5.2 第1课时 等式的基本性质与方程的简单变形-【拔尖特训】2024-2025学年新教材七年级下册数学（华东师大版2024）

4 5.2　解一元一次方程 第1课时 等式的基本性质与方程的简单变形 ▶ “答案与解析”见P1 1. 下列变形不一定正确的是 ( ) A. 若a=b,m≠0,则am= b m B. 若a=b,则a2=b2 C. 若a=b,则a+2c=b+2c D. 若ac=bc,则a=b 2. 下列方程变形过程正确的是 ( ) A. 由5x=3,得x=53 B. 由1 3x=0 ,得x=0 C. 由x+5=1,得x=5-1 D. 由x+3=6,得x=6+3 3. 设“”“”“ ”分别表示三种不同的物体,如 图,前两架天平保持平衡.如果要使第三架天 平也平衡,那么“?”处应放“”的个数为 ( ) (第3题) A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 4. 已知5a+8b=3b+10,则利用等式的性质, 可求得a+b的值是 . 5. ★能否由等式(2m+5)x=3m-n得到x= 3m-n 2m+5 ? 为什么? 反过来,能否由等式x= 3m-n 2m+5 得到(2m+5)x=3m-n? 为什么? 6. 运用等式的性质,下列变形正确的是 ( ) A. 若a+c=c-b,则a=b B. 若a2=3a,则a=3 C. 若2a=2b-c,则a=b-c D. 若a c= b c ,则a=b 7. 下列方程中,与方程2x-3=x+2的解相同 的是 ( ) A. 2x-1=x B. x-3=2 C. 3x=x+5 D. x+3=2 8. 由等式(m-1)(n+2)=(2m+3)(n+2),得等 式m-1=2m+3,则应满足的条件是 ( ) A. n>-2 B. n≠-2 C. n<-2 D. m≠1 9. 已知等式3m=4n+2,则下列等式中,不一定 成立的是 ( ) A. 3=4nm+ 2 m B. 3m+2=4n+4 C. 3m-2=4n D. m=43n+ 2 3 10. 如图,两个天平都平衡,则6个球体的质量 等于 个正方体的质量. (第10题) 11. 在等式3a-5=2a+6的两边同时减去一个 多项式可以得到等式a=11,则这个多项式 为 . 12. (易错题)有下列变形:① 若x=y, 则x-4=y-4;② 若a c= b c ,则 -2a=-2b;③ 若-x=-y,则 x a= y b ; 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(华师版)七年级下 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋注:标“★”的题目设有“方法归纳”或“易错警示”,详见“答案与解析”. 5 ④ 若|a|=|b|,则|a|c=|b|c;⑤ 若ax= ay,则x=y;⑥ 若x 2= y 2 ,则x=y.其中, 正确的是 (填序号). 13. ★已知(2a+2)2+|-3b+6|=0,则方程 ax=b的解为x= . 14. ★解下列方程: (1) 8+x=-5. (2) 3x-4=11. (3) -13x-5=4. (4) 3x-6=-31-2x. 15. 已知方程ax-2=x的解是x=1,求关于y 的方程(2-a)y=4a-2的解. 16. 王老师在黑板上写了一个等式(m-3)x= 5(m-3),小明说:“x=5.”小刚说:“不一 定,当x≠5时,这个等式也可能成立.”你认 为他俩的说法正确吗? 用等式的性质说明 理由. 17. 已知3m2-2n+3=9,则 m2-23n+3 · (6m2-4n+3)的值为 . 18. (核心素养·推理能力)已知a+ 1 2b=k ,b+12c=t. (1) 若t=2k=2,则c与a的等量关系是 . (2) 若c-2a=3t,求a+12c 的值(用含k、t 的代数式表示). 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第5章　一元一次方程 第5章　一元一次方程 5.1　从实际问题到方程 1. A 2. D 3. 