们的平方差是220,求这两个两 位数. 类型四 巧用乘法公式解决整除问题 8. 当n为自然数时,(3n+1)(3n-1)-(3-n)· (3+n)的值能被10整除吗? 请说明理由. 类型五 巧用乘法公式解决推理求值问题 9. 若x,y,z满足(x-z)2-4(x-y)(y-z)= 0,则下列式子中,一定成立的是 ( ) A. x+y+z=0 B. x+y-2z=0 C. y+z-2x=0 D. z+x-2y=0 10. 已知两个不相等的有理数m,n满 足m2+n2=40. (1) 若m+n=-4,求mn的值. (2) 若m2-6m=k,n2-6n=k,求m+n 和k的值. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)七年级下 (a-2b)x2-(4+ab)x-2a. 因为乘积展开式中没有x的二次项, 且常数项为10, 所以a-2b=0,-2a=10. 所以a=-5,b=-2.5. 所以a+b=-5+(-2.5)=-7.5. 16. (1) 2a+b;4a+b. (2) 因为大长方形的面积为(2a+ b)(4a+b)=8a2+2ab+4ab+b2= 8a2+6ab+b2, 所以涂色部分的面积为8a2+6ab+ b2-6a(a+b)=8a2+6ab+b2- 6a2-6ab=2a2+b2. (3) 1 4. 8.4　乘法公式 第1课时 完全平方公式 1. C 2. B 3. 63 4. (1) 2 (2) 42或-42 5. (1) 1. (2) -24xy. (3) -5a2+5b2. (4) -4x-2. 6. B [解析] 因为(a+b)2-(a- b)2=a2+2ab+b2-(a2-2ab+ b2)=4ab=4,所以4ab=4,即ab=1. 所以ab互为倒数. 7. A [解析] 根据题意,得x+y- 5=0,xy-3=0,所以x+y=5,xy= 3.因为(x+y)2=x2+2xy+y2= 25,所以x2+y2=25-2×3=25- 6=19. 8. A [解析] x2+y2+2x-4y+ 7=(x2+2x+1)+(y2-4y+4)+ 2=(x+1)2+(y-2)2+2.因为(x+ 1)2≥0,(y-2)2≥0,所以(x+1)2+ (y-2)2+2≥2.所以x2+y2+2x- 4y+7的值总不小于2. 9. (1) 10 4 [解析] 因为a+b= 4,ab=3,所以a2+b2=(a+b)2- 2ab=42-2×3=10,(a-b)2=(a+ b)2-4ab=42-4×3=4. (2) -2 [解析] 因为a-b=3, 所以(a-b)2=a2-2ab+b2=9. 因为a2+b2=5,所以5-2ab=9. 所以ab=-2. 10. 4或2 11. 4 [解析] 根据定义 a b c d = ad-bc,可得原式=(x-1)(x+1)- (x-1)2=6,解得x=4. 12. 128 [解析] 因为(a+b)1 的展 开式中各项系数之和是1+1=21, (a+b)2的展开式中各项系数之和是 1+2+1=22,(a+b)3的展开式中各 项系数之和是1+3+3+1=23,(a+ b)4的展开式中各项系数之和是1+ 4+6+4+1=24……所以(a+b)n 的 展开式中各项系数之和是2n.所以 (a+b)7的展开式中各项系数之和是 27=128. 13. 原式=4x2+4x+1-2x+6= 4x2+2x+7. 因为2x2+x-1=0, 所以2x2+x=1. 所以4x2+2x=2(2x2+x)=2. 所以原式=2+7=9. 14. 设n-2020=x,2022-n=y,则 x+y=(n-2020)+(2022-n)=2. 因为(n-2020)2+(2022-n)2=1, 所以x2+y2=1. 因为x+y=2, 所以(x+y)2=4. 所以x2+2xy+y2=4. 所以xy= 1 2 [(x2+2xy+y2)- (x2+y2)]= 1 2× (4-1)=1.5. 所以(n-2020)(2022-n)=1.5. 15. C [解析] 令t=x-2023,则原 式可化简为(t-2)2+(t+2)2=34, 即t2-4t+4+t2+4t+4=34.所 以t2=13,即(x-2023)2=13. 