第7章 一元一次不等式与不等式组 拔尖测评-【拔尖特训】2024-2025学年新教材七年级下册数学（沪科版2024）

数学(沪科版)七年级下 3 第7章拔尖测评 ◎ 满分:100分 ◎ 时间:90分钟 姓名: 得分: 一、 选择题(每小题3分,共30分) 1. 下列数中,能使不等式5x-1<6成立的x的值为 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 已知a<b,下列式子一定成立的是 ( ) A. a-2>b-2 B. -a3<- b 3 C. 1-4a>1-4b D. a<b 3. 已知关于x的不等式-2x-a>-1的解集表示在数轴上如图所 示,则a的值是 ( ) (第3题) A. 0 B. -1 C. -2 D. 3 4. 不等式组 3x-2<2x+1, x≥2 的解集在数轴上表示为 ( ) A. B. C. D. 5. 已知关于x的一元一次方程3x-m=2x+3的解为负数,则m 的 取值范围是 ( ) A. m≤-3 B. m≥-3 C. m<-3 D. m>-3 6. 不等式组 x+9<5x+1, x>m+1 的解集是x>2,则m的取值范围是 ( ) A. m≤2 B. m≥2 C. m>1 D. m≤1 7. 某品牌儿童自行车的标价比成本高25%,根据市场需求,该自行车 需降价x%.若要保证不亏本,则x应满足 ( ) A. x≤20 B. x≤25 C. x<20 D. x<25 8. 已知实数x,y,z满足x+y=4,x-z=7.若x≥-2y,则x+y+z 的最大值为 ( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 9. 已知x,y满足2x+y=3,且x≥-2,y>2.若k=x-y,则k的取 值范围是 ( ) A. k≥-9 B. -9≤k≤-32 C. -9≤k<-32 D. k≤-32 10. 已知关于x的不等式组 x-3x-52 <2 , 2x-a≤-1, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 给出下列四个结论:① 若 它的解集是1<x≤3,则a=7;② 当a=3时,该不等式组有解; ③ 若它的整数解仅有3个,则a的取值范围是11≤a<13;④ 若 它有解,则a>3.其中,正确的个数为 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、 填空题(每小题3分,共15分) 11. 若不等式2ax|a-1|>5是关于x 的一元一次不等式,则a= . 12. 若关于x的不等式m-x2≤1-x 有正数解,则m 的值可以是 (写出一个即可). 13. 若不等式组 x<a, x-2>0 无解,则实数a的取值范围是 . 14. 按如图所示的程序进行运算,规定程序运行到“判断结果是否大于 30”为一次运算.若某运算进行了3次才停止,则x的取值范围是 . (第14题) 15. 已知关于x的不等式组 2x+1>x+a, x 2+1≥ 5 2x-9. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 (1) 若该不等式组的最小整数解为x=1,则整数a的值为 . (2) 若该不等式组所有整数解的和为14,则a 的取值范围是 . 三、 解答题(共55分) 16. (8分)解不等式(组): (1) 1-x-26 > x 2. (2) 3(x-1)<4+2x, x-9 5 <2x. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 17. (8分)已知不等式4-5x2 -1<6 的负整数解是关于x的方程2x- 3=ax 的解,试求出关于x 的不等式组 7(x-a)-3x>3, 1 5x+2<a 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 的 解集. 18. (8分)已知关于x,y的方程组 x+y=-7-m, x-y=1+3m 的解满足x为非 正数,y为负数. (1) 求m 的取值范围. (2) 在m 的取值范围内,当m 为何整数时,不等式(2m+1)x< 2m+1的解集为x>1? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 4 19. (9分)小丽在解一元一次不等式组 x-2>1, x+□>0 时,发现常数“□”印 刷不清楚. (1) 她把“□”猜成-5,请你解一元一次不等式组 x-2>1, x-5>0. (2) 若“□”表示字母a,且不等式组 x-2>1, x+□>0 的解集是x>3,请 你求出字母a的取值范围. 20. (10分)新定义:对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为<x>,即 当n为非负整数时,如果n-12≤x<n+ 1 2 ,那么<x>=n;反之, 当n为非负整数时,如果<x>=n,那么n-12≤x<n+ 1 2. 例如: <0>=<0.48>=0,<0.64>=<1.49>=1,<2>=2,<3.5>=<4.12>= 4,…. 