第6章 专题特训（一）实数大小比较的常用方法-【拔尖特训】2024-2025学年新教材七年级下册数学（沪科版2024）

8 专题特训（一）　实数大小比较的常用方法 ▶ “答案与解析”见P3 类型一 法则比较法 1. (2024·威海)下列各数中,最小的数是( ) A. -2 B. -(-2) C. -12 D. -2 2. (2024·上海金山期中)比较大小:- 82 -32 (填“>”“<”或“=”). 类型二 取近似值比较法 3. 比较 3 3 与 2 2 的大小. 4. (2024·合肥蜀山期中)比较 5+12 与8 5 的 大小. 类型三 估算比较法 5. 比较 310-1 3 与1 3 的大小. 6. 比较326+1与 26-1的大小. 类型四 求差比较法 7. (2023·六安期中)比较3- 5与 5-2的 大小. 8. 比较 19-2 3 与2 3 的大小. 类型五 求商比较法 9. 比较 5-2 3 与1 3 的大小. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(沪科版)七年级下 9 10. 比较- 6-14 与-12 的大小. 类型六 乘方比较法 11. 比较 5 2 与 11 3 的大小. 12. 比较321与 3176 2 的大小. 类型七 中间值比较法 13. 比较 63-8 5 与 365-4 13 的大小. 14. 比较 960-1与 842+1的大小. 类型八 运用方根性质法 15. 比较大小:1-a 3a-2(填“>” “<”或“=”). 类型九 特殊值比较法 16. 实数a在数轴上的对应点的位置如图所示, 试比较a,-a,1a ,a2的大小. (第16题) 类型十 数轴比较法 17. (核心素养·几何直观)在如图所示的数轴 上近似地表示下列各数,并把它们按从小到 大的顺序排列,用“<”连接:94 ,-|-2|, π,-(-4). (第17题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第6章　实　数 所以3t2=m2. 所以易得m也是3的倍数. 所以m,n都是3的倍数,不互质,与 假设矛盾. 所以假设错误,即3不是有理数. 第2课时 实数的运算及大小比较 1. C 2. B [解析] 由数轴,得-2<a< -1,2<b<3.因为-2<a<-1,所 以A错误.由-2<a<-1,得1< -a<2.又因为2<b<3,所以b> -a.所以B正确.由-2<a<-1, 2<b<3,得0<a+b<2,所以C错 误.因为a<0,b>0,所以ab<0.所以 D错误. 3. B [解析] 23+(2- 3)=2+ 3,是无理数,故A不符合题意;(5+ 3)+(2-3)=7,是有理数,故B符 合题意;2+(2- 3)=2+ 2- 3, 是无理数,故 C不符合题意;(5- 3)+(2- 3)=7-23,是无理数, 故D不符合题意. 4. > [解析] 因为( 10)2=10, 22 7 2 = 48449 ,10 > 48449 ,所 以 10>227. 5. 3 6. (1) 3-1 (2) 2- 3或 3+2 [解析] 因为 |a|= 3,所以a=± 3.当a= 3 时,|a-2|=|3-2|=2- 3;当 a=- 3时,|a-2|=|- 3-2|= 3+2.综上所述,|a-2|=2- 3或 3+2. 因盲目去掉绝对值符号 导致答案错误 去绝对值符号时,首先要判断 绝对值里面的数是正数,0,还是负 数.负数的绝对值去绝对值符号 时,要变成原数的相反数. 7. (1) 原式≈-1.04. (2) 原式≈3.27. 8. A [解析] 因为正方形的面积为 3,所以正方形的边长为 3,即圆的半 径为3.所以点A表示的数为1-3. 9. A 10. C [解析] 因为实数a的立方根 与4的倒数相等,4=2,2的倒数是 1 2 ,所以3a=12. 所以a=18. 11. A [解析] 2×(4※6)=2× 4+2×6=2×4=8. 12. 5 [解析] 因为 5-2>0,5- 3<0,(-4)2=16,所以原式= 5- 2-(5-3)+4= 5-2+3- 5+ 4=5. 13. > [解析] 6-1 3 - 2 5 = 56-5-6 15 = 56-11 15 . 因 为 (56)2=150,112=121,150>121,所 以56>11.所以56-11>0.所以 56-11 15 >0. 所以 6-1 3 > 2 5. 14. (1) 因为3< 11<4, 所以 11的整数部分是3,小数部分 是 11-3. 所以x=3,y= 11-3. 所以2x-y+ 11=6-( 11- 3)+ 11=9. (2) 因为1<3<2, 所以3<2+3<4. 所以a=3,b=2+3-3=3-1. 所以a-b=3-(3-1)=4-3. 15. (1) 无理 [解析] 因为a,b是两 个有理数,所以b-a是有理数.所以 2 2 (b-a)是无理数.所以a+ 22 (b- a)是无理数,即c是无理数. (2) a<c<b [解析] 因为b-a>0, 所以 2 2 (b-a)>0.又因为c=a+ 2 2 (b-a),所以c>a.因为b-a>0, 所以a-b<0.所以c-b=a+ 2 2 (b-a)-b=2-22 a- 2-2 2 b= 2-2 2 (a-b)<0.