16. (1) c2-2ab;(b-a)2. (2) a2+b2=c2. (3) 10. (4) ① (a+b)3 =a3 +3a2b+ 3ab2+b3. ② 因为a+b=3,ab=1,(a+b)3= a3+b3+3a2b+3ab2=a3+b3+ 3ab(a+b), 所以33=a3+b3+3×1×3. 所以a3+b3=18. 运用整体与部分之间的数量 关系探求整式的乘法运算 解决这类以几何图形为背景 的整式乘法运算问题时,需要我们 正确抓住整体与部分之间的面积 或体积的数量关系,进而运用整体 思想将其转化,从而解决相关的问 题.正确列出代数式表示各个部分 的面积或体积是解决此类问题的 关键. 第2课时 平方差公式 1. A 2. B 3. (1) 9m2-16n2 (2) a2-25 (3) 49b2-a2 (4) y2-16x2 4. (1) a-7 (2) 5a+3b 5. (1) 6a-13. (2) x4-y4. (3) -20x2-8x+8. (4) 9x2-y2+4y-4. 6. A [解析] 原式 =20242- (2024-1)×(2024+1)=20242- (20242-1)=20242-20242+1=1. 7. D [解析] 根据平方差公式,得 (2n+1)2-(2n-1)2=(2n+1+ 2n-1)(2n+1-2n+1)=4n×2= 8n.所以“好数”是8的倍数.因为 205,250,502都不能被8整除,只有 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 8 520能被8整除,所以选项 D符合 题意. 8. C [解析] 因为把(2022x+ 2021)2 展开后得到ax2+bx+c, 所以a=20222.因为把(2021x+ 2020)2 展开后得到mx2+nx+q, 所以 m =20212.所以a-m = 20222-20212=(2022+2021)× (2022-2021)=4043. 9. D [解析] 根据规律,可得(x- 1)(x5+x4+x3+x2+x+1)=x6- 1.因为(x-1)(x5+x4+x3+x2+ x+1)=0,所以x6-1=0.所以x6= 1.所以(x3)2=1.所以x3=±1.所 以x=±1.当x=1时,原式=12023- 2= -1;当 x= -1 时,原式 = (-1)2023-2=-3.综上所述,原代数 式的值为-1或-3. 10. (1) 9 [解析] a2-b2-6b= (a+b)(a-b)-6b.当a-b=3时, 原式=3(a+b)-6b=3a+3b-6b= 3a-3b=3(a-b)=3×3=9. (2) 9 [解析] 因为(m+2022)2= 10,所以(m+2021)(m+2023)= (m+2022-1)(m+2022+1)= (m+2022)2-1=10-1=9. 11. 32 [解析] 设大正方形ABCD 的边长为a,小正方形DEFG的边长 为b,则涂色部分的面积是12AG · DC+12AG ·ED=12AG (DC+ ED)=12 (AD-DG)(DC+ED)= 1 2 (a-b)(a+b)=12 (a2-b2).由题 意,得a2-b2=64.所以涂色部分的 面积是1 2×64=32. 12. 10 [解析] 因为(a2+b2+3)· (a2+b2-3)=7,即(a2+b2)2-32= 7,所以(a2+b2)2=7+9=16.所 以a2+b2=4.因为ab=3,所以(a+ b)2=a2+b2+2ab=4+2×3=4+ 6=10. 13. 25 [解析] 因为m2-n2=(m+ n)(m-n)=5,所以原式=[(m+n)· (m-n)]2=52=25. 14. (1) 原式=6ab. 当a=-1,b=2时,原式=6× (-1)×2=-12. (2) 原式=18x2-162. 当x=2时,原式=18×4-162= -90. (3) 原式=2x2-2x-9=2(x2- x)-9. 因为x2-x-1=0, 所以x2-x=1. 所以原式=2×1-9=-7. 15. 设原绿地的边长为x米,则改造 后绿地的边长为(x+3)米. 根据题意,得(x+3)2-x2=63,解得 x=9. 