第7章 专题特训（一）平行线中的“拐点”问题-【拔尖特训】2024-2025学年新教材七年级下册数学（人教版2024）

20 　　　　专题特训（一）　平行线中的“拐点”问题 ▶ “答案与解析”见P9 类型一 “铅笔头”模型 1. (2024·南充期末)如图,AB∥CD,点E,F 分别在AB,CD 上,点M 在两条平行线之 间,∠AEM 与∠CFM 的平分线交于点N. 若∠EMF=n°,则∠ENF的度数为 ( ) (第1题) A. 180-12n ° B. (2n)° C. 90-12n ° D. (180-2n)° 2. (2024·杭州萧山期中)如图,AB∥ CD,PG 平 分 ∠FPE,∠CFP + ∠FPH=180°.有下列结论:① CD∥ PH;② ∠BEP + ∠DFP =2∠EPG; ③ ∠FPH=∠GPH;④ ∠A+∠AGP+ ∠DFP-∠FPG=180°;⑤ 若∠BEP> ∠DFP,则∠BEP-∠DFP∠GPH =2. 其中,正确 的结论是 (填序号). (第2题) 类型二 “锯齿拐点”模型 3. ★(2023·汕尾期中)如图,若AB∥CD,用含 有∠1,∠2,∠3的式子表示∠α,则∠α应为 ( ) (第3题) A. ∠1+∠2+∠3 B. ∠2+∠3-∠1 C. 180°+∠1+∠2-∠3 D. 180°+∠2-∠1-∠3 4. (2024·宁波慈溪期中)如图,AB∥CD,点E, F分别在AB,CD上,点G,H 在AB,CD 之 间,∠AEG与∠FHG的平分线交于点M.若 ∠EGH=84°,∠HFD=20°,则∠M 的度数 为 . (第4题) 类型三 “脚掌”模型 5. 小红观察“抖空竹”时发现,可以将某一时刻 的情形抽象成数学问题:如图,AB∥CD, ∠A=80°,∠DCE=120°,则∠E 的度数是 . (第5题) 类型四 “飞鹤”模型 6. (2023·白银期中)如图,AB∥CD∥EF,则下 列等式中,正确的是 ( ) (第6题) A. ∠1+∠2+∠3=180° B. ∠1+∠2=180°+∠3 C. ∠1+∠3=180°+∠2 D. ∠2+∠3=180°+∠1 类型五 “蛇”模型 7. (2024·武汉期末)【猜想】 如图①, AB∥CD,点E 在直线AB,CD 之 间,连接 BE,ED,若∠B=25°, 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(人教版)七年级下 21 ∠D=40°,则∠BED的度数为 . 【探究】 如图②,AB∥CD,BE,CE交于点E, 探究∠B,∠BEC,∠C(均为小于180°的角) 之间的数量关系,并说明理由. 【拓展】 如图③,AB∥CD∥EK,∠ABE的平 分线BF与∠ECD的平分线CG的反向延长 线交于点F,且∠BFC-2∠BEC=57°,求 ∠BEC的度数. (第7题) 8. (2023·武汉硚口段考)已知AB∥ CD. (1) 如 图 ①,求 证:∠ABE + ∠DCE-∠BEC=180°. (2) 如图②,∠DCE 的平分线CG 的反向延 长线交∠ABE的平分线BF于点F. ① 若BF∥CE,∠BEC=26°,求∠BFC 的 度数. ② 若∠BFC-∠BEC=74°,则∠BEC= . (第8题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第七章　相交线与平行线 外角. (2) 35°. [解析] 如图②,∵ 直线 a∥b,∴ ∠3+∠4=180°.又∵ ∠1= ∠3,∠2=∠4,∴ ∠1+∠2=180°. ∵ ∠1=145°,∴ ∠2=180°- ∠1=35°. (3) ∵ ∠1+∠2=180°,∠1+∠3= 180°, ∴ ∠2=∠3. ∴ a∥b. 归纳出一个真命题为同旁外角互补, 两直线平行. (第10题) 7.4　平　移 1. B 2. 8 3. 6或8 [解析] 当两斜边重合时, 可组成一个长方形,此时m=2,n= 4,m+n=6.