8.4 因式分解-【拔尖特训】2024-2025学年新教材七年级下册数学（沪科版2024）

60 8.4　因式分解 第1课时 提公因式法 ▶ “答案与解析”见P26 1. (2024·宿州萧县期末)下列各式从左到右的 变形中,属于因式分解的是 ( ) A. (x+y)(x-y)=x2-y2 B. a2+1=aa+1a C. 6ab=2a·3b D. 2mn2+mn=mn(2n+1) 2. (2024·渭南期末)下列代数式中,不能用提 公因式法分解因式的为 ( ) A. ac+bc B. 2x-4xy C. ax+y D. -x2+xy 3. (2024·宣城模拟)把-6x3y2-3x2y2+ 8x2y3分解因式时,应提取的公因式为( ) A. -3x2y2 B. -2x2y2 C. 6x2y2 D. -x2y2 4. 下列因式分解正确的是 ( ) A. a2b-2ab=a(ab-2b) B. -a2b+2ab=-ab(a+2) C. ab-ab2=ab(1-b2) D. -a2b+ab2=-ab(a-b) 5. 分解因式: (1) (2024·枣庄)x2y+2xy= . (2) 3m2n3-12m3n2= . (3) x(x-2)+(2-x)= . 6. (2023·深圳)已知实数a,b满足a+b=6, ab=7,则a2b+ab2= . 7. 分解因式: (1) -5x2y+25x2y2-40x3y. (2) 2m(m-n)2-8m2(n-m). 8. ★(2024·丹东期中)将5(a-b)+m(b-a) 提公因式后,一个因式为a-b,则另一个因 式为 ( ) A. 5-m B. 5+m C. m-5 D. -m-5 9. (2024·宝鸡期末)把多项式x2y5-xynz分 解因式时,提取的公因式为xy5,则n的值可 能为 ( ) A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 10. (2024·宿州埇桥期中)将多项式(m- n)3-m(m-n)2-n(n-m)2分解因式,结 果为 ( ) A. 2(m-n)3 B. 2m(m-n)2 C. -2n(m-n)2 D. 2(n-m)3 11. (2024·上海浦东期中)计算(-2)2023+ (-2)2024的结果为 ( ) A. 22023 B. -2 C. -22024D. -1 12. 化简9×3 n+2-3×3n+1 27×3n 的结果是 ( ) A. 3n-13 B. 3n+2 C. 2 3 D. 8 3 13. 若2a-b=0,则(2a+b)2-2b(2a+b)= . 14. 若a-2=b+c,则a(a-b-c)+b(b+c- a)-c(a-b-c)的值为 . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(沪科版)七年级下 61 15. 已知(2x-21)(3x-7)-(3x-7)(x-13) 可因式分解为(3x-a)(x-b),其中a,b均 为正整数,则a+3b的值为 . 16. (2024·德州期中)若实数x满足x2-2x- 1=0,则2x3-7x2+4x-2022= . 17. 用简便方法计算:29×20.21+72×20.21+ 13×20.21-20.21×14. 18. (2024·宿州埇桥期中)父亲今年x岁,儿子 今年y岁,父亲比儿子大26岁,并且x2- xy=1040.请你求出父亲和儿子今年各多 少岁. 19. 已知x,y满足(x+y)2=5,(x-y)2=41, 求x3y+xy3的值. 20. 试说明:对于任意的正整数n, 3n+2-2n+2+3n-2n 一定是10的 倍数. 21. (核心素养·推理能力)认真阅读 以下分解因式的过程,再回答所提 出的问题: 1+x+x(1+x)+x(1+x)2 =(1+x)[1+x+x(1+x)] =(1+x)[(1+x)(1+x)] =(1+x)3. (1) 上述分解因式的方法是 . (2) 分解因式:1+x+x(1+x)+x(1+ x)2+x(1+x)3. (3) 猜想:1+x+x(1+x)+x(1+ x)2+…+x(1+x)n 分解因式的结果是 . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第8章　整式乘法与因式分解 62 第2课时 公 式 法 ▶ “答案与解析”见P27 1. (2024·六安舒城期末)下列多项式中,能用 平方差公式进行因式分解的是 ( ) A. a2-b B. a2+2b2 C. 9a2-b2 D. -a2-b2 2. (2024·兰州模拟)把4b2-4ab+a2分解因 式正确的是 ( ) A. 4b(b-a)+a2 B. (2b-a)2 C. (2b-a)(2b-a)D. (2b+a)2 3. 下列分解因式正确的是 ( ) A. 3x+3y+3=3(x+y) B. x2+x+14=x+ 1 2 2 C. -x2+y2=(x+y)(x-y) D. x2-4y2=(x-4y)(x+4y) 4. 分解因式: (1) (2024·无锡)x2-9= . (2) (2024·常州)x2-4xy+4y2= . (3) (2024·威海)(x+2)(x+4)+1= . (4) (2024·安庆二模)(x+y)2-6(x+y- 1)+3= . 5. 分解因式: (1) a2-2a(b-c)+(b-c)2. (2) (x-1)2+2(x-5). (3) 4x(x-3y)+9y2. 6. 已知4x2+kx+9可以用完全平方公式进行 因式分解,则k的值为 ( ) A. 6 B. ±6 C. 12 D. ±12 7. 若多项式x2-ax+4能分解因式为(x- m)2,则a+m的值是 ( ) A. ±6 B. ±4 C. ±2 D. 8 8. 若(a-b-2)2+|a+b+3|=0,则a2-b2的 值是 ( ) A. -1 B. 1 C. 6 D. -6 9. 计算1252-50×125+252的结果为 ( ) A. 100 B. 150 C. 10000 D. 22500 10. 某同学粗心大意,在分解因式时,把x4- =(x2+4)(x+2)(x- )中的两个数弄 污了,则式子中的 , 覆盖的一组数是 ( ) A. 8,1 B. 16,2 C. 24,3 D. 64,8 11. (2024·宣城期末)分解因式:(x2+4)2- 16x2= . 12. (2023·滁州南谯一模)若a+b=4,a-b= 1,则(a+1)2-(b-1)2的值为 . 13. (2024·汕尾模拟)若x+y+z=2,x2- (y+z)2=8,则x-y-z= . 14. 已知a2-2a+b2-4b+5=0,则(a- b)2023= . 15. 分解因式: (1) (a2-a)2-(1-a)2. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(沪科版)七年级下 63 (2) (a2+1)2-4(a2+1)+4. (3) 9(a-b)2+12(a2-b2)+4(a+b)2. 16. 先分解因式,再求值:(2a+3b)2-(4a+ 6b)(5b-4a)+(4a-5b)2,其中b-3a=12. 17. (2024·亳州利辛期末)阅读材料: 利用公式法,可以将一些形如ax2+bx+c (a≠0)的多项式变形为a(x+m)2+n的 形式,我们把这样的变形方法叫作配方法, 运用配方法及平方差公式能对一些多项式 进行因式分解.例如:x2+4x-5=x2+2× 2x+22-22-5=(x+2)2-9=(x+2+ 3)(x+2-3)=(x+5)(x-1),即x2+ 4x-5=(x+5)(x-1). 根据以上材料,解答下列问题: (1) 分解因式:x2-2x-15. (2) 已知a,b,c是三角形ABC的三边长, 且满足a2+b2+c2+61=6a+8b+12c,求 三角形ABC的周长. 18. 已知多项式4x2+1与一个单项式 的和是一个整式,且可以用完全平 方公式进行因式分解,则加上的这 个单项式为 . 19. (核心素养·推理能力)(2024·合 肥庐阳期中)发现:两个正整数之 和与这两个正整数之差的平方差 一定是4的倍数. (1) (3+1)2-(3-1)2= . (2) 设两个正整数为m,n,请验证“发现”中 的结论是否正确. (3) 请说明当两个正整数m,n同为偶数或 同为奇数时,这两个数的积可以表示为两个 整数的平方差. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第8章　整式乘法与因式分解 64 第3课时 提公因式法与公式法的综合应用 ▶ “答案与解析”见P28 1. (2024·云南)将a3-9a分解因式的结果为 ( ) A. a(a-3)(a+3) B. a(a2+9) C. (a-3)(a+3) D. a2(a-9) 2. 多项式2x3-4x2+2x可分解因式为 ( ) A. 2x(x-1)2 B. 2x(x+1)2 C. x(2x-1)2 D. x(2x+1)2 3. 下列因式分解正确的是 ( ) A. a3-4a=a(a-2)2 B. 4a3-a=4a(a+1)(a-1) C. 4a3+2a2+a=a(2a+1)2 D. 4a3+4a-8a2=4a(a-1)2 4. 分解因式: (1) (2024·绥化)2mx2-8my2= . (2) (2024·达州)3x2-18x+27= . 5. (2023·滁州明光二模)分解因式:4(m- n)m2+(n-m)n2= . 6. (2023·合肥期末)若a+b=3,ab=-1,则 代数式a3b+2a2b2+ab3的值为 . 7. 分解因式: (1) 32x3-18xy2. (2) 3x2y-6xy+3y. (3) 5x2+6y-15x-2xy. (4) 9x2-y2-4y-4. 8. 多项式mx2-m 与多项式x2-2x+1的公 因式为 ( ) A. x-1 B. x+1 C. x2-1 D. (x-1)2 9. 若m>-1,则多项式m3-m2-m+1的 值为 ( ) A. 正数 B. 负数 C. 非负数D. 非正数 10. 小宇是一名密码编译爱好者,在他的密码手 册中有这样一条信息:x-1,a-b,3,x2+ 1,a,x+1分别对应徽、爱、我、美、游、安.现 将3a(x2-1)-3b(x2-1)分解因式,结果 呈现的密码信息可能是 ( ) A. 我爱游 B. 爱安徽 C. 我爱安徽 D. 美我安徽 11. 多项式x2-10xy+25y2+2(x-5y)-8分 解因式的结果是 ( ) A. (x-5y+1)(x-5y-8) B. (x-5y+4)(x-5y-2) C. (x-5y-4)(x-5y-2) D. (x-5y-4)(x-5y+2) 12. 分解因式:ax 2 4 +ax+a= . 13. 分解因式:x2-2xy+y2-2x+2y+1= . 14. 若y=x-2,则x2-1+y2-2xy= . 15. 若m2=n+2024,n2=m+2024(m≠n), 则代数式m3-2mn+n3的值为 . 16. 分解因式: (1) x3+6x2+11x+6. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(沪科版)七年级下 65 (2) a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b). 17. 给出三个多项式:① 2x2+4x-4;② 2x2+ 12x+4;③ 2x2-4x.请你把其中任意两个 多项式进行加法运算(写出所有可能的结 果),并把每个结果因式分解. 18. (核心素养·创新意识)阅读材料: 分解因式:(x+y)2+2(x+ y)+1. 解:将“x+y”看成整体,令x+y=A,则原 式=A2+2A+1=(A+1)2. 再将“A”还原,得原式=(x+y+1)2. 上述解题过程用到的是“整体思想”,整体思 想是数学解题中常用的一种思想方法,请你 解答下列问题: (1) 分解因式:1+2(2x-y)+(2x-y)2= . (2) 分解因式:(a+b)(a+b-6)+9. (3) 试说明:若n为正整数,则代数式(n+ 1)(n+4)(n2+5n)+4的值一定是某一个 整数的平方. 19. (2024·安庆桐城期末)常用的分 解因式方法有提公因式法、公式法 等,但有的多项式只用上述方法无 法分解,如:x2-4y2+2x-4y,细心观察这 个式子会发现前两项符合平方差公式,后两 项可提取公因式,分解过程如下: x2-4y2+2x-4y=(x2-4y2)+ (2x-4y)…分组 =(x+2y)(x-2y)+2(x-2y)…组内 分解因式 =(x-2y)(x+2y+2)…整体思想提公 因式 这种分解因式的方法叫作分组分解法,利用 这种方法解决下列问题. (1) 分解因式:16x2-8x+2y-y2. (2) 已知a, b, c满足a2-2 ac+ c2= ab- bc,且a≠c,试判断a,b,c之间的数量关 系,并说明理由. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第8章　整式乘法与因式分解 62=81-36=45=3×15,所以(6+ 3)2-62的结果是3的15倍. (2) 由题意,得偶数为2n,比偶数大3 的数为2n+3. 所以(2n+3)2-(2n)2=(2n+3+ 2n)(2n+3-2n)=3(4n+3). 因为4n+3为整数, 所以3(4n+3)能被3整除. (3) 余数为3. 理由:设这个整数为n,则比n大3的 数为n+3. 所以(n+3)2-n2=(n+3+n)(n+ 3-n)=6n+9=6(n+1)+3. 所以6(n+1)+3被6整除余3,即余 数为3. 第3课时 乘法公式的灵活应用 1. C 2. D 3. 497 4. -4 [解析] 1+x-1x · 1-x+1x = 1+ x-1x 1- x-1x =1- x-1x 2 .因为 x+1x=3 ,所以 x+1x 2 =9.所以 x-1x 2 = x+1x 2 -4=9-4= 5.所以 1+x-1x 1-x+1x = 1- x-1x 2 =1-5=-4. 5. (1) 原式= 1-14x 2 2=1- 1 2x 2+116x 4. (2) 原式=(2c-4a+3b)(2c-4a- 3b)=(2c-4a)2-(3b)2=4c2- 16ac+16a2-9b2. (3) 原式=(2y-3x)(2y-3x)2= (2y-3x)(4y2-12xy+9x2)= 8y3-24xy2 +18x2y -12xy2 + 36x2y -27x3 =8y3 -36xy2 + 54x2y-27x3. 6. B [解析] 因为将(2020x+ 2021)2 展开后得到多项式a1x2+ b1x+c1,所以a1=20202.因为将 (2021x-2020)2展开后得到多项式 a2x2+b2x+c2,所以a2=20212.所 以 a1 -a2 =20202 -20212 = (2020+2021)×(2020-2021)= -4041. 7. A [解析] (a-c+b)2=a2+ b2+c2-2ac-2bc+2ab=21①,(a+ c+b)2=a2+b2+c2+2ac+2bc+ 2ab=2023②.由①+②,得2(a2+ b2+c2)+4ab=2044.所以a2+b2+ c2+2ab=1022. 8. 112 [解析] 由所给四组式子的系 数规律,可得接下来的三组等式的左 边式子的指数分别为6,7,8,右边式 子各项的系数分别为1,6,15,20,15, 6,1;1,7,21,35,35,21,7,1;1,8,28, 56,70,56,28,8,1.故(2x-1)8 的展 开式中含x2 项的系数为28×22× (-1)6=112. 9. (1) 原式=[x-(2y-1)][x+ (2y-1)]-[x+(2y+1)][x- (2y+1)]=[x2-(2y-1)2]-[x2- (2y+1)2]=(2y+1)2-(2y-1)2= (2y+1+2y-1)(2y+1-2y+1)= 4y×2=8y. (2) 原式=[2a+(3b-1)][2a- (3b-1)]+[2a-(3b-1)]2=4a2- (3b-1)2+4a2-4a(3b-1)+(3b- 1)2=8a2-4a(3b-1)=8a2- 12ab+4a. 10. (1) 平方差公式;完全平方公式. (2) 原式=[(a-b)+(2x-y)]· [(a-b)-(2x-y)]=(a-b)2- (2x-y)2=a2-2ab+b2-4x2+ 4xy-y2. 11. 【探究】 (a+b)(a-b)=a2-b2. 【应用】 (1) 20222-2024×2020= 20222-(2022+2)(2022-2)= 20222-20222+4=4. (2) 1-122 1-132 1-142 ×…× 1-192 1-1102 = 1-12 × 1+12 1-13 1+13 1-14 × 1+14 ×…× 1-19 1+19 × 1-110 1+110 =12×32×23× 4 3× 3 4× 5 4× …×89× 10 9× 9 10× 11 10= 1 2× 11 10= 11 20. 