第7章 相交线与平行线 复习-【拔尖特训】2024-2025学年新教材七年级下册数学（人教版2024）

24 第七章复习 ▶ “答案与解析”见P13 考点一 运用对顶角和邻补角的性质 典例1 (2024·南充期末)如图,直线AB,CD 相交于点O,OE 平分∠BOD,OF⊥OE.若 ∠AOC=46°,则∠COF的度数为 ( ) (典例1图) A. 67° B. 92° C. 113° D. 134° 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(人教版)七年级下 25 跟踪训练 1. ★(2023·武冈期末)如图,直线AB,CD相交 于点O,OE平分∠AOD,射线OF在∠BOD 内部. (1) 若∠AOC=56°,求∠BOE的度数. (2) 若∠DOE∶∠FOD∶∠FOB=7∶3∶ 1,求∠COE的度数. (第1题) 考点二 平行线中的折线问题 典例2 (2024·海口期末)有下列结论:① 如图 ①,AB∥CD,则∠A+∠E+∠C=180°;② 如 图②,AB∥CD,则∠P=∠A-∠C;③ 如图③, AB∥CD,则∠E=∠A+∠1;④ 如图④,直线 AB∥CD∥EF,点O 在直线EF 上,则∠α- ∠β+∠γ=180°.其中,正确的个数为 ( ) (典例2图) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 跟踪训练 2. (2024·怀化期末)如图,AB∥CD, ∠FEN =2∠BEN,∠FGH = 2∠CGH,则∠EFG与∠EHG之间 的数量关系是 . (第2题) 考点三 角度之间的比值问题 典例3 (易错易混题)如图,AM∥BN,∠A= 60°,P是射线AM 上一动点(不与点A 重合), BC,BD 分别平分∠ABP 和∠PBN,交射线 AM 于点C,D. (1) ∠CBD= . (2) 当点P运动到某处时,∠ACB=∠ABD,则 此时∠ABC= . (3) 在点P 运动的过程中,∠APB 与∠ADB 的比值是否随之变化? 若不变,请求出这个比 值;若变化,请找出变化规律. (典例3图) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第七章　相交线与平行线 26 跟踪训练 3. 已知AG 平分∠BAD,∠BAG= ∠BGA,点E,F 分别在射线AD, BC上运动,满足∠AEF=∠B,连 接EG. (1) 如图①,当点F 在点G 左侧时,求证: AB∥EF. (2) 如图②,当点F 在点G 右侧时,设 ∠BAG=α,∠GEF=β,请直接用含α,β的 式子表示∠AGE的度数: . (3) 在射线BC 下方有一点H,连接AH, EH,满足∠BAH =2∠HAG,EH 平分 ∠FEG.若∠FEG=20°,∠BAG=60°,则 ∠AGE+∠H 的度数为 . (第3题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 1. 如图,直线AB 和CD 相交于点O,OB 平分 ∠DOE,∠EOF =90°.若 ∠AOF =α, ∠COF=β,则下列等式中,一定成立的是 ( ) A. 2α+β=90° B. α+2β=90° C. α+β=45° D. 2α+β=180° (第1题) (第2题) 2. 如图,一条公路修到湖边时,需拐弯绕湖而 过,如果第一个拐角处的∠A 的度数为72°, 第二个拐角处的角为∠B,第三个拐角处的 ∠C的度数为153°,这时道路恰好和第一次 拐弯之前的道路平行,那么∠B的度数为 ( ) A. 81° B. 99° C. 108° D. 120° 3. (2024·南阳西峡期末)如图,在锐 角三角形ABC中,∠BAC=54°,将 三角形ABC 沿着射线BC 方向平 移得到三角形A'B'C'(平移后点A,B,C的 对应点分别是A',B',C'),连接CA'.