第7章 专题特训（三）利用不等式（组）选择最佳方案-【拔尖特训】2024-2025学年新教材七年级下册数学（沪科版2024）

图 示 整数解 的个数 m的取值 范围 b a+b<m≤ a+b+1 b a+b≤m< a+b+1 b a+b-1< m≤a+b b a+b-1≤ m<a+b 11. D [解析] 记 2x+1≥3(m+x)①, x-1 6 - 2x-5 3 <2②. 解不等式①,得x≤1-3m.解不等式 ②,得x>-1.所以原不等式组的解 集是-1<x≤1-3m.因为关于x的 不等式组有且只有3个正整数解,所 以3≤1-3m<4,解得-1<m≤ -23. 12. 0<a≤3 [解析]解不等式 2(x+3)-5x+a>0,得x<13a+2. 因为不等式2(x+3)-5x+a>0的 解集中恰有3个非负整数,所以3个 非负整数解是0,1,2.所以2<13a+ 2≤3,解得0<a≤3. 13. 0≤m<13 [解析] 由新定义运 算规则,得x+3m<2,解得x< -3m+2.因为此不等式有且只有一 个正整数解,所以1<-3m+2≤2,解 得0≤m<13. 14. k≥2 [解析] 解不等式组 3x-6>2-x, x-1≥4x-10, 得2<x≤3.解关于 x的不等式x-k≤1,得x≤k+1.因 为不等式组 3x-6>2-x, x-1≥4x-10 是关于x 的不等式x-k≤1的“子集”,所以 k+1≥3,解得k≥2. 15. (1) 根据题意,得T(1,-1)= a-b 2-1=-2 ,即a-b=-2;T(4,2)= 4a+2b 8+2 =1 ,即2a+b=5. 所以 a-b=-2, 2a+b=5, 解得 a=1 , b=3. (2) 由(1),知T(x,y)= x+3y 2x+y. 根据题意,得 2m+3(5-4m) 4m+5-4m ≤4① , m+3(3-2m) 2m+3-2m >p②. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解不等式①,得m≥-12. 解不等式②,得m<9-3p5 . 因为不等式组恰好有3个整数解, 所以这3个整数解为0,1,2. 所以2<9-3p5 ≤3 ,解得-2≤p< -13. 专题特训（三）　利用不等式 （组）选择最佳方案 1. (1) 设生产乙种产品a件,则生产 甲种产品(100-a)件. 由题意,得(30×4+20)×(100-a)+ (3×30+4×20)a≤15000,解得a≤ 3313. 因为生产乙种产品不少于30件, 所以30≤a≤3313. 因为a为整数, 所以a=30,31,32,33,则100-a的 值依次为70,69,68,67. 所以符合条件的生产方案有:① 生产 甲种产品70件,乙种产品30件; ② 生产甲种产品69件,乙种产品 31件;③ 生产甲种产品68件,乙种产 品32件;④ 生产甲种产品67件,乙 种产品33件. (2) 方案①的成本为70×(60+30× 4+20)+30×(80+30×3+20×4)= 21500(元);方案②的成本为69× (60+30×4+20)+31×(80+30× 3+20×4)=21550(元);方案③的成 本为68×(60+30×4+20)+32× (80+30×3+20×4)=21600(元); 方案④的成本为67×(60+30×4+ 20)+33×(80+30×3+20×4)= 21650(元). 因为 21500<21550<21600< 21650, 所以应选择生产甲种产品70件,乙种 产品30件的生产方案,才能使生产这 批产品的成本最低. 2. (1) 设大货车用x辆,则小货车用 (20-x)辆. 由题意,得15x+10(20-x)=240,解 得x=8. 所以20-x=12. 所以大货车用8辆,小货车用12辆. (2) ① 因为前往 A 地的大货车 有m辆, 所以前往A地的小货车有(10-m)辆. 由题意,得15m+10(10-m)≥130, 解得m≥6. 因为大货车共有8辆, 所以6≤m≤8. ② 设总运费为W 元. 因为前往A地的大货车有m辆, 所以前往A地的小货车有(10-m)辆, 前往B地的大货车有(8-m)辆,前往 B地的小货车有[12-(10-m)]= (2+m)辆. 