8.1 专题特训（四）幂的运算法则的综合应用-【拔尖特训】2024-2025学年新教材七年级下册数学（沪科版2024）

44 　 　专题特训（四）　幂的运算法则的综合应用 ▶ “答案与解析”见P20 类型一 正用幂的运算法则计算 1. (2024·合肥蜀山期中)(1) 计算:-12 2 - (π-3)0- (-2)2. (2) 化简:x3·x5-(2x4)2+x10÷x2. 2. 已知10x=a,5x=b.用含a,b的代数式 表示: (1) 50x 的值. (2) 2x 的值. (3) 20x 的值. 3. (2023·滁州定远期中)(1) 若3×9n-1× 32n+1=316,求n的值. (2) 若2x+2+2x+1=24,求x的值. 类型二 逆用幂的运算法则计算 4. (2024·池州贵池期中)已知10a=5,10b=6, 求下列各式的值: (1) 10a+b. (2) 102-2a+b. 5. 计算: (1) -125 8 ×0.255× 57 8 ×(-4)5. (2) 0.252020×42021-8673×0.52020. (3) 1 100× 1 99× 1 98× …×12×1 100 ×(100× 99×98×…×2×1)100. 类型三 利用幂的运算法则比较大小 6. 已知a=280,b=450,c=830,比较a,b,c的 大小. 7. 已知3x=4,3y=6,3z=12,试比较x+2y与 2z的大小. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(沪科版)七年级下 45 8. 阅读材料: 若a3=2,b5=3,试比较a,b的大小关系. 解:因为a15=(a3)5=25=32,b15=(b5)3= 33=27,而32>27,所以a15>b15.所以a>b. 解答上述问题逆用了幂的乘方,请你类比以 上方法,解决以下问题: 若x5=2,y3=3,试比较x与y的大小. 9. (核心素养·运算能力)阅读材料: 已知正整数a,b,c,对于同底数、不 同指数的两个幂ab和ac(a≠1),当 b>c时,有ab>ac;对于同指数、不同底数的 两个幂ab和cb,当a>c时,有ab>cb. 根据上述材料,解答下列问题. (1) 比较大小:520 420,961 2741(填“>”“<”或“=”). (2) ★比较233与322的大小. (3) 比较312×510与310×512的大小. 类型四 整体思想在幂的运算中的应用 10. (1) 已知x3n=3,求(-2x2n)3+4(x2)3n 的值. (2) 已知4a-3b+7=0,求32×92a+1÷27b 的值. 类型五 与幂的运算有关的新定义题 11. (2024·宿州埇桥期末)规定a*b=ab-1, 例如:2*1=2×1-1=1. (1) 若42*4x-1=63,求x的值. (2) 求 4 3 2022 *(-0.75)2023的值. 12. (核心素养·推理能力)规定两数 a,b之间的一种运算,记作(a,b). 如果ac=b,那么(a,b)=c.例如: 因为23=8,所以(2,8)=3. 根据上述规定,解答下列问题. (1) ① (4,16)= ,(-3,81)= . ② 若x,116 =-4,则x= . (2) 小明在研究这种运算时,发现一个特 征:(3n,4n)=(3,4).小明给出了如下方法: 设(3n,4n)=x,则(3n)x=4n,即(3x)n=4n. 所以3x=4,即(3,4)=x.所以(3n,4n)= (3,4).试解决下列问题: ① 求(9,100)-(81,10000)的值. ② 若(16,49)=a,(4,3)=b,(16,441)=c, 请探索a,b,c之间的数量关系. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第8章　整式乘法与因式分解 1.08×10-4=0.000108,精确到百万 分位,所以 ① 错误.因为 5.62× 10-8=0.0000000562,所以②正确. 因为1.56×10-6 米的一百万倍是 1.56米,接近初中学生小丽的身高, 所以③正确.因为0.00258=2.58× 10-3,所以a=2.58,n=-3.所以 a+n=-0.42.所以④错误.综上所 述,正确的是②③. 14. 1.001×10-9<1.002×10-8< 9.99×10-8<9.9999×10-7. 15. 0.0000524=5.24×10-5,3× 108×5.24×10-5÷2=7.86×103(米). 所以该时刻飞机与雷达站之间的距离 是7.86×103米. 16. (1) 因为一个正方体集装箱的棱 长为0.4m, 所以这个集装箱的体积是0.4× 0.4×0.4=0.064=6.4×10-2(m3). (2) 因为一个小立方块的棱长为1× 10-3m, 所以这个集装箱至多能装[0.4÷(1× 10-3)]3=64000000(个)这样的小立 方块. 17. C [解析] 因为4千克=4000克, 一粒芝麻的质量约为80÷20000= 0.004(克),所以0.004÷4000=4× 10-3÷(4×103)=10-6.