8.3 完全平方公式与平方差公式-【拔尖特训】2024-2025学年新教材七年级下册数学（沪科版2024）

52 8.3　完全平方公式与平方差公式 第1课时 完全平方公式 ▶ “答案与解析”见P23 1. 计算(x+2y)2的结果为 ( ) A. x2+4xy+4y2 B. x2+2xy+4y2 C. x2+4xy+2y2 D. x2+4y2 2. (2024·常德模拟)我们在学习许多代数公式 时,可以用几何图形来推理验证,观察下列图 形,可以推出公式(a-b)2=a2-2ab+b2 的是 ( ) A. B. C. D. 3. 下列运用乘法公式计算正确的是 ( ) A. (2x-1)2=4x2-2x+1 B. (y-2x)2=4x2-4xy+y2 C. (a+5b)2=a2+5ab+25b2 D. (x+2y)2=x2+4xy+2y2 4. 如果多项式x2+mx+36=(x+n)2是完全 平方公式,那么m= . 5. 计算: (1) 1 2m-4 2 . (2) (-2a+3)(3-2a). (3) -4x-12y 2 . (4) (2x-y+3z)2. 6. (2024·聊城期末)已知a-1a=5 ,则a2+1 a2 的值是 ( ) A. 27 B. 25 C. 23 D. 7 7. 已知(m-n)2=20,(m+n)2=400,则m2+ n2的值为 ( ) A. 201 B. 210 C. 402 D. 420 8. 若a+b=-3,ab=-10,则a-b的值是 ( ) A. 0或7 B. 0或-13 C. -7或7 D. -13或13 9. (2024·舟山期末)将边长为a 的正方形 ABCD与边长为b的正方形DEFG 按如图 所示的方式摆放,点A,D,G 在同一条直线 上.已知a+b=12,ab=22,则图中涂色部分 的面积为 ( ) (第9题) A. 28 B. 39 C. 61 D. 68 10. (2024·六安金安一模)已知a,b,c是互不 相等的三个实数,且a=2b-c,则下列结论 正确的是 ( ) A. b2-ac>0 B. b2-ac=0 C. b2-ac<0 D. b2-ac≥0 11. (2024·乐山)已知a-b=3,ab=10,则 a2+b2= . 12. 已知(2021-x)2+(x-2020)2=2019,则 (2021-x)(x-2020)的值是 . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(沪科版)七年级下 53 13. ★先化简,再求值:(x+2y)2-(x-y)2- 3y2+1,其中x=-1,y= 1 3. 14. (2024·合肥庐阳期中)已知x+y=3, xy=-1,试求下列代数式的值: (1) x2+y2. (2) x-y. 15. 阅读材料,并解答问题. 利用完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2, 可对a2+b2进行适当的变形,如a2+b2= (a+b)2-2ab或a2+b2=(a-b)2+2ab, 从而使某些问题得到解决. 例:已知a+b=5,ab=3,求a2+b2的值. 解:a2+b2=(a+b)2-2ab=52-2×3= 19. (1) 已知a+1a=6 ,求a2+1 a2 的值. (2) 已知a-b=2,ab=3,求a4+b4的值. 16. (2024·六安霍邱二模)已知a,b 为实数,且满足ab>0,a+b-2= 0.当a-b的值为整数时,ab的 值为 ( ) A. 3 4 或1 2 B. 1 4 或1 C. 3 4 或1 D. 1 4 或3 4 17. (核心素养·几何直观)(2024·合 肥瑶海期中)有两类正方形A,B, 其边长分别为a,b(a>b),现将B 放在A的内部得到甲图,将A,B并列放置 后构造新的正方形得到乙图,已知甲图和乙 图中涂色部分的面积分别为4和16. (1) 用含a,b的代数式分别表示甲图中涂 色部分的面积为 ,乙图中涂色部分 的面积为 . (2) 求正方形A,B的面积之和. (3) 将三个正方形A和两个正方形B按如 图丙所示的方式摆放,求涂色部分的面积. (第17题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第8章　整式乘法与因式分解 54 　　专题特训（五）　完全平方公式的变形及其应用▶ “答案与解析”见P24 类型一 变形:a2+b2=(a+b)2+(-2ab) 1. (2024·丹东东港期末)若m+n=10,mn= 5,则m2+n2的值为 ( ) A. 60 B. 80 C. 90 D. ±100 2. (2023·重庆璧山期末)已知a+b=5, ab=-2,则a2-ab+b2的值是 ( ) A. 30 B. 31 C. 32 D. 33 3. (2024·汉中期末)如图,长方形ABCD 的周 长是20cm,分别以AB,BC为边向外作正方 形ABGH 和正方形BCEF.