第7章 专题特训（二）“相关线与平行线”中的数字思想-【拔尖特训】2024-2025学年新教材七年级下册数学（人教版2024）

22 专题特训（二） “相交线与平行线”中的数学思想 ▶ “答案与解析”见P11 类型一 分类讨论思想 1. (2023·武汉期中)已知∠A 与∠B(∠A, ∠B都是大于0°且小于180°的角)的两边一 边互相平行,另一边互相垂直,且2∠A- ∠B=18°,则∠A的度数为 ( ) A. 18°或66° B. 66°或96° C. 18°或36° D. 36°或96° 2. (易错易混题)(2024·茂名期中)有 一副三角尺,其中∠EDF=∠ACB= 90°,∠E=45°,∠A=30°. (第2题) (1) 若将这副三角尺按如图①所示的方式摆 放,EF∥CD,求∠ABF的度数. (2) 将这副三角尺按如图②所示的方式摆 放,直线GH∥MN,保持三角尺ABC不动, 现将三角尺DEF绕点D以每秒2°的速度按 顺时针方向旋转,设旋转时间为t秒,且0≤ t≤180,当边BC与三角尺DEF的一条直角 边(边DE,DF)平行时,求所有满足条件的t 的值. (3) 将这副三角尺按如图②所示的方式摆 放,直线GH∥MN,现将三角尺ABC绕点A 以每秒1°的速度按顺时针方向旋转,同时三 角尺DEF绕点D以每秒2°的速度按顺时针 方向旋转.设旋转时间为a 秒,如图③, ∠BAH=a°,∠FDM=2a°,且0≤a≤150, 当边BC 与三角尺DEF 的一条直角边(边 DE,DF)平行时,请直接写出所有满足条件 的a的值. 类型二 方程(设参)思想 3. (2024·武汉武昌期末)如图,AB∥CD,ME 平分∠AMF,NF 平分∠CNE.若∠E+ 54°=2∠F,则∠AMF的度数是 ( ) (第3题) A. 32° B. 36° C. 40° D. 44° 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(人教版)七年级下 23 4. (2024·宜春期末)(1) 如图①, AB∥CD,点M 在AB,CD 之间,连 接AM,CM.求证:∠AMC=∠A+ ∠C. (2) 如图②,E,F 分别是射线AB,CD 上一 点,G是线段CF 上一点,连接AG 并延长, 交直线 EF 于点 M,连接 AC,EG.若 ∠MAC+∠MEG=∠AGE,求证:AC∥EF. (3) 在(2)的条件下,AB∥CD,AN 平分 ∠MAC,FN 平分∠MFC,AN 与FN 交于 点N.若∠CAN=25°,∠ANF=∠AEG, ∠MGE=2∠CAN+3∠MEG,求∠MFC的 度数. (第4题) 类型三 整体思想 (第5题) 5. 如图,AB∥CD,直线l分别 交AB,CD于点E,F,且满足 ∠BEP=1n∠BEF ,∠DFP= 1 n∠DFE ,则∠P的度数为 ( ) A. 180° n+1 B. 180° n C. 180° n-1 D. 不确定 6. (2023·南昌东湖期中)已知AB∥ CD. (1) 如图①,求证:∠A=∠E+ ∠C. (2) 如图②,点F在AB,CD之间,∠EFA= 5∠E,AG 平分∠BAF 交CD 于点G,若 EH∥AG,∠E=30°,求∠EHG的度数. (3) 如图③,点P,Q分别在AB,CD上,点M 在CD下方,点N在两平行线之间.∠APM= 3∠APN,∠NQD=3∠MQD,请探究∠M, ∠N,∠MPN 之间的数量关系. (第6题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第七章　相交线与平行线 (第7题) 8. (1) 如图①,过点E作EF∥AB. ∵ AB∥CD, ∴ CD∥EF. ∴ ∠ABE = ∠BEF,∠DCE + ∠CEF=180°. ∵ ∠CEF = ∠BEF - ∠BEC = ∠ABE-∠BEC, ∴ ∠DCE+∠ABE-∠BEC=180°, 即∠ABE+∠DCE-∠BEC=180°. (2) ① ∵ BF∥CE, ∴ ∠FBE=∠BEC=26°. ∵ BF平分∠ABE, ∴ ∠ABF=∠FBE=26°,∠ABE= 2∠FBE=52°. 