当两直角边重合时,有两 种情况:① 当短直角边重合时,m= 2,n=4,m+n=6;② 当长直角边重 合时,m=2,n=6,m+n=8.综上所 述,m+n的值为6或8. 4. 如图,延长AB交直线n于点O. ∵ 将直线m平移后得到直线n, ∴ m∥n. ∴ ∠3+∠5=180°,即∠5=180°- ∠3=105°. ∵ ∠4=∠1=25°, ∴ 易得∠2=∠4+∠5=130°. (第4题) 5. B 6. D 7. B 8. 48 [解析] 由题意,易得阴影部分 的面积等于梯形ABEH 的面积.由平 移,得DE=AB=10,BE=6,∴ EH= DE-DH =10-4=6.∴ 梯形 ABEH 的面积为 1 2× (EH+AB)× BE=12× (6+10)×6=48.∴ 阴影 部分的面积为48. 9. 11 [解析] 由平移的性质,可知 DE=AB=4cm,AD=BE=acm, ∴ EC=(5-a)cm.∴ 涂色部分的周 长=AD+EC+AC+DE=11cm. 10. (1) 涂 色 部 分 ⑥ 的 周 长 为 2AB=2a. (2) ②. 设正方形纸片②的边长是m. ∴ 涂色部分⑤的周长是2(a-m). ∴ 涂色部分⑥的周长-涂色部分⑤ 的周长=2a-2(a-m)=2m. ∴ 涂色部分⑥与涂色部分⑤的周长 之差与正方形纸片②的边长有关. 11. (1) 答案不唯一,如图所示. (2) 设三个图中除去阴影部分后剩下 部分的面积分别为S1,S2,S3,则 S1=ab-b,S2=ab-b,S3=ab-b. (3) 由(2),可知这块菜地的面积为 40×10-10×1=390(m2). (第11题) 专题特训（一）　平行线 中的“拐点”问题 1. A [解析] 如图,过点M 作MG∥ AB,∴ ∠1=∠EMG.∵ AB∥CD, ∴ CD ∥MG.∴ ∠2= ∠FMG. ∵ ∠EMF = ∠EMG + ∠FMG, ∴ ∠EMF=∠1+∠2=n°.同理,可 得∠ENF=∠3+∠4.∵ EN 平分 ∠AEM,FN 平分∠CFM,∴ ∠3= 1 2 ∠AEM ,∠4 = 12 ∠CFM. ∴ ∠ENF=12∠AEM+ 1 2∠CFM= 1 2 (180°- ∠1+180°- ∠2)= 1 2 [360°-(∠1+∠2)]=12 (360°- n°)= 180-12n °. (第1题) 2. ①②④⑤ [解析] ∵ ∠CFP+ ∠FPH=180°,∴ CD∥PH.故①正 确.∵ AB∥CD,∴ AB∥CD∥PH. ∴ ∠BEP=∠EPH,∠DFP=∠FPH. ∴ ∠BEP + ∠DFP = ∠EPH + ∠FPH = ∠EPF.又 ∵ PG 平分 ∠EPF,∴ ∠EPF = 2 ∠EPG. ∴ ∠BEP+∠DFP=2∠EPG.故② 正确.由题意无法得出∠FPH = ∠GPH.故 ③ 错 误.∵ ∠AGP = 180°- ∠HGP =180°- (180°- ∠HPG - ∠PHG)= ∠GPH + ∠PHG,∠DFP=∠FPH,∠FPH+ ∠GPH=∠FPG,∠FPG=∠EPG, ∴ ∠A + ∠AGP + ∠DFP - ∠FPG=∠A+∠GPH+∠PHG+ ∠FPH-∠FPG=∠A+∠FPG+ ∠PHG-∠FPG=∠A+∠PHG. ∵ AB∥PH,∴ ∠A+∠PHG= 180°,即∠A+∠AGP+∠DFP- ∠FPG=180°.故④正确.∵ ∠BEP- ∠DFP = ∠EPH - ∠FPH = (∠EPG + ∠GPH)- ∠FPH = ∠FPG + ∠GPH - ∠FPH = ∠GPH + ∠GPH = 2 ∠GPH, 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 9 ∴ ∠BEP-∠DFP ∠GPH =2. 故⑤正确. 综上所述,正确的结论是①②④⑤. 3. D [解析] 如图,过点E 作EF∥ AB,过点G 作HG∥CD.∵ AB∥ CD,EF∥AB,HG∥CD,∴ AB∥ CD∥HG∥EF.