如果正方形 ABGH 和正方形BCEF 的面积之和为 50cm2,那么长方形ABCD的面积是 ( ) (第3题) A. 24cm2B. 25cm2C. 28cm2D. 30cm2 4. (2024·株洲期末)若|x+y-5|+(xy- 6)2=0,则x2+y2的值为 . 5. (2024·东营河口模拟)已知m2-3m+1= 0,则m2+1 m2 = . 6. (2024·重庆沙坪坝期末)已知直角三角形两 直角边的长分别为a,b,且a+b=6,a2+ b2=32,则该三角形的面积是 . 7. 已知x+y=6,xy=3,求下列各式的值. (1) x2+y2. (2) x2+4xy+y2. (3) x4+y4. 类型二 变形:a2+b2=(a-b)2+2ab 8. (2024·佛山期末)已知a-b=1,a2+b2= 25,则ab的值为 ( ) A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 9. (2024·宝鸡期末)已知xy=9,x-y=-3, 则x2+3xy+y2的值为 ( ) A. 27 B. 9 C. 54 D. 18 10. (2024·安庆大观期末)某中学开 展以“杭州亚运会”为主题的学科 活动,要求设计几何图形作品来表 达对亚运会的祝福.如图,小冬以长方形 ABCD 的四条边为边分别向外作四个正方 形,设计出“中”字图案.若长方形ABCD 的 相邻两边的长之差为8,且四个正方形的面 积和为160,则长方形ABCD的面积是 ( ) (第10题) A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 11. (2024·成都模拟)若ab=7,a2+b2=22,则 (a-b)2+2016= . 类型三 变形:(a-b)2=(a+b)2+(-4ab) 12. (2024·贵港期末)若a+b=5,ab=-1,则 (a-b)2的值为 ( ) A. 25 B. 1 C. 21 D. 29 13. (2024·淄博期末)若m,n是长方形的长和 宽,且(m+n)2=9,(m-n)2=1,则这个长 方形的面积是 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 6 14. (2024·苏州期中)若(x+2y)2=(x- 2y)2+A,则代数式A为 . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(沪科版)七年级下 55 15. (2024·咸阳期中)已知(x+y)2=49,xy= 2,求(x-y)2-xy的值. 类型四 变形:(a+b)2+(a-b)2=2(a2+b2) 16. (2024·潍坊段考)若(x+y)2=1,(x- y)2=49,则x2+y2的值为 ( ) A. -25 B. 24 C. 25 D. 50 17. (2024·茂名段考)若a-b=2,a2+b2=7, 则a+b的值为 ( ) A. ±2 B. ±7 C. ± 10 D. ±5 18. 已知实数a,b满足a+b=1,a2+b2=2,求 a-b的值. 类型五 多种变形的综合应用 19. (2024·景德镇期中)数学活动课 上,老师准备了若干张如图①所示 的三种纸片,A种纸片是边长为 a的正方形,B种纸片是边长为b的正方 形,C种纸片是长为b、宽为a的长方形,并 用一张A种纸片,一张B种纸片,两张C种 纸片拼成如图②所示的大正方形. (1) 若要拼出一个面积为(a+3b)(2a+b) 的长方形,则需要A种纸片 张, B种纸片 张,C种纸片 张. (2) 观察图②,请你写出(a+b)2,a2+b2, ab之间的等量关系: . 根据得出的等量关系,解决问题:已知 (2021-x)2+(2023-x)2=2024,求 (2021-x)(2023-x)的值. (3) 将正方形ABCD 和正方形AEFG按如 图③所示的方式摆放,两个正方形的边长分 别为x,y.若x2+y2=52,BE=2,求图中 涂色部分的面积和. (第19题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第8章　整式乘法与因式分解 56 第2课时 平方差公式 ▶ “答案与解析”见P25 1. (2024·合肥庐阳期中)下列多项式的乘法 中,可以用平方差公式计算的是 ( ) A. (a+b)(b+a) B. (-a+b)(a-b) C. 1 3a-b b+13a D. (a2-b)(b2-a) 2. (2024·威海期末)若A(-b-2a)=4a2- b2,则代数式A为 ( ) A. -b+2a B. b+2a C. b-2a D. -b-2a 3. 