32+x=2(18+22- x) 16 4. (1) x-1=13-x+2. (2) 当x=8时,左边=8-1=7,右 边=13-8+2=7,左边=右边, ∴ x=8是(1)中所列方程的解. 当x=10时,左边=10-1=9,右 边=13-10+2=5,左边≠右边, ∴ x=10不是(1)中所列方程的解. (3) 13-y-1=y+2. 5. A 6. C [解析] 根据题意,得女儿现在 的年龄为(57-x)岁,10年后,父亲的 年龄为(x+10)岁,女儿的年龄为 (57-x+10)岁.∵ 10年后女儿的年 龄是父亲年龄的2 5 ,∴ 可列方程为 57-x+10=25 (x+10). 7. ③④ [解析] 根据总人数不变列 方程,应是40m+10=43m+1,故 ①错误,④正确;根据客车数不变列方 程,应为n-10 40 = n-1 43 ,故③正确, ②错误.∴ 正确的是③④. 8. (1) 当x=1时,左边=2×1+5= 7,右边=10×1-3=10-3=7, ∴ 左边=右边. ∴ x=1是此方程的解. (2) 当x=0时,左边=2×(0-1)- 1 2× (0+1)=-2-12=- 5 2 ,右 边=3×(0+1)-13× (0-1)=3+ 1 3= 10 3 , ∴ 左边≠右边. ∴ x=0不是此方程的解. 9. (1) 设乙桶内油的质量为xkg,则 甲桶内油的质量为(20-x)kg. 根据题意,得20-x=3x. (2) 设乙桶内油的质量为xkg,则甲 桶内油的质量为(20-x)kg. 根据题意,得20-x-8+12x=9. (3) 设乙桶内油的质量为xkg,则甲 桶内油的质量为2xkg. 根据题意,得2x-8=x+8+13. 10. (1) 400x-3400=300x-100. (2) x=33是(1)中所列方程的解. 11. (1) 70-x;100-x. (2) (-10x+15 000). (3) 140x+150(100-x)+200(70- x)+80(x+10)=25900. 5.2　解一元一次方程 第1课时 等式的基本性质 与方程的简单变形 1. D 2. B 3. D 4. 2 5. 由等式(2m+5)x=3m-n不一定 能得到x=3m-n2m+5. 对于等式(2m+5)x=3m-n,由等式 的基本性质2,等式两边同时除以 2m+5,当2m+5=0时,不能得到 x=3m-n2m+5 ;当2m+5≠0时,能得到 x=3m-n2m+5. ∴ 由等式(2m+5)x=3m-n不一定 能得到x=3m-n2m+5. 由等式x=3m-n2m+5 能得到(2m+5)· x=3m-n. 对于等式x=3m-n2m+5 ,由等式的基本 性质2,等式两边同时乘以2m+5,可 得(2m+5)x=3m-n. ∴ 由等式x=3m-n2m+5 能得到(2m+ 5)x=3m-n. 等式两边同时除以某数时, 忽略该数不能为0 在利用等式的基本性质2时, 不能忽略除数不能为0这一条件, 尤其在除以含字母的式子时,一定 要注意除数不为0. 6. D 7. B 8. B [解析] ∵ 由等式(m-1)(n+ 2)=(2m+3)(n+2),得等式m-1= 2m+3,∴ n+2≠0.∴ n≠-2. 9. A [解析] 3=4nm+ 2 m ,只有m≠ 0时,才能得到等式3m=4n+2,A选 项符合题意;3m+2=4n+4,移项、合 并同类项,得3m=4n+2,故B选项 排除;3m-2=4n,移项,得3m=4n+ 2,故C选项排除;m=43n+ 2 3 ,等式 两边同时乘以3,得3m=4n+2,故D 选项排除. 10. 10 [解析] 设球体、圆柱体、正方 体的质量分别为x、y、z.由题意,得 2x=5y,2z=3y.∴ x=52y ,y= 2 3z.∴ x=52× 2 3z= 5 3z.∴ 6x= 6×53z=10z ,即6个球体的质量等 于10个正方体的质量. 11. 2a-5 [解析] ∵ 3a-5-a= 2a-5,∴ 等式两边都减2a-5,得 a=11. 