若在整 个平移过程中,∠ACA'和∠CA'B'的度数之 间存在2倍关系,则∠ACA'的度数不可能为 ( ) (第3题) A. 18° B. 36° C. 72° D. 108° 4. 如图,AB∥CD,∠DBC=2∠ABC,∠BCD 的平分线CE 交BD 于点E,连接AE.若 ∠BDC=6∠BAE,则 ∠AEC 的度数为 . (第4题) (第5题) 5. (2023·温州期中)如图,直线AB∥CD,F为 直线AB 上一点,G 为射线BD 上一点.若 ∠CDH=13∠HDG ,∠EBF=13∠GBE , HD交BE于点E,则∠E的度数为 . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(人教版)七年级下 27 6. (2023·宿迁宿城期末)如图,直线a∥b,点A 在直线a上,点C,D 在直线b上,且AB⊥ BC,BD 平分∠ABC.若∠1=32°,则∠2的 度数是 . (第6题) 7. 已知直线AB与CD相交于点O,∠AOC=α. (1) 如图①,OE 平分∠AOD,∠EOF=90°, α=30°,求∠BOF的度数. (2) 如图②,∠DOE=13∠AOD ,∠EOF= 60°,α=30°,求∠BOF的度数. (3) 如图③,∠DOE=14∠AOD ,∠EOF= 45°,求∠BOF∠AOC 的值. (第7题) 8. 为了安全起见,某段铁路两旁安置了两座可 旋转探照灯.如图,灯A 射出的光束从AM 开始按顺时针方向旋转至AN 便立即回转, 灯B射出的光束从BP开始按顺时针方向旋 转至BQ便立即回转,两灯不停交叉照射巡 视.已知灯A转动的速度是每秒2°,灯B 转 动的速度是每秒1°.假定主道路是平行的,即 PQ∥MN,且∠BAM∶∠BAN=2∶1. (1) ∠BAN= . (2) 若灯B先转动30秒,灯A 才开始转动, 在灯B射出的光束到达BQ之前,灯A 转动 多少秒时,两灯射出的光束互相平行? (3) 若两灯同时开始转动,两灯射出的光束 交于点E,且∠AEB=120°,则在灯B 射出 的光束到达BQ 之前,两灯转动的时间为 秒. (第8题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第七章　相交线与平行线 ∠EPG + ∠FPG = 1n ∠BEF + 1 n∠DFE= 1 n (∠BEF+∠DFE)= 180° n . (第5题) 6. (1) 如图①,过点E 作射线EF∥ AB. ∵ EF∥AB,AB∥CD, ∴ EF∥CD. ∴ ∠A=∠AEF,∠C=∠CEF. ∵ ∠AEF=∠AEC+∠CEF, ∴ ∠A=∠AEC+∠C. (2) 如图②,过点F作射线FI∥EH, 交CD于点J. ∵ FI∥EH,EH∥AG, ∴ FI∥AG∥EH. ∴ ∠E=∠EFI=30°. ∵ ∠EFA=5∠E=150°, ∴ ∠AFI=∠EFA-∠EFI=120°. ∵ AG∥FI, ∴ ∠AFI+∠FAG=180°. ∴ ∠FAG=180°-∠AFI=60°. ∵ AG平分∠BAF, ∴ ∠BAG=∠FAG=60°. ∵ AB∥CD, ∴ ∠AGH=∠BAG=60°. ∵ AG∥EH, ∴ ∠EHG=∠AGH=60°. (3) 如图③,过点 N 作射线NE∥ AB. ∵ AB∥CD, ∴ NE∥CD∥AB. 设 ∠APN =x,∠MQD =y,则 ∠APM=3x,∠NQD=3y. ∵ AB∥NE, ∴ ∠PNE=∠APN=x. ∵ NE∥CD, ∴ ∠QNE+∠NQD=180°. ∴ ∠QNE=180°-3y. ∴ ∠PNQ=∠PNE+∠QNE=x+ 180°-3y=180°+x-3y. ∵ ∠MPN=∠APM-∠APN, ∴ ∠MPN=2x. 