所以9×9=81(平方米). 所以原绿地的边长为9米,原绿地的 面积为81平方米. 16. 2699 [解析] 设两个数分别 为k+1,k,其中k≥1,且k为整数, 则(k+1)2-k2=(k+1+k)(k+1- k)=2k+1.设两个数分别为k+1, k-1,其中k>1,且k为整数,则(k+ 1)2-(k-1)2=(k+1+k-1)(k+ 1-k+1)=4k.当k=2时,4k=8. 所以除4外,所有能被4整除的正整 数都是“智慧数”.所以4k(k≥2且k 为整数)均为“智慧数”;除1外,所有 的奇数都是“智慧数”;除4外,所有能 被4整除的正整数都是“智慧数”.这 样还剩被4除余2的数,特殊值2,6, 10都不是“智慧数”.假设4k+2是 “智慧数”,则必有两个正整数m和n, 使得4k+2=m2-n2.所以2(2k+ 1)=(m+n)(m-n)①.因为m+n 和m-n 这两个数的奇偶性相同, 所以等式①的右边要么是4的倍数, 要么是奇数,而左边一定是偶数,但一 定不是4的倍数.所以4k+2不是“智 慧数”,即被4除余2的正整数都不是 “智慧数”.所以把从1开始的正整数 依次每4个分成一组,除第一组有 1个“智慧数”外,其余各组都有3个 “智慧数”,而且每组中第二个数不是 “智慧数”.又因为(2022-1)÷3= 673……2,所以第2022个“智慧数” 在1+673+1=675(组),并且是第三 个数,即675×4-1=2699. 17. (1) 因为92-62=45,45÷3=15, 所以92-62的结果是3的15倍. (2) 由题意,得偶数为2n,比偶数大 3的数为2n+3, 所以(2n+3)2-(2n)2=(2n+3+ 2n)(2n+3-2n)=3(4n+3). 因为4n+3为整数, 所以3(4n+3)能被3整除. (3) 余数为3. 理由:设这个整数为n,比n大3的数 为n+3. 因为(n+3)2-n2=(n+3+n)(n+ 3-n)=6n+9=6(n+1)+3, 所以余数为3. 第3课时 乘法公式的综合应用 1. D 2. D 3. 1 4. 2cm 5. (1) a4-2a2b2+b4. (2) 16a4-72a2b2+81b4. (3) 16a4-81. (4) 2x4-2y4. 6. D 7. A [解析] a*b=(a-b)2,b* a=(b-a)2=(a-b)2.故①正确. (a*b)2=[(a-b)2]2=(a-b)4, a2*b2=(a2-b2)2=(a+b)2(a- b)2.故②错误.(-a)*b=(-a- b)2=(a+b)2,a*(-b)=(a+b)2. 故③正确.a*(b+c)=(a-b- 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 9 c)2=a2+b2+c2-2ab-2ac+2bc, a*b+a*c=(a-b)2+(a-c)2= a2-2ab+b2+a2-2ac+c2=2a2+ b2+c2-2ab-2ac.故④错误.综上 所述,正确的是①③. 8. A [解析] 原式=a2+3a-2a- 6-(3a-3)=a2+3a-2a-6-3a+ 3=a2-2a-3.因为a2-5=2a,所 以a2-2a=5.所以原式=5-3=2. 9. 9b [解析] 因为一块正方形地砖 的面积为a2平方厘米,一块长方形地 砖的面积为(a+3)(a-3)=(a2- 9)平方厘米,所以一块长方形地砖的 面积比一块正方形地砖的面积减少了 a2-(a2-9)=9(平方厘米).所以每 块长方形地砖的材料成本与每块正方 形地砖的材料成本相比,减少了 9b元. 10. 2a+1 [解析] 设“?”表示的长 度为x.根据题意,列方程为(3a+ 1)2-(a+1)2=4ax.整理,得x= 2a+1. 11. -3 [解析] 因为x+y+z=1, 所以x+y=1-z.因为x2+y2- 3z2+4z=7,所以(x+y)2-2xy- 3z2+4z=7.所以(1-z)2-2xy- 3z2+4z=7.所以-2xy-2z2+2z= 6.所以xy+z2-z=-3.所以xy- z(x+y)=xy-z(1-z)=xy+z2- z=-3. 12. (1) 原式=4m-9. 