所以c<b.所以 a<c<b. 16. (1) 2. (2) ① 0. ② 1- 5. [解析] 因 为-1对应的点与3对应的点重合, 所以 “折 痕 点”所 表 示 的 数 为 -1+3 2 =1.① 设2对应的点与x对 应的点重合.由题意,得2+x2 =1 ,解 得x=0.所以2对应的点与0对应的 点重合.② 设5+1对应的点与y对 应的点重合.由题意,得 5+1+y2 = 1,解得y=1-5.所以5+1对应的 点与1-5对应的点重合. (3) 若将点A 沿数轴向右移动(4- 3)个单位长度,所得到的点表示的 数为a+4-3,则a+(a+4-3)= 0,解得a= 3-42 . 若将点A沿数轴向左移动(4-3)个 单位长度,所得到的点表示的数为 a-(4-3)=a-4+3,则a+(a- 4+3)=0,解得a=4-32 . 综上所述,a的值为 3-42 或4-3 2 . 专题特训（一）　实数大小 比较的常用方法 1. A 2. > [解析] - 82 = 82 , -32 = 3 2. 因为 8<3,所以 82< 3 2. 所以- 82>- 3 2. 3. 因为3≈1.732,2≈1.414, 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3 所以 3 3≈0.58 ,2 2≈0.71. 因为0.58<0.71, 所以 3 3< 2 2. 4. 因为5≈2.236, 所以 5+1 2 ≈1.62. 又因为8 5=1.6 ,1.62>1.6, 所以 5+1 2 > 8 5. 5. 因为2< 310<3, 所以1< 310-1<2. 又因为 310-1 3 与1 3 的分母相同, 所以 310-1 3 > 1 3. 6. 因为8<26<27, 所以2< 326<3. 所以3< 326+1<4. 因为25<26<36, 所以5< 26<6. 所以4< 26-1<5. 所以 326+1< 26-1. 7. 3-5-(5-2)=5-25. 因为4<5<6.25, 所以2<5<2.5. 所以4<25<5. 所以5-25>0. 所以3-5>5-2. 8. 19-2 3 - 2 3 = 19-2-2 3 = 19-4 3 . 因为42=16<19, 所以 19>4. 所以 19-4>0. 所以 19-4 3 >0. 所以 19-2 3 > 2 3. 9. 因为 5-2 3 ÷ 1 3=5-2<1 , 所以 5-2 3 < 1 3. 10. 因为 6-1 4 ÷ 1 2= 6-1 4 ×2= 6-1 2 <1 , 所以 6-1 4 < 1 2. 所以- 6-14 >- 1 2. 11. 因为 5 2>0 , 11 3 >0 , 5 2 2 = 5 4 , 11 3 2 =119 ,5 4= 45 36 ,11 9= 44 36 , 45 36> 44 36 , 所以 5 2 2 > 11 3 2 . 所以 5 2> 11 3 . 12. 因为(321)3=21, 3176 2 3 = 22,21<22, 所以 321< 3176 2 . 13. 因为 63<8,365>4, 所以 63-8<0,365-4>0. 所以 63-8 5 <0 , 365-4 13 >0. 所以 63-8 5 < 365-4 13 . 14. 因为 960 -1< 961 -1, 961=31, 所以 960 -1<30. 因为 842+1> 841+1, 841=29, 所以 842+1>30. 所以 960 -1< 842+1. 15. > [解析] 由算术平方根的性 质,得1-a≥0,1-a≥0,所以a- 2≤ -1.所以 1-a 是非负数, 3 a-2 是 负 数.所 以 1-a > 3 a-2. 16. 因为-1<a<0, 所以当a=-12 时,-a=12 ,1 a = -2,a2=14. 因为-2<-12< 1 4< 1 2 , 所以1 a<a<a 2<-a. 17. 在数轴上表示如图所示. 所以按从小到大的顺序排列为 -|-2|< 94<π<- (-4). (第17题) 第6章复习 ［知识体系构建］ ± a 正的 互为相反数 立方 负数 绝对值 ［高频考点突破］ 典例1 (1) 由题意,得(-4m-4)+ (12+2m)=0,解得m=4. 所以-4m-4=-4×4-4=-20. 所以x=(-20)2=400. (2) 因为x-8y的算术平方根是16, 所以x-8y=400-8y=162=256, 即400-8y=256,解得y=18. 所以x-y2-12=400-324-12= 64. 所以 x -y2 -12 的 平 方 根 为 ± 64=±8. [跟踪训练] 1. (1) 依题意,得a+ 3+2a-15=0,解得a=4. 所以x=(a+3)2=49. (2) 因为 2b-1=3, 所以2b-1=9,解得b=5. 所以a+b=9. 所以a+b的算术平方根为9=3. 典例2 (1) 由题意,得3m+1=52, 5n-m=33,解得m=8,n=7. 所以m-n=8-7=1. 因为(±1)2=1, 所以m-n的平方根为±1. (2) 因为16的算术平方根是4, 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 4