设PM 与CD交于点F. ∵ AB∥CD, ∴ ∠APF+∠PFQ=180°. ∴ ∠PFQ=180°-3x. ∵ 易得∠PFQ=∠MQD+∠M, ∴ ∠M=180°-3x-y. ∴ 3∠M=540°-9x-3y. ∴ 3∠M-∠PNQ=360°-10x= 360°-5∠MPN. ∴ 3∠M -∠PNQ+5∠MPN = 360°. ① ② ③ (第6题) 第七章复习 ［知识体系构建］ 互补 相等 直线外 互相平行 真命题 方向 距离 ［高频考点突破］ 典例1 C [解析] ∵ ∠AOC=46°, ∴ ∠BOD=∠AOC=46°.∵ OE 平 分∠BOD,∴ ∠DOE=12∠BOD= 23°.∵ OE⊥OF,∴ ∠EOF=90°. ∴ ∠DOF = 90°- 23°= 67°. ∴ ∠COF=180°-67°=113°. [跟踪训练] 1. (1) ∵ 直线AB,CD 相交于点O, ∴ ∠BOD=∠AOC=56°. ∴ ∠AOD=180°-∠BOD=124°. ∵ OE平分∠AOD, ∴ ∠DOE=∠AOE=12∠AOD= 62°. ∴ ∠BOE = ∠BOD + ∠DOE = 56°+62°=118°. (2) ∵ OE平分∠AOD, ∴ ∠AOE=∠DOE. ∵ ∠DOE∶∠FOD∶∠FOB=7∶ 3∶1, ∴ ∠AOE ∶ ∠DOE ∶ ∠FOD ∶ ∠FOB=7∶7∶3∶1. ∴ ∠AOE= 77+7+3+1×180°= 70°,∠BOD= 3+17+7+3+1×180°= 40°. ∵ ∠AOC=∠BOD=40°, ∴ ∠COE=∠AOC+∠AOE=40°+ 70°=110°. 运用对顶角及邻补角的 性质进行计算 1. “一个角与它的邻补角的和 等于180°”“对顶角相等”等性质在 解题中起着桥梁的作用,它们可以 将未知角和已知角直接联系起来, 使复杂的问题简单化. 2. 两条直线相交,则有对顶 角、邻补角出现,我们要善于挖掘 这些隐含条件,使其与已知条件相 联系,从而使所求问题得到解决. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 31 典例2 B [跟踪训练] 2. ∠EFG=3∠EHG- 180° [解析] 如图,分别过点H,F 作HQ∥CD,FP∥CD.设∠BEN=α, ∠CGH=β,则∠FEN=2∠BEN= 2α,∠FGH=2∠CGH=2β.∵ AB∥ CD,HQ∥CD,∴ AB∥CD∥HQ. ∴ ∠AEH = ∠QHE = ∠BEN, ∠CGH = ∠QHG.∴ ∠EHG = ∠QHE + ∠QHG = ∠BEN + ∠CGH=α+β.∵ AB∥CD,FP∥ CD,∴ AB∥CD∥FP.∴ ∠PFG= ∠CGF,∠PFE=∠AEF.∴ ∠EFG= ∠PFG- ∠PFE = (2β +β)- (180°-2α-α)=3(α+β)-180°. ∴ ∠EFG=3∠EHG-180°. (第2题) 典例3 (1) 60°. [解析] ∵ AM∥ BN,∴ ∠A + ∠ABN = 180°. ∵ ∠A=60°,∴ ∠ABN =180°- ∠A=120°.又∵ BC,BD 分别平分 ∠ABP 和 ∠PBN,∴ ∠CBP = 1 2∠ABP ,∠DBP = 12 ∠PBN. ∴ ∠CBD = ∠CBP + ∠DBP = 1 2 (∠ABP+∠PBN)=12∠ABN= 60°. (2) 30°. [解析] ∵ AM∥BN, ∴ ∠ACB=∠CBN.又∵ ∠ACB= ∠ABD,∴ ∠CBN = ∠ABD. ∴ ∠ABC = ∠ABD - ∠CBD = ∠CBN-∠CBD=∠DBN.∵ BC, BD 分别平分 ∠ABP 和 ∠PBN, ∴ ∠ABC = ∠CBP = ∠DBP = ∠DBN.∴ ∠ABC= 14 ∠ABN = 30°. (3) 不变. ∵ AM∥BN, ∴ ∠APB = ∠PBN,∠ADB = ∠DBN. 