12. ①②④⑥ [解析] ① 若x=y, 则x-4=y-4,正确;② 若a c= b c , 则a=b,∴ -2a=-2b,正确; ③ 若-x=-y,则当a=b≠0时, x a= y b ,错误;④ 若|a|=|b|,则 |a|c=|b|c,正确;⑤ 若ax=ay,则 当a≠0时,x=y,错误;⑥ 若x 2= 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 1 y 2 ,则x=y,正确. 13. -2 [解析] 根据题意,得2a+ 2=0,-3b+6=0,解得a=-1,b= 2.∴ 方程ax=b可化为-x=2,解 得x=-2. 利用非负数的性质构建方程 非负数的一个性质如下:如果 两个非负数的和等于零,那么这两 个非负数都等于零.本题就是利用 非负数的这个性质把已知条件变 成两个方程,分别求解这两个方程 后再进一步解题. 14. (1) 移项,得x=-5-8. 合并同类项,得x=-13. (2) 移项,得3x=11+4. 合并同类项,得3x=15. 系数化为1,得x=5. (3) 移项,得-13x=4+5. 合并同类项,得-13x=9. 系数化为1,得x=-27. (4) 移项,得3x+2x=-31+6. 合并同类项,得5x=-25. 系数化为1,得x=-5. 移项时忘记变号 移项时,要将某项从等式的一 边移到另一边,同时要改变该项的 符号,这两个条件缺一不可. 15. 把x=1代入方程ax-2=x,得 a-2=1. 两边都加上2,得a=3. 将a=3代入方程(2-a)y=4a-2, 得-y=4×3-2,即-y=10. 两边都乘以-1,得y=-10. 16. 小明的说法错误,小刚的说法 正确. 理由:当m-3=0时,x为任意数,当 m-3≠0时,x=5. 17. 75 [解析] 由3m2-2n+3=9, 得3m2-2n=6①.①式两边同时除 以3,得m2-23n=2 ;①式两边同时 乘以2,得6m2-4n=12.∴ m2- 2 3n+3 (6m2-4n+3)=(2+3)× (12+3)=5×15=75. 18. (1) c=4a. [解析] ∵ t=2k= 2,∴ k=1.∴ a+12b=1 ,b+12c= 2.∴ b=2-2a,b=2-12c.∴ 2- 2a=2-12c.∴ c=4a. (2) ∵ a+12b=k ,b+12c=t , ∴ 2a=2k-b,c=2t-2b. ∵ c-2a=3t, ∴ 2t-2b-2k+b=3t. ∴ b=-2k-t. ∴ a+12c= 1 2 (2a+c)=12 (2k- b+2t-2b)=12 (2k+2t-3b)= 1 2 [2k+2t-3(-2k-t)]=12 (2k+ 2t+6k+3t)=12 (8k+5t)=4k+ 5 2t. 第2课时 利用等式的基本 性质解方程 1. B 2. C 3. -23 4. -2 5. (1) 移项,得10x+12x-3x= -5-7. 合并同类项,得19x=-12. 系数化为1,得x=-1219. (2) 移项,得x-2x+53x=2+ 4 3. 合并同类项,得2 3x= 10 3. 系数化为1,得x=5. (3) 移项,得x+34x+ 1 2x=6+ 1+1. 合并同类项,得9 4x=8. 系数化为1,得x=329. (4) 移项,得-5x+7x-2x-8x= 1-3-6. 合并同类项,得-8x=-8. 系数化为1,得x=1. 6. A [解析] 根据题意,得5x+ 5b-10=bx+4.把x=4代入,得5× 4+5b-10=4b+4,解得b=-6. 7. B [解析] ∵ M=-23x+1 ,N= 1 6x-5 ,M+N=20,∴ -23x+1+ 1 6x-5=20. 移项、合并同类项,得 -12x=24. 系数化为1,得x=-48. 8. 12 [解析] 根据新运算,得1 2× 3x+3×(-1)=12×6+3×4 ,解得 x=12. 9. -8 [解 析] 根 据 题 意,得 4 5x 3 2 =8-15x=-16x,解得 x=-8. 10. 1 [解析] 解方程2x+3=x+ k,得x=k-3.解方程x-3=5k,得 x=5k+3.∵ 这两个方程的解的和为 6,∴ k-3+5k+3=6,解得k=1. 11. -83 [解析] 解方程5x+4= 4x-3,得x=-7.把x=-7代入 2x+2-m=2m-4,得 2×(-7)+ 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2