精品解析：江苏省盐城市景山中学2024-2025学年八年级下学期3月月考数学试题

盐城景山中学2025年春学期 初二年级第一次调研 数学试卷 （考试时间100分钟 卷面总分120分 命题人：施秀娟 审核人：邵旭彦） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列事件中，是必然事件的是（ ） A. 乘坐公共汽车恰好有座位 B. 小明期末考试会考满分 C. 西安明天会下雪 D. 三角形内角和是 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了事件的判断，根据随机事件和必然事件的定义逐项判断即可． 【详解】因为乘坐公共汽车可能会有座位，也可能没有座位，属于随机事件，所以A不符合题意； 因为小明期末考试可能会考满分，也可能不会，属于随机事件，所以B不符合题意； 因为西安明天可能下雪，也可能不下雪，属于随机事件，所以C不符合题意； 因为三角形内角和是180°，属于必然事件，所以D符合题意． 故选：D． 2. 下列四个图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义旋转后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，即可判断出． 【详解】解：A、此图形旋转后不能与原图形重合，所以此图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、此图形旋转后不能与原图形重合，所以此图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、此图形旋转后能与原图形重合，所以此图形是中心对称图形，故此选项符合题意； D、此图形旋转后不能与原图形重合，所以此图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了中心对称图形的定义，根据定义得出图形形状是解决问题的关键． 3. 把分式的和都扩大倍，分式的值（ ） A. 不变 B. 扩大倍 C. 缩小倍 D. 扩大倍 【答案】B 【解析】 【分析】依题意，分别用3x和3y去代换原分式中的x和y，利用分式的基本性质化简即可． 【详解】分别用3x和3y去代换原分式中的x和y，得： ，所以扩大3倍． 故选：B． 【点睛】本题考查了分式的基本性质，解题的关键是正确理解分式的基本性质，本题属于基础题型． 4. 下列有关特殊平行四边形的性质说法正确的是（ ） A. 菱形的对角线相等 B. 矩形的对角线互相垂直 C. 菱形的四个角相等 D. 正方形的对角线互相垂直平分且相等 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、矩形的性质、正方形的性质，根据相关概念，对选项进行判断，即可解题． 【详解】解：A、菱形的对角线互相垂直，不一定相等，所以A项错误，不符合题意． B、矩形的对角线相等且平分，不一定互相垂直，所以B项错误，不符合题意． C、菱形的四个角不一定相等，所以C项错误，不符合题意． D、正方形的对角线互相垂直平分且相等，正确，符合题意． 故选：D． 5. 某植物研究院培育的新品植株的成活率约为，若在相同条件下培育50棵同种植株，则成活的植株约为（ ） A. 45棵 B. 5棵 C. 20棵 D. 40棵 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查百分率的知识．利用“总数×成活率=成活棵树”计算求解． 【详解】解：（棵）， 故选：A． 6. 下列分式中是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分子分母不含公因式分式叫做最简分式，对四个选项逐一检查是否还能化简即可求得结果． 【详解】A选项，故不是最简分式； B选项不能再化简，故最简分式； C选项，故不是最简分式； D选项，故不是最简分式． 故选：B． 【点睛】本题考查了分式的约分，解决本题的关键是找到分子分母中的公因式． 7. 在四边形中，对角线，那么顺次连接四边形各边的中点所得的四边形一定是（ ） A. 平行四边形 B. 矩形 C. 正方形 D. 菱形 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的判定、三角形中位线的定理等知识点．利用三角形中位线的性质得到四边形的四边相等即可解答． 【详解】解：∵E、F、G、H是的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是菱形． 故选：D． 8. 如图，将绕点B顺时针旋转角，得到，此时点A，点B，点在一条直线上，若，则旋转角=（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查旋转变换的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．先根据角度的和差得出，再利用旋转变换的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，即旋转角． 故选：D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 检查“神舟十九号”载人飞船的零件质量情况，应该采用的调查方式是_______（选填“普查”或“抽样调查”）． 【答案】普查 【解析】 【分析】本题考查了全面调查“为了一定目的而对调查对象进行的全面调查，称为全面调查”、抽样调查“抽样调查是指从总体中抽取样本进行调查，根据样本来估计总体的一种调查”，选择全面调查还是抽样调查要根据所要调查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用全面调查．