6.3 三元一次方程组及其解法-【拔尖特训】2024-2025学年新教材七年级下册数学（华东师大版2024）

10. (1) 设A品牌的篮球每个的价格 为x元,B品牌的篮球每个的价格为 y元. 由题意,得 2x+3y=380, 4x+2y=360, 解得 x=40, y=100. ∴ A品牌的篮球每个的价格为40元, B品牌的篮球每个的价格为100元. (2) 40×(1-0.8)×20+100×(1- 0.9)×3=190(元). ∴ 打折后学校购买篮球节省的费用 为190元. 11. 11 [解析] 设需要用A 型钢板 x块,B 型钢板y 块.根据题意,得 4x+3y=37①, x+2y=18②. (① + ②)÷5,得 x+y=11.∴ 恰好需要用A、B两种 型号的钢板共11块. 12. 设小明这份营养早餐中需要谷物 面包x克,牛奶y克. 根据题意,得小明这份营养早餐中需 要蛋白质400×10%=40(克). ∴ x+y+60=400, 14%x+7%y+60×13%=40, 解得 x=120, y=220. ∴ 小明这份营养早餐中需要谷物面 包120克,牛奶220克. 􀆽6.3　三元一次方程组 及其解法 1. D 2. y 3. 答案不唯一,如 4x+3y=2, 7x+5y=3 4. -15 5. (1) 记 y=2x-4①, 2x+y+z=1②, z=x-5③. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 将①③代入②,得2x+2x-4+x- 5=1,解得x=2. 将x=2代入①,得y=4-4=0. 将x=2代入③,得z=2-5=-3. ∴ 原方程组的解为 x=2, y=0, z=-3. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 (2) 记 3x-y+z=4①, 2x+3y-z=12②, x+y+z=6③. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ①+②,得5x+2y=16④. ②+③,得3x+4y=18⑤. ④×2-⑤,得7x=14,解得x=2. 将x=2代入④,得10+2y=16,解得 y=3. 将x=2,y=3代入③,得2+3+z= 6,解得z=1. ∴ 原方程组的解为 x=2, y=3, z=1. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 6. A [解 析] 把 x=1, y=2, z=3 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 代 入 ax+by=6, by+cz=4, cx+az=8, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 得 a+2b=6①, 2b+3c=4②, c+3a=8③. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ①+ ②+③,得4a+4b+4c=6+4+8,即 a+b+c=92. 7. A [解析] 记 x+y=5①, x+z=-1②, y+z=-2③. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ①+②+③,得2x+2y+2z=2,即 x+y+z=1④.把①代入④,得 z=-4.把②代入④,得y=2.把③代 入④,得x=3.把x=3,y=2,z= -4代入方程ax+2y+z=0,得 3a+4-4=0,解得a=0. 8. -10 [解 析] 由 题 意,得 a+b+c=0①, 4a+2b+c=3②, 9a-3b+c=28③. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ②-①,得3a+ b=3④.③-②,得5a-5b=25,即 a-b=5⑤.④+⑤,得4a=8,解得 a=2.把a=2代入④,得6+b=3,解 得b=-3.把a=2,b=-3代入①, 得2-3+c=0,解得c=1.∴ 原方程 组的解为 a=2, b=-3, c=1. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ 5△7=5×2- 7×3+1=10-21+1=-10. 9. 1 [解析] 根据非负数的性质,得 x-z-2=0①, 3x-6y-7=0②, 3y+3z-4=0③. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ① ×3- ②,得 6y-3z+1=0④.④+③,得9y-3= 0,解得y= 1 3. 把y= 1 3 代入④,得 2-3z+1=0,解得z=1.把z=1代 入①,得x-1-2=0,即x=3. ∴ xyz=3× 1 3×1=1. 10. 2 [解析] 设A、B、C三种型号 的盒子的单价分别为a元、b元、c元. 由题意,得 a+b+c=9①, 3a+2b+c=16②. ②- ①×2,得a-c=-2,即c-a=2. ∴ 1个C型盒子比1个A 型盒子贵 2元. 11. (1) 记 3x+2y=1①, 2x-y+2z=-4②, x+2y-z=3③. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ③×3-①,得4y-3z=8. ③×2-②,得5y-4z=10. ∴ 4y-3z=8, 5y-4z=10, 解得 y =2, z=0. 