下列计算正确的是 ( ) A. (5-m)(5+m)=m2-25 B. (1-3m)(1+3m)=1-3m2 C. (-4-3n)(-4+3n)=-9n2+16 D. (2ab-n)(2ab+n)=4ab2-n2 4. 计算:20232-2022×2024= . 5. (2024·凉山)已知a2-b2=12,且a-b= -2,则a+b= . 6. ★计算: (1) (2024·阜阳临泉期末)(x-2y)(x+ 2y)-x(x-y). (2) (2024·淮北期末)(2m-1)2-(2m+ 1)(2m-1). 7. (2024·宿州期中)将2024×2026变形正确 的是 ( ) A. 20252-1 B. 20252+1 C. 20252+2×2025+1 D. 20252-2×2025+1 8. 计算(x+1)(x2+1)(x-1)的结果是( ) A. x4+1 B. (x+1)4 C. x4-1 D. (x-1)4 9. 已知x2-4y2=4,则计算(x-2y)2(x+ 2y)2的结果是 ( ) A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 10. 如果一个正整数能表示为两个连续奇数的 平方差,那么称这个正整数为“创新数”.例 如:8=32-12,16=52-32,所以8,16都是 “创新数”.下列整数是“创新数”的为( ) A. 20 B. 22 C. 26 D. 24 11. (2024·合肥包河期中)如果(3m+2)(3m- 2)=77,那么m的值为 . 12. 定义运算: a b c d =ad-bc,等式右边为通 常的混合运算,则 x+1 1-x 1-x x+1 = . 13. (2024·徐州期中)计算:1+12 × 1+122 1+124 1+128 1+1216 + 1 231= . 14. 从前,某位庄园主人把一块边长为am(a> 8)的正方形土地租给租户,第二年,他对租 户说:“我把这块地的一边长增加8m,相邻 的另一边长减少8m,变形成长方形土地继 续租给你,租金不变,你也没有吃亏,你看如 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(沪科版)七年级下 57 何?”若是这样,你觉得租户吃亏了吗? 通过 计算说明你的结论. 15. 有一道题:“先化简,再求值:(2a+1)· (2a-1)+(a-2)2-4(a+1)(a-2),其中 a=2”.小明在解题时错误地把a=2抄成 了a=-2,但计算的结果是正确的,你能解 释一下这是怎么回事吗? 16. (2024·邯郸期末)【观察】 (2+ 3)2-22=7×3;(4+3)2-42= 11×3. 【猜想】 比任意一个偶数大3的数与此偶数 的平方差能被3整除. 【验证】 (1) (6+3)2-62的结果是3的 倍. (2) 设偶数为2n,试说明比2n大3的数与 2n的平方差能被3整除. 【延伸】 (3) 比任意一个整数大3的数与此整数的 平方差被6整除的余数是几? 请说明理由. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第8章　整式乘法与因式分解 58 第3课时 乘法公式的灵活应用 ▶ “答案与解析”见P26 1. 为了运用平方差公式计算(x+2y-1)(x- 2y+1),下列变形正确的是 ( ) A. [x-(2y+1)]2 B. [x+(2y+1)]2 C. [x-(2y-1)][x+(2y-1)] D. [(x-2y)+1][(x-2y)-1] 2. 对于一个图形,通过两种不同的方法计算它 的面积,可以得到一个数学等式.例如:利用 图①可以得到a(a+b)=a2+ab.利用图② 可以得到的数学等式为 ( ) (第2题) A. (a+b+c)2=a2+b2+c2 B. (a+b+c)2=2a2+2b2+2c2 C. (a+b+c)2=a2+b2+c2+ab+bc+ca D. (a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+ 2bc+2ca 3. (2024·广州模拟)已知实数a,b满足(a- b)2=15,ab=4,则a4+b4的值为 . 4. (2024·郴州期末)如果x+1x=3 ,那么 1+x-1x 1-x+1x 的值为 . 5. 计算: (1) 1+12x 2 1-12x 2 . (2) (3b-4a+2c)(2c-4a-3b). (3) (2y-3x)3. 6. 小宇将(2020x+2021)2展开后得到多项式 a1x2+b1x+c1,小明将(2021x-2020)2展 开后得到多项式a2x2+b2x+c2.若两人计 算过程无误,则a1-a2的值为 ( ) A. -1 B. -4041 C. 4041 D. 1 7. 