由题意,得 W =630m+420(10- m)+750(8-m)+550(2+m)= 630m+4200-420m +6000- 750m+1100+550m=10m+11300. 因为6≤m≤8, 所以易得当m=6时,W 的值最小,此 时10-m=4,8-m=2,2+m=8, W=10×6+11300=11360. 所以应安排6辆大货车和4辆小货车 前往A地,安排2辆大货车和8辆小 货车 前 往 B 地,最 少 总 运 费 为 11360元. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 31 3. (1) 设A型货车每辆可装载x箱 物资,B型货车每辆可装载y箱物资. 根据题意,得 4x+6y=190, 5x+10y=275, 解得 x=25, y=15. 所以 A型货车每辆可装载25箱物 资,B型货车每辆可装载15箱物资. (2) 设租用A型货车m 辆,则租用 B型货车(40-m)辆. 根据题意,得 40-m≤3m, 25m+15(40-m)≤725, 解得10≤ m≤252. 又因为m是正整数, 所以m=10,11,12,则40-m 的值依 次为30,29,28. 所以有以下3种租车方案: 方案1:租用A型货车10辆,B型货 车30辆; 方案2:租用A型货车11辆,B型货 车29辆; 方案3:租用A型货车12辆,B型货 车28辆. 4. (1) 设每套甲种“文房四宝”的价格 是x元,每套乙种“文房四宝”的价格 是y元. 根据题意,得 x-y=20, 5x+10y=1300, 解得 x=100, y=80. 所以每套甲种“文房四宝”的价格是 100元,每套乙种“文房四宝”的价格 是80元. (2) 设购买m 套甲种“文房四宝”,则 购买(150-m)套乙种“文房四宝”. 根据题意,得 100m+80(150-m)≤12640, 150-m≤4m, 解得 30≤m≤32. 又因为m为正整数, 所以m=30,31,32,则150-m 的值 依次为120,119,118. 所以共有以下3种购买方案: 方案1:购买30套甲种“文房四宝”, 120套乙种“文房四宝”,所需总费用 为100×30+80×120=12600(元); 方案2:购买31套甲种“文房四宝”, 119套乙种“文房四宝”,所需总费用 为100×31+80×119=12620(元); 方案3:购买32套甲种“文房四宝”, 118套乙种“文房四宝”,所需总费用 为100×32+80×118=12640(元). 因为12600<12620<12640, 所以最低总费用是12600元. 利用不等式(组)解决 方案决策问题的方法 一般先根据题中的不等关系 列出不等式(组),再根据不等式 (组)的整数解确定出几种方案,最 后通过分析、比较,确定出最优 方案. 第7章复习 ［知识体系构建］ 未知数 次数 公共部分 正数 改变 所移项 ［高频考点突破］ 典例1 A [解析] 由2a<-2b,根 据不等式的基本性质2,得a<-b,故 A正确;由-2x<3,根据不等式的基 本性质3,得x>-32 ,故B不正确; 由a-6>b-6,根据不等式的基本性 质1,得a>b,故C不正确;当a=1, b=-2时,满足a>b,但a2=1,b2= 4,此时a2<b2,故D不正确. [跟踪训练] 1. B [解析] 因为1- m<1-n,所以根据不等式的基本性 质1,得-m<-n,再根据不等式的 基本性质3,得m>n.因为-m< -n,所以根据不等式的基本性质2, 得-2m<-2n,再根据不等式的基本 性质1,得-2m+1<-2n+1.故 A错误.因为m>n,所以根据不等式 的基本性质1,得m+14>n+14.故 B正确.因为m>n,所以当a≠b时, m+a>n+b不一定成立.故C错误. 因为-m<-n,所以当a≥0时, -am>-an不成立.故D错误. 典例2 去分母,得2(x+3)-6< 3(2x+1).去括号,得2x+6-6< 6x+3.移项、合并同类项,得-4x< 3.系数化为1,得x>-34. 解集在数轴上表示如图所示. (典例2图) [跟踪训练] 2. 去分母,得x-3≤ 2(x-1).去括号,得x-3≤2x-2. 