根据全面调查与抽样调查的定义逐项判断即可得． 【详解】解：检查“神舟十九号”载人飞船的零件质量情况，对精确度要求高，所以应该采用的调查方式是全面调查，即普查， 故答案为：普查． 10. 分式有意义的条件是______． 【答案】a≠1 【解析】 【分析】根据分母不为零分式有意义，可得答案． 【详解】解：由有意义，得 a﹣1≠0， 解得a≠1 有意义的条件是a≠1， 故答案为：a≠1． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件，利用分母不为零分式有意义是解题关键． 11. 在英文句子“Happy Teachers' Day！”中，字母“”出现的频数为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据频数定义可得答案． 【详解】在英文句子“Happy Teachers' Day！”中，字母“”出现的频数为， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了频数，关键是掌握频数是指每个对象出现的次数． 12. 分式与的最简公分母是________________． 【答案】 【解析】 【分析】利用三定法，系数：最小公倍数，字母：所有字母，次数：最高次幂，确定最简公分母即可． 【详解】解：分式与的最简公分母是：； 故答案为：． 【点睛】本题考查最简公分母．熟练掌握三定法求最简公分母，是解题的关键． 13. 如图，四边形的对角线，相交于点O，，请补充一个条件______，使四边形是平行四边形． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可求解． 【详解】解：添加条件：， 证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴ ∴， ∴四边形是平行四边形． 故答案为：（答案不唯一） 14. 转动如图的转盘一周以上，指针指向______色区域的可能性最大． 【答案】黄 【解析】 【分析】此题考查可能性的大小，解决此题关键是理解转盘停止转动时指针指向的可能性最大的区域，一定是所占面积最大的那一种颜色的区域． 通过观察扇形统计图可知，把整个圆的面积看做单位“1”，其中黄色区域占的面积最多，所以转盘停止转动时指针指向黄色区域的可能性最大，据此解答即可． 【详解】解：由图可知：黄色区域黑色区域红色区域蓝色区域，黄色区域占面积最多， 所以转盘停止转动时指针指向黄色区域的可能性最大． 故答案为：黄． 15. 有若干个数据，最大值是，最小值是，用频数分布表描述这组数据时，若取组距为，则应分为________组． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查频数分布表中组数的确定，解题的关键是掌握组数的计算方法，即组数=（最大值最小值）÷组距，结果需用进一法取整． 先计算最大值与最小值的差，再除以组距得到商，最后用进一法取整得出组数． 【详解】解：∵， ∴取组距为4，则应分为组， 故答案为9． 16. 如图，在中，，，分别以的三边为边向外作三个正方形，连接．过点C作的垂线，垂足为J，分别交H于点I，K．若，则四边形的面积是______． 【答案】320 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，通过添加辅助线构造全等三角形是解题的关键．作交的延长线于点M，作于点N，依次证明，，，，设，根据全等三角形的性质表示出相关线段的长度，最后用勾股定理解求出x的值，即可求解． 【详解】解：如图，作交的延长线于点M，作于点N， ，， ， 四边形是正方形， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，； 同理，可证， ，， ， 在和中， ， ， ，； 在和中， ， ， ； 设，则， ， ， ， ， 在中，， ， 解得， ， ， 四边形的面积， 故答案为：320． 三、解答题（本题共10小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 求下列分式的值： （1），其中； （2），其中． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查分式的化简求值．解题的关键是熟练正确将分式的分子与分母因式分解．进行约分，将复杂的分式化为最简分式． （1）先把分式的分母分解因式，约分后把a、b的值代入即可求出答案． （2）先把原分式的分子与分母因式分解，再约分，得到进最简结果后把a，b的值代入计算即可． 【小问1详解】 解：原式， 将代入， 得． 【小问2详解】 解：原式， 将代入， 得． 18. 如图，，且，是的中点．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见详解 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，进行证明，即可作答． 【详解】证明：∵是的中点． ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． 19. 某校根据学生的兴趣爱好，准备开设“篮球”、“种植”、“书法”、“舞蹈”四门校本课程，每名学生只能选择其中一门课程，为了解学生对这四门课程的选择情况，学校从八年级学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，根据调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图.