第7章 专题特训（二）含字母系数的不等式（组）的求解问题-【拔尖特训】2024-2025学年新教材七年级下册数学（沪科版2024）

26 专题特训（二）　含字母系数的不等式（组）的 求解问题 ▶ “答案与解析”见P12 类型一 根据不等式组有无解求字母的取值 范围 1. (2024·安庆大观期中)若关于x的不等式组 x-2 3 ≤m , x-12>3-2x 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 无解,则m的取值范围是 ( ) A. m>1 B. m≥1 C. m<1 D. m≤1 2. (2024·泸州期末)若关于x 的不等式组 x-1 2 ≥ x-2 3 , 2x-m≤x 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 有解,则m的取值范围是 ( ) A. m>-1 B. m≥-1 C. m<-1 D. m≤-1 类型二 根据不等式(组)的解集求字母的值 或取值范围 3. (2024·资阳期末)若关于x 的不等式 x+m 2 -1>2m 的解集是x>5,则m的值是 ( ) A. -1 B. 1 C. 2 D. 3 4. (2024·淮南田家庵期末)如果关于x的不等 式组 3x-2>4(x-1), x<a 的解集为x<2,那么 a的取值范围是 ( ) A. a=2 B. a>2 C. a<2 D. a≥2 5. ★(2024·合肥瑶海期中)若关于x的不等式 组 5x>3x+2a, 4(x-1)>3x-1 的解集为x>3,则a的 取值范围是 ( ) A. a≤3 B. a<3 C. a≥3 D. a>3 6. (2024·亳州涡阳期末)若关于x的不等式组 2x-a<1, x-2b>3 的解集是-1<x<1,则a= ,b= . 类型三 根据不等式(组)的解的关系求字母的 值或取值范围 7. 已知不等式2x>4的解都是关于x的不等 式x-a>5的解,则a的取值范围是 ( ) A. a>-3 B. a≥-3 C. a≤-3 D. a<-3 8. 若在关于x的不等式组 x-m>0, x-m<1 的解集 中,每一个x的值均不在2≤x≤5的范围 内,则m的取值范围是 . 9. (1) 已知x=a+2.若x<8,试求a 的取值范围. (2) 已知在关于x的不等式x-a≤ 2的解集中,任意x的值均在x<8的范围 内,求a的取值范围. (3) 已知在关于x的不等式组 x-a≤2, x-a>-1 的 解集中,任意x的值均在2≤x<8的范围 内,求a的所有整数解. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(沪科版)七年级下 27 类型四 根据不等式(组)整数解的个数求字母的 取值范围 10. ★(2024·安庆大观期中)若关于x的不等 式组 x>m+3, 5x-2<4x+1 的整数解仅有4个,则 m的取值范围是 ( ) A. -5≤m<-4 B. -5<m≤-4 C. -4≤m<-3 D. -4<m≤-3 11. (2024·池州青阳期末)已知关于x的不等 式组 2x+1≥3(m+x), x-1 6 - 2x-5 3 <2 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 有且只有3个正整 数解,则m的取值范围是 ( ) A. -1≤m<-23 B. -1<m<-23 C. -1≤m≤-23 D. -1<m≤-23 12. 已知关于x的不等式2(x+3)-5x+a>0 的解集中恰有3个非负整数,则a的取值范 围是 . 类型五 新定义题型中求字母的值或取值范围 13. (2024·呼伦贝尔)对于实数a,b,定义运算 “※”为a※b=a+3b,例如:5※2=5+3× 2=11,则当关于x的不等式x※m<2有且 只有一个正整数解时,m 的取值范围是 . 14. (2024·济宁二模)定义:若一元一次不等式 组的解集(不含无解)都在一元一次不等 式的解集范围内,则称该一元一次不等式 组为该不等式的“子集”.如不等式组 2x-3<9-x, 5x+5≥2x-4 的解集为-3≤x<4,不等 式2x-1>-9的解集为x>-4,因为 -3≤x<4在x>-4的范围内,所以不等 式组 2x-3<9-x, 5x+5≥2x-4 是不等式2x-1>-9 的“子集”.若不等式组 3x-6>2-x, x-1≥4x-10 是关 于x的不等式x-k≤1的“子集”,则k的 取值范围是 . 15. 对x,y定义一种新运算T,规定: T(x,y)= ax+by 2x+y (其中a,b均为 非零常数),等式右边是通常的四则运算.例 如:T(0,1)=a×0+b×12×0+1 =b. 已知T(1, -1)=-2,T(4,2)=1. (1) 求a,b的值. (2) 若关于m的不等式组 T(2m,5-4m)≤4, T(m,3-2m)>p 恰好有3个整数解,求实数p的取值范围. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第7章　一元一次不等式与不等式组 13. 记 2x+1>x+a①, x-1≤2x+a+23 ②. 解不等 式①,得x>a-1.解不等式②,得 x≤a+5. 所以不等式组的解集为a-1<x≤ a+5. 所以不等式组的整数解为a,a+1, a+2,a+3,a+4,a+5. 因为所有整数解的和S满足21.6≤ S<33.6, 所以21.6≤6a+15<33.6,解得 1.1≤a<3.1. 所以符合条件的整数a的值为2,3, 其和为2+3=5. 14. (1) ①. [解析] 解不等式组 5-2x>3x, 4(x+1)>x-2, 得-2<x<1.所 以该不等式组的 “解集中点”为 -2+1 2 =- 1 2. 解方程①,得x= -12 ,故方程①是该不等式组的“中 点关联方程”.解方程②,得x=32 ,故 方程②不是该不等式组的“中点关联 方程”. (2) 答案不唯一,如2x=12. [解析] 解不等式组 x-3>2, x+2 3 >x-4 , 得 5<x<7.所以该不等式组的“解集中 点”为5+7 2 =6. 所以这个不等式组的 一个“中点关联方程”可以是2x=12 (答案不唯一). (3) 解不等式组 2x-1<x-4m, 3x>6m+9, 得 2m+3<x<1-4m. 所以该不等式组的“解集中点”为 2m+3+1-4m 2 =-m+2. 解方程3x-1=2x,得x=1.解方程 2x+8=4x,得x=4. 根据题意,得 -m+2>1, -m+2<4, 解得-2< m<1. 因为2m+3<1-4m,所以m<-13 , 即m的取值范围是-2<m<-13. 专题特训（二）　含字母系数的 不等式（组）的求解问题 1. D [解析] 由x-2 3 ≤m ,得x≤ 3m+2.解不等式x-12>3-2x,得 x>5.因为不等式组无解,所以3m+ 2≤5,解得m≤1. 2. B [解析]记 x-1 2 ≥ x-2 3 ① , 2x-m≤x②. 解 不等式①,得x≥-1.解不等式②,得 x≤m.因为不等式组有解,所以 m≥-1. 3. B [解析]解关于x 的不等式 x+m 2 -1>2m ,得x>3m+2.因为该 不等式的解集是x>5,所以3m+2= 5,解得m=1. 4. D [解析] 解不等式3x-2> 4(x-1),得x<2.因为关于x的不 等式组的解集为x<2,所以a≥2. 5. A [解析] 记 5x>3x+2a①, 4(x-1)>3x-1②. 解不等式①,得 x>a.解不等式②,得x>3.因为不 等式组的解集是x>3,所以a≤3. 已知不等式(组)的解集,求 其中字母取值的方法 已知不等式(组)的解集求其中 字母取值的问题,常有两种情况: (1) 所给解集为“x>a”或 “x<b”型,先把原不等式(组)的解 集用字母表示出来,再根据“同大 取大,同小取小”列方程(组)或不 等式(组)求解,这时要注意是否包 含端点. (2) 所给解集为“a<x<b” 型,先把原不等式组的解集用字母 表示出来,再通过比较,列方程 (组)或不等式(组)求解. 6. 1 -2 [解析] 记 2x-a<1①, x-2b>3②. 解不等式①,得x<a+12 . 解不等式 ②,得x>3+2b.所以3+2b<x< a+1 2 . 因为原不等式组的解集是 -1<x<1,所以a+12 =1 ,3+2b= -1,解得a=1,b=-2. 7. C [解析] 解不等式2x>4,得 x>2.解不等式x-a>5,得x>a+ 5.由题意,得a+5≤2,解得a≤-3. 8. m ≤1或 m ≥5 [解析] 记 x-m>0①, x-m<1②. 解不等式①,得x>m. 解不等式②,得x<m+1.所以不等 式组的解集是m<x<m+1.因为在 不等式组 x-m>0, x-m<1 的解集中,每一 个x的值均不在2≤x≤5的范围内, 所以m+1≤2或m≥5,解得m≤1 或m≥5. 9. (1) 由题意,得a+2<8,解得 a<6. 所以a的取值范围是a<6. (2) 解不等式x-a≤2,得x≤a+2. 因为在不等式x-a≤2的解集中,任 意x的值均在x<8的范围内, 所以a+2<8,解得a<6. 所以a的取值范围是a<6. (3) 解不等式组,得a-1<x≤a+2. 由题意,得 a+2<8, a-1≥2, 解得3≤a<6. 所以a的所有整数解为3,4,5. 10. A [解析] 解不等式组,得m+ 3<x<3.由题意,得-2≤m+3< -1,解得-5≤m<-4. 由不等式组的整数解确定 字母的取值范围的方法 根据不等式组的整数解确定 字母的取值范围,要先求出不等式 组的解集,然后根据整数解的个 数,确定字母的取值范围,如下表 所示(其中a是整数,m>a). 