12. (1) a2+3ab+2b2. (2) ① (a+b+c)2=a2+c2+b2+ 2(ab+bc+ac). ② 因为a+b+c=11,ab+bc+ ac=38, 所以a2+b2+c2=(a+b+c)2- 2(ab+bc+ac)=112-2×38=45. 8.4　因式分解 第1课时 提公因式法 1. D 2. C 3. D 4. D 5. (1) xy(x+2) (2) 3m2n2(n- 4m) (3) (x-2)(x-1) 6. 42 [解析] 因为a+b=6,ab=7, 所以a2b+ab2=ab(a+b)=7× 6=42. 7. (1) 原式=-5x2y(1-5y+8x). (2) 原式=2m(m-n)[(m-n)+ 4m]=2m(m-n)(5m-n). 8. A [解析] 因为5(a-b)+m(b- a)=(a-b)(5-m),所以公因式为 a-b.所以提公因式后,余下的部分 为5-m. 在提公因式时,常出现符号错误 用提公因式法分解因式时,在 提公因式后,确定余下的因式常出 现符号错误.一般先确定好公因 式,把公因式提出来,再对各项余 下的因式进行变形、化简、计算,确 定余下的因式. 9. A [解析] 因为把多项式x2y5- xynz分解因式时,提取的公因式为 xy5,则n≥5且n是正整数,所以n 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 62 的值可能为6. 10. C [解析] (m-n)3-m(m- n)2-n(n-m)2=(m-n)2[(m- n)-m-n]=-2n(m-n)2. 11. A [解析] (-2)2023+(-2)2024= (-2)2023×[1+(-2)]=-22023× (-1)=22023. 12. D [解析] 原式= 9×32×3n-32×3n 3×32×3n = (9-1)×(32×3n) 3×(32×3n) = 9-1 3 = 8 3. 13. 0 14. 4 15. 31 [解析] (2x-21)(3x-7)- (3x-7)(x-13)=(3x-7)[(2x- 21)-(x-13)]=(3x-7)(x-8).因 为(2x-21)(3x-7)-(3x-7)(x- 13)可因式分解为(3x-a)(x-b),所 以(3x-7)(x-8)=(3x-a)(x- b).所以a=7,b=8.所以a+3b= 7+3×8=31. 16. -2025 [解析] 因为x2-2x- 1=0,所以x2-2x=1.所以2x3- 7x2+4x-2022=2x3-4x2-3x2+ 4x-2022=2x(x2-2x)-3x2+ 4x-2022=2x×1-3x2+4x- 2022= -3x2 +6x -2022= -3(x2-2x)-2022= -3- 2022=-2025. 17. 原式=20.21×(29+72+13- 14)=20.21×100=2021. 18. 由题意,得x-y=26. 因为x2-xy=x(x-y)=1040, 所以26x=1040,解得x=40. 所以y=40-26=14. 所以父亲和儿子今年分别是40岁、 14岁. 19. 因为(x+y)2=5,(x-y)2=41, 所以(x+y)2+(x-y)2=46. 所以x2+2xy+y2+x2-2xy+y2= 46,即2(x2+y2)=46. 所以x2+y2=23. 因为(x+y)2-(x-y)2=-36, 所以x2+2xy+y2-x2+2xy- y2=-36. 所以4xy=-36,即xy=-9. 所以x3y+xy3=xy(x2+y2)= -9×23=-207. 20. 因为3n+2-2n+2+3n -2n = 3n+2+3n-2n+2-2n=3n(32+1)- 2n(22+1)=10×3n-10×2n-1= 10×(3n-2n-1), 所以对于任意的正整数n,3n+2- 2n+2+3n-2n 一定是10的倍数. 21. (1) 提公因式法. (2) 1+x+x(1+x)+x(1+x)2+ x(1+x)3=(1+x)[1+x+x(1+ x)+x(1+x)2]=(1+x)(1+x)· [1+x+x(1+x)]=(1+x)(1+ x)(1+x)(1+x)=(1+x)4. (3) (1+x)n+1. 