当m=52 时,原式=4×52-9=1. (2) 原式=2a+b. 当a=2,b=-1时,原式=2×2-1= 3. 13. 因为a2+b2=103ab , 所 以 a+b a-b 2 = a 2+2ab+b2 a2-2ab+b2 = 10 3ab+2ab 10 3ab-2ab =4. 所以a+b a-b=±2. 因为a>b>0, 所以a+b>0,a-b>0. 所以a+b a-b=2. 运用整体求值法 确定代数式的值 解决此类问题时,常常将待求 代数式看成一个整体,对其进行完 全平方变形,并将条件中具有共同 特征的部分整体代入,求得变形后 的代数式的值,从而确定所求代数 式的值. 14. (1) 15;15;15. (2) 因为“Z”字形框架中位置C上的 数为x, 所以位置 A,B,D,E上的数依次为 x-8,x-7,x+7,x+8. 由题意,得(x-7)(x+7)-(x-8)· (x+8)=(x2-49)-(x2-64)= x2-49-x2+64=15. 所以(1)中的规律成立. (3) 13. 专题特训（二）　巧用 乘法公式 1. C [解析] (a-b)2=(a+b)2- 4ab=12-4×2=4. 2. C [解析] 因为a=x-2022,b= x-2024,c=x-2023,所以a-1= x-2023=c=b+1,a-b=2.因 为a2+b2=16,所以(a-b)2+2ab= 16.所以ab=6.所以c2=(a-1)(b+ 1)=ab+a-b-1=6+2-1=7. 3. 14 [解析] 因为(x+y)2=12, (x-y)2=4,所以x2+2xy+y2= 12①,x2-2xy+y2=4②.①+②,得 2x2+2y2=16.所以x2+y2=8.①- ②,得4xy=8.所以xy=2.所以 x2+3xy+y2=8+3×2=14. 4. (1) 因为a2 +ab=15,b2 + ab=10, 所以a2+2ab+b2=25. 所以(a+b)2=25. 所以a+b=±5. (2) 因为a-b=1,(a+b)2=25, 所以a2+b2=12 [(a+b)2+(a- b)2]=12× (25+1)=13. 5. 原式=[(100-1)×(100+1)]× (10000+1)=(1002-1)×(10000+ 1)=(10000-1)×(10000+1)= 100002-1=99999999. 6. 原式=(7-1)×(7+1)×(72+ 1)×(74+1)×(78+1)×(716+1)+ 1=(72-1)×(72+1)×(74+1)× (78+1)×(716+1)+1=(74-1)× (74+1)×(78+1)×(716+1)+1= (78-1)×(78+1)×(716+1)+1= (716-1)×(716+1)+1=732-1+ 1=732. 不能从整体入手确定解题 策略导致错误 解答本题时,往往会出现从左 到右依次进行计算导致解题陷入 困境的现象.究其原因,是不能从 算式的整体结构特征入手,根据各 项各部分具有的特征灵活选用方 法,使问题得到转化.解答时,可 以从全局观察结构特征,不难发现 除6外其余各因式可以看成是底 数为7、指数分别为1,2,4,8,16的 幂与1的和,因而只需要将6看成 7-1,通过这样的巧妙变形,就可 以与后面的因式逐步运用平方差 公式,从而简化运算. 7. 设这两个两位数的十位上的数字 是x,则这两个两位数分别表示为 10x+6,10x+4. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 01 所以(10x+6)2-(10x+4)2=220, 解得x=5. 所以这两个两位数分别是56,54. 8. 能被10整除. 理由:原式=(3n)2-1-(32-n2)= 9n2-1-9+n2 =10n2 -10= 10(n2-1). 因为n为自然数, 所以10(n2-1)能被10整除. 所以(3n+1)(3n-1)-(3-n)(3+ n)的值能被10整除. 9. D [解析] 因为(x-z)2-4(x- y)(y-z)=0,所以x2+z2-2xz- 4xy+4xz+4y2-4yz=0.所以x2+ z2+2xz-4xy+4y2-4yz=0.所 以(x+z)2-4y(x+z)+4y2=0. 