若(a-c+b)2=21,(a+c+b)2=2023,则 a2+b2+c2+2ab的值是 ( ) A. 1022 B. 2002 C. 2023 D. 2040 8. 观察下列各式及其展开式: (a+b)2=a2+2ab+b2; (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3; (a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4; (a+b)5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+ 5ab4+b5; … 请你猜想(2x-1)8的展开式中含x2项的系 数是 . 9. 计算: (1) (x-2y+1)(x+2y-1)-(x+2y+ 1)(x-2y-1). (2) (2a+3b-1)(1+2a-3b)+(1+2a- 3b)2. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(沪科版)七年级下 59 10. 阅读材料,并解答问题. 例:计算(a-2b+3)(a+2b-3). 解:原式=[a-(2b-3)][a+(2b-3)]① =a2-(2b-3)2② =a2-4b2+12b-9③. (1) 例题求解过程中,利用了整体思想,其 中①→②的变形依据是 ,②→③ 的变形依据是 (填整式乘法公 式的名称). (2) 计算:(a+2x-y-b)(a-2x+y-b). 11. (核心素养·运算能力)(2024·邢 台期末)【探究】 如图①,在边长为 a的大正方形纸片中裁下一个边长 为b的小正方形(a>b)得到涂色部分,再把 涂色部分剪拼成一个长方形(如图②).通过 观察比较图②与图①中的涂色部分面积,可 以得到乘法公式: (用含a,b 的等式表示). 【应用】 计算: (1) 20222-2024×2020. (2) 1-122 1-132 1-142 … 1-192 × 1-1102 . (第11题) 12. (核心素养·几何直观)(2024·郑 州期中)学习整式的乘法时可以发 现:用两种不同的方法表示同一个 图形的面积,可以得到一个等式,进而可以 利用得到的等式解决问题. (1) 如图①是由边长分别为a,b的正方形 和长为a、宽为b的长方形拼成的大长方 形,由图①,可得等式:(a+2b)(a+b)= . (2) ① 如图②是由几个小正方形和小长方 形拼成的一个边长为a+b+c的大正方形, 用不同的方法表示这个大正方形的面积,得 到的等式为 . ② 已知a+b+c=11,ab+bc+ac=38,利 用①中所得到的等式,求代数式a2+b2+c2 的值. (第12题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第8章　整式乘法与因式分解 7y-28y2. 9. (2-a)(2+a)-2a(a+3)+ 3a2=4+2a-2a-a2-2a2-6a+ 3a2=4-6a. 当a= -13 时,原 式 =4-6× -13 =4+2=6. 多项式与多项式相乘时 漏乘以某一项或符号错误 (1) 用一个多项式去乘以另一 个多项式的每一项时,注意不要 漏乘. (2) 当某一项的系数的符号为 负号时,要注意符号变化. 10. D 11. A 12. A [解析] (a+10)(b-10)- ab=ab-10a+10b-100-ab= -10(a-b)-100.因为a>b>10,所 以-10(a-b)-100<0.所以(a+ 10)(b-10)<ab.所以租户的租地面 积会变小. 13. 5 [解析] 因为(a+3b)(a+ 2b)=a2+2ab+3ab+6b2=a2+ 5ab+6b2,所以需要A类卡片1张, B类卡片6张,C类卡片5张. 14. (1) 因为(3x-a)(4x+b)= 12x2+3bx-4ax-ab=12x2+(3b- 4a)x-ab=12x2-5x-2, 所以3b-4a=-5①. 因为(3x+a)(x+b)=3x2+3bx+ ax+ab=3x2+(3b+a)x+ab= 3x2+5x+2, 所以3b+a=5②. 联立①②,得 3b-4a=-5, 3b+a=5, 解得 a=2, b=1. (2) 这道乘法题的正确结果为(3x+ 2)(4x+1)=12x2+11x+2. 15. S涂色=(3a+b)(2a+b)-(a+ b)(a+b)=6a2+3ab+2ab+b2- a2-2ab-b2=(5a2+3ab)平方米. 所以绿化的面积是(5a2+3ab)平 方米. 当a=3,b=2时,5a2+3ab=5×9+ 3×3×2=45+18=63. 