由(1),得∠DCE=180°-∠ABE+ ∠BEC=180°-52°+26°=154°. ∵ CG平分∠DCE, ∴ ∠DCG=12∠DCE=77°. 如图②,过点F作FN∥AB. ∵ AB∥CD, ∴ FN∥CD. ∴ ∠BFN=∠ABF=26°,∠NFC= ∠DCG=77°. ∴ ∠BFC = ∠BFN + ∠NFC = 103°. ② 32°. [解析] ∵ BF平分∠ABE, CG 平 分 ∠DCE,∴ 设 ∠ABF = ∠FBE= 12∠ABE=x ,∠ECG= ∠DCG=12∠DCE=y. 由(1),可知 ∠ABE+∠DCE-∠BEC=180°, ∴ 2x+2y-∠BEC=180°,即2(x+ y)- ∠BEC =180°.由 ①,易 知 ∠BFC=∠ABF+∠DCG,∴ ∠BFC= x+y.∵ ∠BFC-∠BEC=74°, ∴ x+y-∠BEC=74°,即x+y= 74°+∠BEC.∴ 2(74°+∠BEC)- ∠BEC=180°,解得∠BEC=32°. (第8题) 专题特训（二） “相交线 与平行线”中的数学思想 1. D 2. (1) 由题意,得 ∠EBF =90°, ∠E=45°,∠ABC=60°, ∵ EF∥CD, ∴ ∠CDE=∠E=45°. ∴ ∠ABE = ∠ABC - ∠CDE = 60°-45°=15°. ∴ ∠ABF = ∠EBF - ∠ABE = 90°-15°=75°. (2) 如图①,当DE∥BC时,延长AC 交MN 于点P,分两种情况: ① 当DE在MN 上方时, ∵ DE∥BC,∠EDF=∠ACB=90°, ∴ DE⊥DF,AC⊥BC. ∴ 易得AP∥DF. ∴ ∠FDM=∠MPA. ∵ GH∥MN, ∴ ∠MPA=∠HAC. ∴ ∠FDM=∠HAC. 由题意,得∠FDM=(2t)°,∠HAC= 30°, ∴ (2t)°=30°. ∴ t=15. ② 当DE'在MN 下方时,由题意,得 ∠F'DP=(2t)°-180°, ∵ DE'∥BC,DE'⊥DF',AC⊥BC, ∴ 易得AP∥DF'. ∴ ∠F'DP=∠MPA. ∵ GH∥MN, ∴ ∠MPA=∠HAC. ∴ ∠F'DP = ∠HAC,即 (2t)°- 180°=30°. ∴ t=105. 如图②,当BC∥DF 时,延长BC 交 MN 于点T,分两种情况: ① 当DF 在MN 上方时,根据题意, 得∠FDN=180°-(2t)°, ∵ BC∥DF, ∴ ∠FDN=∠BTN. ∵ GH∥MN, ∴ ∠BTN=∠ABC=60°. ∴ ∠FDN=60°,即180°-(2t)°=60°. ∴ t=60. ② 当DF'在MN 下方时,根据题意, 得∠F'DN=(2t)°-180°, ∵ DF'∥BC, ∴ ∠F'DN=∠BTM. ∵ GH∥MN, ∴ ∠BTM=180°-∠ABC=120°. ∴ ∠F'DN=120°,即(2t)°-180°= 120°. ∴ t=150. 综上所述,所有满足条件的t的值为 15或60或105或150. (3) 所有满足条件的a的值为30或 120. [解析] 由题意,得∠HAC= ∠BAH+∠BAC=a°+30°.如图③, 当DE∥BC 时,延长AC 交MN 于 点K,分两种情况:① 当DE 在MN 上方时,∠FDM=2a°,∵ DE∥BC, 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 11 DE⊥DF,AC⊥BC,∴ 易得AK∥DF. ∴ ∠FDM=∠MKA.