试解决下列问题: (1) 填空: ① <π>= . ② 如果<x-1>=3,那么实数x的取值范围是 . (2) 若关于x的不等式组 2x-4 3 ≤x-1 , <a>-x>0 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 的整数解恰有3个,求a 的取值范围. (3) 求满足<x>=43x 的所有非负实数x的值. 21. (12分)某电器超市销售每台进价分别为160元、120元的A,B两 种型号的电风扇,下表是近两周的销售情况: 销售时段 销售数量 A种型号 B种型号 销售收入 第一周 3台 4台 1200元 第二周 5台 6台 1900元 注:进价、售价均保持不变,利润=销售收入-进货成本. (1) 求A,B两种型号的电风扇的销售单价. (2) 若该电器超市准备用不多于7500元的金额再采购这两种型 号的电风扇共50台,求A种型号的电风扇最多能采购多少台. (3) 在(2)的条件下,电器超市销售完这50台电风扇能否实现利润 超过1850元的目标? 若能,请给出相应的采购方案;若不能,请说 明理由. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 15<4, 所以-4<- 15<-3. 所以4<8- 15<5. 所以8- 15的整数部分为4,小数部 分m=8- 15-4=4- 15. 因为3< 15<4, 所以11<8+ 15<12. 所以8+ 15的整数部分为11,小数 部分n=8+ 15-11= 15-3. 所以(x-1)2=4- 15+ 15- 3=1. 所以x=0或x=2. 20. (1) 5. (2) n. (3) 原式= 4×(1+3+5+…+51)= (2×26)2=2×26=52. 21. (1) 17-4;1. [解析] 因为 16< 17< 25,所以4< 17< 5.所以 17的整数部分是4.所以 17的小数部分是 17-4.因为 4<7< 9,所以2< 7<3.所以 -3<-7<-2.所以1<4-7<2. 所以4-7的整数部分是1. (2) 因为4<5<9, 所以2<5<3. 所以 5的小数部分为 5-2,即a= 5-2. 因为 36< 37< 49, 所以6< 37<7. 所以 37的整数部分为6,即b=6. 所以a+b-5=5-2+6-5=4. (3) 因为16<23<25, 所以 16< 23< 25,即 4< 23<5. 所以14<10+ 23<15. 因为10+ 23=x+y,其中x是整 数,且0<y<1, 所以x=14,y=10+ 23-14= 23-4. 所以x+ 23-y-6=14+ 23- 23+4-6=12. 所以x+ 23-y-6的平方根为 ± 12. 第7章拔尖测评 一、 1. A 2. C 3. D 4. B 5. C 6. D [解析] 由x+9<5x+1,得 x>2.因为不等式组 x+9<5x+1, x>m+1 的解集是x>2,所以2≥m+1,解得 m≤1. 7. A [解析] 设成本为b元.由题 意,得b(1+25%)(1-x%)-b≥0, 则(1+25%)(1-x%)-1≥0.去括 号,得1-x%+25%- 25x10000-1≥ 0.整理,得-100x+2500-25x≥0, 解得x≤20. 8. C [解析] 设x+y+z=t.因为 x-z=7,所以z=x-7.因为x+ y=4,所以t=4+x-7=x-3.所以 x=t+3.因为x≥-2y,所以x≥ -2(4-x),解得x≤8.所以t+3≤ 8,解得t≤5.所以x+y+z的最大值 为5. 9. C [解析] 记 2x+y=3①, k=x-y②. 由 ①+②,得3x=3+k,则x=3+k3 . 把 x=3+k3 代入②,得y= 3-2k 3 . 因为 x≥-2,y>2,所以 3+k 3 ≥-2 , 3-2k 3 >2 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解 得-9≤k<-32. 10. B [解析] 解 不 等 式 x - 3x-5 2 <2 ,得x>1.解不等式2x- a≤-1,得x≤a-12 . 对于①,因为它 的解集是1<x≤3,所以a-12 =3 ,解 得a=7.故①正确.对于②,因为a= 3,所以a-12 = 3-1 2 =1. 所以原不等 式组无解.故②错误.对于③,因为原 不等式组的整数解仅有3个,所以 4≤a-12 <5 ,解得9≤a<11.故③错 误.对于④,因为原不等式组有解,所 以a-1 2 >1 ,解得a>3.故④正确.综 上所述,正确的是①④,共2个. 二、 11. 2 12. 答案不唯一,如0 13. a≤2 [解析] 由x-2>0,得 x>2.又因为x<a且不等式组无解, 所以a≤2. 14. 51 8<x≤ 39 4 [解析] 依题意,得 2x-3≤30, 2(2x-3)-3≤30, 2[2(2x-3)-3]-3>30, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得518< x≤394. 15. (1) 1 (2) 2≤a<3或-1≤a< 0 [解析] 记 2x+1>x+a①, x 2+1≥ 5 2x-9②. 解 不等式①,得x>a-1.解不等式②, 得x≤5.(1) 因为该不等式组的最小 整数解为x=1,所以0≤a-1<1,解 得1≤a<2.所以整数a的值为1. (2) 因为该不等式组所有整数解的和 为14,所以整数解为5,4,3,2或5,4, 3,2,1,0,-1.