第2课时 公 式 法 1. C 2. B 3. B 4. (1) (x+3)(x-3) (2) (x- 2y)2 (3) (x+3)2 (4) (x+y- 3)2 5. (1) 原式=[a-(b-c)]2=(a- b+c)2. (2) 原式=x2-2x+1+2x-10= x2-9=(x+3)(x-3). (3) 原式=4x2-12xy+9y2=(2x- 3y)2. 6. D 7. A 8. D 9. C 10. B [解析] 由(x2+4)(x+2)· (x-▲),易得▲覆盖的数为2.所以 (x2+4)(x+2)(x-2)=(x2+ 4)(x2-4)=x4-16.所以 ■ 覆盖的 数为16. 11. (x+2)2(x-2)2 [解析] 原 式=(x2+4+4x)(x2+4-4x)= (x+2)2(x-2)2. 12. 12 [解析] 因为a+b=4,a- b=1,所以(a+1)2-(b-1)2=(a+ 1+b-1)(a+1-b+1)=(a+ b)(a-b+2)=4×(1+2)=12. 13. 4 [解析] 因为x2-(y+z)2= 8,所以(x-y-z)(x+y+z)=8.因 为x+y+z=2,所以x-y-z=8÷ 2=4. 14. -1 [解析] 由a2-2a+b2- 4b+5=0,得a2-2a+1+b2-4b+ 4=0.所以(a-1)2+(b-2)2=0.所 以易得a-1=0,b-2=0,解得a= 1,b =2.所 以 (a -b)2023 = (-1)2023=-1. 15. (1) 原式=a2(a-1)2-(a- 1)2=(a2-1)(a-1)2=(a+1)(a- 1)(a-1)2=(a+1)(a-1)3. (2) 原式=(a2+1-2)2=(a2- 1)2=(a+1)2(a-1)2. (3) 原式=[3(a-b)]2+2×3(a- b)×2(a+b)+[2(a+b)]2=[3(a- b)+2(a+b)]2=(5a-b)2. 16. 原式=(2a+3b)2-2(2a+ 3b)(5b-4a)+(5b-4a)2=[2a+ 3b-(5b-4a)]2=(6a-2b)2= 4(3a-b)2. 因为b-3a=12 , 所以3a-b=-12. 所以原式=4× -12 2 =1. 17. (1) 原式=x2-2x+1-15-1= (x-1)2-16=(x-1+4)(x-1- 4)=(x+3)(x-5). (2) 因为a2+b2+c2+61=6a+ 8b+12c, 所以a2+b2+c2+61-6a-8b- 12c=0. 所以a2-6a+9+b2-8b+16+c2- 12c+36=0,即(a-3)2+(b-4)2+ (c-6)2=0. 所以a-3=0,b-4=0,c-6=0,解 得a=3,b=4,c=6. 所以三角形ABC 的周长为a+b+ c=3+4+6=13. 18. 4x或-4x或-1或-4x2或4x4 19. (1) 12. (2) 由题意,得(m+n)2-(m-n)2= (m+n+m-n)(m+n-m+n)= 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 72 2m×2n=4mn, 又因为m,n为正整数, 所以(m+n)2-(m-n)2 能被4 整除. 所以两个正整数之和与这两个正整数 之差的平方差一定是4的倍数的结论 正确. (3) 由(2),得4mn=(m+n)2-(m- n)2, 所以mn= m+n2 2 - m-n2 2 . 因为正整数m,n 同为偶数或同为 奇数, 所以m+n,m-n同为偶数. 所以m+n 2 ,m-n 2 都是整数. 所以mn可以表示为两个整数的平 方差. 第3课时 提公因式法 与公式法的综合应用 1. A 2. A 3. D 4. (1) 2m(x+ 2y)(x-2y) (2) 3(x-3)2 5. (m-n)(2m-n)(2m+n) 6. -9 [解析] a3b+2a2b2+ab3= ab(a2+2ab+b2)=ab(a+b)2.因为 a+b=3,ab=-1,所以原式=-1× 32=-9. 7. (1) 原式=2x(16x2-9y2)= 2x(4x-3y)(4x+3y). (2) 原式=3y(x2-2x+1)=3y(x- 1)2. (3) 原式=(5x2-15x)-(2xy- 6y)=5x(x-3)-2y(x-3)=(x- 3)(5x-2y). (4) 原式=9x2-(y2+4y+4)= (3x)2-(y+2)2=(3x+y+2)· [3x-(y+2)]=(3x+y+2)(3x- y-2). 