∵ GH∥MN, ∴ ∠MKA=∠HAC.∴ ∠FDM= ∠HAC,即2a°=a°+30°.∴ a=30. ② 当DE'在MN 下方时,由题意,得 ∠F'DK=2a°-180°,∵ DE'∥BC, DE'⊥DF',AC⊥BC,∴ 易得AK∥ DF'.∴ ∠F'DK=∠MKA.∵ GH∥ MN,∴ ∠MKA=∠HAC.∴ ∠F'DK= ∠HAC,即2a°-180°=a°+30°. ∴ a=210(不符合题意,舍去).如图 ④,当DF在MN 上方,BC∥DF 时, 延长AC交MN 于点I,根据题意,得 ∠FDN=180°-2a°,∵ GH∥MN, ∴ ∠MIC = ∠HAC = ∠BAH + ∠BAC=a°+30°.∵ DF∥BC,AC⊥ BC,∴ CI ⊥DF.∴ ∠FDN + ∠MIC=90°,即180°-2a°+a°+ 30°=90°.∴ a=120.此时2a°= 240°>180°,DF 应该在MN 下方,不 符合题意,舍去.如图⑤,当DF 在 MN 下方时,直线CB与GH,MN 分 别交于点Q,L.根据题意,可知 ∠FDN=2a°-180°,∠AQL=a°- 60°,∵ DF∥BC,∴ 易得∠MLC= ∠FDN.∵ QH∥MN,∴ ∠AQL= ∠MLC.∴ ∠FDN = ∠AQL,即 2a°-180°=a°-60°.∴ a=120.综上 所述,所有满足条件的a的值为30或 120. (第2题) 3. B [解析] 如图,∵ ME 平分 ∠AMF,NF 平 分 ∠CNE,∴ 设 ∠1= ∠2=x,∠3= ∠4=y. ∴ ∠AMF=2∠1=2x,∠CNE= 2∠4=2y.过点E作EG∥AB,交MF 于点G.∴ ∠1=∠MEG.∵ AB∥ CD,∴ EG ∥CD.∴ ∠GEN = ∠CNE.∵ ∠MEN = ∠MEG + ∠GEN,∴ ∠MEN = ∠1 + ∠CNE=x+2y.同理,可得∠F= ∠AMF+∠4=2x+y.∵ ∠MEN+ 54°=2∠F,∴ x+2y+54°=2(2x+ y).∴ x=18°.∴ ∠AMF=2x=36°. (第3题) 4. (1) 过点M 向左作MQ∥AB. ∵ AB∥CD, ∴ AB∥MQ∥CD. ∴ ∠AMQ=∠A,∠CMQ=∠C. ∴ ∠AMC= ∠AMQ+ ∠CMQ = ∠A+∠C,即∠AMC=∠A+∠C. (2) 在三角形 MGE 中,∠EGM + ∠MEG+∠GME=180°, ∵ ∠EGM+∠AGE=180°, ∴ ∠GME+∠MEG=∠AGE. ∵ ∠MAC+∠MEG=∠AGE, ∴ ∠GME=∠MAC. ∴ AC∥EF. (3) ∵ AN 平分∠MAC,∠CAN= 25°, ∴ ∠MAC=2∠CAN=50°. 设∠MEG=x, ∴ ∠MGE=2∠CAN+3∠MEG= 50°+3x. ∴ ∠AGE=180°-∠MGE=180°- (50°+3x)=130°-3x. ∵ 在 (2)的 条 件 下,∠AGE = ∠MAC+∠MEG=50°+x, ∴ 50°+x=130°-3x,解得x=20°. ∴ ∠MEG=20°. 设∠MFN=y, ∵ FN 平分∠MFC, ∴ ∠MFC=2∠MFN=2y. ∵ AB∥CD, ∴ ∠AEF=∠MFC=2y. ∴ ∠AEG = ∠AEF - ∠MEG = 2y-20°. ∴ ∠ANF=∠AEG=2y-20°. ∵ AC∥EF, ∴ 易得∠ANF=∠CAN+∠MFN= 25°+y,即2y-20°=25°+y,解得 y=45°. ∴ ∠MFC=2y=90°. 5. B [解析] 如图,过点P 作PG∥ AB,∴ ∠BEP=∠EPG=1n∠BEF. ∵ AB∥CD,∴ CD∥PG.∴ ∠DFP= ∠FPG= 1n ∠DFE.