所以估计一 粒芝麻的质量与这个西瓜质量的比值 为10-6. 18. 8 1000÷ (3×10-26)≈2.667× 1023(个). [(3×10-26)-(2.657×10-26 )]÷2= 1.715×10-27(千克). 所以8克水中大约有2.667×1023个 水分子,1个氢原子的质量约为 1.715×10-27千克. 专题特训（四）　幂的运算 法则的综合应用 1. (1) 原式=14-1-2=- 11 4. (2) 原式=x8-4x8+x8=-2x8. 2. (1) 因为10x=a,5x=b, 所以50x=(10×5)x=10x×5x=ab. (2) 因为10x=a,5x=b, 所以a=(5×2)x=5x×2x=b×2x. 所以2x=ab. (3) 因为10x=a,2x=ab , 所以20x=(2×10)x=2x×10x=a 2 b. 3. (1) 因为3×9n-1×32n+1=316, 所以3×32n-2×32n+1=316. 所以31+2n-2+2n+1=316. 所以34n=316. 所以4n=16. 所以n=4. (2) 因为2x+2+2x+1=24, 所以2×2x+1+2x+1=24. 所以3×2x+1=24. 所以2x+1=23. 所以x+1=3. 所以x=2. 4. (1) 10a+b=10a·10b=5×6=30. (2) 102-2a+b=102÷(10a)2·10b= 100÷52×6=24. 5. (1) 原式= -75 8 ×0.255× 5 7 8 ×(-4)5= -75× 5 7 8 × [0.25×(-4)]5=(-1)8×(-1)5= -1. (2) 原式=0.252020×42020×4- (23)673×0.52020=0.252020×42020× 4-22019×0.52019×0.5=(0.25× 4)2020×4-(2×0.5)2019×0.5= 12020×4-12019×0.5=1×4-1× 0.5=3.5. (3) 原式= 1100×199×198×…× 1 2×1×100×99×98× …×2× 1 100= 1100×100×199×99×198× 98×…×12×2×1×1 100 =1100=1. 6. 因为a=280,b=450=(22)50= 2100,c=830=(23)30=290,280< 290<2100, 所以a<c<b. 7. 因为3x=4,3y=6,3z=12, 所以3x+2y=3x×(3y)2=4×62=4× 36=144,32z=(3z)2=122=144. 所以3x+2y=32z. 所以x+2y=2z. 8. 因为x15=(x5)3=23=8,y15= (y3)5=35=243,而8<243, 所以x15<y15. 所以x<y. 9. (1) >;<. [解析] 因为5>4,所 以520>420.因为961=(32)61=3122, 2741=(33)41=3123,122<123,所以 961<2741. (2) 因为233=(23)11=811,322= (32)11=911,8<9, 所以233<322. 两个幂大小的比较方法 对于底数与指数都为正整数 的两个幂,要比较它们的大小,一 般有以下三种方法:(1) 直接计算, 比较其结果.(2) 变底数,利用幂的 运算性质,将两个幂化为底数相同 的幂,利用“底数相同的两个幂,指 数大的幂大”进行比较.(3) 变指 数,利用幂的运算性质,将两个幂 化为指数相同的幂,利用“指数相 同的两个幂,底数大的幂大”进行 比较. (3) 因为3 12×510 310×512= 32 52= 9 25<1 , 所以312×510<310×512. 10. (1) 因为x3n=3, 所以(-2x2n)3+4(x2)3n=-8x6n+ 4x6n=-4x6n=-4(x3n)2=-4× 32=-4×9=-36. 所以(-2x2n)3+4(x2)3n 的值为 -36. (2) 因为4a-3b+7=0, 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 02 所以4a-3b=-7. 所 以 32 ×92a+1 ÷27b =32 × (32)2a+1 ÷ (33)b =32+2(2a+1)-3b = 34a-3b+4=3-7+4=3-3=127. 11. (1) 因为a*b=ab-1, 所以42*4x-1=42×4x-1-1= 41+x-1=63. 所以41+x=64=43. 所以1+x=3,解得x=2. (2) 因为a*b=ab-1, 所 以 4 3 2022 * (-0.75)2023 = 4 3 2022 × -34 2023 - 1 = 4 3 2022 × -34 2022 × -34 - 1= -34× 4 3 2022 × -34 -1= (-1)2022 × -34 - 1 = 1 × -34 -1=-74. 