请你依据图中信息解答下列问题： （1）参加此次问卷调查的学生人数是______人，在扇形统计图中，选择“篮球”的学生所对应的扇形圆心角的度数是______； （2）通过计算将条形统计图补充完整； （3）若该校八年级共有800名学生，请估计八年级学生中选择“舞蹈”课程的约有多少人？ 【答案】（1）， （2）见解析 （3）八年级学生中选择“舞蹈”课程的约有人． 【解析】 【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． （1）根据“书法”的人数和所占的百分比，求出调查的学生总人数；用乘以选择“篮球”的学生的占比即可求得所对应的扇形圆心角的度数； （2）用总人数减去其它课程的人数，求出“种植”的人数，从而补全统计图； （3）用样本估计总体即可． 【小问1详解】 解：参加此次问卷调查的学生人数是：； 选择“篮球”的学生所对应的扇形圆心角的度数是：． 故答案为：，； 【小问2详解】 解：选择“种植”的人数为：（人）， 补全条形统计图如图所示． ； 【小问3详解】 解：名． 答：八年级学生中选择“舞蹈”课程的约有人． 20. 在一只不透明的口袋里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数m 58 96 b 295 480 601 摸到白球的频率 a （1）上表中的__________，__________． （2）“摸到白球的”的概率的估计值是__________；（精确到）； （3）若袋中有18个白球，计算袋中（除白球外）其它颜色的球的个数． 【答案】（1）， （2） （3）12个 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． （1）利用频率=频数÷样本容量直接求解即可； （2）根据统计数据，当n很大时，摸到白球的频率接近； （3）根据利用频率估计概率，可估计摸到白球的概率为，然后利用概率公式计算其它颜色的球的个数． 【小问1详解】 解：， ， 故答案为：，122； 【小问2详解】 解：根据题意，概率的估计值为， 故答案为：； 【小问3详解】 解：摸到白球的概率为，设除白球外，还有个其它颜色的小球， ， 解得，， ∴除白球外，还有大约12个其它颜色的小球． 21. 叙述并证明三角形中位线定理． 定理： ． 已知：如图，　　； 求证：　　； 证明：　　． 【答案】见解析 【解析】 【分析】延长至，使，连接，证明，根据全等三角形的性质得到，，证明四边形为平行四边形，根据平行四边形的性质证明即可． 【详解】解：定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半． 已知：如图，在中，、分别为、的中点； 求证：，； 证明：延长至，使，连接， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 四边形为平行四边形， ，， ． 【点睛】本题考查的是平行四边形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 22. 如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF＝BE，连接AF，BF． （1）求证：四边形BFDE是矩形； （2）若AF平分∠DAB，CF＝3，BF＝4，求DF长． 【答案】（1）见详解；（2）5 【解析】 【分析】（1）先求出四边形BFDE是平行四边形，再根据矩形的判定推出即可； （2）根据勾股定理求出BC长，求出AD＝DF，即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥DC， ∵DF＝BE， ∴四边形BFDE是平行四边形， ∵DE⊥AB， ∴∠DEB＝90°， ∴四边形BFDE矩形； （2）解：∵四边形BFDE是矩形， ∴∠BFD＝90°， ∴∠BFC＝90°， 在Rt△BCF中，CF＝3，BF＝4， ∴BC＝5， ∵AF平分∠DAB， ∴∠DAF＝∠BAF， ∵AB∥DC， ∴∠DFA＝∠BAF， ∴∠DAF＝∠DFA， ∴AD＝DF， ∵AD＝BC， ∴DF＝BC， ∴DF＝5． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，矩形的性质和判定，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，能综合运用定理进行推理是解此题的关键． 23. 如图，在中，交于点E，交的延长线于点F，且，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求四边形的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先利用平行四边形的性质得出，，再利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得出，根据菱形的判定即可证明． （2）由菱形的性质得出，进而得出，根据勾股定理得出，利用平行四边形的性质得出，根据菱形的性质求菱形的面积即可． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，． ∵， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴ ∵， ∴． ∴四边形是菱形． 【小问2详解】 ∵四边形是菱形， ∴． ∴ 在中，，，， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴． ∴． 【点睛】本题主要考查了菱形的判定以及性质，平行四边形的性质，直角三角形的性质以及勾股定理的应用，掌握菱形的判定定理以及性质是解题的关键． 24. 