所以1≤a-1<2或 -2≤a-1<-1,解得2≤a<3或 -1≤a<0. 三、 16. (1) 去分母,得6-(x-2)> 3x.去括号,得6-x+2>3x.移项, 得-x-3x>-2-6.合并同类项,得 -4x>-8.系数化为1,得x<2. (2) 解不等式3(x-1)<4+2x,得 x<7. 解不等式x-9 5 <2x ,得x>-1. 所以原不等式组的解集为-1< x<7. 17. 解不等式4-5x 2 -1<6. 去分母,得4-5x-2<12. 移项、合并同类项,得-5x<10. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 55 系数化为1,得x>-2. 所以不等式4-5x 2 -1<6 的负整数解 是x=-1. 把x=-1代入2x-3=ax,得-2- 3=-a,解得a=5. 把 a = 5 代 入 不 等 式 组,得 7(x-5)-3x>3①, 1 5x+2<5②. 解不等式①,得x>192. 解不等式②,得x<15. 所以不等式组的解集为19 2<x<15. 18. (1) 解方程组 x+y=-7-m, x-y=1+3m, 得 x=m-3, y=-2m-4. 根据 题 意,得 m-3≤0, -2m-4<0, 解 得 -2<m≤3. (2) 由不等式(2m+1)x<2m+1的 解集为x>1,知2m+1<0, 所以m<-12. 所以-2<m<-12. 因为m为整数, 所以当m=-1时,不等式(2m+ 1)x<2m+1的解集为x>1. 19. (1) 记 x-2>1①, x-5>0②. 解不等式①,得x>3. 解不等式②,得x>5. 所以原不等式组的解集是x>5. (2) 记 x-2>1①, x+a>0②. 解不等式①,得x>3. 解不等式②,得x>-a. 因为不等式组的解集为x>3, 所以-a≤3. 所以a≥-3. 20. (1) ① 3. ② 3.5≤x<4.5. (2) 解 关 于 x 的 不 等 式 组 2x-4 3 ≤x-1 , <a>-x>0, 得 x≥-1,x<<a>. 由不等式组的整数解恰有3个,得 1<<a>≤2, 所以1.5≤a<2.5. (3) 因为<x>=43x , 所以4 3x- 1 2≤x< 4 3x+ 1 2. 所以-12≤- 1 3x< 1 2. 所以-32<x≤ 3 2. 所以-2<43x≤2. 又因为4 3x 为非负整数,且x为非负 实数, 所以4 3x=0 或1或2. 所以x=0或34 或3 2. 21. (1) 设A,B两种型号的电风扇的 销售单价分别为x元、y元. 根据题意,得 3x+4y=1200, 5x+6y=1900, 解得 x=200, y=150. 所以A,B两种型号的电风扇的销售 单价分别为200元、150元. (2) 设采购A种型号的电风扇a台, 则采购 B种型号的电风扇(50- a)台. 根据题意,得160a+120(50-a)≤ 7500,解得a≤3712. 因为a是整数, 所以a的最大值为37,即A种型号的 电风扇最多能采购37台. (3) 能.由(2)及题意,得(200- 160)a+(150-120)(50-a)>1850, 解得a>35. 因为a≤3712 , 所以35<a≤3712. 又因为a为整数, 所以a=36或37. 所以在(2)的条件下,电器超市能实现 利润超过1850元的目标.相应的采 购方案有两种:采购A种型号的电风 扇36台,B种型号的电风扇14台;采 购A种型号的电风扇37台,B种型号 的电风扇13台. 第8章拔尖测评 一、 1. D 2. C 3. D 4. D 5. C 6. D [解析] (x2-mx+2)(2x+ 1)=2x3-2mx2+4x+x2-mx+ 2=2x3+(-2m+1)x2+(4-m)x+ 2.因为积中x的二次项系数和一次 项系数相等,所以-2m+1=4-m, 解得m=-3. 7. A [解析] 因 为 a=8131 = (34)31=3124,b=2741=(33)41=3123, c=961=(32)61=3122,124>123> 122,所以a>b>c. 8. C [解析] 因为m-n=2,mn= 2,所以m2+n2=(m-n)2+2mn= 4+4=8.所以 m4+n4=(m2+ n2)2-2m2n2=64-2×22=56. 9. A [解析] 因为a2(b+c)= b2(a+c)=2022,所以a2(b+c)- b2(a+c)=0,即a2b+a2c-ab2- b2c=0.整理,得ab(a-b)+c(a+ b)(a-b)=0.所以(a-b)(ab+ ac+bc)=0.因为a≠b,所以a-b≠ 0.所以ab+ac+bc=0.所以ab+ bc=-ac,即b(a+c)=-ac.所以 b(a+c)·b=-ac·b,即b2(a+ c)=-abc.因为b2(a+c)=2022,所 以-abc=2022. 10. B [解 析] 根 据 题 意,得 2(m-3)+2(n-3)=10①, mn=30②. 由①,得 m+n=11③.由③2-4×②,得(m- n)2=1.所以m-n=1或m-n=-1 (不合题意,舍去).所以m-n的值 为1. 二、 11. 2×10-7 12. (a-1)2 13. -6 14. 0 [解析] 因为am=2,an=4, 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 65