将 y=2, z=0 代入③,得x+4-0=3,即 x=-1. ∴ 原方程组的解为 x=-1, y=2, z=0. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 (2) 记 4x-9z=17①, 3x+y+15z=18②, x+2y+3z=2③. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ②×2-③,得5x+27z=34④. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 02 联 立 ① ④,得 4x-9z=17, 5x+27z=34, 解 得 x=5, z=13. 将 x=5, z=13 代入②,得15+y+5=18, 解得y=-2. ∴ 原方程组的解为 x=5, y=-2, z=13. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 运用消元法解三元一次 方程组的注意点 (1) 在确定消去哪个未知数 时,要从整体考虑,一般选择消去 后可以使计算量相对较小的未知 数.消元的方法有代入法和加减 法,具体用哪种方法,要根据方程 组的特点选用. (2) 消去的未知数一定是同一 未知数,否则就达不到消元的 目的. 12. (1) 由题意,得 a+b+c=5, 9a-3b+c=5, a-b+c=1, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得 a=1, b=2, c=2. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 (2) 由(1),得ax2+bx+c=x2+ 2x+2. 当x=-2时,x2+2x+2=(-2)2+ 2×(-2)+2=2. ∴ 当x=-2时,代数式ax2+bx+c 的值为2. 13. 设甲组植树x棵,乙组植树y棵, 丙组植树z棵. 根据题意,得 x+y+z=50, y= 1 4 (x+z), x=y+z, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 解得 x=25, y=10, z=15. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ 甲组植树25棵,乙组植树10棵, 丙组植树15棵. 14. C [解 析] 由 题 意,可 知 x-2y=-3z, 2x-3y=-4z, 解得 x=z, y=2z. ∴ x∶ y∶z=z∶2z∶z=1∶2∶1. 15. (1) 设需要甲车x辆,乙车y辆. 由题意,得 5x+8y=120, 400x+500y=8200, 解 得 x=8, y=10. ∴ 需要甲车8辆,乙车10辆. (2) 设需要甲车x辆,乙车y辆,丙车 z辆. 由题意,得 x+y+z=16, 5x+8y+10z=120. 消去z,得5x+2y=40. ∴ x=8-25y. ∵ x、y 是非负整数,且x≤16, y≤16, ∴ x=8, y=0, x=6, y=5, x=4, y=10, x=2, y=15. ∵ z是非负整数, ∴ x=8, y=0, z=8, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 x=6, y=5, z=5, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 x=4, y=10, z=2. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ 有三种运送方案: ① 调用甲车8辆,乙车0辆,丙车 8辆; ② 调用甲车6辆,乙车5辆,丙车 5辆; ③ 调用甲车4辆,乙车10辆,丙车 2辆. (3) 运送方案①的运费是400×8+ 600×8=8000(元); 运送方案②的运费是400×6+500× 5+600×5=7900(元); 运送方案③的运费是400×4+500× 10+600×2=7800(元). ∵ 8000>7900>7800, ∴ 调用甲车4辆,乙车10辆,丙车 2辆的运送方案的运费最少,最少运 费是7800元. 6.4　实践与探索 1. C 2. 280cm2 3. 67 4. 设A 种农作物的种植面积是x公 顷,B种农作物的种植面积是y公顷. 根据 题 意,得 4x+3y=24, 8x+9y=60, 解 得 x=3, y=4. ∴ A种农作物的种植面积是3公顷, B种农作物的种植面积是4公顷. 5. D [解析] 设直尺的长为xcm,长 方形纸片的宽为ycm,则长方形纸片 的 长 为 2ycm. 由 题 意, 得 4×2y-x=1, x-2×2y-2y=3, 解 得 x=15, y=2. ∴ 直尺的长为15cm. 6. 90 [解析] 设1个塑料凳子的高 度为xcm,每叠放1个塑料凳子高度 增 加 y cm. 根 据 题 意, 得 x+2y=55, x+4y=65, 解得 x=45, y=5. ∴ x+ 9y=45+9×5=90.∴ 10个塑料凳 子整齐地叠放在一起的高度为 90cm. 7. 设这种出租车的起步价是x元,超 过3千米后每千米收费y元. 