12. (1) ① 2;4. ② ±2. (2) ① (9,100)-(81,10000)=(32, 102)-(34,104)=(3,10)-(3, 10)=0. ② 因为(16,49)=a,(16,441)=c, 所以(4,7)=a,(4,21)=c. 所以4a=7,4c=21. 又因为(4,3)=b, 所以4b=3. 因为4c=7×3=4a×4b=4a+b, 所以c=a+b. 8.2　整式乘法 第1课时 单项式与单项式相乘 1. D 2. B 3. D 4. C 5. (1) -3m3n4 (2) 1 2a 5b3 (3) -24a5b6 (4) 3.6×1023 6. (1) 原式=15y8. (2) 原式= -23× 1 2 a2+3b3+3c= -13a 5b6c. (3) 原式=2xy2·9x4y6=18x5y8. (4) 原 式 = (-2)× (-1)× (-3)am+2+1bn+n+2=-6am+3b2n+2. 单项式与单项式相乘时漏乘 (1) 单项式与单项式相乘时, 应注意不要漏掉只在一个单项式 中出现的字母. (2) 单项式与单项式相乘时, 应先确定积的符号. 7. B 8. B [解析] 它工作3×103 秒运算 的次数为(4×108)×(3×103)=(4× 3)× (108 ×103)=12×1011 = 1.2×1012. 9. D [解析](a-2)3(ab2)-2= a-6·a-2b-4=a-8b-4= 1 a8b4 . 10. A [解析] 因为(5×103)(20× 10m)(4×102)=4×109,所以5× 20×4×103+m+2=4×109.所以102× 4×103+m+2 =4×109.所以 4× 107+m=4×109.所以107+m=109.所 以7+m=9,解得m=2. 11. -12x6y6 [解析] A·B2·C= (3x2)·(-2xy2)2·(-x2y2)= (3x2)· (4x2y4)· (-x2y2)= -12x6y6. 12. -32x8y6 [解析] 因为单项 式-22x2my3 与23x4yn+1 的差是一 个单项式,所以单项式-22x2my3 与 23x4yn+1是同类项.所以2m=4,n+ 1=3,解 得 m =2,n=2.所 以 -22x4y3·23x4y3=-32x8y6. 13. -36m6n3 [解析] 由题意,得 × =9mn× (-4n2m5)=-36m6n3. 14. 2 [解 析] (am+1bn+2)· (a2n-1b2m)=am+1+(2n-1)bn+2+2m = am+2nb2m+n+2=a3b5,则 m+2n=3, 2m+n+2=5, 即 m+2n=3 , 2m+n=3. 两式 相加,得3(m+n)=6,所以m+ n=2. 15. (1) 原式=4x10-6x10=-2x10. (2) 原式=2x·9x2y2·(-x6y3)= [2×9× (-1)]x1+2+6y2+3 = -18x9y5. (3) 原式=59x 3y·(-27x3y6)· 1 4x 2=-154x 8y7. (4) 原 式 =5a3b·9b2 -ab· 36a2b2=45a3b3-36a3b3=9a3b3. 16. (1) 原式=-2a2b3·a2b4+ 1 4a 4b6·4b= -2a4b7 +a4b7 = -a4b7. 当a=2,b=1时, 原式=-24×1=-16. (2) 因为x3m=2,y2m=3, 所以(x2m)3+(ym)6-(x2y)3m · ym=(x3m)2+(y2m)3-(x6my3m · ym )= (x3m )2 + (y2m )3 - (x3my2m)2=22+33-(2×3)2=-5. 17. (1) 这个包装箱的体积为3a· 2b·ab=(3×2×1)(a·a)(b·b)= 6a2b2(立方米). (2) 这个包装箱的表面积为2× (3a·2b+3a·ab+2b·ab)= (6a2b+12ab+4ab2)平方米. 所以共需喷上(6a2b+12ab+4ab2)平 方米的油漆. 18. A [解析] 客厅的面积为4b× 2a=8ab,卧室的面积为(4a-2a)× 2b=4ab,所以至少需买木地板的面积 为8ab+4ab=12ab. 19. (1) 根据所给的单项式列可知,后 一项的系数是前一项系数的-2倍, 且x的次数依次增加1. 因为这列单项式的第一项为x, 所以第10个单项式为-29x10,第 n个单项式为(-2)n-1xn. (2) 前10个单项式的积为x· (-2)x2 · (-2)2x3 · … · (-2)9x10=(-2)1+2+…+9x1+2+3+…+10= 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 12