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 21 图 示 整数解 的个数 m的取值 范围 b a+b<m≤ a+b+1 b a+b≤m< a+b+1 b a+b-1< m≤a+b b a+b-1≤ m<a+b 11. D [解析] 记 2x+1≥3(m+x)①, x-1 6 - 2x-5 3 <2②. 解不等式①,得x≤1-3m.解不等式 ②,得x>-1.所以原不等式组的解 集是-1<x≤1-3m.因为关于x的 不等式组有且只有3个正整数解,所 以3≤1-3m<4,解得-1<m≤ -23. 12. 0<a≤3 [解析]解不等式 2(x+3)-5x+a>0,得x<13a+2. 因为不等式2(x+3)-5x+a>0的 解集中恰有3个非负整数,所以3个 非负整数解是0,1,2.所以2<13a+ 2≤3,解得0<a≤3. 13. 0≤m<13 [解析] 由新定义运 算规则,得x+3m<2,解得x< -3m+2.因为此不等式有且只有一 个正整数解,所以1<-3m+2≤2,解 得0≤m<13. 14. k≥2 [解析] 解不等式组 3x-6>2-x, x-1≥4x-10, 得2<x≤3.解关于 x的不等式x-k≤1,得x≤k+1.因 为不等式组 3x-6>2-x, x-1≥4x-10 是关于x 的不等式x-k≤1的“子集”,所以 k+1≥3,解得k≥2. 15. (1) 根据题意,得T(1,-1)= a-b 2-1=-2 ,即a-b=-2;T(4,2)= 4a+2b 8+2 =1 ,即2a+b=5. 所以 a-b=-2, 2a+b=5, 解得 a=1 , b=3. (2) 由(1),知T(x,y)= x+3y 2x+y. 根据题意,得 2m+3(5-4m) 4m+5-4m ≤4① , m+3(3-2m) 2m+3-2m >p②. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解不等式①,得m≥-12. 解不等式②,得m<9-3p5 . 因为不等式组恰好有3个整数解, 所以这3个整数解为0,1,2. 所以2<9-3p5 ≤3 ,解得-2≤p< -13. 专题特训（三）　利用不等式 （组）选择最佳方案 1. (1) 设生产乙种产品a件,则生产 甲种产品(100-a)件. 由题意,得(30×4+20)×(100-a)+ (3×30+4×20)a≤15000,解得a≤ 3313. 因为生产乙种产品不少于30件, 所以30≤a≤3313. 因为a为整数, 所以a=30,31,32,33,则100-a的 值依次为70,69,68,67. 所以符合条件的生产方案有:① 生产 甲种产品70件,乙种产品30件; ② 生产甲种产品69件,乙种产品 31件;③ 生产甲种产品68件,乙种产 品32件;④ 生产甲种产品67件,乙 种产品33件. (2) 方案①的成本为70×(60+30× 4+20)+30×(80+30×3+20×4)= 21500(元);方案②的成本为69× (60+30×4+20)+31×(80+30× 3+20×4)=21550(元);方案③的成 本为68×(60+30×4+20)+32× (80+30×3+20×4)=21600(元); 方案④的成本为67×(60+30×4+ 20)+33×(80+30×3+20×4)= 21650(元). 因为 21500<21550<21600< 21650, 所以应选择生产甲种产品70件,乙种 产品30件的生产方案,才能使生产这 批产品的成本最低. 2. (1) 设大货车用x辆,则小货车用 (20-x)辆. 由题意,得15x+10(20-x)=240,解 得x=8. 所以20-x=12. 所以大货车用8辆,小货车用12辆. (2) ① 因为前往 A 地的大货车 有m辆, 所以前往A地的小货车有(10-m)辆. 由题意,得15m+10(10-m)≥130, 解得m≥6. 因为大货车共有8辆, 所以6≤m≤8. ② 设总运费为W 元. 因为前往A地的大货车有m辆, 所以前往A地的小货车有(10-m)辆, 前往B地的大货车有(8-m)辆,前往 B地的小货车有[12-(10-m)]= (2+m)辆. 由题意,得 W =630m+420(10- m)+750(8-m)+550(2+m)= 630m+4200-420m +6000- 750m+1100+550m=10m+11300. 因为6≤m≤8, 所以易得当m=6时,W 的值最小,此 时10-m=4,8-m=2,2+m=8, W=10×6+11300=11360. 所以应安排6辆大货车和4辆小货车 前往A地,安排2辆大货车和8辆小 货车 前 往 B 地,最 少 总 运 费 为 11360元. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 31