所以当a=3,b=2时的绿化面积为 63平方米. 16. (1) > [解析] 因为S1=(m+ 7)(m+1)=m2+8m+7,S2=(m+ 4)(m+2)=m2+6m+8,所以S1- S2=(m2+8m+7)-(m2+6m+ 8)=m2+8m+7-m2-6m-8= 2m-1.因为m 为正整数,所以2m- 1>0.所以S1-S2>0.所以S1>S2. (2) 1010 [解析] |S1-S2|= |2m-1|=2m-1.因为满足条件 2m-1<n≤2024的整数n有且只有 5个,所以这五个整数解为2024, 2023,2022,2021,2020.所 以 2019≤2m-1<2020,解得1010≤ m<1010.5.因为m 为正整数,所以 m=1010. 17. (1) x2-1;x3-1;x4 -1; x10-1. (2) 1+2+22+23+…+29+210+ 211=(2-1)(211+210+29+…+23+ 22+2+1)=212-1. (3) 1+3+32+33+…+347+348+ 349=12× (3-1)(349+348+347+…+ 33+32+3+1)=3 50-1 2 . 8.3　完全平方公式 与平方差公式 第1课时 完全平方公式 1. A 2. D 3. B 4. ±12 5. (1) 原式=14m 2-4m+16. (2) 原式=(3-2a)2=9-12a+ 4a2=4a2-12a+9. (3) 原式= 4x+12y 2 =16x2+ 4xy+ 1 4y 2. (4) 原式=[(2x-y)+3z]2=(2x- y)2+6(2x-y)z+9z2=4x2- 4xy+y2+12xz-6yz+9z2. 6. A [解析] 将a-1a =5 两边平 方,得 a-1a 2 =25,即a2+1 a2 - 2=25,则a2+1 a2 =27. 7. B [解析] 因为(m-n)2=20,所 以m2-2mn+n2=20①.因为(m+ n)2=400,所以m2+2mn+n2=400②. 由①+②,得2(m2+n2)=420,所以 m2+n2=210. 8. C [解析] 因为a+b=-3, ab=-10,所以(a-b)2=(a+b)2- 4ab=9+40=49.所以a-b=-7 或7. 9. B [解析] 由题意,得S涂色部分= S正方形ABCD+S正方形DEFG -S三角形ABC - S三角形AFG=a2+b2- 1 2a 2-12b (a+ b)=12a 2+12b 2-12ab. 因为a+ b=12,ab=22,所 以 S涂色部分 = 1 2 (a2+b2-ab)=12 [(a+b)2- 3ab]=12× (144-66)=12×78= 39. 10. A [解析] 因为a=2b-c,所以 b=a+c2 . 所以b2-ac= a+c2 2 - ac= (a+c)2 4 - 4ac 4 = a2+c2-2ac 4 = (a-c)2 4 ≥0. 又因为a≠c,所以b2- ac>0. 11. 29 [解析] 因为a-b=3,ab= 10,所以a2+b2=(a-b)2+2ab= 9+20=29. 12. -1009 [解析] 设2021-x= a,x-2020=b,则a2+b2=(2021- x)2+(x-2020)2=2019,a+b= 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 32 (2021-x)+(x-2020)=1.所以 (2021-x)(x-2020)=ab= 1 2 [(a+b)2-(a2+b2)]= 12 × (12-2019)=-1009. 13. 原式=x2+4xy+4y2-(x2- 2xy+y2)-3y2+1=x2+4xy+ 4y2-x2+2xy-y2-3y2+1= 6xy+1. 当x=-1,y= 1 3 时,原式=6× (-1)×13+1=-2+1=-1. 运用完全平方公式时 忽略“2倍乘积项” 在运用完全平方公式时,不要 忽略“2倍乘积项”,否则会造成漏 项的错误. 14. (1) 因为(x+y)2=x2+y2+ 2xy,x+y=3,xy=-1, 所以9=x2+y2-2. 所以x2+y2=11. (2) 因为x2+y2=11, 所以(x-y)2=x2+y2-2xy=11- 2×(-1)=13. 所以x-y=± 13. 15. (1) 因 为 a+1a 2 =a2 + 1 a2 +2, 所以a2+1 a2 = a+1a 2 -2=62- 2=34. (2) 因为a-b=2,ab=3, 所以a2+b2=(a-b)2+2ab=22+ 2×3=10,a2b2=9. 所以a4+b4=(a2+b2)2-2a2b2= 102-2×9=82. 16. C [解析] 由a+b-2=0,得 a+b=2,所以(a+b)2=a2+2ab+ b2=4.设(a-b)2=a2-2ab+b2=t, 则t≥0.两式相减,得4ab=4-t.所 以ab=4-t4 >0. 