所以(x+z-2y)2=0.所以z+x- 2y=0. 10. (1) 因为m+n=-4, 所以(m+n)2=16,即m2+2mn+ n2=16. 因为m2+n2=40, 所以40+2mn=16. 所以mn=-12. (2) 因为m2-6m=k,n2-6n=k, 所以m2-6m+n2-6n=2k. 所以m2+n2-6(m+n)=2k. 因为m2+n2=40, 所以40-6(m+n)=2k. 所以k=20-3(m+n). 因为m2-6m=k,n2-6n=k, 所以m2-6m-n2+6n=(m+n)· (m-n)-6(m-n)=(m-n)(m+ n-6)=0. 因为m,n不相等, 所以m+n-6=0,即m+n=6. 所以k=20-3×6=2. 第8章复习 ［知识体系构建］ ca+cb ac+ad+bc+bd a2± 2ab+b2 a2-b2 ［高频考点突破］ 典例1 原式=-20a2+9a. 当a=-2时,原式=-20×(-2)2+ 9×(-2)=-98. [跟踪训练] 1. 原式 =x3y+ x2y4-9x2y4=x3y-8x2y4. 典例2 (1) 由题意,得(a+b)(2a+ b)=2a2+3ab+b2. 所以该长方形空地的面积为2a2+ 3ab+b2. (2) 由题意,得(a+b-2b)(2a+b- 3b)=(a-b)(2a-2b)=2a2- 4ab+2b2. 所以这两个长方形喷泉池的总面积 为2a2-4ab+2b2. (3) 当a=200,b=100时,2a2- 4ab+2b2=2×2002-4×200×100+ 2×1002=20000. 所以这两个长方形喷泉池的总面积 为20000. [跟踪训练] 2. (1) S1=(m+7)· (m+1)=m2+8m+7;S2=(m+ 4)(m+2)=m2+6m+8. (2) 是常数. 设该正方形的边长为a. 根据题意,得4a=2(m+7+m+1)+ 2(m+4+m+2). 所以a=2m+7. 所以S3=(2m+7)2. 所以S3-2(S1+S2)=(2m+7)2- 2(m2+8m+7+m2+6m+8)= 4m2+28m +49-4m2 -28m - 30=19. 所以S3 与2(S1+S2)的差是常数, 为19. 典例3 (1) (a+b)2=a2+2ab+b2. (2) 由(1),可得(a+b)2=a2+ 2ab+b2. 当a2+b2=70,ab=15时,(a+b)2= 70+2×15=100. 又因为a>b>0,所以a+b=10. (3) 设x+9=a,x-1=b,则(x+ 9)2+(x-1)2=a2+b2=124. 所以a-b=(x+9)-(x-1)=10. 因为(a-b)2=a2+b2-2ab,a-b= 10,a2+b2=124, 所以100=124-2ab. 所以ab=12. 所以(x+9)(x-1)=ab=12. [跟踪训练] 3. (1) a-b. (2) (a+b)2=(a-b)2+4ab. (3) 由(2),可得(x+y)2=(x- y)2+4xy. 因为x-y=3,xy=4, 所以(x+y)2=32+4×4=25. 所以x+y=5或x+y=-5. 典例4 原式=-8x2-2x+5. 因为4x2+x-5=0, 所以4x2+x=5. 所以原式=-2(4x2+x)+5=-2× 5+5=-5. [跟踪训练] 4. 原式=2x2-4x+2. 因为x2-2x=1, 所以原式=2(x2-2x)+2=2×1+ 2=4. 典例5 (1) 9+3a2;4-6a. (2) 小林的说法正确. 理由:由题意,可得开始起按四次后, 小林的屏幕上显示的结果为9+4a2, 小明的屏幕上显示的结果为4-8a. 所以9+4a2+4-8a=4(a2-2a+ 1-1)+13=4(a-1)2-4+13= 4(a-1)2+9. 因为4(a-1)2≥0, 所以4(a-1)2+9≥9. 所以小林的说法正确. [跟踪训练] 5. (1) 因为(-2)2+ 02+22=4+4=8,8÷4=2, 所以其结果是4的2倍. (2) 由题意,得另外两个偶数分别 为2x-2和2x+2. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 11