又∵ BD平分∠PBN, ∴ ∠ADB=∠DBN=12∠PBN= 1 2∠APB. ∴ ∠APB∶∠ADB=2∶1,即在点 P运动的过程中,∠APB 与∠ADB 的比值为2,是不变的. [跟踪训练] 3. (1) ∵ AG 平分 ∠BAD, ∴ ∠BAG=∠DAG. ∵ ∠BAG=∠BGA, ∴ ∠BGA=∠DAG. ∴ AD∥BC. ∴ ∠B+∠BAD=180°. ∵ ∠AEF=∠B, ∴ ∠AEF+∠BAD=180°. ∴ AB∥EF. (2) α+β. [解析] 由(1),易知 AD∥BC,AB∥EF.∵ ∠BAG= ∠BGA,∠BAG=α,∴ 易得∠EAG= ∠BGA = ∠BAG =α.∴ ∠B = 180°-2α.∵ ∠AEF=∠B=180°- 2α,∠GEF=β,∴ ∠GEA=180°- 2α-β.∵ AD∥BC,∴ ∠EGF= ∠GEA=180°-2α-β.∴ ∠AGE= 180°-∠AGB-∠EGF=180°-α- (180°-2α-β)=α+β. (3) 70°或130°. [解析] ∵ AG平分 ∠BAD,∠BAG=∠BGA,∠BAG= 60°,∴ 易 得 ∠BAG = ∠BGA = ∠DAG=∠B=60°.∵ ∠AEF= ∠B,∠BAH=2∠HAG,∴ ∠AEF= ∠B=60°,∠HAG=20°,∠BAH= 40°.∵ EH 平分∠FEG,∠FEG= 20°,∴ ∠FEH =∠GEH =10°.当 点F在点G 左侧时,如图①,在三角 形HAE中,∠H=180°-∠HAE- ∠AEH=180°-∠HAG-∠GAE- ∠AEF-∠FEH=180°-20°-60°- 60°-10°=30°.在三角形GAE 中, ∠AGE=180°-∠GAE-∠AEG= 180°-∠GAE-∠AEF-∠FEG= 180°- 60°- 60°- 20°= 40°, ∴ ∠AGE+∠H =70°.当点F 在 点G右侧时,如图②,在三角形HAE 中,∠H = 180° - ∠HAE - ∠AEH=180°-∠HAG-∠GAE- (∠AEF-∠FEH)=180°-20°- 60°-(60°-10°)=50°,在三角形 GAE 中,∠AGE=180°-∠GAE- (∠AEF-∠GEF)=180°-60°- (60°-20°)=80°,∴ ∠AGE+∠H= 130°.综上所述,∠AGE+∠H 的度 数为70°或130°. (第3题) ［综合素能提升］ 1. A [解析] ∵ OB 平分∠DOE, ∴ ∠DOB=∠EOB.又∵ ∠EOF= 90°,∠AOF + ∠EOF + ∠BOE = 180°,∴ ∠AOF + ∠BOE =90°. ∵ ∠AOF = α,∠COF = β, ∴ ∠COE=90°-β,∠BOE=90°- α.∵ ∠COE+2∠BOE=∠COD= 180°,∴ 90°-β+2(90°-α)=180°, 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 41 即2α+β=90°. 2. B [解析] 如图,过点B作MN∥ AD,则∠ABN=∠A=72°.∵ CH∥ AD,AD ∥MN,∴ CH ∥MN. ∴ ∠NBC+∠C=180°.∴ ∠NBC= 180°- ∠C =180°-153°=27°. ∴ ∠ABC = ∠ABN + ∠NBC = 72°+27°=99°. (第2题) 3. C [解析] 第一种情况:当点B'在 线段BC 上时,过点C 向上作CG∥ AB,连接A'C.∵ 三角形A'B'C'由 三角形ABC 平移得到,∴ AB∥ A'B'.∵ CG∥AB,∴ CG∥AB∥ A'B'.∴ ∠ACG = ∠BAC =54°, ∠A'CG=∠CA'B'.设∠CA'B'=x, 则∠A'CG =x.① 当 ∠ACA'= 2∠CA'B'时,∠ACA'=2x.∵ ∠ACG= ∠ACA'+∠A'CG,∴ 2x+x=54°, 解得x=18°.∴ ∠ACA'=2x=36°. ② 当 ∠CA'B' = 2 ∠ACA' 时, ∠ACA'=12x.∵ ∠ACG=∠ACA'+ ∠A'CG,∴ 1 2x+x=54° ,解得x= 36°.