四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG． （1）如图，求证：矩形DEFG是正方形； （2）当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是35°时，求∠EFC的度数． 【答案】（1）证明见解析；（2）∠EFC＝35°或125°． 【解析】 【分析】（1）作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，证明RtEQF≌RtEPD，得到EF=ED，根据正方形的判定定理证明即可； （2）分两种情况讨论即可，①当DE与AD的夹角为35°时，②当DE与DC的夹角为35°时，从而可得答案． 【详解】解：（1）证明：如图，作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q， 四边形ABCD为正方形， ∵∠DCA＝∠BCA＝45°， ∴EQ＝EP， 矩形DEFG， ∠PED+∠PEF＝90°， ∵∠QEF+∠PEF＝90°， ∴∠QEF＝∠PED， 在Rt△EQF和Rt△EPD中， ， ∴Rt≌Rt（ASA）， ∴EF＝ED， ∴矩形DEFG是正方形； （2）①当DE与AD的夹角为35°时， 如图2， ∵∠ADE＝35°，∠ADC＝90°， ∴∠EDC＝55°， ②当DE与DC的夹角为35°时， 如图3，即交于， ∠EDC＝∠EFC＝35°， 综上所述：∠EFC＝35°或125°． 【点睛】本题考查了正方形的判定和性质，矩形的性质，全等三角形判定和性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． 25. 定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如： ， ， 则和都是“和谐分式”． （1）下列各式中，属于“和谐分式”的是：______（填序号）； ①；②；③；④ （2）将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形为：______． （3）应用：已知方程组有正整数解，求整数的值． 【答案】（1）①③④ （2） （3）或 【解析】 【分析】（）根据“和谐分式”的定义判断即可； （）根据题例解答即可； （）解方程组，并把解表示成“和谐分式”，再根据方程组有正整数解解答即可； 本题考查了分式的运算，解二元一次方程组，理解题意是解题的关键． 【小问1详解】 解：①，故是和谐分式； ②，故不是和谐分式； ③，故是和谐分式； ④，故是和谐分式； 故答案为：①③④； 【小问2详解】 解：， 故答案为：； 【小问3详解】 解：解方程组，得， ∵方程组有正整数解， ∴且能被整除， 解得或． 26. 【链接教材】 （1）如图1，E、F是直线l上方两点，若点P在直线l上，满足，则点P是线段的______（填特殊直线）与直线l的交点； 【问题延伸】 （2）①如图2，点O是矩形对角线的交点，．要分别在边上确定点P、Q，满足，且点O在线段上．经过思考，小文发现可以利用矩形的中心对称性，将点E或F关于点O对称，再作该对称点和另一点所组成的线段的中垂线．请你根据她的思路在图2中尺规作图确定P、Q的位置（不写作法，保留作图痕迹）． ②如图3，点O是矩形对角线的交点，．经过深入探究，聪明的小文发现进一步利用矩形的中心对称性，在问题①思路的基础上再添加一条过点O的线段，就能找到符合题意的P、Q（P、Q分别在边上，满足，且点O在线段上）．请在图3中用直尺简单构图（不要求圆规作图），并证明． 【举一反三】 （3）如图4，在平面直角坐标系中，原点O是菱形对角线的交点，，其中．若P、Q分别在边上，满足，且点O在线段上，直接写出m的取值范围． 【答案】（1）垂直平分线；（2）①见解析；②见解析；（3） 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的性质，原点对称的性质，两点的距离，掌握知识点的应用是解题的关键． （1）根据垂直平分线的性质即可求解； （2）①根据题意进行作图即可；②同①先画出图形，然后根据全等三角形的判定与性质，垂直平分线的性质即可求证； （3）作F关于点O对称点，连接，同理可得，则，故有，然后当Q与D重合时，m有最小值，当Q与C重合时，m有最大值，再通过菱形的性质和两点的距离公式即可求解． 【详解】解：（1）∵点P在直线l上，满足， ∴点P是线段的垂直平分线与直线l的交点， 故答案为：垂直平分线； （2）①如图，作E关于点O对称点，连接，作垂直平分线，交于点P、Q，连接， ②如图，作法同①， ∵点O是矩形对角线的交点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴； （3）如图，作F关于点O对称点，连接， ∴， 同（2）②理， ∴， ∵， ∴， 当Q与D重合时，m有最小值，如图， ∵四边形是菱形，， ∴， ∵， ∴， ∴； 当Q与C重合时，m有最大值，如图， ∵四边形是菱形，， ∴， ∵， ∴， ∴或（舍去）； ∴m的取值范围为， 故答案为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 盐城景山中学2025年春学期 初二年级第一次调研 数学试卷 （考试时间100分钟 卷面总分120分 命题人：施秀娟 审核人：邵旭彦） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列事件中，是必然事件是（ ） A. 乘坐公共汽车恰好有座位 B. 小明期末考试会考满分 C. 西安明天会下雪 D. 三角形的内角和是 2. 下列四个图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 把分式的和都扩大倍，分式的值（ ） A. 不变 B. 扩大倍 C. 缩小倍 D. 