所以0≤t<4.又因 为a-b的值为整数,所以t的取值可 能为0,1,2,3.当t=0时,ab=1,a- b=0,满足题意;当t=1时,ab=34 , a-b=±1,满足题意;当t=2时, ab=12 ,a-b=±2,不满足题意;当 t=3时,ab=14 ,a-b=± 3,不满 足题意.所以ab的值为1或34. 17. (1) (a-b)2;2ab. [解析] 甲图 中涂色部分的面积为(a-b)2;乙图中 涂色部分的面积为(a+b)2-(a2+ b2)=a2+2ab+b2-a2-b2=2ab. (2) 根据题意,得 (a-b)2 =4, 2ab=16, 所以a2+b2=(a-b)2+2ab=4+ 16=20. 所以正方形A,B的面积之和为20. (3) 由(2)知,(a-b)2=4,2ab=16, a>b, 所以ab=8,a-b=2. 所以(a+b)2=(a-b)2+4ab=4+ 32=36. 因为a+b>0, 所以a+b=6. 所以(a+b)(a-b)=a2+ab-ab- b2=a2-b2=6×2=12. 所以丙图中涂色部分的面积为(2a+ b)2-3a2-2b2=a2-b2+4ab=12+ 4×8=44. 专题特训（五）　完全平方 公式的变形及其应用 1. C [解析] 因为m+n=10,mn= 5,所以m2+n2=(m+n)2-2mn= 102-2×5=100-10=90. 2. B [解析] 因为a+b=5,ab= -2,所以a2-ab+b2=(a2+b2)- ab=(a+b)2-2ab-ab=(a+b)2- 3ab=25+6=31. 3. B [解析] 设AB=xcm,BC= ycm.由题意,得2(x+y)=20,x2+ y2=50.所以x+y=10.所以(x+ y)2=100.所以2xy=(x+y)2- (x2+y2)=100-50=50.所以xy= 25.所以长方形 ABCD 的面积是 25cm2. 4. 13 [解析] 因为|x+y-5|≥0, (xy-6)2≥0,|x+y-5|+(xy- 6)2=0,所以x+y-5=0,xy-6= 0.所以x+y=5,xy=6.所以x2+ y2=(x+y)2-2xy=25-12=13. 5. 7 [解析] 因为m2-3m+1=0, 所以m-3+1m=0 ,即m+1m=3. 又 因为m·1m =1 ,所以m2+ 1 m2 = m+1m 2 -2=32-2=7. 6. 1 [解析] 因为a+b=6,a2+ b2=32,所以2ab=(a+b)2-(a2+ b2)=36-32=4,则ab=2.所以该三 角形的面积为1 2ab=1. 7. (1) 因为x+y=6,xy=3, 所以x2+y2=(x+y)2-2xy=62- 2×3=30. (2) x2+4xy+y2=(x2+y2)+ 4xy=30+4×3=42. (3) x4+y4=(x2)2+(y2)2=(x2+ y2)2 -2x2y2 = (x2 +y2)2 - 2(xy)2=302-2×32=302-18= 882. 8. C [解析] 因为a-b=1,所以 (a-b)2=1.又因为a2+b2=25,所 以2ab=(a2+b2)-(a-b)2=25- 1=24.所以ab=12. 9. C [解析] 因为x-y=-3,所以 (x-y)2=9,即x2-2xy+y2=9.所 以x2+3xy+y2=x2-2xy+y2+ 5xy=9+5×9=54. 10. B [解析] 由题意,得 AB- BC=8.所以(AB-BC)2=64.因为 四个正方形的面积和为160,所以 2(AB2+BC2)=160.所以AB2+ BC2=80.所以2AB·BC=(AB2+ 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 42 BC2)-(AB-BC)2=80-64=16. 所以 AB·BC=8.所以长方形 ABCD的面积为AB·BC=8. 11. 2024 [解析] 因为ab=7,a2+ b2=22,所以(a-b)2+2016=(a2+ b2)-2ab+2016=22-14+2016= 2024. 12. D [解析] 因为a+b=5,ab= -1,所以(a-b)2=(a+b)2-4ab= 52-4×(-1)=29. 13. B [解析] 因为(m+n)2=9, (m-n)2=1,所以4mn=(m+n)2- (m-n)2=9-1=8.所以mn=2.又 因为m,n是长方形的长和宽,所以这 个长方形的面积是2. 14. 8xy [解析] 因为(x+2y)2= (x-2y)2+A,所以A=(x+2y)2- (x-2y)2=2×4xy=8xy. 15. 因为(x+y)2=49,xy=2, 所以(x-y)2-xy=(x+y)2- 4xy-xy=(x+y)2-5xy=49-5× 2=39. 