∴ ∠ACA'=12x=18°. 第二种 情况:当点B'在线段BC的延长线上 时,过点C向上作CG∥AB,连接A'C. ∵ 三角形A'B'C'由三角形ABC 平 移得到,∴ AB∥A'B'.∵ CG∥AB, ∴ CG∥AB∥A'B'.∴ ∠ACG= ∠BAC=54°,∠A'CG=∠CA'B'.设 ∠CA'B'=y,则∠A'CG=y.① 当 ∠ACA'=2∠CA'B'时,∠ACA'= 2y.∵ ∠ACA'=∠A'CG+∠ACG, ∴ 2y=y +54°,解 得 y =54°. ∴ ∠ACA' = 2y = 108°.② 当 ∠CA'B' = 2 ∠ACA' 时,易 知 ∠CA'B'<∠ACA',故不存在这种情 况.综上所述,∠ACA'=18°或36°或 108°. 4. 30° [解析] 如图,过点E作EF∥ AB.∵ AB∥CD,∴ AB∥CD∥EF. ∴ ∠BAE=∠AEF,∠DCE=∠CEF, ∠ABC = ∠BCD.∴ ∠AEC = ∠AEF+∠CEF=∠BAE+∠DCE. ∵ ∠BCD 的平分线CE 交BD 于 点E,∴ 可设∠DCE=∠BCE=α,则 ∠ABC=∠BCD=2α.∴ ∠DBC= 2∠ABC =4α.设 ∠BAE =β,则 ∠BDC=6∠BAE=6β.∵ 在三角形 BCD 中,∠BCD + ∠BDC + ∠DBC=180°,∴ 2α+6β+4α= 180°.∴ α+β=30°.∴ ∠BAE+ ∠DCE=30°,即∠AEC=30°. (第4题) 5. 45° [解析] 设 ∠CDH =x, ∠EBF=y.∵ ∠CDH=13∠HDG , ∠EBF= 13 ∠GBE ,∴ ∠HDG= 3x,∠GBE = 3y.∵ AB ∥CD, ∴ ∠ABD=∠CDG=4x.∵ ∠ABD+ ∠DBE+ ∠EBF=180°,∴ 4x+ 3y+y=180°.∴ x +y =45°. ∵ ∠BDE=∠HDG=3x,∴ ∠E= 180°-3x-3y=180°-3(x+y)= 45°. 6. 13° [解析] 如图,延长CB 交直 线a于点E.∵ AB⊥BC,∠1=32°, ∴ ∠ABC=∠ABE=90°.∴ ∠AEC= 180°-90°-32°=58°.∵ a∥b, ∴ ∠ECF=∠AEC=58°.∵ BD 平 分∠ABC,∴ ∠CBD=12∠ABC= 45°.∵ ∠ECF + ∠BCD =180°, ∠BCD+∠CBD+∠2=180°,∴ 易 得∠2=∠ECF-∠CBD=13°. (第6题) 7. (1) ∵ ∠AOC=α=30°, ∴ ∠AOD=180°-∠AOC=150°. 又∵ OE平分∠AOD, ∴ ∠AOE=12∠AOD=75°. 又∵ ∠EOF=90°, ∴ ∠BOF = 180° - ∠AOE - ∠EOF=180°-75°-90°=15°. (2) ∵ ∠AOC=α=30°, ∴ ∠AOD=180°-∠AOC=150°. 又∵ ∠DOE=13∠AOD , ∴ ∠AOE=23∠AOD=100°. 又∵ ∠EOF=60°, ∴ ∠BOF = 180° - ∠AOE - ∠EOF=180°-100°-60°=20°. (3) ∵ ∠AOC=α, ∴ ∠AOD = 180°- ∠AOC = 180°-α. 又∵ ∠DOE=14∠AOD , ∴ ∠AOE=34∠AOD= 3 4 (180°- α)=135°-34α. 又∵ ∠EOF=45°, ∴ ∠BOF=180°-∠AOE-∠EOF= 180°- 135°-34α -45°=34α. ∴ ∠BOF ∠AOC= 3 4α α = 3 4. 8. (1) 60°. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 51 (2) 设灯A 转动t秒时,两灯射出的 光束互相平行. ∵ 180°-1°×30=150°, ∴ 0<t<150. ① 当0<t≤90时,如图①,可得 ∠PBD=1°·(30+t)=(30+t)°, ∠CAM=2t°. ∵ PQ∥MN, ∴ ∠PBD=∠BDA. ∵ AC∥BD, ∴ ∠CAM=∠BDA. ∴ ∠CAM=∠PBD. ∴ 2t=30+t,解得t=30. ② 当90<t<150时,如图②,可得 ∠PBD=(30+t)°,∠CAN=(2t- 180)°. ∵ PQ∥MN, ∴ ∠PBD+∠BDA=180°. ∵ AC∥BD, ∴ ∠CAN=∠BDA. ∴ ∠PBD+∠CAN=180°. ∴ 30+t+(2t-180)=180,解得 t=110. 综上所述,灯A 转动30秒或110秒 时,两灯射出的光束互相平行. (3) 100或140. [解析]设两灯转动 的时间为x秒.如图③,当∠EBP= x°,∠EAN = 180° - 2x° 时, ∵ ∠AEB=120°,∴ 易得∠AEB= ∠EAN+∠EBP=180°-2x°+x°= 120°,解得x=60.易得此时AE 与 AB 共 线,不 符 合 题 意,舍 去.当 ∠EBP=x°,∠EAN=2x°-180°时, 易得∠AEB=∠EAN +∠EBP= 2x°-180°+x°=120°,解得x=100. 如 图 ④,当 ∠AEB = 120° 时, ∠MAE =360°-2x°,∠QBE = 180°- x°.∵ 易 得 ∠AEB = ∠MAE+∠QBE,∴ 120°=360°- 2x°+180°-x°,解得x=140.综上所 述,两灯转动的时间为 100秒或 140秒. (第8题) 第八章　实　数 8.1　平 方 根 第1课时 平 方 根 1. A 2. C 3. D 4. D 5. 3 6. ±2 7. (1) ∵ x的一个平方根是3, ∴ x=1-a=9,解得a=-8. (2) ∵ x,y都是同一个数的平方根, ∴ 1-a=2a-5或1-a+(2a- 5)=0,解得a=2或a=4. ∴ (1-a)2=(1-2)2=1或(1- a)2=(1-4)2=9. ∴ 这个数是1或9. 8. D 9. C 10. A [解析] ∵ a是(-5)2 的平 方根,∴ a=±5.∵ b的一个平方根 是3,∴ b=9.∴ 当a=5,b=9时, a-b=-4;当a=-5,b=9时,a- b=-14. 11. -2 [解析] ∵ x是最大的负整 数,∴ x=-1.∵ y 是最小的正整 数,∴ y=1.∵ z是平方根等于本身 的数,∴ z=0.∴ x-y-z=-1- 1-0=-2. 12. ±5 13. 4 [解析] 由题意,得x2-x+ x-1=0,解得x=±1.当x=1时, x2-x=0,x-1=0,则这个数为0, 不合题意,舍去;当x=-1时,x2- x=2,x-1=-2,则这个数为4.综上 所述,这个数为4. 14. 81或9 [解析] ∵ 2a+1和 4a-7都是正数m的平方根,∴ 2a+ 1+4a-7=0或2a+1=4a-7.当 2a+1+4a-7=0时,解得a=1, ∴ 2a+1=3.∴ m的值为9.当2a+ 1=4a-7时,解得a=4,∴ 2a+1= 9.∴ m 的值为81.综上所述,m 的值 为81或9. 15. ±12,8116 ,256 9 [解析] 由题意, 可知① a2=9×16,解得a=±12; ② 16a=92,解得a=8116 ;③ 9a= 162,解得a=2569 .∴ 所有符合条件 的数a的值为±12,8116 ,256 9 . 16. ±16.1 17. (1) ∵ 4(x-1)2=36, ∴ (x-1)2=9. ∴ x-1=±3. ∴ x=4或-2. (2) ∵ 1 2 (2x-2)2-8=0, ∴ 1 2 (2x-2)2=8. ∴ (2x-2)2=16. ∴ 2x-2=±4. ∴ x=3或-1. 18. (1) ∵ 一个正数b的两个平方根 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 61