移项、合并同类项,得-x≤1.系数化 为1,得x≥-1. 解集在数轴上表示如图所示. (第2题) 典例3 解不等式2x+5≤3(x+2), 得x≥-1.解不等式x<x-13 +1 ,得 x<1. 所以不等式组的解集为-1≤x<1. 解集在数轴上表示如图所示. (典例3图) [跟踪训练] 3. 解不等式①,得 x>-1.解不等式②,得x<4. 所以原不等式组的解集是-1<x< 4,其所有整数解为0,1,2,3. 典例4 A [解析] 解 不 等 式 x-m 2 <1 ,得x<2+m.解不等式 x-4≤3(x-2),得x≥1.因为原不 等式组有解,所以2+m>1,解得 m>-1. [跟踪训练] 4. B [解析] 解不等 式3x<4(x-3)+4,得x>8.解不等 式x+2 4 ≤m ,得x≤4m-2.因为原不 等式组有解,所以其解集为8<x≤ 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 41 28 　 　专题特训（三）　利用不等式（组）选择最佳方案▶ “答案与解析”见P13 类型一 生产方案的选择 1. (核心素养·模型思想)某工厂计划生产甲、 乙两种产品共100件,需要购买价格为 30元/千克的A种材料和价格为20元/千克 的B种材料.通过调研,获得以下信息: 信息1:生产一件甲种产品需要 A种材料 4千克,B种材料1千克; 信息2:生产一件乙种产品需要 A种材料 3千克,B种材料4千克. 根据以上信息,解答下列问题: (1) 现工厂用于购买A,B两种材料的资金不 能超过15000元,且生产乙种产品不少于 30件,请问有哪几种符合条件的生产方案? (2) 在(1)的条件下,若生产一件甲种产品需 加工费60元,生产一件乙种产品需加工费 80元,应选择哪种生产方案,才能使生产这 批产品的成本最低? 类型二 调配方案的选择 2. (2023·合肥期中)某公司准备把240吨白砂 糖运往 A,B两地,用大、小两种货车共 20辆,恰好能一次性装完这批白砂糖,相关 数据如下表: 载货量 运往A地的 费用 运往B地的 费用 大货车 15吨/辆 630元/辆 750元/辆 小货车 10吨/辆 420元/辆 550元/辆 (1) 大、小两种货车各用多少辆? (2) 如果安排10辆货车前往A地,其中大货 车有m 辆,其余货车前往B地,且运往A地 的白砂糖不少于130吨. ① 求m的取值范围. ② 请设计出总运费最少的货车调配方案,并 求最少总运费. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(沪科版)七年级下 29 类型三 租车方案的选择 3. (2024·烟台蓬莱期末)某公司要将一批新研 发的物资运往超市,计划租用A,B两种型号 的货车.在每辆货车都满载的情况下,若租用 4辆 A 型货车和6辆 B型货车,可装载 190箱物资;若租用5辆A型货车和10辆 B型货车,可装载275箱物资. (1) A,B两种型号的货车每辆分别可装载多 少箱物资? (2) 初步估算,运输的这批物资不超过 725箱.若该公司计划租用A,B两种型号的 货车共40辆,且B型货车的数量不超过A型 货车数量的3倍,则该公司一次性将这批物 资运往超市共有几种租车方案? 请具体 说明. 类型四 采购方案的选择 4. ★(核心素养·模型思想)(2024·瑶 海期中)“文房四宝”是中国独有的 书法绘画工具,即笔、墨、纸、砚.某 校为了丰富学生的课后活动,开设了书法社 团,计划为学生购买甲、乙两种类型的“文房 四宝”.经过调查得知:每套甲种“文房四宝” 比每套乙种“文房四宝”贵20元,购买5套甲 种“文房四宝”和10套乙种“文房四宝”共用 1300元. (1) 求甲、乙两种类型的“文房四宝”每套的 价格分别是多少. (2) 若该校需购买甲、乙两种类型的“文房四 宝”共150套,总费用不超过12640元,并且 根据学生需求,要求购买乙种“文房四宝”的 数量不超过甲种“文房四宝”数量的4倍.问 有几种购买方案? 最低总费用是多少? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第7章　一元一次不等式与不等式组