8．3　完全平方公式与平方差公式 教学设计 2024--2025学年沪科版七年级数学下册

8．3　完全平方公式与平方差公式 第一课时 完全平方公式 学习目标 1．能根据多项式的乘法推导出完全平方公式； 2．理解并掌握完全平方公式，并能进行计算．　　 学习重难点 1．能根据多项式的乘法推导出完全平方公式； 2．理解并掌握完全平方公式，并能进行计算． 教学过程 一、情境引入 一块边长为 a 米的正方形实验田，因需要将其边长增加 b 米.形成四块实验田，以种植不同的新品种(如图).用不同的形式表示实验田的总面积, 并进行比较.你发现了什么？a a b b 直接求：总面积 = (a + b)(a + b) 间接求：总面积 = a2 + ab + ab + b2 (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 二、新课探究 计算下列多项式的积，你能发现什么规律？ (1) ( p + 1 )2 = ( p + 1 )( p + 1 ) = (2) ( m + 2 )2 = ( m + 2 )( m + 2 ) = (3) ( p－1 )2 = ( p－1 )( p－1 ) = . (4) ( m－2 )2 = ( m－2 )( m－2) = . 根据上面的规律，你能直接写出下面式子的答案吗？ (a＋b)2 = a2 + 2ab + b2 . (a－b)2 = a2 - 2ab + b2 . 完全平方公式：简记为： “首平方，尾平方， 积的 2 倍放中央” 文字叙述为：两个数的和（或差）的平方，等于这两个数的平方和加（或减）这两个数乘积的 2 倍. 这两个公式叫做完全平方公式. 公式特征：1. 积为二次三项式； 2. 积中的两项为两数的平方 3. 另一项是两数积的 2 倍，且与乘式中间的符号相同 4. 公式中的字母 a，b 可以表示数、单项式或多项式 三、典型例题 例1 运用完全平方公式计算： (1) ( y + )2； (2) (2x－3)2. 思考： (a + b)2 与 (-a - b)2 相等吗? (a - b)2 与 (b - a)2 相等吗? (a - b)2 与 a2 - b2 相等吗? 为什么? 例2 计算：(x + y + z)2. 例3 如果 36x2＋(m＋1)xy＋25y2 是一个完全平方式，求 m 的值． 思考：怎样计算 1022，992 更简便呢？ 例4 已知 a＋b＝7，ab＝10，求 a2＋b2，(a－b)2 的值. 四、同步练习 1. 若 a2 + ab + b2 + A = (a - b)2，那么 A =（　　） A．-3ab B．-2ab C．0 D．ab 2. 运用完全平方公式计算： (1) (6a + 5b)2； (2) (4x－3y)2 ； (3) (2m－1)2 ； (4) (－2m－1)2 . 3. 若 a + b = 5，ab = - 6，求 a2 + b2，a2 - ab + b2 4. 已知 x2 + y2 = 8，x + y = 4，求 x - y. 五、课堂小结 这节课你有什么收货？ 第二课时 平方差公式 学习目标 1．掌握平方差公式的推导和运用，以及对平方差公式的几何背景的理解； 2．掌握平方差公式的应用．　　　　　　　　　　　 学习重难点 1．掌握平方差公式的推导和运用，以及对平方差公式的几何背景的理解； 2．掌握平方差公式的应用．　　　 教学过程 一、情境导入 从前，有－个狡猾的地主，把－块边长为 20 米的正方形土地租给张老汉种植．第二年，他对张老汉说：“我把这块地的－边减少 5 米，相邻的另－边增加 5 米，继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何?”张老汉－听，觉得好像没有吃亏，就答应道：“好吧．”回到家中，他把这事和邻居们－讲，大家都说：“张老汉，你吃亏了!”他非常吃惊．你觉得张老汉是否吃亏了？为什么？ 二、新课探究 算一算：看谁算得又快又准. ① (x + 1)( x - 1)； ② (m + 2)( m - 2)； ③ (2m + 1)(2m - 1)； ④ (5y + z)(5y - z). 想一想：这些计算结果有什么特点？你发现了什么规律？ 两数和与这两数差的积，等于这两数的平方的差. 平方差公式：(a + b)(a − b) = a2 − b2. 两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差. · 公式变形： (a – b) (a + b) = a2 − b2， (b + a)(−b + a) = a2 − b2. 平方差公式的几何验证 将长为 (a + b)，宽为 (a－b) 的长方形，剪下宽为 b 的长方形条，拼成一个有空缺的正方形，你能表示剪拼前后的图形的面积关系吗？ 三、典型例题 例1 利用平方差公式计算： (1) (5＋6x )(5－6x)； (2) (x－2y)(x＋2y)； (3) (－m＋n)(－m－n). 例2 先化简，再求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)， 其中 x＝1，y＝2. 例3 王大伯家把一块边长为 a 米的正方形土地租给了邻居李大妈．今年王大伯对李大妈说：“我把这块地一边减少 4 米，另外一边增加 4 米，继续原价租给你，你看如何？”李大妈一听，就答应了．你认为李大妈吃亏了吗？为什么？ 四、同步练习 1.下列式子可用平方差公式计算吗? 为什么? 如果 能够，怎样计算 ? (1) (a + b)(a b) ； (2) (a − b)(b − a)； (3) (a + 2b)(2b + a)； (4) (a − b)(a + b) ； (5) (2x + y)(y − 2x). 能力拓展： 1. 计算：(x－y)(x + y)(x2 + y2). 2. 若 A＝(2 + 1)(22 + 1)(24 + 1)，则 A 的值是_____. 五、课堂小结 这节课你有什么收货？ 学科网（北京）股份有限公司 $$