16. C [解析] 因为(x+y)2=1, (x-y)2=49,所以2(x2+y2)= (x+y)2+(x-y)2=1+49=50.所 以x2+y2=25. 17. C [解析] 因为a-b=2,a2+ b2=7,所以(a+b)2=2(a2+b2)- (a-b)2=14-4=10.所以a+b= ± 10. 18. 因为a+b=1,a2+b2=2, 所以(a-b)2=2(a2+b2)-(a+ b)2=2×2-1=3. 所以a-b=±3. 19. (1) 2;3;7. [解析] 因为(a+ 3b)(2a+b)=2a2+ab+6ab+3b2= 2a2+7ab+3b2,A种纸片的面积为 a2,B种纸片的面积为b2,C种纸片的 面积为ab,所以需要A种纸片2张, B种纸片3张,C种纸片7张. (2) (a+b)2=a2+b2+2ab. 设a=x-2021,b=2023-x,则a+ b=2. 因为(2021-x)2+(2023-x)2= 2024, 所以(x-2021)2+(2023-x)2= 2024. 所以a2+b2=2024. 所以2ab=(a+b)2-(a2+b2)=4- 2024=-2020. 所以ab=-1010. 所以 (x-2021)(2023-x)= -1010. 所以(2021-x)(2023-x)=1010. (3) 由题意可知,DG=BE=2,则 x-y=2. 所以(x-y)2=4=x2+y2-2xy. 又因为x2+y2=52, 所以xy=24. 所以(x+y)2=x2+y2+2xy=100. 所以x+y=10(负值舍去). 所以涂色部分的面积和为1 2DG · DC+12EF ·BE=12x×2+ 1 2× 2×y=x+y=10. 第2课时 平方差公式 1. C 2. C 3. C 4. 1 5. -6 6. (1) 原式=x2-4y2-x2+xy= -4y2+xy. (2) 原式=(4m2-4m+1)-(4m2- 1)=4m2-4m +1-4m2+1= -4m+2. 运用平方差公式的特别提醒 (1) 公式中的字母a,b既可以 表示一个数或字母,也可以表示多 项式.当公式中的a与b不是单个 数或字母时,运用公式计算要加 括号. (2) 运用平方差公式的关键是 确定公式(a+b)(a-b)=a2-b2 中的a和b,完全相同的项是a,只 有符号相反的项是b,确定a和b 后套用公式即可. 7. A 8. C 9. C 10. D [解析] 设两个连续奇数是 2n-1和2n+1(其中n为正整数). 因为(2n+1)2-(2n-1)2=(2n+ 1+2n-1)(2n+1-2n+1)=4n× 2=8n,所以由两个连续奇数构造的 “创新数”是8的倍数.因为20,22,26 都不是8的倍数,所以它们都不是“创 新数”.因为24是8的倍数,所以24 是“创新数”. 11. ±3 12. 4x 13. 2 [解析] 1+12 1+122 × 1+124 1+128 1+1216 + 1231 = 2× 1-12 1+12 1+122 × 1+124 1+128 1+1216 + 1231 = 2× 1-122 1+122 1+124 × 1+128 1+1216 + 1231 = 2 × 1-124 1+124 1+128 1+1216 + 1 231=2× 1- 1 28 1+128 1+1216 + 1 231=2× 1- 1 216 1+1216 + 1231= 2× 1-1232 +1231=2-1231+1231=2. 14. 租户吃亏了. 原正方形土地的面积为a2m2, 变形后的土地面积为(a+8)(a- 8)=(a2-64)m2. 变形后的土地面积比原来少了a2- (a2-64)=64(m2), 所以租户吃亏了. 15. 因为(2a+1)(2a-1)+(a- 2)2-4(a+1)(a-2)=4a2-1+ a2-4a+4-4(a2-a-2)=4a2- 1+a2-4a+4-4a2+4a+8= a2+11, 所以当a=2或a=-2时,a2+11的 值不变. 16. (1) 15. [解析] 因为(6+3)2- 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 52 62=81-36=45=3×15,所以(6+ 3)2-62的结果是3的15倍. (2) 由题意,得偶数为2n,比偶数大3 的数为2n+3. 所以(2n+3)2-(2n)2=(2n+3+ 2n)(2n+3-2n)=3(4n+3). 因为4n+3为整数, 所以3(4n+3)能被3整除. (3) 余数为3. 理由:设这个整数为n,则比n大3的 数为n+3. 所以(n+3)2-n2=(n+3+n)(n+ 3-n)=6n+9=6(n+1)+3. 所以6(n+1)+3被6整除余3,即余 数为3. 第3课时 乘法公式的灵活应用 1. C 2. D 3. 