8. A 9. C 10. C [解析] 3a(x2-1)-3b(x2- 1)=3(a-b)(x2-1)=3(a-b)(x+ 1)(x-1).因为x-1,a-b,3,x2+ 1,a,x+1分别对应徽、爱、我、美、游、 安,所以结果呈现的密码信息可能是 我爱安徽. 11. B [解析] x2-10xy+25y2+ 2(x-5y)-8=(x-5y)2+2(x- 5y)-8=(x-5y+4)(x-5y-2). 12. 1 4a (x+2)2 13. (x-y-1)2 14. 3 [解析] x2-1+y2-2xy= (x2-2xy+y2)-1=(x-y)2-1= (x-y+1)(x-y-1).因为y=x- 2,所以x-y=2.所以原式=(2+ 1)×(2-1)=3. 15. -2024 [解析] 因为m2=n+ 2024,n2=m+2024(m≠n),所以 m2-n2=n-m,即(m+n)(m- n)=n-m.因为m≠n,所以m+ n=-1.因为m2=n+2024,n2= m+2024,所以m2-n=2024,n2- m=2024.所以原式=(m3-mn)+ (n3-mn)=m(m2-n)+n(n2- m)=2024m+2024n=2024(m+ n)=-2024. 16. (1) 原式=x3+6x2+9x+2x+ 6=x(x+3)2+2(x+3)=[x(x+ 3)+2](x+3)=(x2+3x+2)(x+ 3)=(x2+x+2x+2)(x+3)= [x(x+1)+2(x+1)](x+3)=(x+ 1)(x+2)(x+3). (2) 原式=a2b-a2c+b2c-b2a+ c2a-c2b=(b-c)a2+(c2-b2)a+ bc(b-c)=(b-c)[a2-(b+c)a+ bc]=(b-c)(a2-ab-ac+bc)= (b-c)[a(a-b)-c(a-b)]=(b- c)(a-b)(a-c). 17. 由①+②,得2x2+4x-4+ 2x2+12x+4=4x2+16x=4x(x+ 4);由①+③,得2x2+4x-4+2x2- 4x=4x2-4=4(x+1)(x-1);由 ②+③,得2x2+12x+4+2x2- 4x=4x2+8x+4=4(x2+2x+1)= 4(x+1)2. 18. (1) (1+2x-y)2. (2) 原式=(a+b)2-6(a+b)+9= (a+b-3)2. (3) 原式=(n2+5n+4)(n2+5n)+ 4=(n2+5n)2+4(n2+5n)+4. 将“n2+5n”看成整体,令n2+5n= A,则原式=A2+4A+4=(A+2)2. 再将“A”还原,得原式=(n2+5n+ 2)2. 因为n为正整数, 所以n2+5n+2也为正整数. 所以代数式(n+1)(n+4)(n2+ 5n)+4的值一定是某一个整数的 平方. 19. (1) 16x2 -8x+2y-y2 = (16x2-y2)-(8x-2y)=(4x+y)· (4x-y)-2(4x-y)=(4x-y)· (4x+y-2). (2) a=b+c. 理由:因为a2-2ac+c2=ab-bc, 所以a2-2ac+c2-ab+bc=0. 所以(a-c)2-b(a-c)=0. 所以(a-c)(a-c-b)=0. 所以a-c=0或a-c-b=0. 因为a≠c, 所以a=b+c. 第8章复习 ［知识体系构建］ am+n 相加 amn 相乘 anbn 积 am-n 相减 1 1 1 ap 倒数 10-n 相加 na+nb+nc 相加 am+bm+an+bn a2±2ab+b2 a2-b2 m(a+b+c) (a±b)2 (a+b)(a-b) ［高频考点突破］ 典例1 C [跟踪训练] 1. A 典例2 (1) 因为5a=2, 所以52a=(5a)2=22=4. (2) 因为5a=2,5b=9, 所以53a-2b =53a ÷52b =(5a)3÷ (5b)2=23÷92=881. [跟踪训练] 2. C [解析] 因为 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 82