根据题意,得 x+(9-3)y=14, x+(21-3)y=32, 解 得 x=5, y=1.5. ∴ 这种出租车的起步价是5元,超过 3千米后每千米收费1.5元. 8. (1) 设横式纸盒做x个,竖式纸盒 做y个. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 12 42 􀆽6.3　三元一次方程组及其解法 ▶ “答案与解析”见P20 1. 下列方程组中,是三元一次方程组的为( ) A. 2x=5, x2+y=7, x+z=6 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 B. 3 x-y+z=-2 , x+z=9, y=-3 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁􀪁 C. x+y-z=7, xyz=1, x-3y=4 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 D. x+y=2, y+z=1, x+z=9 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 2. 解方程组 3x+z=6, 4x-y+2z=11, 5x+2y-3z=4 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 时 ,要使解法较 为简便,应先消去 . 3. 三元一次方程组 5x+4y+z=0, 3x+y-4z=11, x+y+z=-2 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 消去未知 数z后,得到的二元一次方程组是 . 4. 已知a 3= b 5= c 7 ,且3a+2b-4c=9,则a+ b+c的值为 . 5. 解下列方程组: (1) y=2x-4, 2x+y+z=1, z=x-5. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 (2) 3x-y+z=4, 2x+3y-z=12, x+y+z=6. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 6. 若 x=1, y=2, z=3 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 是三元一次方程组 ax+by=6, by+cz=4, cx+az=8 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 的 解,则a+b+c的值为 ( ) A. 9 2 B. 6 C. 9 D. 18 7. 若三元一次方程组 x+y=5, x+z=-1, y+z=-2 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 的解使ax+ 2y+z=0成立,则a的值为 ( ) A. 0 B. -83 C. 8 3 D. -8 8. (新定义)若对于有理数x和y,定义新运算 “△”:x△y=ax+by+c,其中a、b、c为常 数,例如:3△2=3a+2b+c.已知1△1=0, 4△2=3,9△(-3)=28,则5△7的值为 . 9. 已知有理数x、y、z满足|x-z-2|+|3x- 6y-7|+(3y+3z-4)2=0,则xyz的值为 . 10. 小明去商店购买盒子.若A、B、C 三种型号的盒子各买1个,则需花 费9元;若购买3个A型盒子、 2个B 型盒子、1个C 型盒子,则需花费 16元.1个C 型盒子比1个A 型盒子贵 元. 11. ★解方程组: (1) 3x+2y=1, 2x-y+2z=-4, x+2y-z=3. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(华师版)七年级下 43 (2) 4x-9z=17, 3x+y+15z=18, x+2y+3z=2. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 12. 已知代数式ax2+bx+c,当x=1和x= -3时,它的值都为5;当x=-1时,它的值 为1. (1) 求a、b、c的值. (2) 当x=-2时,求代数式ax2+bx+c 的值. 13. 甲、乙、丙三个小组共植树50棵,乙组植树 的棵数是甲、丙两组植树的棵数之和的1 4 , 甲组植树的棵数恰是乙、丙两组植树的棵数 之和.甲、乙、丙三组分别植树多少棵? 14. 由方程组 x-2y+3z=0, 2x-3y+4z=0, 可得x∶y∶z 等于 ( ) A. 1∶(-2)∶1 B. 1∶(-2)∶(-1) C. 1∶2∶1 D. 1∶2∶(-1) 15. (核心素养·应用意识)某部队需 将120吨物资运往驻地.现有甲、 乙、丙三种车供选择,每辆车的运 载量和运费如下表(每辆车均满载): 车 型 甲 乙 丙 每辆运载量/吨 5 8 10 每辆运费/元 400 500 600 (1) 若全部物资都用甲、乙两种车来运送, 需运费8200元,则分别需要甲、乙两种车各 几辆? (2) 为了节约运费,该部队可以调用甲、乙、 丙三种车参与运送.已知它们的总辆数为 16,则有哪几种运送方案? (3) 在(2)的条件下,哪种运送方案的运费 最少? 最少运费是多少元? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第6章　一次方程组