∴ ∠1+∠BEF= 180°,∠FEG= ∠EGH,∠HGC= ∠3.∴ ∠BEF = 180° - ∠1, ∠FEG = ∠EGH = ∠2- ∠3. ∴ ∠α=∠BEF+∠FEG=180°- ∠1+(∠2-∠3)=180°+∠2- ∠1-∠3. (第3题) “锯齿拐点”模型 1. 辅助线作法:过“拐点”作平 行线,且有多少个“拐点”就作多少 条平行线. 2. 所有朝左的角的度数之和 等于所有朝右的角的度数之和. 4. 32° [解析] 如图,过点G,M,H 分别作GN∥AB,MP∥AB,KH∥ AB.∵ AB∥CD,∴ AB∥GN∥MP∥ KH∥CD.∵ GN∥AB,∴ ∠AEG= ∠EGN.∵ GN∥KH,∴ ∠GHK= ∠NGH.∵ KH∥CD,∴ ∠KHF= ∠HFD=20°.∴ ∠AEG+∠GHK+ ∠KHF = ∠EGN + ∠NGH + ∠HFD.∴ ∠AEG + ∠GHF = ∠EGH+∠HFD.∵ ∠EGH=84°, ∠HFD=20°,∴ ∠AEG+∠GHF= 104°.∵ EM 平分∠AEG,MH 平分 ∠GHF,∴ ∠AEM = 12 ∠AEG , ∠MHF=12∠GHF.∴ ∠AEM+ ∠MHF=12 (∠AEG+∠GHF)= 52°.∵ ∠KHF=20°,∴ ∠AEM+ ∠MHK = ∠AEM + ∠MHF - ∠KHF=32°.∵ MP∥AB∥KH, ∴ ∠EMP = ∠AEM,∠PMH = ∠MHK.∴ ∠AEM + ∠MHK = ∠EMP + ∠PMH = 32°, 即 ∠EMH=32°. (第4题) 5. 40° [解析] 如图,延长DC交AE 于点F.∵ AB∥CD,∴ ∠EFD= ∠A = 80°.∵ 易 得 ∠DCE = ∠EFD + ∠E =120°,∴ ∠E = 120°-80°=40°. (第5题) 6. D [解析] ∵ AB∥CD∥EF, ∴ ∠2+ ∠BDC =180°,∠3= ∠CDE.∴ ∠BDC=∠CDE-∠1= ∠3-∠1.∴ ∠2+∠3-∠1=180°, 即∠2+∠3=180°+∠1. 7. 【猜想】 65°. [解析] 如图①,过 点E作EM∥AB.∵ AB∥CD,∴ AB∥ EM∥CD.∴ ∠BEM=∠B,∠DEM= ∠D.∴ ∠BED=∠BEM+∠DEM= ∠B+∠D=25°+40°=65°. 【探究】 ∠B+∠BEC-∠C=180°. 理由:如图②,过点E作EN∥AB. ∵ AB∥CD, ∴ AB∥EN∥CD. ∴ ∠B+∠BEN=180°,∠CEN= ∠C. ∴ ∠B + ∠BEN + ∠CEN = 180°+∠C. ∵ ∠BEC=∠BEN+∠CEN, ∴ ∠B+∠BEC=180°+∠C,即 ∠B+∠BEC-∠C=180°. 【拓展】 如图③,过点F 作FH∥AB, 则易得AB∥FH∥CD∥EK.同(2), 可得∠BFC+∠FCD-∠ABF= 180°, ∵ AB∥FH∥CD∥EK, ∴ ∠ABE = ∠BEK = ∠BEC + ∠KEC,∠KEC+∠ECD=180°. ∴ ∠ECD=180°-∠KEC. ∵ BF平分∠ABE,CG平分∠ECD, ∴ ∠ABF=12∠ABE= 1 2 (∠BEC+ ∠KEC),∠DCG=12∠ECD. ∴ ∠FCD=180°-∠DCG=180°- 1 2 ∠ECD =180°- 1 2 (180°- ∠KEC)=180°-90°+12∠KEC= 90°+12∠KEC. ∴ ∠BFC + ∠FCD - ∠ABF = ∠BFC + 90° + 12∠KEC - 1 2 (∠BEC + ∠KEC)=180°,即 ∠BFC-12∠BEC=90°. 又∵ ∠BFC-2∠BEC=57°, ∴ ∠BFC=2∠BEC+57°. ∴ 2∠BEC+57°-12∠BEC=90°. ∴ ∠BEC=22°. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 01 (第7题) 8. (1) 如图①,过点E作EF∥AB. ∵ AB∥CD, ∴ CD∥EF. ∴ ∠ABE = ∠BEF,∠DCE + ∠CEF=180°. ∵ ∠CEF = ∠BEF - ∠BEC = ∠ABE-∠BEC, ∴ ∠DCE+∠ABE-∠BEC=180°, 即∠ABE+∠DCE-∠BEC=180°. (2) ① ∵ BF∥CE, ∴ ∠FBE=∠BEC=26°. ∵ BF平分∠ABE, ∴ ∠ABF=∠FBE=26°,∠ABE= 2∠FBE=52°. 由(1),得∠DCE=180°-∠ABE+ ∠BEC=180°-52°+26°=154°. ∵ CG平分∠DCE, ∴ ∠DCG=12∠DCE=77°. 如图②,过点F作FN∥AB. ∵ AB∥CD, ∴ FN∥CD. ∴ ∠BFN=∠ABF=26°,∠NFC= ∠DCG=77°. ∴ ∠BFC = ∠BFN + ∠NFC = 103°. ② 32°. [解析] ∵ BF平分∠ABE, CG 平 分 ∠DCE,∴ 设 ∠ABF = ∠FBE= 12∠ABE=x ,∠ECG= ∠DCG=12∠DCE=y. 由(1),可知 ∠ABE+∠DCE-∠BEC=180°, ∴ 2x+2y-∠BEC=180°,即2(x+ y)- ∠BEC =180°.由 ①,易 知 ∠BFC=∠ABF+∠DCG,∴ ∠BFC= x+y.∵ ∠BFC-∠BEC=74°, ∴ x+y-∠BEC=74°,即x+y= 74°+∠BEC.∴ 2(74°+∠BEC)- ∠BEC=180°,解得∠BEC=32°. (第8题) 专题特训（二） “相交线 与平行线”中的数学思想 1. D 2. (1) 由题意,得 ∠EBF =90°, ∠E=45°,∠ABC=60°, ∵ EF∥CD, ∴ ∠CDE=∠E=45°. ∴ ∠ABE = ∠ABC - ∠CDE = 60°-45°=15°. ∴ ∠ABF = ∠EBF - ∠ABE = 90°-15°=75°. (2) 如图①,当DE∥BC时,延长AC 交MN 于点P,分两种情况: ① 当DE在MN 上方时, ∵ DE∥BC,∠EDF=∠ACB=90°, ∴ DE⊥DF,AC⊥BC. ∴ 易得AP∥DF. ∴ ∠FDM=∠MPA. ∵ GH∥MN, ∴ ∠MPA=∠HAC. ∴ ∠FDM=∠HAC. 由题意,得∠FDM=(2t)°,∠HAC= 30°, ∴ (2t)°=30°. ∴ t=15. ② 当DE'在MN 下方时,由题意,得 ∠F'DP=(2t)°-180°, ∵ DE'∥BC,DE'⊥DF',AC⊥BC, ∴ 易得AP∥DF'. ∴ ∠F'DP=∠MPA. ∵ GH∥MN, ∴ ∠MPA=∠HAC. ∴ ∠F'DP = ∠HAC,即 (2t)°- 180°=30°. ∴ t=105. 如图②,当BC∥DF 时,延长BC 交 MN 于点T,分两种情况: ① 当DF 在MN 上方时,根据题意, 得∠FDN=180°-(2t)°, ∵ BC∥DF, ∴ ∠FDN=∠BTN. ∵ GH∥MN, ∴ ∠BTN=∠ABC=60°. ∴ ∠FDN=60°,即180°-(2t)°=60°. ∴ t=60. ② 当DF'在MN 下方时,根据题意, 得∠F'DN=(2t)°-180°, ∵ DF'∥BC, ∴ ∠F'DN=∠BTM. ∵ GH∥MN, ∴ ∠BTM=180°-∠ABC=120°. ∴ ∠F'DN=120°,即(2t)°-180°= 120°. ∴ t=150. 综上所述,所有满足条件的t的值为 15或60或105或150. (3) 所有满足条件的a的值为30或 120. [解析] 由题意,得∠HAC= ∠BAH+∠BAC=a°+30°.如图③, 当DE∥BC 时,延长AC 交MN 于 点K,分两种情况:① 当DE 在MN 上方时,∠FDM=2a°,∵ DE∥BC, 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 11