扩大倍 4. 下列有关特殊平行四边形的性质说法正确的是（ ） A. 菱形的对角线相等 B. 矩形的对角线互相垂直 C. 菱形的四个角相等 D. 正方形的对角线互相垂直平分且相等 5. 某植物研究院培育的新品植株的成活率约为，若在相同条件下培育50棵同种植株，则成活的植株约为（ ） A. 45棵 B. 5棵 C. 20棵 D. 40棵 6. 下列分式中是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 7. 在四边形中，对角线，那么顺次连接四边形各边的中点所得的四边形一定是（ ） A. 平行四边形 B. 矩形 C. 正方形 D. 菱形 8. 如图，将绕点B顺时针旋转角，得到，此时点A，点B，点一条直线上，若，则旋转角=（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 检查“神舟十九号”载人飞船的零件质量情况，应该采用的调查方式是_______（选填“普查”或“抽样调查”）． 10. 分式有意义的条件是______． 11. 在英文句子“Happy Teachers' Day！”中，字母“”出现的频数为__________. 12. 分式与的最简公分母是________________． 13. 如图，四边形的对角线，相交于点O，，请补充一个条件______，使四边形是平行四边形． 14. 转动如图的转盘一周以上，指针指向______色区域的可能性最大． 15. 有若干个数据，最大值是，最小值是，用频数分布表描述这组数据时，若取组距为，则应分为________组． 16. 如图，在中，，，分别以的三边为边向外作三个正方形，连接．过点C作的垂线，垂足为J，分别交H于点I，K．若，则四边形的面积是______． 三、解答题（本题共10小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 求下列分式值： （1），其中； （2），其中． 18. 如图，，且，是的中点．求证：四边形是平行四边形． 19. 某校根据学生的兴趣爱好，准备开设“篮球”、“种植”、“书法”、“舞蹈”四门校本课程，每名学生只能选择其中一门课程，为了解学生对这四门课程的选择情况，学校从八年级学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，根据调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图.请你依据图中信息解答下列问题： （1）参加此次问卷调查的学生人数是______人，在扇形统计图中，选择“篮球”的学生所对应的扇形圆心角的度数是______； （2）通过计算将条形统计图补充完整； （3）若该校八年级共有800名学生，请估计八年级学生中选择“舞蹈”课程的约有多少人？ 20. 在一只不透明的口袋里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球次数m 58 96 b 295 480 601 摸到白球的频率 a （1）上表中的__________，__________． （2）“摸到白球的”的概率的估计值是__________；（精确到）； （3）若袋中有18个白球，计算袋中（除白球外）其它颜色球的个数． 21. 叙述并证明三角形中位线定理． 定理： ． 已知：如图，　　； 求证：　　； 证明：　　． 22. 如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF＝BE，连接AF，BF． （1）求证：四边形BFDE是矩形； （2）若AF平分∠DAB，CF＝3，BF＝4，求DF长． 23. 如图，在中，交于点E，交的延长线于点F，且，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求四边形的面积． 24. 四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG． （1）如图，求证：矩形DEFG是正方形； （2）当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是35°时，求∠EFC的度数． 25. 定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如： ， ， 则和都是“和谐分式”． （1）下列各式中，属于“和谐分式”的是：______（填序号）； ①；②；③；④ （2）将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形为：______． （3）应用：已知方程组有正整数解，求整数的值． 26. 【链接教材】 （1）如图1，E、F是直线l上方两点，若点P在直线l上，满足，则点P是线段的______（填特殊直线）与直线l的交点； 【问题延伸】 （2）①如图2，点O是矩形对角线的交点，．要分别在边上确定点P、Q，满足，且点O在线段上．经过思考，小文发现可以利用矩形的中心对称性，将点E或F关于点O对称，再作该对称点和另一点所组成的线段的中垂线．请你根据她的思路在图2中尺规作图确定P、Q的位置（不写作法，保留作图痕迹）． ②如图3，点O是矩形对角线的交点，．经过深入探究，聪明的小文发现进一步利用矩形的中心对称性，在问题①思路的基础上再添加一条过点O的线段，就能找到符合题意的P、Q（P、Q分别在边上，满足，且点O在线段上）．请在图3中用直尺简单构图（不要求圆规作图），并证明． 【举一反三】 （3）如图4，在平面直角坐标系中，原点O是菱形对角线的交点，，其中．若P、Q分别在边上，满足，且点O在线段上，直接写出m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$