∵ AB∥CD, ∴ ∠BEF+∠DFE=180°.∴ ∠EPF= 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 21 ∠EPG + ∠FPG = 1n ∠BEF + 1 n∠DFE= 1 n (∠BEF+∠DFE)= 180° n . (第5题) 6. (1) 如图①,过点E 作射线EF∥ AB. ∵ EF∥AB,AB∥CD, ∴ EF∥CD. ∴ ∠A=∠AEF,∠C=∠CEF. ∵ ∠AEF=∠AEC+∠CEF, ∴ ∠A=∠AEC+∠C. (2) 如图②,过点F作射线FI∥EH, 交CD于点J. ∵ FI∥EH,EH∥AG, ∴ FI∥AG∥EH. ∴ ∠E=∠EFI=30°. ∵ ∠EFA=5∠E=150°, ∴ ∠AFI=∠EFA-∠EFI=120°. ∵ AG∥FI, ∴ ∠AFI+∠FAG=180°. ∴ ∠FAG=180°-∠AFI=60°. ∵ AG平分∠BAF, ∴ ∠BAG=∠FAG=60°. ∵ AB∥CD, ∴ ∠AGH=∠BAG=60°. ∵ AG∥EH, ∴ ∠EHG=∠AGH=60°. (3) 如图③,过点 N 作射线NE∥ AB. ∵ AB∥CD, ∴ NE∥CD∥AB. 设 ∠APN =x,∠MQD =y,则 ∠APM=3x,∠NQD=3y. ∵ AB∥NE, ∴ ∠PNE=∠APN=x. ∵ NE∥CD, ∴ ∠QNE+∠NQD=180°. ∴ ∠QNE=180°-3y. ∴ ∠PNQ=∠PNE+∠QNE=x+ 180°-3y=180°+x-3y. ∵ ∠MPN=∠APM-∠APN, ∴ ∠MPN=2x. 设PM 与CD交于点F. ∵ AB∥CD, ∴ ∠APF+∠PFQ=180°. ∴ ∠PFQ=180°-3x. ∵ 易得∠PFQ=∠MQD+∠M, ∴ ∠M=180°-3x-y. ∴ 3∠M=540°-9x-3y. ∴ 3∠M-∠PNQ=360°-10x= 360°-5∠MPN. ∴ 3∠M -∠PNQ+5∠MPN = 360°. ① ② ③ (第6题) 第七章复习 ［知识体系构建］ 互补 相等 直线外 互相平行 真命题 方向 距离 ［高频考点突破］ 典例1 C [解析] ∵ ∠AOC=46°, ∴ ∠BOD=∠AOC=46°.∵ OE 平 分∠BOD,∴ ∠DOE=12∠BOD= 23°.∵ OE⊥OF,∴ ∠EOF=90°. ∴ ∠DOF = 90°- 23°= 67°. ∴ ∠COF=180°-67°=113°. [跟踪训练] 1. (1) ∵ 直线AB,CD 相交于点O, ∴ ∠BOD=∠AOC=56°. ∴ ∠AOD=180°-∠BOD=124°. ∵ OE平分∠AOD, ∴ ∠DOE=∠AOE=12∠AOD= 62°. ∴ ∠BOE = ∠BOD + ∠DOE = 56°+62°=118°. (2) ∵ OE平分∠AOD, ∴ ∠AOE=∠DOE. ∵ ∠DOE∶∠FOD∶∠FOB=7∶ 3∶1, ∴ ∠AOE ∶ ∠DOE ∶ ∠FOD ∶ ∠FOB=7∶7∶3∶1. ∴ ∠AOE= 77+7+3+1×180°= 70°,∠BOD= 3+17+7+3+1×180°= 40°. ∵ ∠AOC=∠BOD=40°, ∴ ∠COE=∠AOC+∠AOE=40°+ 70°=110°. 运用对顶角及邻补角的 性质进行计算 1. “一个角与它的邻补角的和 等于180°”“对顶角相等”等性质在 解题中起着桥梁的作用,它们可以 将未知角和已知角直接联系起来, 使复杂的问题简单化. 2. 两条直线相交,则有对顶 角、邻补角出现,我们要善于挖掘 这些隐含条件,使其与已知条件相 联系,从而使所求问题得到解决. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 31