497 4. -4 [解析] 1+x-1x · 1-x+1x = 1+ x-1x 1- x-1x =1- x-1x 2 .因为 x+1x=3 ,所以 x+1x 2 =9.所以 x-1x 2 = x+1x 2 -4=9-4= 5.所以 1+x-1x 1-x+1x = 1- x-1x 2 =1-5=-4. 5. (1) 原式= 1-14x 2 2=1- 1 2x 2+116x 4. (2) 原式=(2c-4a+3b)(2c-4a- 3b)=(2c-4a)2-(3b)2=4c2- 16ac+16a2-9b2. (3) 原式=(2y-3x)(2y-3x)2= (2y-3x)(4y2-12xy+9x2)= 8y3-24xy2 +18x2y -12xy2 + 36x2y -27x3 =8y3 -36xy2 + 54x2y-27x3. 6. B [解析] 因为将(2020x+ 2021)2 展开后得到多项式a1x2+ b1x+c1,所以a1=20202.因为将 (2021x-2020)2展开后得到多项式 a2x2+b2x+c2,所以a2=20212.所 以 a1 -a2 =20202 -20212 = (2020+2021)×(2020-2021)= -4041. 7. A [解析] (a-c+b)2=a2+ b2+c2-2ac-2bc+2ab=21①,(a+ c+b)2=a2+b2+c2+2ac+2bc+ 2ab=2023②.由①+②,得2(a2+ b2+c2)+4ab=2044.所以a2+b2+ c2+2ab=1022. 8. 112 [解析] 由所给四组式子的系 数规律,可得接下来的三组等式的左 边式子的指数分别为6,7,8,右边式 子各项的系数分别为1,6,15,20,15, 6,1;1,7,21,35,35,21,7,1;1,8,28, 56,70,56,28,8,1.故(2x-1)8 的展 开式中含x2 项的系数为28×22× (-1)6=112. 9. (1) 原式=[x-(2y-1)][x+ (2y-1)]-[x+(2y+1)][x- (2y+1)]=[x2-(2y-1)2]-[x2- (2y+1)2]=(2y+1)2-(2y-1)2= (2y+1+2y-1)(2y+1-2y+1)= 4y×2=8y. (2) 原式=[2a+(3b-1)][2a- (3b-1)]+[2a-(3b-1)]2=4a2- (3b-1)2+4a2-4a(3b-1)+(3b- 1)2=8a2-4a(3b-1)=8a2- 12ab+4a. 10. (1) 平方差公式;完全平方公式. (2) 原式=[(a-b)+(2x-y)]· [(a-b)-(2x-y)]=(a-b)2- (2x-y)2=a2-2ab+b2-4x2+ 4xy-y2. 11. 【探究】 (a+b)(a-b)=a2-b2. 【应用】 (1) 20222-2024×2020= 20222-(2022+2)(2022-2)= 20222-20222+4=4. (2) 1-122 1-132 1-142 ×…× 1-192 1-1102 = 1-12 × 1+12 1-13 1+13 1-14 × 1+14 ×…× 1-19 1+19 × 1-110 1+110 =12×32×23× 4 3× 3 4× 5 4× …×89× 10 9× 9 10× 11 10= 1 2× 11 10= 11 20. 12. (1) a2+3ab+2b2. (2) ① (a+b+c)2=a2+c2+b2+ 2(ab+bc+ac). ② 因为a+b+c=11,ab+bc+ ac=38, 所以a2+b2+c2=(a+b+c)2- 2(ab+bc+ac)=112-2×38=45. 8.4　因式分解 第1课时 提公因式法 1. D 2. C 3. D 4. D 5. (1) xy(x+2) (2) 3m2n2(n- 4m) (3) (x-2)(x-1) 6. 42 [解析] 因为a+b=6,ab=7, 所以a2b+ab2=ab(a+b)=7× 6=42. 7. (1) 原式=-5x2y(1-5y+8x). (2) 原式=2m(m-n)[(m-n)+ 4m]=2m(m-n)(5m-n). 8. A [解析] 因为5(a-b)+m(b- a)=(a-b)(5-m),所以公因式为 a-b.所以提公因式后,余下的部分 为5-m. 在提公因式时,常出现符号错误 用提公因式法分解因式时,在 提公因式后,确定余下的因式常出 现符号错误.一般先确定好公因 式,把公因式提出来,再对各项余 下的因式进行变形、化简、计算,确 定余下的因式. 9. A [解析] 因为把多项式x2y5- xynz分解因式时,提取的公因式为 xy5,则n≥5且n是正整数,所以n 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 62